精品解析：辽宁省大连市2023-2024学年高一下学期7月期末考试数学试题

大连市2023~2024学年度第二学期期末考试 高一数学 命题人：申丽萍 何艳国 姜玉小 注意事项：1.请在答题纸上作答，在试卷上作答无效； 2、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟. 第Ⅰ卷（选择题） 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 已知复数满足，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则的值为（ ） A. B. 3 C. D. 3. 已知圆锥的底面半径是1，高为，则圆锥的侧面积是（ ） A. B. C. D. 4. 下列四个函数中，以为最小正周期，且为奇函数的是（ ） A. B. C. D. 5. 将函数图象上的所有点向右平移个单位，得到函数的图象，则图象的一条对称轴为（ ） A. B. C. D. 6. 设，是两个不重合平面，，是两条不重合直线，则（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则 7. 已知平面直角坐标系内点，为原点，线段绕原点按逆时针方向旋且长度变为原来的一半，得到线段，若点的纵坐标为，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知中，，，，为所在平面内一点，，则的最小值为（ ） A B. C. 0 D. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 已知复数，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则的共轭复数为 B. 若为纯虚数，则 C. 若，则 D. 10. 已知角的顶点与坐标原点重合，角的始边落在轴的正半轴上，如果是角终边上不同于坐标原点的任意一点，记，当角的终边不在轴上时，称为角的正割，记作.则下列说法正确的是（ ） A. B. 函数最小正周期为，其图象的对称轴为 C. （其中和的取值使各项都有意义） D. 在锐角中，角，，的对边分别为，，，则 11. 如图，正三棱台的上、下底面边长分别为1和3，侧棱长为2，则下列说法正确的是（ ） A. 该三棱台的体积为 B. 若过点的平面与平面平行，则平面截该三棱台所得的截面面积为 C. 若点在棱上，则的最小值为 D. 该三棱台内半径最大球的体积为 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共15分.其中第14题第一空2分，第二空3分.） 12. 已知向量，，若，则实数____. 13. 已知函数在上单调递增，则最大值为____. 14. 已知矩形中，，，将沿折至，得到三棱锥，则该三棱锥体积的最大值为____；该三棱锥外接球的表面积为____. 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知，角，，的对边分别为，，，满足. （1）求角的大小； （2）若，，求的面积. 16. 如图，在直三棱柱中，，. （1）求证：平面平面； （2）求证： 17. 如图，某沿海地区计划铺设一条电缆联通，两地，地位于岸边东西方向的直线上，地位于海上一个灯塔处，在地用测角器测得的大小，设，已知.在地正东方向的点处，用测角器测得.在直线上选一点，设，且，先沿线段在地下铺设电缆，再沿线段在水下铺设电缆.已知地下、水下的电缆铺设费用分别为3万元，6万元. （1）求，两点间距离； （2）设铺设电缆总费用为. ①求的表达式； ②求铺设电缆总费用的最小值，并确定此时的长度. 18. 如图，在四棱锥中，底面为菱形，，，为的中点. （1）证明：平面； （2）若，. ①求二面角的余弦值； ②求直线与平面所成角的正弦值. 19. 已知函数，，若对于任意实数，，，都能构成三角形的三条边长，则称函数为上的“完美三角形函数”. （1）试判断函数是否为上的“完美三角形函数”，并说明理由； （2）设向量，，若函数为上的“完美三角形函数”，求实数的取值范围； （3）已知函数为（为常数）上的“完美三角形函数”.函数的图象上，是否存在不同的三个点，满足，？若存在，求的值；若不存在，说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 大连市2023~2024学年度第二学期期末考试 高一数学 命题人：申丽萍 何艳国 姜玉小 注意事项：1.请在答题纸上作答，在试卷上作答无效； 2、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟. 第Ⅰ卷（选择题） 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 已知复数满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由复数除法计算，可解问题. 【详解】根据题意，. 故选：D 2. 已知，则的值为（ ） A. B. 3 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由同角三角函数的基本关系，化“弦”为“切”求解即可. 【详解】， . 故选：B 3. 已知圆锥的底面半径是1，高为，则圆锥的侧面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意求出圆锥的母线长，再利用圆锥的侧面积公式可求得答案. 【详解】因为圆锥的底面半径是1，高为， 所以圆锥的母线长为， 所以圆锥的侧面积为. 故选：D 4. 下列四个函数中，以为最小正周期，且为奇函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用诱导公式和正弦函数、余弦函数、正切函数的周期性和奇偶性即可判断. 