第1章 一元二次方程 单元测试-2024-2025学年九年级数学上册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（苏科版）

2024-2025学年九年级数学上学期第一单元测试 总分：100分 考生姓名： 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．测试范围：第1章。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分. 1．下列方程是一元二次方程的是（ ） A． B． C． D． 2．一元二次方程，用配方法变形可得（     ） A． B． C． D． 3．2021年杭州市某区的GDP（国内生产总值）为2502.2亿元．2023年该区的GDP为2936.43亿元，在杭州市各区县排名第一．设这两年该区GDP的平均增长率为x，根据题意可列出方程为（    ） A． B． C． D． 4．若，，则以，为根的一元二次方程是（      ） A． B． C． D． 5．若关于的一元二次方程的一个根是，则代数式的值为（　　） A． B．2018 C． D．2024 6．关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．我国古代数学家赵爽（公元3～4世纪）在其所著的《勾股圆方图注》中记载过一元二次方程（正根）的几何解法．以方程，即为例说明，记载的方法是：构造如图1，大正方形的面积是，同时它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即，因此．在正方形网格中，若图2是某个一元二次方程（正根）的几何解法，则这个方程是（   ）    A． B． C． D． 8．定义[x]为不大于实数x的最大整数，如．函数的图象如图所示，则方程的根为（　　） A． B． C．， D． ，， 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分． 9．若关于的一元二次方程的一个根是1，则的值是 ． 10．若m，n是一元二次方程的两个根，则的值为 11．若矩形的一组邻边长分别是一元二次方程的解，则矩形的面积为 ． 12．某树主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目小分支，主干、支干和小分支总数共31．若设主干长出x个支干，则可列方程是 ． 13．对于实数a，b定义新运算：，若关于x的方程有两个相等实数根，则k的值为 . 14．已知，则 ． 15．关于x的方程的解是，（a、b、m为常数，），则方程的解是 ． 16．如图①，在长方形中，，对角线，相较于点O，动点P由点A出发，沿向点D运动，设点P的运动路程为x，的面积为y，y与x的函数关系图像如图②所示，则边的长为 ． 三、解答题：本题共9小题，共68分. 17．解方程： (1)； (2)． 18．解方程： (1)． (2) (3) 19．已知关于x的一元二次方程． (1)求证：m取任意实数、该方程总有两个实数根； (2)设该方程的两根分别为、，且满足，求m的值． 20．有一个长、宽分别为和的矩形水池，某旅游景点要在水池中建一个与矩形的边互相平行的正方形观赏亭和连结观赏亭的四条道路，如图所示，道路的宽度相等，其中两条与平行，另两条与平行，已知道路的宽为正方形边长的，若道路与观赏亭的面积之和是原矩形水池面积的． (1)设道路的宽为，则正方形的面积为______．（用含x的代数式表示） (2)根据题中所给的信息列方程求道路的宽． 21．小明大学毕业后和同学创业，合伙开了一家网店，暑期销售原创设计的手绘图案恤衫．已知每件恤衫的成本价为60元，当销售价为100元时，每天能售出20件；经过一段时间销售发现，当销售价每降低1元时，每天就能多售出2件， (1)若降价8元，则每天销售恤衫的利润为多少元？ (2)小明希望每天获得的利润达到1050元并且优惠最大，则每件恤衫的销售价应该定为多少？ (3)为了保证每件恤衫的利润率不低于，小明每天能否获得1200元的利润？若能，求出定价；若不能，请说明理由．（利润率） 22．求代数式的最小值时，我们通常运用“”这个结论对代数式进行配方来解决．比如，，，的最小值是，试利用“配方法”解决下列问题：    (1)填空：（______）______； (2)如图1所示的是一组邻边长分别为，的长方形，其面积为；如图2所示的是边长为的正方形，其面积为，，请比较与的大小，并说明理由． (3)如图3，一个地块一边靠墙（墙足够长），另外三边用长的篱笆围成一个矩形场地，并且与墙平行的边加建宽的门（用其他材料）．