专题02 利用空间向量解决最值范围问题-【常考压轴题】2024-2025学年高二数学上学期压轴题攻略（人教A版2019选择性必修第一册）

专题02 利用空间向量解决最值范围问题 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 类型一、空间角的最值范围问题 2 类型二、空间距离的最值范围问题 2 类型三、面积、体积的最值范围问题 4 类型四、数量积的最值范围问题 5 压轴能力测评 6 一、立体几何中的最值范围问题解题思路 此类问题多以规则几何体为载体，涉及到几何体的结构特征以及空间线面关系的逻辑推理、空间角与距离的求解等，题目较为综合，解决此类问题一般可从三个方面思考： 一是函数法，即利用传统方法或空间向量的坐标运算，建立所求的目标函数，转化为函数的最值问题求解； 二是根据几何体的结构特征，变动态为静态，直观判断在什么情况下取得最值； 三是将几何体平面化，如利用展开图，在平面几何图中直观求解. 二、解决立体几何中的最值问题常用方法 1、建立函数法：很多情况下，我们都是把这类动态问题转化为目标函数，最终利用代数方法求目标函数的最值。解题途径很多，在函数建成后，可用一次函数的端点法；二次函数的配方法、公式法；有界函数界值法（如三角函数等）。 2、公理与定义法：通常以公理与定义作为依据，直接推理问题的最大值与最小值，一般的公理与定理有：两点之间以线段为最短；分居在两异面直线上的两点的连线段中，以它们的共垂线短等。如果利用函数关系求之比较困难，而运用两异面直线共垂线段最短则是解决问题的捷径。 3、解不等式法：在立体几何中同样可利用不等式的性质和一些变量的特殊不等关系求解。 如：、、最小角定理所建立的不等关系等。 4、展开图法：它可将几何体表面展开，也可将几何体内部的某些满足条件的部分面展开成平面，这样能使求解问题，变得十分只管，由难化易。 5、变量分析法：透过现象看本质，在几何体重的点、线、面，哪些在动，哪些不懂，要分析透彻，明白它们之间的相互关系，从而转化成求某些线段或角等一些量的求解最值问题的方法。 类型一、空间角的最值范围问题 例．（23-24高二上·重庆·期末）正三棱柱的所有棱长均相等，E，F分别是棱上的两个动点，且，则异面直线BE与AF夹角余弦的最大值为（    ） A．1 B． C． D． 【变式训练1】（23-24高二上·浙江杭州·月考）在中，，．若空间点满足，则直线与平面所成角的正切的最大值为 . 【变式训练2】（23-24高二下·江苏常州·月考）如图，已知点是圆台的上底面圆上的动点，在下底面圆上，，，，，则直线与平面所成角的正弦值的最大值为 . 【变式训练3】（23-24高二上·湖北武汉·月考）如图，在三棱柱中，底面是边长为2的等边三角形，，，分别是线段，的中点，在平面内的射影为.若点为线段上的动点（不包括端点），锐二面角余弦值的取值范围为 . 类型二、空间距离的最值范围问题 例．（23-24高二上·河北石家庄·月考）如图，在棱长为1的正方体中，，，若平面，则线段的长度的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式训练1】（22-23高二上·河南洛阳·月考）如图，在直三棱柱中，，已知与分别为和的中点， 与分别为线和上的动点（不包括端点），若 、则线段长度的取值范围为（    ） A．[) B．[ ] C．[) D．[] 【变式训练2】（23-24高二上·重庆开州·月考）棱长为的正方体中，分别是平面和平面内动点， ，则的最小值为 【变式训练3】（22-23高二上·湖南长沙·月考）已知四棱锥的底面是边长为2的正方形，是以AD为斜边的等腰直角三角形，平面PAD，E是线段PD上的动点（不含端点），若线段AB上存在点F（不含端点）、使得异面直线PA和EF所成的角的余弦值为，则线段AF长的取值范围是 . 类型三、面积、体积的最值范围问题 例．（23-24高二上·北京·期中）如图，正方体的棱长为2，点为底面的中心，点在侧面的边界及其内部运动.若，则面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【变式训练1】（22-23高二上·山东烟台·月考）如图，在四棱锥中，平面，，，，已知是四边形内部一点（包括边界），且二面角的平面角大小为，则面积的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式训练2】（23-24高二上·山东临沂·月考）如图，在四棱锥中，PA⊥平面ABCD，BCAD，，，已知Q是四边形ABCD内部一点，且平面QPD与平面APD的夹角为，则的面积的取值范围是 . 