【详解】对A，，其定义域为，设， 因为，故其为偶函数，故A错误； 对B，，其定义域为，设， 则，则其为奇函数，且最小正周期为，故B正确； 对C，，其最小正周期为，故C错误； 对D，，其最小正周期为，故D错误. 故选：B. 5. 将函数图象上的所有点向右平移个单位，得到函数的图象，则图象的一条对称轴为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据图象变换先得函数，再利用整体法求对称轴. 【详解】根据题意，， 令，得 当时，. 故选：A 6. 设，是两个不重合平面，，是两条不重合直线，则（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则 【答案】C 【解析】 【分析】对ABD举出反例即可，对C根据线面垂直的性质即可判断. 【详解】对A，若，，则或与异面，故A错误； 对B，若，，则与可能相交、平行或，故B错误； 对C，若，，则，又因为，则，故C正确； 对D，若，，，当 都与的交线平行时，满足题设条件，此时，故D错误. 故选：C. 7. 已知平面直角坐标系内点，为原点，线段绕原点按逆时针方向旋且长度变为原来的一半，得到线段，若点的纵坐标为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，确定点的位置并求出坐标，再利用三角函数定义及差角的余弦公式计算即得. 【详解】线段中点纵坐标为，则点在第二象限，而，则有点的横坐标为， 点在角的终边上，则点在角的终边上，，， 所以. 故选：A 8. 已知中，，，，为所在平面内一点，，则的最小值为（ ） A. B. C. 0 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，可得，再建立平面直角坐标系，利用向量数量积的坐标表示建立函数关系，进而求出最小值. 【详解】在中，，由，得， 则，即，以点为原点，射线分别为轴建立平面直角坐标系， 则，设，，， 由，得，解得， ，当且仅当时取等号， 所以的最小值为. 故选：D 【点睛】关键点点睛：涉及几何图形中的向量运算，根据图形特征建立平面直角坐标系，求出相关点的坐标是解题的关键. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 已知复数，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则的共轭复数为 B. 若为纯虚数，则 C. 若，则 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据共轭复数的概念即可判断A；根据纯虚数的概念即可判断B；举反例即可判断C；根据复数的乘法运算和复数模的概念即可判断D. 【详解】对A，根据共轭复数的概念知的共轭复数为，故A正确； 对B，若为纯虚数，则，解得，故B正确； 对C，举例，满足，但，故C错误； 对D，设，，其中， 则， 则， ，所以. 故选：ABD. 10. 已知角的顶点与坐标原点重合，角的始边落在轴的正半轴上，如果是角终边上不同于坐标原点的任意一点，记，当角的终边不在轴上时，称为角的正割，记作.则下列说法正确的是（ ） A. B. 函数的最小正周期为，其图象的对称轴为 C. （其中和的取值使各项都有意义） D. 在锐角中，角，，的对边分别为，，，则 【答案】AC 【解析】 【分析】根据给定定义，将转化为，结合余弦函数及性质、余弦定理逐项分析计算即得. 【详解】依题意，，当时，， 对于A，，A正确； 对于B，函数，的最小正周期为，其图象的对称轴为，B错误； 对于C，，C正确； 对于D，由余弦定理得，D错误. 故选：AC 11. 如图，正三棱台的上、下底面边长分别为1和3，侧棱长为2，则下列说法正确的是（ ） A. 该三棱台的体积为 B. 若过点的平面与平面平行，则平面截该三棱台所得的截面面积为 C. 若点在棱上，则的最小值为 D. 该三棱台内半径最大球的体积为 【答案】BC 【解析】 【分析】利用正三棱台的结构特征，结合已知求出高，再求出体积判断A；求出截面面积判断B；把等腰梯形与展开置于同一平面，求出判断C；求出体积为的球直径与棱台的高比较判断D. 【详解】对于A，正三棱台中，取上、下底面的中心，连接， 则，高， 三棱台的体积，A错误； 对于B，在上分别取点，使，连接， 而，则四边形均为平行四边形，即，， 而平平面，平面，则平面，同理平面， 又，因此为平面截该三棱台所得的截面， 而，又，则为正三角形，， 截面面积，B正确； 对于C，把等腰梯形与展开置于同一平面，连接， 由选项B知，等腰底边， 而边的中点到点的距离， 因此当点为线段与的交点时，的最小值为，C正确； 对于D，体积为的球半径，，解得，该球的直径， 则此球不可能在正三棱台内，D错误. 故选：BC 【点睛】关键点点睛：涉及空间图形中几条线段和最小的问题，把相关线段所在的平面图形展开并放在同一平面内，再利用两点之间线段最短解决是关键. 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共15分.其中第14题第一空2分，第二空3分.） 12. 已知向量，，若，则实数____. 【答案】3 【解析】 【分析】根据向量垂直的坐标表示得到方程，解出即可. 【详解】由题意得，解得. 故答案为：3. 13. 已知函数在上单调递增，则的最大值为____. 【答案】 【解析】 【分析】利用整体法结合正弦型函数的单调性即可求解. 【详解】因为，则， 由函数在区间上单调递增， 可得 ，求得，则，故的最大值为， 故答案为：. 14. 已知矩形中，，，将沿折至，得到三棱锥，则该三棱锥体积的最大值为____；该三棱锥外接球的表面积为____. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】过作于，求出点到平面距离的关系，再利用锥体体积公式求出最大值；取的中点，确定外接球球心并求出球半径即可. 