精品解析：江苏省部分省级示范性重点中学2025届高三七月摸底考试数学试卷

2025届高中毕业生七月摸底考试 数 学 试 卷 高三数学组命题 2024.7. 本试题卷共4页，19题.全卷满分150分.考试用时120分钟. ★祝考试顺利★ 注意事项： 1. 答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2. 选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3. 非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内. 写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4. 考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.本卷命题范围：必修一、二. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若（）与（）互为相反数，则（ ） A. B. C. D. 2. 使式子有意义的的取值范围是（ ） A. B. C. D. ，且 3. 如图，已知某频率分布直方图形成“右拖尾”形态，则下列结论正确的是（ ） A. 众数平均数中位数 B. 众数中位数平均数 C. 众数平均数中位数 D. 中位数平均数众数 4. 已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β，直线l满足l ⊥m，l ⊥n，则 （ ） A. α∥β且∥α B. α⊥β且⊥β C. α与β相交，且交线垂直于 D. α与β相交，且交线平行于 5. 已知复数z满足，则（ ） A. B. C. D. 6. 设是锐角，满足，则（ ） A. B. C. D. 7. 在中，，则（ ） A. B. C. D. 8. 若，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，则（ ） A. 的对称轴为 B. 的最小正周期为 C. 的最大值为1，最小值为 D. 在上单调递减，在上单调递增 10. 质点P和Q在以坐标原点O为圆心，半径为1的上逆时针做匀速圆周运动，同时出发．P的角速度大小为，起点为与x轴正半轴的交点；Q的角速度大小为，起点为射线与的交点．则当Q与P重合时，Q的坐标可以为（ ） A. B. C. D. 11. 已知平面平面，B，D是l上两点，直线且，直线且．下列结论中，错误的有（ ） A. 若，，且，则ABCD是平行四边形 B. 若M是AB中点，N是CD中点，则 C. 若，，，则CD在上的射影是BD D. 直线AB，CD所成角的大小与二面角的大小相等 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 圆台上、下底面的圆周都在一个直径为10的球面上，其上、下底面半径分别为4和5，则该圆台的体积为______． 13. 写出一个最小正周期为2的奇函数________． 14. 下图改编自李约瑟所著的《中国科学技术史》，用于说明元代数学家郭守敬在编制《授时历》时所做的天文计算．图中的，，，都是以O为圆心的圆弧，CMNK是为计算所做的矩形，其中M，N，K分别在线段OD，OB，OA上，，．如果记，，，，则___________(用和表示). 四、解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 声强级(单位:dB)由公式给出,其中I为声强(单位:). (1)一般正常人听觉能忍受的最高声强为,能听到的最低声强为.求人听觉的声强级范围. (2)平时常人交谈时的声强约为,求其声强级. 16. 设，，求证： （1）； （2）； （3）. 17. 对于函数f（x）＝a （1）探索函数f（x）的单调性； （2）是否存在实数a使函数f（x）为奇函数，若存在，求出a的取值；若不存在，说明理由？ 18. 如图，在三棱锥P-ABC中，∠ACB=90°，PA⊥底面ABC. （1）求证：平面PAC⊥平面PBC； （2）若AC=BC=PA，M是PB的中点，求AM与平面PBC所成角的正切值； （3）在（2）的条件下，求平面PAB与平面PBC夹角的正弦值. 19. 对称变换在对称数学中具有重要的研究意义．若一个平面图形K在m（旋转变换或反射变换）的作用下仍然与原图形重合，就称K具有对称性，并记m为K的一个对称变换．例如，正三角形R在（绕中心O作120°的旋转）的作用下仍然与R重合（如图1图2所示），所以是R的一个对称变换，考虑到变换前后R的三个顶点间的对应关系，记；又如，R在（关于对称轴所在直线的反射）的作用下仍然与R重合（如图1图3所示），所以也是R的一个对称变换，类似地，记．记正三角形R的所有对称变换构成集合S．一个非空集合G对于给定的代数运算.来说作成一个群，假如同时满足： I．，； II．，； Ⅲ．，，； Ⅳ．，，． 对于一个群G，称Ⅲ中的e为群G的单位元，称Ⅳ中的为a在群G中的逆元．