设，矩形的面积为．当为何值时，矩形场地的面积最大?最大值为多少平方米? 23．如图，在中，，的面积为，是边上的高，动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿匀速向终点A运动，点P不与点A、B重合，连接、．设点P的运动时间为t秒． (1)求的长； (2)用含t的代数式表示的长； (3)在点P运动的过程中，不再添加其他辅助线的情况下，当图中存在等腰直角三角形时，求的面积； (4)点P在上运动，不再添加其他辅助线的情况下，当图中存在以点P为顶点的等腰三角形．且不是直角三角形时，直接写出t的值． 24．如图，四边形是证明勾股定理时用到的一个图形，a，b，c是和边长，易知，这时我们把关于的形如的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”． 请解决下列问题： (1)当时，写出该“勾系一元二次方程”； (2)求证：关于的“勾系一元二次方程”必有实数根； (3)如图，若是“勾系一元二次方程”的一个根，且四边形的周长是，求的面积． 25．如图1，平面直角坐标系中，一次函数的图像与反比例函数的图像相交于， 两点． 【背景问题】（1）如何求点和点的坐标呢!根据之前学习函数的经验，我们可以按以下方法解决： 解：联立两表达式得到方程组 把① 代入② 中得：， 由于，在方程两边同时乘以，得：（请你继续完成解题过程） 【深入探究】（2）若将一次函数的图像l向下平移个单位，当为何值时，直线与双曲线有且只有一个交点： 【知识应用】（3）点是第三象限内的反比例函数图象上一点，当的面积最小时，求的长度． 【拓展延伸】（4）点是第一象限内在反比例函数图象上的一个动点，作点关于原点对称的点，以为斜边作等腰直角三角形，点在第四象限． 在同一平面内，若等腰直角三角形的一边所在的直线与一条直线垂直，则称此等腰直角三角形为这条直线的关联三角形． 在点的运动过程中等腰直角三角形是否能成为直线的关联三角形？若能，直接写出此时点坐标；若不能，请说明理由． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年九年级数学上学期第一单元测试 总分：100分 考生姓名： 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．测试范围：第1章。 5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分. 1．下列方程是一元二次方程的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程的定义，一元二次方程定义：含有一个未知数、未知数的最高次数是2次的整式方程，根据定义逐项判定即可得到答案，熟记一元二次方程的定义是解决问题的关键． 【详解】解：A、不是一元二次方程，不符合题意； B、，若，不是一元二次方程，不符合题意； C、是二元一次方程，不是一元二次方程，不符合题意； D、是一元二次方程，符合题意； 故选：D． 2．一元二次方程，用配方法变形可得（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查配方法，根据配方法的步骤，一除，二移，三配方进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴； 故选B． 3．2021年杭州市某区的GDP（国内生产总值）为2502.2亿元．2023年该区的GDP为2936.43亿元，在杭州市各区县排名第一．设这两年该区GDP的平均增长率为x，根据题意可列出方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程．根据该市2021年及2023年该区的，即可得出关于的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：依题意得：． 故选：B． 4．若，，则以，为根的一元二次方程是（      ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，关于x的一元二次方程的两个实数根，和系数，，，有如下关系：，，由此即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴以，为根的一元二次方程是， 故选：A． 5．若关于的一元二次方程的一个根是，则代数式的值为（　　） A． B．2018 C． D．2024 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解“使方程左、右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根”，熟练掌握一元二次方程的解的定义是解题关键．将代入方程可得，从而可得，再代入计算即可得． 【详解】解：∵关于的一元二次方程的一个根是， ∴，即， ∴， 故选：D． 6．关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的判别式，牢记知识点是解题关键．因为关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，所以只要满足即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根 ∴ 即： 解得： 故选：A 7．我国古代数学家赵爽（公元3～4世纪）在其所著的《勾股圆方图注》中记载过一元二次方程（正根）的几何解法．以方程，即为例说明，记载的方法是：构造如图1，大正方形的面积是，同时它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即，因此．在正方形网格中，若图2是某个一元二次方程（正根）的几何解法，则这个方程是（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程的应用，完全平方公式的几何背景，通过图形直观，得出面积之间的关系，并用代数式表示出来是解题的关键． 根据题意，观察图2，由面积之间的关系可得到答案． 【详解】解：中间小正方形的边长为，其面积为16，大正方形面积为，边长为8， ∴图2是， 即的几何解法， 故选：C． 8．定义[x]为不大于实数x的最大整数，如．函数的图象如图所示，则方程的根为（　　） A． B． C．， D． ，， 【答案】B 【分析】本题考查了函数的图象，解一元二次方程．根据新定义和函数图象进行讨论是解题的关键． 根据新定义和函数图象分情况讨论：当时，；当时，；当时，；当时，；然后分别求关于x的一元二次方程即可． 【详解】解：由题意知，当时，，解得或，均不合题意； 当时，，解得或（舍去）； 当时，，方程没有实数解； 当时，，方程没有实数解； ∴方程的解为0， 故选：B． 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分． 9．若关于的一元二次方程的一个根是1，则的值是 ． 【答案】2 【分析】本题考查一元二次方程的解．熟练掌握方程的解，是使方程成立的未知数的值，是解题的关键．将代入方程，求解即可． 【详解】解：把代入得， 解得， 故答案为：2． 10．若m，n是一元二次方程的两个根，则的值为 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，代数式求值．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．由，是一元二次方程的两个实数根，可得，，然后代入求值即可． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∴， 故答案为：． 11．若矩形的一组邻边长分别是一元二次方程的解，则矩形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查矩形的性质、一元二次方程根与系数关系，解答的关键是熟知一元二次方程根与系数的关系． 设一元二次方程的两个根为，则，．设矩形的两条邻边的长分别是，利用一元二次方程根与系数关系得到，再根据矩形的面积等于两条邻边乘积求解即可． 【详解】解：设一元二次方程的两个解为，即矩形的两条邻边的长分别是， 根据题意，得， ∴矩形的面积为， 故答案为：． 12．某树主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目小分支，主干、支干和小分支总数共31．若设主干长出x个支干，则可列方程是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，解题的关键是正确理解题意，根据题意找出等量关系列出方程．根据题意找出等量关系即可列出方程，主干+支杆+小分支． 【详解】解：设主干长出x个支干， ，整理得： 故答案为：． 13．对于实数a，b定义新运算：，若关于x的方程有两个相等实数根，则k的值为 . 【答案】 【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与系数有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． 