【详解】过作于，过在平面内作，则平面， 又平面，于是平面平面，平面平面， 因此在平面内的射影为，而， 点到平面的距离，当且仅当时取等号， 三棱锥的体积； 取的中点，连接，由，得， 因此三棱锥的外接球的球心为，半径为， 所以三棱锥的外接球的表面积. 故答案为：； 【点睛】关键点点睛：几何体的外接球的表面积、体积计算问题，借助球的截面小圆性质确定出球心位置是解题的关键. 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知，角，，的对边分别为，，，满足. （1）求角的大小； （2）若，，求的面积. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 分析】（1）根据给定条件，利用正弦定理边化角即可求解. （2）利用（1）的结论及余弦定理求出，再由三角形面积公式计算即得. 【小问1详解】 在中，由及正弦定理，得， 而，即，因此，即有，又， 所以. 【小问2详解】 由余弦定理，得， 又，则， 所以的面积. 16. 如图，在直三棱柱中，，. （1）求证：平面平面； （2）求证：. 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）首先根据线面垂直的性质得，结合，最后利用面面垂直的判定定理即可证明； （2）由（1）得，根据得，最后利用线面垂直判定与性质即可证明. 【小问1详解】 在直三棱柱中， 因为平面平面，所以. 又因为平面平面， 所以平面. 又因为平面，所以平面平面. 【小问2详解】 连接，由（1）可知平面， 因为平面，所以. 因为，所以. 又因为在正方形中， 平面，， 所以平面. 又因为平面，所以，即. 17. 如图，某沿海地区计划铺设一条电缆联通，两地，地位于岸边东西方向的直线上，地位于海上一个灯塔处，在地用测角器测得的大小，设，已知.在地正东方向的点处，用测角器测得.在直线上选一点，设，且，先沿线段在地下铺设电缆，再沿线段在水下铺设电缆.已知地下、水下的电缆铺设费用分别为3万元，6万元. （1）求，两点间距离； （2）设铺设电缆总费用为. ①求的表达式； ②求铺设电缆总费用的最小值，并确定此时的长度. 【答案】（1）； （2）①；②万元，. 【解析】 【分析】（1）利用同角公式及差角的正弦公式求出，再利用正弦定理求出距离. （2）①利用正弦定理及差角的正弦公式求出；②令，利用辅助角公式，结合正弦函数的性质求出最小值及的值. 【小问1详解】 在中，由，得，解得， 则， 由正弦定理，得， 所以，两点间的距离. 【小问2详解】 ①在中，由正弦定理得， 解得，， 所以. ②令，则，则， 其中锐角由确定，于是， 则有，而，解得，当且仅当时取等号， 即当时，有最小值， 所以总费用的最小值为万元，此时的长度为. 18. 如图，在四棱锥中，底面为菱形，，，为中点. （1）证明：平面； （2）若，. ①求二面角的余弦值； ②求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2）①；② 【解析】 【分析】（1）连接，交于点，连接，可证，从而平面； （2）①取的中点，连接，则，在中，作交于点，以为二面角的平面角，利用余弦定理求解边和角； ②设点在平面内的射影为点，则为直线与平面所成的角，求出的长度，即可解决问题. 【小问1详解】 连接，交于点，连接， 因为底面为菱形，所以为的中点， 因为为的中点，所以， 又因为平面，平面， 所以平面； 【小问2详解】 ①因为，所以为等边三角形， 取的中点，连接，则， 在中，作交于点， 所以为二面角的平面角， 在中，因为，所以， 所以， 在中，， 所以， 在中，， 由余弦定理得， 在中，由余弦定理， 所以二面角的余弦值为； ②设点在平面内的射影为点， 则为直线与平面所成的角， 因为，所以， 所以，所以， 又因为平面，平面，， 所以平面， 又因为平面，平面， 所以平面，且， 所以， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 【点睛】关键点点睛：根据定义找到二面角和线面角的平面角，从而求解. 19. 已知函数，，若对于任意实数，，，都能构成三角形的三条边长，则称函数为上的“完美三角形函数”. （1）试判断函数是否为上的“完美三角形函数”，并说明理由； （2）设向量，，若函数为上的“完美三角形函数”，求实数的取值范围； （3）已知函数为（为常数）上的“完美三角形函数”.函数的图象上，是否存在不同的三个点，满足，？若存在，求的值；若不存在，说明理由. 【答案】（1）是，理由见解析 （2） （3）不存在，理由见解析. 【解析】 【分析】（1）利用三角函数平方和关系并结合二次函数性质得，再根据即可判断； （2）利用辅助角公式即可求出函数值域，再对分类讨论； （3）求出，根据求出其最小值范围，则得到，再利用反证法得到互相矛盾的点即可证明. 【小问1详解】 是R上的“完美三角形函数”. 因为，所以. 所以. 因为“”是“为上的“完美三角形函数”的充要条件， 所以函数是R上的“完美三角形函数”. 【小问2详解】 因为， 所以 . 且. 因为，所以. 所以的最大值为1，最小值为. ①当时， 由，得. ②当时，，满足题意. ③当时， 由，得. 综上，实数的取值范围是. 【小问3详解】 因为，则，所以， 由，得，则，又因为，故. 假设存在满足题意的三个点，则， 且， 所以， 所以. 即. 因为，所以. 所以. 因为，所以. 所以，与矛盾. 故不存在点满足题意. 【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是利用辅助角公式得到，求出其范围，最后对分类讨论即可. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$