一个群G的一个非空子集H叫做G的一个子群，假如H对于G的代数运算来说作成一个群． （1）直接写出集合S（用符号语言表示S中的元素）； （2）同一个对称变换的符号语言表达形式不唯一，如．对于集合S中的元素，定义一种新运算*，规则如下：，． ①证明集合S对于给定的代数运算*来说作成一个群； ②已知H是群G的一个子群，e，分别是G，H的单位元，，，分别是a在群G，群H中的逆元．猜想e，之间的关系以及，之间的关系，并给出证明； ③写出群S的所有子群． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025届高中毕业生七月摸底考试 数 学 试 卷 高三数学组命题 2024.7. 本试题卷共4页，19题.全卷满分150分.考试用时120分钟. ★祝考试顺利★ 注意事项： 1. 答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2. 选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3. 非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内. 写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4. 考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.本卷命题范围：必修一、二. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若（）与（）互为相反数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据对数的运算性质即可求解. 【详解】因为（）与（）互为相反数， 所以，所以. 故选：C. 2. 使式子有意义的的取值范围是（ ） A. B. C. D. ，且 【答案】D 【解析】 【分析】根据对数的定义得到不等式组解得. 【详解】 解得，即且. 故选：D 3. 如图，已知某频率分布直方图形成“右拖尾”形态，则下列结论正确的是（ ） A. 众数平均数中位数 B. 众数中位数平均数 C. 众数平均数中位数 D. 中位数平均数众数 【答案】B 【解析】 【分析】根据平均数，中位数，众数的概念结合图形分析判断. 【详解】由频率直方图可得，单峰不对称且“右拖尾”，最高峰偏左，众数最小， 平均数易受极端值的影响，与中位数相比，平均数总是在“拖尾”那边， 故平均数大于中位数，所以众数中位数平均数. 故选：B 4. 已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β，直线l满足l ⊥m，l ⊥n，则 （ ） A. α∥β且∥α B. α⊥β且⊥β C. α与β相交，且交线垂直于 D. α与β相交，且交线平行于 【答案】D 【解析】 【详解】试题分析：由平面，直线满足，且，所以，又平面，，所以，由直线为异面直线，且平面平面，则与相交，否则，若则推出，与异面矛盾，所以相交，且交线平行于，故选D． 考点：平面与平面的位置关系，平面的基本性质及其推论． 5. 已知复数z满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，根据复数的三角形式计算可得答案. 【详解】设， 所以， 可得，两式相除可得， 可得，， 因为，所以， 当时，，解得，此时， 当时，，解得，舍去， 当时，，解得，此时， 当时，，解得，舍去， 当时，，解得，此时， 当时，，解得，舍去， 结合选项，只有D正确. 故选：D. 6. 设是锐角，满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由原条件解出，然后利用二倍角公式即可. 【详解】由已知有，且. 故，结合，解得. 所以 . 故选：D. 7. 在中，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用正弦定理的边角变换与余弦定理即可得解. 【详解】因为， 所以由正弦定理得，即， 则，故， 又，所以. 故选：B. 8. 若，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】解法一：由化简得到即可判断；解法二：证明充分性可由得到，代入化简即可，证明必要性可由去分母，再用完全平方公式即可；解法三：证明充分性可由通分后用配凑法得到完全平方公式，再把代入即可，证明必要性可由通分后用配凑法得到完全平方公式，再把代入，解方程即可. 【详解】解法一： 因为，且， 所以，即，即，所以. 所以“”是“”的充要条件. 解法二： 充分性：因为，且，所以， 所以， 所以充分性成立； 必要性：因为，且， 所以，即，即，所以. 所以必要性成立. 所以“”是“”的充要条件. 解法三： 充分性：因为，且， 所以， 所以充分性成立； 必要性：因为，且， 所以， 所以，所以，所以， 所以必要性成立. 