【变式训练3】（23-24高二上·河北承德·月考）如图，在棱长为1的正方体中，E，F分别是棱AB，BC上的动点，且． (1)求证：； (2)当三棱锥的体积取得最大值时，求平面与平面BEF的夹角的正弦值． 类型四、数量积的最值范围问题 例．（23-24高二上·广东珠海·月考）正方体的棱长为2，若动点在线段上运动，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式训练1】（23-24高二上·广东广州·月考）在长方体中，，，，，分别是棱，，的中点，是平面内一动点，若直线与平面平行，则的最小值为（    ） A． B．9 C． D． 【变式训练2】（23-24高二上·四川成都·期中）《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑．在如图所示的鳖臑中，平面，，，E是BC的中点，H是内的动点（含边界），且平面，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式训练3】（23-24高二上·江西·月考）中国古代数学瑰宝《九章算术》中记载了一种称为“刍童”的几何体，该几何体是上下两个底面平行，且均为矩形的六面体.现有一“刍童”，如图所示.，，，，，与的交点为，则的最大值为（    ） A． B．18 C． D．21 1．（23-24高二上·浙江杭州·月考）已知在正方体中，E，F分别为，的中点，点P在上运动，若异面直线，所成的角为，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·广东江门·期中）如图所示，在棱长为1的正方形中，点P是的中点，点M，N是矩形内（包括边界）的任意两点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·重庆万州·月考）（多选）在长方体中，，，E，F分别为，的中点，P是线段（不含端点）上的任意一点，下述说法正确的是（    ） A．存在点P，使直线与平面所成角取得最大值 B．存在点P，使直线与平面所成角取得最大值 C．存在点P，使平面与平面的夹角取得最大值 D．存在点P，使平面与平面的夹角取得最大值 4．（23-24高二上·湖北黄冈·月考）在直三棱柱中，，.已知和分别为和的中点，与分别为线段和上的动点（不包括端点）.若，则线段的长度的取值范围为 . 5．（23-24高二上·安徽·月考）在棱长为3的正方体中，点E满足，点F在平面内，则的最小值为 ． 6．（23-24高二上·山西大同·期中）在长方体中，分别是棱上的动点（不含端点），且，则三棱锥体积的取值范围是 . 7．（23-24高二上·安徽合肥·期中）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，侧面为等边三角形，顶点在底面上的射影在正方形外部，设点，分别为，的中点，连接，. (1)证明：平面； (2)若四棱锥的体积为，设点为棱上的一个动点（不含端点），求直线与平面所成角的正弦值的最大值. 8．（23-24高二上·山东潍坊·月考）如图，已知在几何体中，是边长为4的正三角形，，，，二面角的大小为，为线段的中点. (1)证明：平面； (2)点为线段上的动点（不包括端点），求平面与平面所成角的余弦值的最大值，并说明此时点的位置. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 利用空间向量解决最值范围问题 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 类型一、空间角的最值范围问题 2 类型二、空间距离的最值范围问题 6 类型三、面积、体积的最值范围问题 10 类型四、数量积的最值范围问题 15 压轴能力测评 19 一、立体几何中的最值范围问题解题思路 此类问题多以规则几何体为载体，涉及到几何体的结构特征以及空间线面关系的逻辑推理、空间角与距离的求解等，题目较为综合，解决此类问题一般可从三个方面思考： 一是函数法，即利用传统方法或空间向量的坐标运算，建立所求的目标函数，转化为函数的最值问题求解； 二是根据几何体的结构特征，变动态为静态，直观判断在什么情况下取得最值； 三是将几何体平面化，如利用展开图，在平面几何图中直观求解. 