【详解】解：由题可得：， ∵方程有两个相等的实数根， ∴， 解得， 故答案为：． 14．已知，则 ． 【答案】8 【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程的知识，令，则，可得方程，解方程即可求解． 【详解】令，则， 则变型为：， 即， 采用因式分解法解得：，（负值，舍去） ∴， 故答案为：8． 15．关于x的方程的解是，（a、b、m为常数，），则方程的解是 ． 【答案】， 【分析】本题考查了一元二次方程的解，把方程看作关于的一元二次方程，根据题意得出，，计算即可得解． 【详解】解：把方程看作关于的一元二次方程， ∵关于x的方程的解是，， ∴，， 解得：，， 故答案为：，． 16．如图①，在长方形中，，对角线，相较于点O，动点P由点A出发，沿向点D运动，设点P的运动路程为x，的面积为y，y与x的函数关系图像如图②所示，则边的长为 ． 【答案】 【分析】当点在上运动时，面积逐渐增大，当点到达点时，结合图象可得面积最大为3，得到与的积为12；当点在上运动时，面积逐渐减小，当点到达点时，面积为0，此时结合图象可知点运动路径长为7，得到与的和为7，构造关于的一元二方程可求解，问题随之得解． 【详解】解：在长方形中，点到边的距离为，点到边的距离为， 当点在上运动时，面积逐渐增大，当点到达点时，面积最大为3． ，即． 当点在上运动时，面积逐渐减小，当点到达点时，面积为0，此时结合图象可知点运动路径长为7， ． 则，代入，得， 解得或3， ，即， ，． 即, 即：， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查动点问题的函数图象，矩形的性质，三角形的面积，解一元二次方程，勾股定理等知识，解题的关键是分析三角形面积随动点运动的变化过程，找到分界点极值，结合图象得到相关线段的具体数值． 三、解答题：本题共9小题，共68分. 17．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了解一元二次方程，根据方程的特点灵活运用解一元二次方程的方法； （1）利用因式分解法即可求解； （2）利用公式法即可求解． 【详解】（1）解：， ， ； （2）解：， ， ， ． 18．解方程： (1)． (2) (3) 【答案】(1)或 (2)或 (3)或 【分析】本题考查解一元二次方程，（1）利用因式分解法解方程即可； （2）利用因式分解法解方程即可； （3）利用因式分解法解方程即可． 【详解】（1）解：， 移项得，， 因式分解得，，即， ∴或， ∴或． （2）解：， 因式分解得，，即， ∴或， ∴或． （3）解：， 移项得，， 因式分解得，， ∴或， ∴或． 19．已知关于x的一元二次方程． (1)求证：m取任意实数、该方程总有两个实数根； (2)设该方程的两根分别为、，且满足，求m的值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，根的判别式： （1）求出即可证明结论； （2）利用根与系数的关系得到，进而得到，解之即可． 【详解】（1）证明：由题意得，， ∴m取任意实数、该方程总有两个实数根； （2）解：∵该方程的两根分别为、， ∴， ∵， ∴， ∴． 20．有一个长、宽分别为和的矩形水池，某旅游景点要在水池中建一个与矩形的边互相平行的正方形观赏亭和连结观赏亭的四条道路，如图所示，道路的宽度相等，其中两条与平行，另两条与平行，已知道路的宽为正方形边长的，若道路与观赏亭的面积之和是原矩形水池面积的． (1)设道路的宽为，则正方形的面积为______．（用含x的代数式表示） (2)根据题中所给的信息列方程求道路的宽． 【答案】(1) (2)道路的宽为1米 【分析】（1）根据设道路的宽为米以及道路的宽为正方形边长的，进行列式计算，即可作答． （2）首先设道路的宽为米，根据道路的宽为正方形边长的，得出道路与正方形的面积进而得出答案； 此题主要考查了一元二次方程的应用，①根据已知表示出阴影部分的面积是解题关键；②读懂题意，找到等量关系准确地列出方程是解题的关键． 【详解】（1）解：设道路的宽为米． ∵道路的宽为正方形边长的 ∴正方形边长米 ∴则正方形的面积为 故答案为：． （2）解：设道路的宽为米． 列方程， 整理得， 解得，（舍去）． 答：道路的宽为1米； 21．小明大学毕业后和同学创业，合伙开了一家网店，暑期销售原创设计的手绘图案恤衫．已知每件恤衫的成本价为60元，当销售价为100元时，每天能售出20件；经过一段时间销售发现，当销售价每降低1元时，每天就能多售出2件， (1)若降价8元，则每天销售恤衫的利润为多少元？ (2)小明希望每天获得的利润达到1050元并且优惠最大，则每件恤衫的销售价应该定为多少？ (3)为了保证每件恤衫的利润率不低于，小明每天能否获得1200元的利润？若能，求出定价；若不能，请说明理由．（利润率） 【答案】(1)若降价8元，则每天销售恤衫的利润为元 (2)每件恤衫的销售价应该定为元 (3)不能，理由见解析 【分析】本题考查了一元二次方程的应用、一元一次不等式的应用、有理数的混合运算的应用，理解题意，正确列出方程和不等式是解此题的关键． （1）根据题意列出式子计算即可得出答案； （2）设每件恤衫降价元，则每天的销售量为件，根据“每天获得的利润达到1050元”列出一元二次方程，解方程即可得出答案； （3）设每件恤衫降价元，根据“为了保证每件恤衫的利润率不低于”列出一元一次不等式，解不等式即可得出的取值范围，再根据“获得1200元的利润”列出一元二次方程，解方程即可得出答案． 【详解】（1）解：由题意得：（元）， ∴若降价8元，则每天销售恤衫的利润为元； （2）解：设每件恤衫降价元，则每天的销售量为件， 由题意得：， 解得：或， 当时，售价为（元）， 当时，售价为（元）， ∵优惠最大， ∴， ∴每件恤衫的销售价应该定为元； （3）解：不能，理由如下： 设每件恤衫降价元， ∵为了保证每件恤衫的利润率不低于， ∴， 解得：， 由题意得：， 解得：或， ∵， ∴或都不符合题意，舍去， ∴为了保证每件恤衫的利润率不低于，小明每天不能获得1200元的利润． 22．求代数式的最小值时，我们通常运用“”这个结论对代数式进行配方来解决．比如，，，的最小值是，试利用“配方法”解决下列问题：    (1)填空：（______）______； (2)如图1所示的是一组邻边长分别为，的长方形，其面积为；如图2所示的是边长为的正方形，其面积为，，请比较与的大小，并说明理由． (3)如图3，一个地块一边靠墙（墙足够长），另外三边用长的篱笆围成一个矩形场地，并且与墙平行的边加建宽的门（用其他材料）．设，矩形的面积为．当为何值时，矩形场地的面积最大?最大值为多少平方米? 【答案】(1)， (2)，理由见解析 (3)当为时，矩形场地的面积最大，最大值为平方米 【分析】本题主要考查配方法的运用，几何图形的面积的计算，乘法公式与几何图形面积的综合运用，理解题意，掌握乘法公式与几何图形的综合知识的运用是解题的关键． （1）根据材料提示，运用配方法即可求解； （2）结合矩形和正方形面积公式，利用整式的乘法分别算出、，再运用的结果的正负来判断大小，即可解题； （3）根据题意得到，利用矩形面积公式表示出，再结合题干求解方法即可解题． 【详解】（1）解：由题知，， 故答案为：，． （2）解：由题知，， ， ， ， ． （3）解：， 由题知，， 矩形的面积；      ， ， ， 当为时，矩形场地的面积最大，最大值为平方米． 23．如图，在中，，的面积为，是边上的高，动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿匀速向终点A运动，点P不与点A、B重合，连接、．设点P的运动时间为t秒． (1)求的长； (2)用含t的代数式表示的长； (3)在点P运动的过程中，不再添加其他辅助线的情况下，当图中存在等腰直角三角形时，求的面积； (4)点P在上运动，不再添加其他辅助线的情况下，当图中存在以点P为顶点的等腰三角形．且不是直角三角形时，直接写出t的值． 【答案】(1)3 (2)当时，；当时，； (3)的面积为或； (4)或或． 【分析】（1）利用等面积法即可求出的长； （2）利用勾股定理算出，再根据动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿匀速向终点A运动，点P不与点A、B重合，分别讨论①当点P在上运动时，②当点P在上运动时，根据上述两种情况表示出的长即可； （3）本题根据不再添加其他辅助线的情况下，图中存在等腰直角三角形，分以下两种情况讨论，①当点P在上运动，为等腰直角三角形时，②当点P在上运动时，为等腰直角三角形时，再根据等腰直角三角形性质进行分析求解，即可解题． （4）本题根据点P在上运动，不再添加其他辅助线的情况下，存在以点P为顶点的等腰三角形，且不是直角三角形，可分以下情况讨论，①为等腰三角形，， ②为等腰三角形，， ③为等腰三角形，，再根据等腰三角形性质进行分析，建立等式求解，即可解题． 【详解】（1）解：，的面积为，是边上的高， ， ，解得; （2）解：，， ， 动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿匀速向终点A运动， ①当点P在上运动时（即时）， 有， ， ②当点P在上运动时（即时）， ， 综上所述，当时，；当时，； （3）解：①当点P在上运动，为等腰直角三角形时， 有， ，解得， ， ， 的面积为：； ②当点P在上运动时，为等腰直角三角形时， 有， ， ， ， ， 的面积为：； 综上所述，的面积为或； （4）解：点P在上运动，图中存在以点P为顶点的等腰三角形，且不是直角三角形，分为以下情况： ①为等腰三角形，， ， ， ， 秒， ②为等腰三角形，， ， 整理得，解得（不合题意，舍去），， ③为等腰三角形，， 即，解得． 综上所述，或或． 【点睛】本题考查几何图形的动点问题，勾股定理，等面积法求高，列代数式相关知识，等腰三角形性质和判定，等腰直角三角形性质和判定，解题的关键在于利用分类讨论思想，从多方面考虑不同情况的下满足的条件． 24．如图，四边形是证明勾股定理时用到的一个图形，a，b，c是和边长，易知，这时我们把关于的形如的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”． 请解决下列问题： (1)当时，写出该“勾系一元二次方程”； (2)求证：关于的“勾系一元二次方程”必有实数根； (3)如图，若是“勾系一元二次方程”的一个根，且四边形的周长是，求的面积． 【答案】(1)“勾系一元二次方程”为： (2)见解析 (3) 【分析】（1）先根据勾股定理求出c的值，再代入方程求解即可； （2）通过判断根的判别式的正负来证明结论； （3）利用根的意义和勾股定理作为相等关系先求得c的值，根据完全平方公式求得的值，从而可求得面积． 【详解】（1）， “勾系一元二次方程”为：； （2）根据题意，得， “勾系一元二次方程”必有实数根； （3）当时，有，即， 四边形的周长是， ，即 【点睛】本题主要考查了勾股定理，完全平方公式的变形求值，一元二次方程的解和一元二次方程根的判别式，正确读懂题意是解题的关键． 25．如图1，平面直角坐标系中，一次函数的图像与反比例函数的图像相交于， 两点． 【背景问题】（1）如何求点和点的坐标呢!根据之前学习函数的经验，我们可以按以下方法解决： 解：联立两表达式得到方程组 把① 代入② 中得：， 由于，在方程两边同时乘以，得：（请你继续完成解题过程） 【深入探究】（2）若将一次函数的图像l向下平移个单位，当为何值时，直线与双曲线有且只有一个交点： 【知识应用】（3）点是第三象限内的反比例函数图象上一点，当的面积最小时，求的长度． 【拓展延伸】（4）点是第一象限内在反比例函数图象上的一个动点，作点关于原点对称的点，以为斜边作等腰直角三角形，点在第四象限． 在同一平面内，若等腰直角三角形的一边所在的直线与一条直线垂直，则称此等腰直角三角形为这条直线的关联三角形． 在点的运动过程中等腰直角三角形是否能成为直线的关联三角形？若能，直接写出此时点坐标；若不能，请说明理由． 【答案】（1）点；（2）当时，直线与双曲线有且只有一个交点；（3）；（4） 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数综合，解一元二次方程，一元二次方程根的判别式的意义； （1）根据题意，联立解析式，解一元二次方程，即可求解； （2）根据题意得出平移后的直线解析式，联立反比例函数解析式，得到关于的一元二次方程，根据根的判别式，令，即可求解； （3）根据（2）的结论结合题意，得出的坐标，进而勾股定理，即可求解． （4）根据题意画出图形，求得的解析式，进而根据两直线平行，一次项系数相等，即可求解． 【详解】解：（1）∵一次函数的图像与反比例函数的图像相交于， 两点． ∴联立两表达式得到方程组， 把① 代入② 中得：， 由于，在方程两边同时乘以，得， ， 解得：， ∴， 经检验，是原方程的解 ∴点； （2）∵一次函数解析式为， ∴将一次函数的图像l向下平移个单位的解析式为， ∴联立两表达式得到方程组得， 解得：, ∵直线与双曲线有且只有一个交点 ∴， 解得：， ∴当时，直线与双曲线有且只有一个交点； （3）解：如图所示， ∵点是第三象限内的反比例函数图象上一点，当的面积最小时， 由（2）可得当时，与在第三象限有1个交点即点， ∵ 解得： 将代入得，， ∴ ∴； （4）解：依题意，在第一象限，在第三象限，在第四象限，经过一、二、四象限， 则不存在， ∴当时，则，如图所示， 过点，分别作坐标轴的垂线，垂足分别为， ∵是等腰直角三角形， ∴ 又 ∴， ∴ ∴， 设，则 设直线的解析式为 ∴ 解得： ∵ ∴ 解得：（负值舍去） ∴ 2 学科网（北京）股份有限公司 $$