所以“”是“”的充要条件. 故选：C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，则（ ） A. 的对称轴为 B. 的最小正周期为 C. 的最大值为1，最小值为 D. 在上单调递减，在上单调递增 【答案】AD 【解析】 【分析】作出函数的图象，对于A，验算是否成立即可；对于B，由即可判断；对于CD，借助函数单调性，只需求出函数在上的最大值和最小值验算即可判断CD. 【详解】作出函数的图象如图中实线所示． 对于，由图可知，函数的图象关于直线对称， 对任意的， ， 所以函数的对称轴为，A正确； 对于，对任意的， 结合图象可知，函数为周期函数，且最小正周期为，故B错误； 对于C，由选项可知，函数的对称轴为，且该函数的最小正周期为， 要求函数的最大值和最小值，只需求出函数在上的最大值和最小值， 因为函数在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，， 因为， 所以，因此的最大值为，最小值为-1，故C错误； 对于，由C选项可知，函数在上单调递减，在上单调递增，正确， 故选：AD． 【点睛】关键点点睛：判断C选项的关键是求出函数在上的最大值和最小值即可，由此即可顺利得解. 10. 质点P和Q在以坐标原点O为圆心，半径为1的上逆时针做匀速圆周运动，同时出发．P的角速度大小为，起点为与x轴正半轴的交点；Q的角速度大小为，起点为射线与的交点．则当Q与P重合时，Q的坐标可以为（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】确定点Q的初始位置，由题意列出重合时刻t的表达式，进而可得Q点的坐标，通过赋值对比选项即可得解. 【详解】由题意，点Q的初始位置的坐标为，锐角， 设t时刻两点重合，则,即， 此时点， 即， 当时，，故A正确； 当时，，即，故B正确； 当时，，即，故D正确. 由三角函数的周期性可得，其余各点均与上述三点重合. 故选：ABD. 11. 已知平面平面，B，D是l上两点，直线且，直线且．下列结论中，错误的有（ ） A. 若，，且，则ABCD是平行四边形 B. 若M是AB中点，N是CD中点，则 C. 若，，，则CD在上的射影是BD D. 直线AB，CD所成角的大小与二面角的大小相等 【答案】ABD 【解析】 【分析】由空间中线线、线面及面面关系逐项判断即可得解. 【详解】对于A，由题意，AB，CD为异面直线，所以四边形ABCD为空间四边形，不能为平行四边形，故A错误； 对于B，取BC的中点H,连接HM,则HM是的中位线，所以， 因为HM与MN相交，所以MN与AC不平行，B错误； 对于C，若，所以由线面垂直的判定可得平面ABC，所以， 由结合面面垂直的性质可得，所以点C在平面内的投影为点D, 所以CD在平面内的投影为BD，故C正确； 对于D,由二面角的定义可得当且仅当时，直线AB，CD所成的角或其补角才为二面角的大小，故D错误. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 圆台上、下底面的圆周都在一个直径为10的球面上，其上、下底面半径分别为4和5，则该圆台的体积为______． 【答案】 【解析】 【分析】 由题意首先确定几何体的空间结构特征，求得圆台的高，然后利用圆台的体积公式即可求得其体积. 【详解】圆台的下底面半径为5，故下底面在外接球的大圆上， 如图所示，设球的球心为O，圆台上底面的圆心为， 则圆台的高， 据此可得圆台的体积：. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题考查圆台与球的切接问题，解题的关键在于确定下底面与球的关系，然后利用几何关系确定圆台的高度即可求得其体积. 13. 写出一个最小正周期为2的奇函数________． 【答案】 【解析】 【分析】 根据奇函数性质可考虑正弦型函数，，再利用周期计算，选择一个作答即可. 【详解】由最小正周期为2，可考虑三角函数中的正弦型函数，， 满足，即是奇函数； 根据最小正周期，可得. 故函数可以是中任一个，可取. 故答案为：. 14. 下图改编自李约瑟所著的《中国科学技术史》，用于说明元代数学家郭守敬在编制《授时历》时所做的天文计算．图中的，，，都是以O为圆心的圆弧，CMNK是为计算所做的矩形，其中M，N，K分别在线段OD，OB，OA上，，．如果记，，，，则___________(用和表示). 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用线面垂直的判定可得，再利用直角三角形边角关系求解即得. 【详解】由四边形是矩形，得，又， 平面，则平面，而， 则平面，又平面，则，， 由，，平面，则平面， 而，则平面，又平面，则， ，在中，， 在中，， 因此，所以. 【点睛】思路点睛：立体几何中的角的关系的计算，一般放置在直角三角形进行讨论，注意利用空间中的垂直关系实现不同面中的垂直关系的转化. 