二、解决立体几何中的最值问题常用方法 1、建立函数法：很多情况下，我们都是把这类动态问题转化为目标函数，最终利用代数方法求目标函数的最值。解题途径很多，在函数建成后，可用一次函数的端点法；二次函数的配方法、公式法；有界函数界值法（如三角函数等）。 2、公理与定义法：通常以公理与定义作为依据，直接推理问题的最大值与最小值，一般的公理与定理有：两点之间以线段为最短；分居在两异面直线上的两点的连线段中，以它们的共垂线短等。如果利用函数关系求之比较困难，而运用两异面直线共垂线段最短则是解决问题的捷径。 3、解不等式法：在立体几何中同样可利用不等式的性质和一些变量的特殊不等关系求解。 如：、、最小角定理所建立的不等关系等。 4、展开图法：它可将几何体表面展开，也可将几何体内部的某些满足条件的部分面展开成平面，这样能使求解问题，变得十分只管，由难化易。 5、变量分析法：透过现象看本质，在几何体重的点、线、面，哪些在动，哪些不懂，要分析透彻，明白它们之间的相互关系，从而转化成求某些线段或角等一些量的求解最值问题的方法。 类型一、空间角的最值范围问题 例．（23-24高二上·重庆·期末）正三棱柱的所有棱长均相等，E，F分别是棱上的两个动点，且，则异面直线BE与AF夹角余弦的最大值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【解析】设， 以A为原点，方向分别为x，z轴正方向建立空间直角坐标系， 可得，， 故所求角的余弦值为，当时取“”．故选：D 【变式训练1】（23-24高二上·浙江杭州·月考）在中，，．若空间点满足，则直线与平面所成角的正切的最大值为 . 【答案】 【解析】点作与点，过点作与点， 设，则， 又，则， 则点在以为旋转轴，底面圆半径为的圆柱上， 如图所示：以所在平面为，建立空间直角坐标， 则平面的法向量为：， ，设，则， 记直线与平面所成角为， 则， 因为，所以， 令，则， 则，， 又，在上单调递减.在上单调递增，则， 所以，当且仅当，即时，等号成立， 又，所以直线与平面所成角的最大值为， 此时.故答案为： 【变式训练2】（23-24高二下·江苏常州·月考）如图，已知点是圆台的上底面圆上的动点，在下底面圆上，，，，，则直线与平面所成角的正弦值的最大值为 . 【答案】 【解析】连接，过点作垂直于的延长线于点，以为坐标原点， 建立空间直角坐标系如下所示： 在三角形中，因为， 故， 则， 则，， 故点，又，，， 设点，，由，可得， ，， 设平面的法向量， 则，即，取，则， 故平面的法向量， 又，设直线与平面所成角为，， 则， 因为，且， 故令，，， 则，，， 又，所以， ，即， 所以的最大值为. 故答案为：. 【变式训练3】（23-24高二上·湖北武汉·月考）如图，在三棱柱中，底面是边长为2的等边三角形，，，分别是线段，的中点，在平面内的射影为.若点为线段上的动点（不包括端点），锐二面角余弦值的取值范围为 . 【答案】 【解析】连接，因为在平面内的射影为， 所以垂直于平面内这两条线段， 又因为底面是边长为2的等边三角形，是线段中点，所以， 因此建立如图所示的空间直角坐标系， ， 设，， 则， 设平面的法向量为， 因此有， 设平面的法向量为， 因此有， 所以， 令， 所以， 设， 则, 二次函数的开口向上，对称轴为， 所以当时，该二次函数单调递增， 所以当时，该二次函数有最小值， 当时，该二次函数有最大值， 所以，即， 故答案为： 类型二、空间距离的最值范围问题 例．（23-24高二上·河北石家庄·月考）如图，在棱长为1的正方体中，，，若平面，则线段的长度的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】如图，以点为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系. 则有, 依题意，， , 于是，. 又因平面，平面,则, 又,平面，故平面, 故平面的法向量可取为， 因平面，故，即. 则， 因，故当时，.故选：D. 【变式训练1】（22-23高二上·河南洛阳·月考）如图，在直三棱柱中，，已知与分别为和的中点， 与分别为线和上的动点（不包括端点），若 、则线段长度的取值范围为（    ） A．[) B．[ ] C．[) D．[] 【答案】A 【解析】建立如图所示的空间直角坐标系， 则，设点坐标为，， 故，因为， 故可得，则，由可得， 又，故, 故当时，取得最小值； 又当时，，但无法取到，则无法取到； 综上，线段DF长度的取值范围为.故选：A 【变式训练2】（23-24高二上·重庆开州·月考）棱长为的正方体中，分别是平面和平面内动点， ，则的最小值为 【答案】/ 【解析】如图，取点关于平面的对称点， 设点到平面的距离为，则，， 以为坐标原点，以为轴，为轴，为轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 因为，则点是线段靠近的三等分点， 又正方体棱长为， 则， 则，且， 设平面的法向量为， 则，取，则，则， 则点到平面的距离. 【变式训练3】（22-23高二上·湖南长沙·月考）已知四棱锥的底面是边长为2的正方形，是以AD为斜边的等腰直角三角形，平面PAD，E是线段PD上的动点（不含端点），若线段AB上存在点F（不含端点）、使得异面直线PA和EF所成的角的余弦值为，则线段AF长的取值范围是 . 【答案】 【解析】设O是AD的中点，则，由于平面PAD，平面PAD， 所以，由于，平面ABCD， 所以平面ABCD，由于平面PAD，所以平面平面ABCD， 以D为原点建立如图所示空间直角坐标系， ，，， 设，；设，， 则，设PA与EF所成角为， ， 整理得，函数的开口向下，对称轴为， 所以函数在上递增，所以， 而，，所以，解得. 所以AF的取值范围是. 故答案为：. 类型三、面积、体积的最值范围问题 例．（23-24高二上·北京·期中）如图，正方体的棱长为2，点为底面的中心，点在侧面的边界及其内部运动.若，则面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】以点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，， 设，其中，所以，， 因为，所以，所以， 由可得，所以， 则， 当时，取得最大值， 所以.故选：C 【变式训练1】（22-23高二上·山东烟台·月考）如图，在四棱锥中，平面，，，，已知是四边形内部一点（包括边界），且二面角的平面角大小为，则面积的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】如图以A为坐标原点建立空间直角坐标系， 由二面角的平面角大小为30°，可知Q的轨迹是过点D的一条直线， 又Q是四边形ABCD内部一点（包括边界）， 则Q的轨迹是过点D的一条线段， 设Q的轨迹与y轴的交点坐标为， 由题意可知，，， 所以，，， 易知平面APD的一个法向量为， 设平面PDG的法向量为， 则，即，令，得，， 所以是平面PDG的一个法向量， 则二面角的平面角的余弦值为， 解得或（舍去），所以Q在DG上运动， 所以面积的取值范围为．故选：A． 【变式训练2】（23-24高二上·山东临沂·月考）如图，在四棱锥中，PA⊥平面ABCD，BCAD，，，已知Q是四边形ABCD内部一点，且平面QPD与平面APD的夹角为，则的面积的取值范围是 . 【答案】 【解析】平面，，以点为坐标原点， 、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、、， 设点，其中，， 设平面的法向量为，，， 则，取，可得， 易知平面的一个法向量为， 由已知条件可得， 所以，，即， 直线上的点满足，联立，解得， 联立，解得， 所以，点的纵坐标的取值范围为， 易知点不在线段上，则， 所以，. 【变式训练3】（23-24高二上·河北承德·月考）如图，在棱长为1的正方体中，E，F分别是棱AB，BC上的动点，且． (1)求证：； (2)当三棱锥的体积取得最大值时，求平面与平面BEF的夹角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析；(2) 【解析】（1）、、两两垂直， 以为原点，、、为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 则，，，，，，，， 由于，设，则，其中， 则， 所以，， 则，故． （2）要使三棱锥的体积取得最大值，只要的面积最大即可， 由题意知， 当时，即E，F分别为AB，BC中点时的面积最大， 则，，设平面的法向量为， 又，， 则， 令得， 又正方体中平面， 所以为平面的一个法向量， 所以， 则， 所以平面与平面的夹角的正弦值为． 类型四、数量积的最值范围问题 例．（23-24高二上·广东珠海·月考）正方体的棱长为2，若动点在线段上运动，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】以为原点，以，，所在的直线为轴、轴和轴，建立空间直角坐标系， 如图所示，则，，，，， 可得，，， 因为点在线段上运动，设，且， 所以，可得， 又因为，所以，即.故选：A． 【变式训练1】（23-24高二上·广东广州·月考）在长方体中，，，，，分别是棱，，的中点，是平面内一动点，若直线与平面平行，则的最小值为（    ） A． B．9 C． D． 【答案】C 【解析】如图，分别以、、方向为、、轴建立空间直角坐标系可得： ，，，，，， ，，， 设平面的法向量，则，得， 故可设，，，即. 由于直线与平面平行，则， 得：，即：，，. ， ， 可知，由于，当时，取得最小值，最小值为.故选：C 【变式训练2】（23-24高二上·四川成都·期中）《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑．在如图所示的鳖臑中，平面，，，E是BC的中点，H是内的动点（含边界），且平面，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设F，G分别为AB，BD的中点，连接FG，EF，EG，如图， 易得，，， 因为平面，平面，所以平面， 同理平面， 又因为平面，，所以平面平面. 因为平面，所以H为线段FG上的点. 由平面，平面，得， 又，则， 由平面，得平面， 因为，所以平面，，. 因为， 所以，，. 所以 . 因为，所以.故选：B. 【变式训练3】（23-24高二上·江西·月考）中国古代数学瑰宝《九章算术》中记载了一种称为“刍童”的几何体，该几何体是上下两个底面平行，且均为矩形的六面体.现有一“刍童”，如图所示.，，，，，与的交点为，则的最大值为（    ） A． B．18 C． D．21 【答案】C 【解析】设，则， 由题意得，. 所以， ， 当时.取得最大值，且最大值为.故选：C 1．（23-24高二上·浙江杭州·月考）已知在正方体中，E，F分别为，的中点，点P在上运动，若异面直线，所成的角为，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】以D为原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系， 设，则，，， 设，则， 所以． 令，则，因为，所以． 当时，； 当时，， 因为，所以当，即时，取得最大值，最大值为．故选：B 2．（23-24高二上·广东江门·期中）如图所示，在棱长为1的正方形中，点P是的中点，点M，N是矩形内（包括边界）的任意两点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设正方体的中心为O，连接OP，OM，ON． 由正方体的性质可知，，， 那么， 又，所以. 当与反向，且时，有最小值，此时； 当与同向，且时，有最大值，此时， 即的取值范围为．故选：B 3．（23-24高二上·重庆万州·月考）（多选）在长方体中，，，E，F分别为，的中点，P是线段（不含端点）上的任意一点，下述说法正确的是（    ） A．存在点P，使直线与平面所成角取得最大值 B．存在点P，使直线与平面所成角取得最大值 C．存在点P，使平面与平面的夹角取得最大值 D．存在点P，使平面与平面的夹角取得最大值 【答案】ACD 【解析】以为坐标原点，以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，，， 设，， 则，，，， ，， 取平面的一个法向量为， 设平面的法向量为， 则，，取， 设平面的法向量为， 则，取， 设平面的法向量为， 则，取， 对于A：设直线与平面所成角为， 则， 时，函数单调递增， 时，函数单调递减， ∴当时，即P是中点的时候，取最大值，故A正确. 对于B：设直线与平面所成角为， 则， ∵时，函数单调递减，没有最大值，故B错误. 对于C：设平面与平面的夹角为， 则 下面研究函数在上的单调性； 令，， ， ， ， 则， ∴，， ，在递减，在递增，且， 又在时递增， 故由复合函数单调性判断原理可知， 在递减，在递增， 则在时取最小值，此时最大， 即平面与平面的夹角取到了最大值，故C正确. 对于D：设平面与平面的夹角为， 则，即， 故平面与平面的夹角的最大值即为，故D正确.故选：ACD. 4．（23-24高二上·湖北黄冈·月考）在直三棱柱中，，.已知和分别为和的中点，与分别为线段和上的动点（不包括端点）.若，则线段的长度的取值范围为 . 【答案】 【解析】在直三棱柱中，， 以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、，设点、，其中，， ，， 由，则，所以，， 由，可得， 所以，. 故答案为：. 5．（23-24高二上·安徽·月考）在棱长为3的正方体中，点E满足，点F在平面内，则的最小值为 ． 【答案】 【解析】如图所示，建立空间直角坐标系，棱长为3，， 所以，，，，， 设直线与平面的交点为，由正方体性质可知， ，，平面，平面， 所以平面，所以在平面的投影为，且， 则关于平面的对称点即点关于的对称点， 设为G，则为， 所以的最小值为，为. 故答案为：. 6．（23-24高二上·山西大同·期中）在长方体中，分别是棱上的动点（不含端点），且，则三棱锥体积的取值范围是 . 【答案】 【解析】法一：以为原点，分别以直线为轴建立空间直角坐标系. 如图所示，    设，而， 则， 设平面的一个法向量为， 则，令，则 所以平面的一个法向量为， 点到平面的距离 因为 设中的边上的高为， 则 所以（）， 所以三棱锥的体积的取值范围是，故答案为： 法二：设，延长到，使得， 则，，则，于是， 而长方体的对角面是矩形，则有， 又平面，平面，于是平面， 所以到平面的距离等于到平面的距离， 由等体积法可知， 又， 故，所以， 故答案为： 7．（23-24高二上·安徽合肥·期中）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，侧面为等边三角形，顶点在底面上的射影在正方形外部，设点，分别为，的中点，连接，. (1)证明：平面； (2)若四棱锥的体积为，设点为棱上的一个动点（不含端点），求直线与平面所成角的正弦值的最大值. 【答案】(1)证明见解析；(2). 【解析】（1）取的中点，连接，，如图， 由为的中点，得，而平面，平面，则平面， 又，且，即四边形为平行四边形，则， 又平面，平面，于是平面， 显然，平面，因此平面平面，又平面， 所以平面. （2）连接，设该四棱锥的高为，则体积为，， 连接，则，平面， 于是平面，而平面，则平面平面， 在平面内过作，而平面平面，从而平面， 显然两两垂直，以点为坐标原点， 直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，，，，，， 则，，，设， 则，点，， 设平面的一个法向量为，则，取，得， 设直线与平面所成的角为，则 ， 令，则，且， 因此， 所以当，即时，取得最大值，且最大值为. 8．（23-24高二上·山东潍坊·月考）如图，已知在几何体中，是边长为4的正三角形，，，，二面角的大小为，为线段的中点. (1)证明：平面； (2)点为线段上的动点（不包括端点），求平面与平面所成角的余弦值的最大值，并说明此时点的位置. 【答案】(1)证明见解析；(2)平面与平面所成角的余弦值的最大值为，此时 【解析】（1）因为， 由余弦定理得，同理可得， 取线段的中点，连接， 所以，，，所以， 所以，为二面角的平面角，即， 易知点共面，所以， 又因为，所以， 所以四边形是平行四边形，所以， 又因为平面，平面，所以平面. （2）取线段的中点，连接， 所以， 又，，，平面，所以平面， 以点为坐标原点，以方向分别为轴，轴，轴的正方向 建立如图所示的空间直角坐标系， 所以， ， 设平面的一个法向量为， 所以令，则， 又因为， 设， 又因为， 所以 设平面的一个法向量为， 则令，则， 所以， 设平面与平面所成角为，则， 令， 则， 当且仅当，即时等号成立， 所以平面与平面所成角的余弦值的最大值为，此时 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$