第08讲 圆周角（3大考点6题型）-【帮课堂】2024-2025学年九年级数学上册同步学与练（苏科版）

第08讲 圆周角 课程标准 学习目标 1 理解圆周角的概念； 2 掌握圆周角定理及其推论； 3 能运用圆周角定理及其推论进行计算和证明。 1. 清晰理解圆周角的定义和特点； 2. 熟练掌握圆周角定理及其推论，并能准确应用； 3. 提升运用圆周角知识解决几何问题的能力。 知识点一、圆周角的概念 顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角. 1.圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交； 2.圆周角与圆心角的异同 （1）圆周角顶点在圆周上，圆心角顶点在圆心处； （2）在同圆中，一条弧所对的圆周角可以有无数个，而一条弧所对的圆心角仅有一个； （3）圆周角与圆心角的共同点：两边都和圆相交. 知识点二、圆周角定理及圆周角定理的推论 1.圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半； 2.同弧或等弧所对的圆周角相等； 3.在同一个圆中，同弦所对的圆周角相等或互补； 4.直径所对的圆周角是直角，90°所对的弦是直径； 5.相等的圆周角所对的弧相等. 知识点三、圆内接四边形及圆内接四边形的性质 1.圆内接四边形：如果一个四边形的4个顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接四边形，这个圆叫做这个四边形的外接圆； 2.圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补； 3.圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）. 题型01 识别圆周角 1．下列图形中的∠ABC是圆周角的是（　　） A． B． C． D． 【分析】由圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角，即可求得答案． 【解答】解：由圆周角的定义可知，A、B、D中的∠ABC都不是圆周角，C中的∠ABC是圆周角， 故选：C． 【点评】此题考查了圆周角定义，此题比较简单，解题的关键是理解圆周角的定义． 2．如图，在图中标出的∠1∼∠5这5个角中，所对的圆周角是（　　） A．∠5 B．∠1和∠2 C．∠3和∠4 D．∠1和∠3 【分析】根据圆周角的定义逐个选项判断即可解答． 【解答】解：∠1是所对的圆周角， ∠2是所对的圆周角， ∠3是所对的圆周角， ∠4是所对的圆周角， ∠5不是圆周角， 故选：C． 【点评】本题考查了圆周角的定义，熟记定义“顶点在圆上，两边和圆相交的角叫圆周角”是解题的关键． 3．下列图形中，∠BAC是圆周角的是（　　） A． B． C． D． 【分析】由圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角，即可求得答案． 【解答】解：根据圆周角定义：可得∠BAC是圆周角的有：B，不是圆周角的有：A，C，D． 故选：B． 【点评】此题考查了圆周角定义．此题比较简单，解题的关键是理解圆周角的定义． 4．下列图形中的角是圆周角的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据圆周角的定义判断即可． 【解答】解：根据圆周角的定义可知，选项A中的角是圆周角． 故选：A． 【点评】本题考查圆周角的定义，解题的关键是理解圆周角的定义，属于中考基础题． 题型02 利用圆周角定理求角度 1．如图，∠A是⊙O的圆周角，∠OBC＝55°，则∠A＝（　　） A．35° B．45° C．55° D．70° 【分析】根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出∠BOC的度数，根据圆周角定理计算即可． 【解答】解：∵OB＝OC，∠OBC＝55°， ∴∠OCB＝55°， ∴∠BOC＝180°﹣55°﹣55°＝70°， 由圆周角定理得，∠A∠BOC＝35°， 故选：A． 【点评】本题考查的是圆周角定理的应用和等腰三角形的性质的应用，掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键． 2．如图，在⊙O中，弧AB所对的圆周角∠ACB＝55°．若D为弧AB上一点，∠AOD＝75°，OD∥CB，则∠OAC的度数为（　　） A．19° B．20° C．21° D．22° 【分析】延长DO交AC于点E，根据平行线的性质得出∠CED＝180°﹣∠ACB＝125°，根据邻补角得出∠EOA＝105°，根据三角形的外角的性质，即可求解． 【解答】解：如图所示，延长DO交AC于点E， ∵∠ACB＝55°，OD∥CB ∴∠CED＝180°﹣∠ACB＝125°， ∵∠AOD＝75°， ∵∠EOA＝105°， ∴∠CAO＝∠CED﹣∠AEO＝125°﹣105°＝20°， 故选：B． 【点评】本题考查了圆周角，平行线的性质，三角形的外角的性质，掌握平行线的性质和圆周角是关键． 3．如图，BC是⊙O的弦，连接OB，OC，∠A是所对的圆周角，则∠A与∠OBC的和的度数是 　　． 【分析】根据同弧所对圆周角与圆心角的关系，再结合三角形的内角和定理即可解决问题． 【解答】解：∵∠A是所对的圆周角， ∴∠A． ∵OB＝OC， ∴∠OBC＝∠OCB． 又∵∠O+∠OBC+∠OCB＝180°， ∴∠O+2∠OBC＝180°， ∴， 即∠A+∠OBC＝90°． 故答案为：90°． 【点评】本题主要考查了圆周角定理，熟知圆周角定理是解题的关键． 4．如图，AB是⊙O的弦，∠OAB＝20°，求弦AB所对的圆周角的度数． 【分析】首先根据AO＝BO，可得∠OBA＝∠OAB＝20°，然后根据三角形的内角和定理，判断出∠AOB＝180°﹣20°﹣20°＝140°，最后根据圆周角定理，判断出弦AB所对的圆周角是多少即可． 【解答】解：∵AO＝BO， ∴∠OBA＝∠OAB＝20°， ∴∠AOB＝180°﹣20°﹣20°＝140°， ∴弦AB所对的圆周角的度数是：140°÷2＝70°； ∵弦AB所对的优弧的度数为：360°﹣140°＝220°， ∴弦AB所对的圆周角的度数是：220°÷2＝110°； 综上，可得 弦AB所对的圆周角的度数是70°或110°． 【点评】（1）此题主要考查了圆周角定理的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． （2）此题还考查了三角形的内角和定理，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：三角形的内角和是180°． 题型03 利用圆周角定理求长度 1．如图，在⊙O中，弦AB＝3，圆周角∠ACB＝30°，则⊙O的半径等于（　　） A．1.5 B．3 C．4.5 D．6 【分析】连接OA，OB，根据圆周角定理，可求得∠AOB＝60°，结合OA＝OB，可证得△AOB为等边三角形． 【解答】解：如图所示，连接OA，OB． 根据题意可知，线段OA即为⊙O的半径． ∵∠ACB＝30°， ∴∠AOB＝2∠ACB＝60°． ∵OA＝OB， ∴△AOB为等边三角形． ∴OA＝AB＝3． 故选：B． 【点评】本题主要考查圆周角定理、等边三角形的判定及性质，牢记圆周角定理（一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半）是解题的关键． 2．如图所示，已知⊙O中，弦AB的长为10cm，测得圆周角∠ACB＝45°，则直径AD为（　　） A．5cm B．10cm C．15cm D．20cm 【分析】连接BD，如图，根据圆周角定理得到∠ABD＝90°，∠ADB＝∠ACB＝45°，然后根据等腰直角三角形的性质求AD的长． 【解答】解：连接BD，如图， ∵AD为直径， ∴∠ABD＝90°， ∵∠ADB＝∠ACB＝45°， ∴△ABD为等腰直角三角形， ∴ADAB， ∵AB的长为10cm， ∴AD＝10（cm）， 故选：B． 【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．半圆（或直径）所对的圆周角是直角，直径所对的圆周角是90°． 3．如图，⊙O的半径为，圆周角∠BAC＝135°，求BC的长． 【分析】作BC所对的圆周角∠P，连接OB、OC，如图，利用圆内接四边形的性质得∠P＝45°，再根据圆周角定理得到∠BOC+2∠P＝90°，则可判断△OBC为等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的性质求解． 【解答】解：作BC所对的圆周角∠P，连接OB、OC，如图， ∵∠P+∠A＝180°， ∴∠P＝180°﹣135°＝45°， ∴∠BOC+2∠P＝90°， 而OB＝OC， ∴△OBC为等腰直角三角形， ∴BCOB2． 【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径． 4．一个圆形人工湖示意图如图所示，弦AB是湖上的一座桥．已知AB长为100m，圆周角∠C＝45°，求这个人工湖半径OA的长． 【分析】连接OB．证明△AOB是等腰直角三角形即可解决问题． 【解答】解：连接OB． ∵∠AOB＝2∠ACB＝90°，OA＝OB， ∴△AOB是等腰直角三角形， ∴AOAB＝50（m）． 【点评】本题考查圆周角定理，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题． 题型04 直径（半圆）所对的圆周角是直角 1．如图，四边形ABCD内接于⊙O，BC是⊙O的直径，连接AC，若∠ADC＝150°，AC＝4，则⊙O的半径长为（　　） A．2 B．6 C．4 D．8 【分析】根据圆周角定理得到∠BAC＝90°，根据圆内接四边形的性质求出∠ABC＝30°，根据含30°角的直角三角形的性质解答即可． 【解答】解：∵BC是⊙O的直径， ∴∠BAC＝90°， ∵四边形ABCD内接于⊙O， ∴∠ADC∠ABC＝180°， ∵∠ADC＝150°， ∴∠ABC＝30°， ∴BC＝2AC＝2×4＝8， ∴⊙O的半径长为4， 故选：C． 【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，熟记圆内接四边形的对角互补是解题的关键． 2．如图，BD是⊙O的直径，点A和点C都在⊙O上，若∠CBD＝50°，则∠CAB的度数是（　　） A．50° B．40° C．70° D．60° 【分析】先根据直径所对的圆周角是直角可得∠BCD＝90°，然后利用直角三角形的两个锐角互余可得∠CDB＝40°，从而利用同弧所对的圆周角相等可得∠CAB＝∠CDB＝40°，即可解答． 【解答】解：∵BD是⊙O的直径， ∴∠BCD＝90°， ∵∠CBD＝50°， ∴∠CDB＝90°﹣∠CBD＝40°， ∴∠CAB＝∠CDB＝40°， 故选：B． 【点评】本题考查了圆周角定理，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． 3．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，连接AD、BC、BD．若∠BCD＝20°，则∠ABD＝　　°． 【分析】先利用圆周角定理得出∠BAD的度数，再根据AB为圆的直径，得出∠ADB的度数，据此可求出∠ABD的度数． 【解答】解：∵， ∴∠BAD＝∠BCD＝20°． ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°， ∴∠ABD＝90°﹣20°＝70°． 故答案为：70°． 【点评】本题主要考查了圆周角定理，熟知圆周角定理是解题的关键． 4．如图，AB是⊙O的直径，∠C＝15°，求∠BAD的度数． 【分析】连接BD，如图，根据圆周角定理得到∠ADB＝90°，∠B＝∠C＝15°，然后利用互余计算∠BAD的度数． 【解答】解：连接BD，如图， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°， ∵∠B＝∠C＝15°， ∴∠BAD＝90°﹣15°＝75°． 【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径． 题型05 90°圆周角所对的弦是直径 1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以斜边AB上的中线CD为直径作⊙O，与AC、BC分别交于点M、N，与AB的另一个交点为E．过点N作NF⊥AB，垂足为F．若AC＝6，BC＝8，则NF＝　　． 【分析】连接CE、DN、MN，由∠ACB＝90°得MN是直径，根据直角三角形的性质得到MN＝CD＝DBAB＝5，推出CN＝BN，可得NF是△BCE的中位线，即可求解． 【解答】解：连接CE、DN、MN， ∵∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8， ∴MN是直径，AB10， ∴∠CED＝∠AND＝90°，CE， ∴CE⊥AB，DN⊥BC， ∵NF⊥AB， ∴CE∥NF， ∵以斜边AB上的中线CD为直径作⊙O， ∴MN＝CD＝DBAB＝5， ∴CN＝BN， ∵CE∥NF， ∴NF是△BCE的中位线， ∴NFCE． 故答案为：． 【点评】本题考查了圆周角定理，直角三角形的性质，三角形中位线定理，正确的作出辅助线是解题的关键． 2．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BAD＝90°，BC＝CD，过点C作CE，使得CD＝CE，交AD的延长线于点E． （1）求证：AB＝AE． （2）若AD＝DE＝2，求CD的长． 【分析】（1）根据圆的性质求出∠BAC＝∠EAC，根据等腰三角形的性质、圆内接四边形的性质及邻补角定义求出∠B＝∠E，利用AAS证明△ABC≌△AEC，根据全等三角形的性质即可得解； （2）根据圆周角定理求出BD是⊙O的直径，则∠BCD＝90°，再根据勾股定理求解即可． 【解答】（1）证明：如图，连接AC． ∵BC＝CD， ∴， ∴∠BAC＝∠EAC， ∵CD＝CE， ∴∠E＝∠CDE，BC＝CE， ∵∠B+∠ADC＝180°，∠CDE+∠ADC＝180°， ∴∠B＝∠CDE， ∴∠B＝∠E， 在△ABC与△AEC中， ， ∴△ABC≌△AEC（AAS）， ∴AB＝AE； （2）解：如图，连接BD． ∵∠BAD＝90°， ∴BD是⊙O的直径， ∴∠BCD＝90°， 由（1）可得AB＝AE． ∵AD＝DE＝2， ∴AE＝AB＝4． 在 Rt△ABD 中，， 在Rt△BCD中，． 【点评】此题考查了圆内接四边形的性质、全等三角形的判定与性质，作出合理的辅助线构建全等三角形是解题的关键． 3．如图，四边形ABCD内接于⊙O，分别延长BC，AD，使它们相交于点E，AB＝8，且DC＝DE． （1）求证：∠A＝∠AEB． （2）若∠EDC＝90°，点C为BE的中点，求⊙O的半径． 【分析】（1）根据圆内接四边形的对角互补可得∠A+∠BCD＝180°，再由邻补角互补可得∠BCD+∠DCE＝180°，根据同角的补角相等可得∠A＝∠DCE，再根据等边对等角可得∠E＝∠DCE，再根据等量代换可得∠A＝∠AEB． （2）连接AC，根据直角所对的弦是直径得出AC为⊙O的直径，根据勾股定理求出AC，即可求解． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD内接于⊙O， ∴∠A+∠BCD＝180°， ∵∠BCD+∠DCE＝180°， ∴∠A＝∠DCE， ∵DC＝DE ∴∠E＝∠DCE， ∴∠A＝∠AEB； （2）解：如图，连接AC， ∵∠EDC＝90°， ∴AC是⊙O的直径， ∴∠ABC＝90°， ∵∠A＝∠AEB ∴AB＝BE ∵AB＝8， ∴BE＝8， ∵点C为BE的中点， ∴， 在Rt△ABC中，， ∴⊙O的半径为． 【点评】本题考查圆内接四边形的性质，直角所对的弦是直径，勾股定理，掌握以上知识是解题关键． 题型06 圆内接四边形 1．如图，四边形ABCD内接于⊙O，已知∠ADC＝140°，则∠ABC的大小是（　　） A．80° B．100° C．60° D．40° 【分析】根据圆内接四边形的对角互补计算即可． 【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O， ∴∠ADC+∠ABC＝180°， ∵∠ADC＝140°， ∴∠ABC＝180°﹣140°＝40°， 故选：D． 【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质，熟记圆内接四边形的对角互补是解题的关键． 2．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，连接OA、OC，若∠AOC＝88°，则∠ABC的度数是（　　） A．122° B．128° C．132° D．136° 【分析】先由圆周角定理得到，再由圆内接四边形对角互补可得∠ABC＝180°﹣∠ADC＝136°． 【解答】解；∵∠AOC＝88°， ∴， ∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形， ∴∠ABC＝180°﹣∠ADC＝136°， 故选：D． 【点评】本题主要考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，掌握圆周角定理是关键． 3．如图，点A、B、C、D都在圆O上，顺次连接AB、BC、CD、DA，若∠C＝120°，则∠A＝　度． 【分析】根据圆内接四边形的对角互补计算即可． 【解答】解：∵四边形ABCD为圆O的内接四边形， ∴∠C+∠A＝180°， ∵∠C＝120°， ∴∠A＝180°﹣120°＝60°， 故答案为：60． 【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质，熟记圆内接四边形的对角互补是解题的关键． 4．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BE是⊙O的直径，连接CE，若∠BAD＝105°，则∠DCE＝　　°． 【分析】根据圆内接四边形的性质求出∠DCB，根据圆周角定理得到∠BCE＝90°，进而求出∠DCE． 【解答】解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形， ∴∠BAD+∠DCB＝180°， ∵∠BAD＝105°， ∴∠DCB＝180°﹣105°＝75°， ∵BE是⊙O的直径， ∴∠BCE＝90°， ∴∠DCE＝90°﹣75°＝15°， 故答案为：15． 【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，熟记圆内接四边形的对角互补是解题的关键． 1．如图，AB是⊙O的弦，CD是⊙O的直径，CD⊥AB于点E．在下列结论中，不一定成立的是（　　） A．AE＝BE B．∠CBD＝90° C．∠OBD＝∠ABC D．∠COB＝∠C 【分析】根据垂径定理、圆周角定理判断求解即可． 【解答】解：∵CD是⊙O的直径，CD⊥AB， ∴AE＝BE，∠CBD＝90°，∠OBD＝∠ABC（等角的余角相等），∠CBO＝∠C， 故A、B、C不符合题意，D符合题意； 故选：D． 【点评】此题考查了圆周角定理、垂径定理，熟练掌握圆周角定理、垂径定理是解题的关键． 2．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BC＝CD，∠C＝120°，∠D＝80°，则∠AOB的度数为（　　） A．100° B．115° C．120° D．135° 【分析】连接BD，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出∠CDB＝∠CBD＝30°，求出∠ADB，再根据圆周角定理得出∠AOB＝2∠ADB即可． 【解答】解：连接BD， ∵∠C＝120°，BC＝DC， ∴∠CDB＝∠CBD（180°﹣∠C）＝30°， ∵∠ADC＝80°， ∴∠ADB＝∠ADC﹣∠CDB＝80°﹣30°＝50°， ∴∠AOB＝2∠ADB＝100°， 故选：A． 【点评】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质和三角形内角和定理等知识点，能求出∠ADB的度数是解此题的关键． 3．如图，EF、CD是⊙O的两条直径，A是劣弧的中点，若∠EOD＝32°，则∠CDA的度数是（　　） A．37° B．74° C．53° D．63° 【分析】首先根据“同弧或等弧所对的弦长相等，对的圆心角也相等”求得∠DOA＝74°，再根据等腰三角形“等边对等角”的性质求解即可． 【解答】解：如下图，连接OA， ∵A是劣弧的中点， 即弧DA＝弧FA， ∴∠DOA＝∠FOA， ∵∠EOD＝32°， ∴， ∵OD＝OA， ∴， 即∠CDA＝53°． 故选：C． 【点评】本题主要考查了弧与圆心角的关系、等腰三角形的性质、三角形内角和定理等知识，熟练掌握相关知识并灵活运用是解题关键． 4．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC为⊙O的直径，D为弧AC的中点，过点D作DE⊥BC于点E，若BECE，则∠BAD等于（　　） A．100° B．120° C．135° D．150° 【分析】连接BD，先由圆周角定理及“等弧对等弦”证得∠CAD＝45°，再由“同弧上的圆周角相等”证得∠DBE＝45°，结合∠BED＝90°可推得DE＝BE，得出，则∠DCE＝60°，再根据四边形内角和定理可得∠BAD的大小． 【解答】解：如图，连接BD． ∵AC为⊙O的直径，D为弧AC的中点， ∴∠ADC＝90°，AD＝CD， ∴∠DAC＝∠ACD＝45°． ∴∠DBC＝∠DAC＝45°， ∵DE⊥BC，则∠BED＝90°， ∴△BDE是等腰直角三角形，又 ∴， 在Rt△CDE中，， ∴∠DCE＝60°． ∴∠BAD＝180°﹣∠DCE ＝120°． 故选：B． 【点评】本题考查了圆周角定理、等弧对等弦、等腰三角形的判定与性质、锐角三角函数等知识点，解题的关键是作出正确的辅助线． 5．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，CD平分∠ACB交⊙O于点D，交AB于点E，若AC＝6，BC＝8，则的值为（　　） A． B．1 C． D． 【分析】如图，过点E作EM⊥BC于M，EN⊥AC于N，过点D作DH⊥BC于H，DG⊥CA交CA的延长线于G．想办法求出EC，DE，可得结论． 【解答】解：如图，过点E作EM⊥BC于M，EN⊥AC于N，过点D作DH⊥BC于H，DG⊥CA交CA的延长线于G． ∴AB是直径， ∴∠ACB＝90°， ∵CD平分∠ACD， ∴， ∴AD＝BD， ∵EM⊥BC，EN⊥AC，DH⊥BC，DG⊥AC， ∴EM＝EN，DH＝DH， ∵•AC•BC•AC•EN•BC•EM， ∴EM＝EN， ∵∠ECN＝∠CEN＝45°， ∴CN＝EN， ∴EC， ∵∠AGD＝∠DHB＝90°，AD＝BD，DG＝DH， ∴Rt△DGA≌Rt△DHB（HL）， ∴AG＝BH， 同法可证，Rt△CGD≌Rt△CHD（HL）， ∴CG＝CH， ∴AC+BC＝CG﹣AG+CH+BH＝2CG＝14， ∴CG＝DG＝7， ∴CD＝7， ∴DE＝7， ∴． 解法二：过点C作CH⊥AB于H，连接OD． 证明△CHE∽△DOE，求出CH，OD，可得结论． 故选：A． 【点评】本题考查圆周角定理，全等三角形的判定和性质，正方形的判定和性质，角平分线的性质定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 6．正方形ABCD内接于⊙O，E是的中点，连接BE、CE，则∠ABE＝　22.5　°． 【分析】先根据正方形的性质得出∠AOD的度数，再由E是的中点即可得出∠AOE的度数，进而可得出结论． 【解答】解：连接OA、OD、OE，如图所示． ∵四边形ABCD是园内接正方形， ∴∠AOD＝90°． ∵E是的中点， ∴∠AOE＝45°， ∴∠ABE45°＝22.5°． 故答案为：22.5． 【点评】本题考查的是圆周角定理及圆心角、弧、弦的关系．熟知正方形的性质是解答此题的关键． 7．如图，在圆内接六边形ABCDEF中，∠A+∠E＝230°，则∠C的度数为 　130　°． 【分析】连接BF，DF，根据已知条件得到的度数的度数＝460°，所以的度数＝460°﹣360°＝100°，根据圆内接四边形的性质即可得到结论． 【解答】解：连接BF，BD， ∵∠A+∠E＝230°， ∴的度数的度数＝460°， ∴的度数＝460°﹣360°＝100°， ∴∠BFD＝50°， ∴∠C＝180°﹣∠BFD＝130°． 故答案为：130． 【点评】本题考查了圆周角定理，多边形的内角与外角，正确的作出辅助线是解题的关键． 8．如图，在⊙O的内接五边形ABCDE中，∠EBD＝31°，则∠A+∠C＝　211　°． 【分析】连接CE，先根据圆内接四边形对角互补可得∠A+∠BCE＝180°，再根据同弧所对的圆周角相等可得∠ECD＝∠EBD＝31°，然后求解即可． 【解答】解：如图，连接CE， ∵五边形ABCDE是⊙O的内接五边形， ∴四边形ABCE是⊙O的内接四边形， ∴∠A+∠BCE＝180°， ∵∠ECD＝∠EBD＝31°， ∴∠A+∠BCD＝180°+31°＝211°． 故答案为：211． 【点评】本题考查了圆周角定理及圆内接四边形的性质等知识；熟练掌握圆周角定理，作出辅助线构造出圆内接四边形是解题的关键． 9．如图，点A、B、O是单位为1的正方形网格上的三个格点，⊙O的半径为OA，点P是优弧的中点，则△APB的面积为 　　． 【分析】首先过点B作BC⊥PA于点C，由点P是优弧的中点，可得PA＝PB，易得△PBC是等腰直角三角形，设PC＝x，则PA＝PBx，即可得方程：2＝[（1）x]2+x2，继而求得答案． 【解答】解：过点B作BC⊥PA于点C， ∵点P是优弧的中点， ∴PA＝PB， ∵∠AOB＝90°， ∴∠APB∠AOB＝45°， ∴△PBC是等腰直角三角形， ∴PC＝BC， 设PC＝x，则PA＝PBx， ∴AC＝PA﹣PC＝（1）x， ∵AB2＝AC2+BC2，AB， ∴2＝[（1）x]2+x2， 解得：x2， ∴S△APBPA•BCx2． 故答案为：． 【点评】此题考查了圆周角定理、等腰直角三角形的性质以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握方程思想与数形结合思想的应用． 10．如图，∠BAC＝60°，∠ABC＝45°，AB，D是线段BC上的一个动点，以AD为直径画⊙O分别交AB，AC于E，F，连接EF，则线段EF长度的最小值为 　4　． 【分析】连接OE、OF，作OM⊥EF于M，作AN⊥BC于N，如图，根据圆周角定理得到∠EOF＝120°，再计算出EFOE，则OE最小时，EF的长度最小，此时圆的直径的长最小，利用垂线段最短得到AD的长度最小值为AN的长，接着计算出AN＝8，从而得到OE的最小值为4，然后确定EF长度的最小值． 【解答】解：连接OE、OF，作OM⊥EF于M，作AN⊥BC于N，如图， ∵∠EOF＝2∠BAC＝2×60°＝120°， 而OE＝OF，OM⊥EF， ∴∠OEM＝30°，EM＝FM， 在Rt△OEM中，OMOE， EMOE， ∴EF＝2EMOE， 当OE最小时，EF的长度最小，此时圆的直径的长最小， 即AD的长最小， ∵AD的长度最小值为AN的长， 而ANAB＝8， ∴OE的最小值为4， ∴EF长度的最小值为4＝4． 故答案为：4． 【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了垂径定理和解直角三角形． 11．如图，在⊙O中，直径AB＝10，弦CD⊥AB，垂足为E，弦CD＝6，则弦BE＝　1　． 【分析】首先设BE＝x，则AE＝10﹣x，根据垂径定理得CE＝DE＝3，然后根据相交弦定理得：CE•DE＝AE•BE，即3×3＝x（10﹣x），由此解出x即可得出答案． 【解答】解：设BE＝x， ∵AB＝10， ∴AE＝AB﹣BE＝10﹣x， ∵AB为⊙O的直径，且弦CD⊥AB， ∴CE＝DE， ∵CD＝6， ∴CE＝DE＝3， 由相交弦定理得：CE•DE＝AE•BE， ∴3×3＝x（10﹣x）， 整理得：x2﹣10+9＝0， 解得：x＝1或x＝9， 由图可知：AE＞BE时， ∴BE＝1， 【点评】此题主要考查了垂径定理，相交弦定理，熟练掌握垂径定理及相交弦定理是解答此题的关键． 12．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC为⊙O的直径，∠ADB＝∠CDB． （1）试判断△ABC的形状，并给出证明； （2）若AB＝5，AD＝6，求CD的长度． 【分析】（1）根据圆周角定理可得∠ABC＝90°，由∠ADB＝∠CDB根据等弧对等角可得∠ACB＝∠CAB，即可证明； （2）Rt△ABC中由勾股定理可得AC，Rt△ADC中由勾股定理求得CD即可； 【解答】解：（1）△ABC是等腰直角三角形， 证明过程如下： ∵AC为⊙O的直径， ∴∠ADC＝∠ABC＝90°， ∵∠ADB＝∠CDB， ∴AB＝BC， ∴AB＝BC， 又∵∠ABC＝90°， ∴△ABC是等腰直角三角形； （2）∵△ABC是等腰直角三角形， ∴BC＝AB， ∴AC， Rt△ADC中，∠ADC＝90°，AD＝6，则CD， ∴CD＝8． 【点评】本题考查了圆周角定理，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理等知识；掌握等弧对等角是解题关键． 13．如图，△ABC中，CA＝CB，以BC为直径的半圆与AB交于点D，与AC交于点E． （1）求证：点D为AB的中点； （2）求证：AD＝DE． 【分析】（1）连接CD，如图，根据圆周角定理得到∠BDC＝90°，然后根据等腰三角形的性质可得到AD＝BD； （2）利用圆内接四边形的性质得到∠B+∠DEC＝180°，则可判断∠AED＝∠B，再利用等腰三角形的性质得到∠A＝∠B，所以∠A＝∠AED，从而得到结论． 【解答】证明：（1）连接CD，如图， ∵BC为直径， ∴∠BDC＝90°， ∴CD⊥AB， ∵CA＝CB， ∴AD＝BD，即点D为AB的中点； （2）∵四边形BCED为⊙O的内接四边形， ∴∠B+∠DEC＝180°， 而∠AED+∠DEC＝180°， ∴∠AED＝∠B， ∵CA＝CB， ∴∠A＝∠B， ∴∠A＝∠AED， ∴AD＝DE． 【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．也考查了等腰三角形的性质． 14．如图，AB、CD是⊙O的两条弦，AC与BD相交于点E，AB＝CD． （1）求证：AC＝BD； （2）连接BC，作直线EO，求证：EO⊥BC． 【分析】（1）根据利用弧、弦、圆心角的关系得出，则AC＝BD； （2）因为AB＝CD，所以，即∠ACB＝∠DBC．结合OB＝OC，得出E、O都在BC的垂直平分线上，即可作答． 【解答】证明：（1）∵AB＝CD， ∴， ∴， 即． ∴AC＝BD． （2）连接OB、OC、BC． ∵AB＝CD， ∴， ∴∠ACB＝∠DBC． ∴EB＝EC， ∵OB＝OC， ∴E、O都在BC的垂直平分线上． ∴EO⊥BC． 【点评】本题考查了垂直平分线的判定与性质，利用弧、弦、圆心角的关系求证，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 15．如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，AB＝AD，∠BCD＝110°，点E在AD上． （1）∠BAD＝　70　°； （2）求∠AED的度数． 【分析】（1）根据圆内接四边形的性质进行计算即可得出答案； （2）连接BD，由等边对等角结合三角形内角和定理得出∠ABD＝∠ADB＝55°，再由圆内接四边形的性质进行计算即可得出答案． 【解答】解：（1）∵在⊙O的内接四边形ABCD中，∠BCD＝110°， ∴∠BAD＝180°﹣∠BCD＝180°﹣110°＝70°， 故答案为：70； （2）如图，连接BD， ∵AB＝AD， ∴， ∵四边形ABDE是⊙O的内接四边形， ∴∠AED+∠ABD＝180°， ∴∠AED＝180°﹣∠ABD＝125°． 【点评】本题主要考查了圆内接四边形的性质、等边对等角、三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 16．如图，已知AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，连结BC，AC，点D为的中点，连结OD交AC于点E． （1）求证：OD∥BC． （2）若AC＝8，DE＝2，求BC长． 【分析】（1）连接OC，由圆心角、弧、弦的关系得到∠AOD＝∠COD，由等腰三角形的性质推出OD⊥AC，由圆周角定理推出BC⊥AC，即可证明OD∥BC； （2）设圆的半径是r，得到OE＝r﹣2，由垂径定理得AEAC＝4，由勾股定理得到r2＝（r﹣2）2+42，求出r＝5，因此AB＝2r＝10，由勾股定理即可求出BC6． 【解答】（1）证明：连接OC， ∵D是中点， ∴∠AOD＝∠COD， ∵OA＝OC， ∴OD⊥AC， ∵AB是圆的直径， ∴∠ACB＝90°， ∴BC⊥AC， ∴OD∥BC； （2）解：设圆的半径是r， ∵DE＝2， ∴OE＝r﹣2， ∵OD⊥AC， ∴AEAC8＝4， ∵OA2＝OE2+AE2， ∴r2＝（r﹣2）2+42， ∴r＝5， ∴AB＝2r＝10， ∵∠ACB＝90°， ∴BC6． 【点评】本题考查圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，勾股定理，等腰三角形的性质，垂径定理，关键是由勾股定理，垂径定理列出关于圆半径的方程． 17．如图，A、B、E、C四点都在⊙O上，AD是△ABC的高，∠CAD＝∠EAB，AE是⊙O的直径吗？为什么？ 【分析】首先连接BE，由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可得∠E＝∠C，又由∠CAD＝∠EAB，AD是△ABC的高，即可求得∠E+∠EAB＝90°，然后根据90°的圆周角所对的弦是直径，即可证得AE是⊙O的直径． 【解答】解：AE是⊙O的直径． 理由：连接BE， ∵∠E与∠C是对的圆周角， ∴∠E＝∠C， ∵AD是△ABC的高， ∴∠ADC＝90°， ∴∠CAD+∠C＝90°， ∵∠CAD＝∠EAB， ∴∠EAB+∠C＝90°， ∴∠ABE＝90°， ∴AE是⊙O的直径． 【点评】此题考查了圆周角定理．此题难度适中，解题的关键是准确作出辅助线，掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等与90°的圆周角所对的弦是直径定理的应用． 18．已知⊙O的直径为10，点A、点B、点C在⊙O上，∠CAB的平分线交⊙O于点D． （1）如图①，若BC为⊙O的直径，AB＝6，求AC、BD、CD的长； （2）如图②，若∠CAB＝60°，求BD的长． 【分析】（1）利用圆周角定理可以判定△CAB和△DCB是直角三角形，利用勾股定理可以求得AC的长度；利用圆心角、弧、弦的关系推知△DCB也是等腰三角形，所以利用勾股定理同样得到BD＝CD＝5； （2）如图②，连接OB，OD．由圆周角定理、角平分线的性质以及等边三角形的判定推知△OBD是等边三角形，则BD＝OB＝OD＝5． 【解答】解：（1）如图①，∵BC是⊙O的直径， ∴∠CAB＝∠BDC＝90°． ∵在直角△CAB中，BC＝10，AB＝6， ∴由勾股定理得到：AC8． ∵AD平分∠CAB， ∴， ∴CD＝BD． 在直角△BDC中，BC＝10，CD2+BD2＝BC2， ∴易求BD＝CD＝5； （2）如图②，连接OB，OD， ∵AD平分∠CAB，且∠CAB＝60°， ∴∠DAB∠CAB＝30°， ∴∠DOB＝2∠DAB＝60°． 又∵OB＝OD， ∴△OBD是等边三角形， ∴BD＝OB＝OD． ∵⊙O的直径为10，则OB＝5， ∴BD＝5． 【点评】本题综合考查了圆周角定理，勾股定理以及等边三角形的判定与性质．此题利用了圆的定义、有一内角为60度的等腰三角形为等边三角形证得△OBD是等边三角形． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第08讲 圆周角 课程标准 学习目标 1 理解圆周角的概念； 2 掌握圆周角定理及其推论； 3 能运用圆周角定理及其推论进行计算和证明。 1. 清晰理解圆周角的定义和特点； 2. 熟练掌握圆周角定理及其推论，并能准确应用； 3. 提升运用圆周角知识解决几何问题的能力。 知识点一、圆周角的概念 顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角. 1.圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交； 2.圆周角与圆心角的异同 （1）圆周角顶点在圆周上，圆心角顶点在圆心处； （2）在同圆中，一条弧所对的圆周角可以有无数个，而一条弧所对的圆心角仅有一个； （3）圆周角与圆心角的共同点：两边都和圆相交. 知识点二、圆周角定理及圆周角定理的推论 1.圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半； 2.同弧或等弧所对的圆周角相等； 3.在同一个圆中，同弦所对的圆周角相等或互补； 4.直径所对的圆周角是直角，90°所对的弦是直径； 5.相等的圆周角所对的弧相等. 知识点三、圆内接四边形及圆内接四边形的性质 1.圆内接四边形：如果一个四边形的4个顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接四边形，这个圆叫做这个四边形的外接圆； 2.圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补； 3.圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）. 题型01 识别圆周角 1．下列图形中的∠ABC是圆周角的是（　　） A． B． C． D． 2．如图，在图中标出的∠1∼∠5这5个角中，所对的圆周角是（　　） A．∠5 B．∠1和∠2 C．∠3和∠4 D．∠1和∠3 3．下列图形中，∠BAC是圆周角的是（　　） A． B． C． D． 4．下列图形中的角是圆周角的是（　　） A． B． C． D． 题型02 利用圆周角定理求角度 1．如图，∠A是⊙O的圆周角，∠OBC＝55°，则∠A＝（　　） A．35° B．45° C．55° D．70° 2．如图，在⊙O中，弧AB所对的圆周角∠ACB＝55°．若D为弧AB上一点，∠AOD＝75°，OD∥CB，则∠OAC的度数为（　　） A．19° B．20° C．21° D．22° 3．如图，BC是⊙O的弦，连接OB，OC，∠A是所对的圆周角，则∠A与∠OBC的和的度数是 　　． 4．如图，AB是⊙O的弦，∠OAB＝20°，求弦AB所对的圆周角的度数． 题型03 利用圆周角定理求长度 1．如图，在⊙O中，弦AB＝3，圆周角∠ACB＝30°，则⊙O的半径等于（　　） A．1.5 B．3 C．4.5 D．6 2．如图所示，已知⊙O中，弦AB的长为10cm，测得圆周角∠ACB＝45°，则直径AD为（　　） A．5cm B．10cm C．15cm D．20cm 3．如图，⊙O的半径为，圆周角∠BAC＝135°，求BC的长． 4．一个圆形人工湖示意图如图所示，弦AB是湖上的一座桥．已知AB长为100m，圆周角∠C＝45°，求这个人工湖半径OA的长． 题型04 直径（半圆）所对的圆周角是直角 1．如图，四边形ABCD内接于⊙O，BC是⊙O的直径，连接AC，若∠ADC＝150°，AC＝4，则⊙O的半径长为（　　） A．2 B．6 C．4 D．8 2．如图，BD是⊙O的直径，点A和点C都在⊙O上，若∠CBD＝50°，则∠CAB的度数是（　　） A．50° B．40° C．70° D．60° 3．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，连接AD、BC、BD．若∠BCD＝20°，则∠ABD＝　　°． 4．如图，AB是⊙O的直径，∠C＝15°，求∠BAD的度数． 题型05 90°圆周角所对的弦是直径 1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以斜边AB上的中线CD为直径作⊙O，与AC、BC分别交于点M、N，与AB的另一个交点为E．过点N作NF⊥AB，垂足为F．若AC＝6，BC＝8，则NF＝　　． 2．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BAD＝90°，BC＝CD，过点C作CE，使得CD＝CE，交AD的延长线于点E． （1）求证：AB＝AE． （2）若AD＝DE＝2，求CD的长． 3．如图，四边形ABCD内接于⊙O，分别延长BC，AD，使它们相交于点E，AB＝8，且DC＝DE． （1）求证：∠A＝∠AEB． （2）若∠EDC＝90°，点C为BE的中点，求⊙O的半径． 题型06 圆内接四边形 1．如图，四边形ABCD内接于⊙O，已知∠ADC＝140°，则∠ABC的大小是（　　） A．80° B．100° C．60° D．40° 2．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，连接OA、OC，若∠AOC＝88°，则∠ABC的度数是（　　） A．122° B．128° C．132° D．136° 3．如图，点A、B、C、D都在圆O上，顺次连接AB、BC、CD、DA，若∠C＝120°，则∠A＝　度． 4．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BE是⊙O的直径，连接CE，若∠BAD＝105°，则∠DCE＝　　°． 1．如图，AB是⊙O的弦，CD是⊙O的直径，CD⊥AB于点E．在下列结论中，不一定成立的是（　　） A．AE＝BE B．∠CBD＝90° C．∠OBD＝∠ABC D．∠COB＝∠C 2．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BC＝CD，∠C＝120°，∠D＝80°，则∠AOB的度数为（　　） A．100° B．115° C．120° D．135° 3．如图，EF、CD是⊙O的两条直径，A是劣弧的中点，若∠EOD＝32°，则∠CDA的度数是（　　） A．37° B．74° C．53° D．63° 4．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC为⊙O的直径，D为弧AC的中点，过点D作DE⊥BC于点E，若BECE，则∠BAD等于（　　） A．100° B．120° C．135° D．150° 5．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，CD平分∠ACB交⊙O于点D，交AB于点E，若AC＝6，BC＝8，则的值为（　　） A． B．1 C． D． 6．正方形ABCD内接于⊙O，E是的中点，连接BE、CE，则∠ABE＝　 　°． 7．如图，在圆内接六边形ABCDEF中，∠A+∠E＝230°，则∠C的度数为 　 　°． 8．如图，在⊙O的内接五边形ABCDE中，∠EBD＝31°，则∠A+∠C＝　 　°． 9．如图，点A、B、O是单位为1的正方形网格上的三个格点，⊙O的半径为OA，点P是优弧的中点，则△APB的面积为 　 　． 10．如图，∠BAC＝60°，∠ABC＝45°，AB，D是线段BC上的一个动点，以AD为直径画⊙O分别交AB，AC于E，F，连接EF，则线段EF长度的最小值为 　 　． 11．如图，在⊙O中，直径AB＝10，弦CD⊥AB，垂足为E，弦CD＝6，则弦BE＝　 　． 12．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC为⊙O的直径，∠ADB＝∠CDB． （1）试判断△ABC的形状，并给出证明； （2）若AB＝5，AD＝6，求CD的长度． 13．如图，△ABC中，CA＝CB，以BC为直径的半圆与AB交于点D，与AC交于点E． （1）求证：点D为AB的中点； （2）求证：AD＝DE． 14．如图，AB、CD是⊙O的两条弦，AC与BD相交于点E，AB＝CD． （1）求证：AC＝BD； （2）连接BC，作直线EO，求证：EO⊥BC． 15．如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，AB＝AD，∠BCD＝110°，点E在AD上． （1）∠BAD＝　 　°； （2）求∠AED的度数． 16．如图，已知AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，连结BC，AC，点D为的中点，连结OD交AC于点E． （1）求证：OD∥BC． （2）若AC＝8，DE＝2，求BC长． 17．如图，A、B、E、C四点都在⊙O上，AD是△ABC的高，∠CAD＝∠EAB，AE是⊙O的直径吗？为什么？ 18．已知⊙O的直径为10，点A、点B、点C在⊙O上，∠CAB的平分线交⊙O于点D． （1）如图①，若BC为⊙O的直径，AB＝6，求AC、BD、CD的长； （2）如图②，若∠CAB＝60°，求BD的长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$