四、解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 声强级(单位:dB)由公式给出,其中I为声强(单位:). (1)一般正常人听觉能忍受的最高声强为,能听到的最低声强为.求人听觉的声强级范围. (2)平时常人交谈时的声强约为,求其声强级. 【答案】(1)(2) 【解析】 【分析】 (1)分别代入与求解即可. (2)代入求解即可. 【详解】解:(1). . 因此人听觉的声强级范围为. (2). 【点睛】本题主要考查了对数的实际运用,需要根据题意代入对应的数值进行计算,属于基础题. 16. 设，，求证： （1）； （2）； （3）. 【答案】（1）证明见详解；（2）证明见详解；（3）证明见详解． 【解析】 【分析】（1）根据指数幂的运算可证； （2）根据指数幂的运算可证； （3）根据指数幂的运算可证． 【详解】（1）； （2），又，； （3），又 ． 17. 对于函数f（x）＝a （1）探索函数f（x）的单调性； （2）是否存在实数a使函数f（x）为奇函数，若存在，求出a的取值；若不存在，说明理由？ 【答案】（1）不论a为何实数，f（x）总为增函数；（2）存在， 【解析】 【分析】（1）利用函数单调性的定义，作差，比较大小，定号即可判断； （2）利用函数奇偶性的定义，列出方程，即可求解. 【详解】（1）∵f（x）的定义域为R，设x1＜x2， 则＝a ， ∵x1＜x2，∴，， ∴＜0， 即f（x1）＜f（x2）， 所以不论a为何实数f（x）总为增函数. （2）假设存在实数a使f（x）为奇函数， ∴f（﹣x）＝﹣f（x） 即a， 解得：a＝1， 故存在实数a使f（x）为奇函数. 【点睛】本题考查利用函数单调性的判断，以及利用函数奇偶性求参数的值，属基础题. 18. 如图，在三棱锥P-ABC中，∠ACB=90°，PA⊥底面ABC. （1）求证：平面PAC⊥平面PBC； （2）若AC=BC=PA，M是PB的中点，求AM与平面PBC所成角的正切值； （3）在（2）的条件下，求平面PAB与平面PBC夹角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由面面垂直的判定定理求证； （2）建立空间直角坐标系，由求解； （3）由求解． 【小问1详解】 证明：因为，所以， 又平面平面，得， 而平面， 得平面， 因为平面，所以平面平面． 【小问2详解】 解：建立如图所示的空间直角坐标系， 不妨设，则， 得，， 设平面的一个法向量为：， 则，取，得， 设与平面所成角为， 则， 得，得， 则与平面所成角的正切值为： 【小问3详解】 解： 设平面的一个法向量为：， 则，取，得， 设平面与平面所成角为， 则， 得， 故平面与平面夹角的正弦值为： 19. 对称变换在对称数学中具有重要的研究意义．若一个平面图形K在m（旋转变换或反射变换）的作用下仍然与原图形重合，就称K具有对称性，并记m为K的一个对称变换．例如，正三角形R在（绕中心O作120°的旋转）的作用下仍然与R重合（如图1图2所示），所以是R的一个对称变换，考虑到变换前后R的三个顶点间的对应关系，记；又如，R在（关于对称轴所在直线的反射）的作用下仍然与R重合（如图1图3所示），所以也是R的一个对称变换，类似地，记．记正三角形R的所有对称变换构成集合S．一个非空集合G对于给定的代数运算.来说作成一个群，假如同时满足： I．，； II．，； Ⅲ．，，； Ⅳ．，，． 对于一个群G，称Ⅲ中的e为群G的单位元，称Ⅳ中的为a在群G中的逆元．一个群G的一个非空子集H叫做G的一个子群，假如H对于G的代数运算来说作成一个群． （1）直接写出集合S（用符号语言表示S中的元素）； （2）同一个对称变换的符号语言表达形式不唯一，如．对于集合S中的元素，定义一种新运算*，规则如下：，． ①证明集合S对于给定的代数运算*来说作成一个群； ②已知H是群G的一个子群，e，分别是G，H的单位元，，，分别是a在群G，群H中的逆元．猜想e，之间的关系以及，之间的关系，并给出证明； ③写出群S的所有子群． 【答案】（1） （2） ①Ⅰ.，，； Ⅱ.，，， ， 所以； Ⅲ. ， 而，所以； Ⅳ.， ； 综上可知，集合对于给定的新运算*来说能作成一个群. ②，，证明如下： 先证明：由于是的子群，取，则，， 根据群的定义，有，，所以， 所以，即， 即，所以. 再证明：由于，，， 所以，所以， 所以，所以. ③的所有子群如下： ， ，， ， 【解析】 【分析】（1）根据给定信息，按旋转变换、对称变换分别求出对应变换，再写出集合. （2）①根据群的定义条件，逐一验证即得；②按照群定义Ⅲ、Ⅳ分别推理计算即得；③写出的所有子群即可. 【小问1详解】 依题意，正三角形的对称变换如下：绕中心作的旋转变换； 绕中心作的旋转变换； 绕中心作的旋转变换； 关于对称轴所在直线的反射变换； 关于对称轴所在直线的反射变换； 关于对称轴所在直线的反射变换， 综上，.（形式不唯一） 【小问2详解】 略 【点睛】思路点睛：“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $