专题02 有理数的运算（优质类型）-2024-2025学年七年级数学上册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（人教版2024新教材）

专题02有理数的运算思维导图 【类型覆盖】 类型一、有理数加法的实际应用 【解惑】七年级一班某次数学测验，第二组个同学的平均成绩为分，数学老师以平均成绩为基准，超过为正，把小龙、小聪、小梅、小莉、小刚这五位同学的成绩简记为，，，，；问第位同学小叶的实际成绩是多少分？ 【融会贯通】 1．食堂要购进筐青萝卜，以每筐千克为标准，超过或者不足的分别用正、负表示，记录如表： 与标准质量的差（千克） 0 2 筐数 1 4 2 3 5 5 (1)筐萝卜中，最轻的一筐比最重的要轻多少？ (2)这筐青萝卜的实际重量与标准重量相比，是多了还是少了？差值是多少？ (3)这批青萝卜每千克售价为元，买进这筐青萝卜的实际总价钱需要多少元？ 2．一辆货车从超市出发，向东走了到达小兵家，继续向东走了到达小颖家，然后向西走了到达小明家，最后回到超市． (1)以超市为原点，以向东的方向为正方向，用1个单位长度表示，请你画出数轴，并在数轴上分别用点，，表示出小兵家、小颖家和小明家的位置； (2)货车一共行驶了多少千米？ 3．出租车司机小王每天下午的营运全都是在东西走向的人民大街进行的，如果规定向东为正、向西为负，他这天下午共运行次，行车里程如下：（单位：km） 、、、、、、、、、、，问： (1)将最后一名乘客送到目的地时，小王距离下午出车时的地点有多少千米？ (2)若汽车耗油量为升/千米，这天下午小王共耗油多少升？ (3)判断一下：人民大街的总长度不能小于多少千米？ (4)小王所开的出租车按物价部门规定：起步价元（即：不超过km，收元），超过km后，每行驶千米加价元，小王这天下午共收入多少元（不计算耗油钱）？ 类型二、有理数减法的实际应用 【解惑】1993年，一个老人说：“今年我的生日已过，40多年前的今天，我还是20多岁的青年，那时我的年龄刚好等于那年年份的四个数字之和．”老人2019年是多大年龄？ 【融会贯通】 1．小李是一名外卖员，某天中午他骑电动车一直在南北方向的文化路上送外卖．如果向北行驶记作“+”，向南行驶记作“﹣”，这天中午他从集合点出发，行程记录如下（单位：千米）： ，，，，，． (1)小李将最后一份外卖送到目的地时，他在集合点的什么方向？距集合点多远？ (2)小李距集合点最远为 ______千米． (3)若小李在出发时电动车显示剩余电量还能行驶15千米，在中间不充电的情况下，他能否完成上面的行程？请说明理由． 2．某地今年十一黄金周期间动车站的客流量统计表（每天以6万人次为基准，超出记为正，不足记为负）． 日期 9月29日 9月30日 10月1日 10月2日 10月3日 10月4日 10月5日 客流量/万人次 (1)10月5日这一天的实际客流量是 万人次；该动车站客流量最多的一天是 日，这一天的实际客流量是 万人次； (2)若规定该动车站客流量比前一天上升为正，例如9月29日客流量比9月28日上升万人次记为“”．则该动车站的客流量新的统计表如下表： 日期 9月29日 9月30日 10月1日 10月2日 10月3日 10月4日 10月5日 客流量/万人次 ①9月28日的实际客流量是 万人次； ②请补全十一黄金周期间动车站的客流量新的统计表． 3．随着手机的普及，微信的兴起，许多人抓住这种机会，做起了“微商”．很多农产品也改变了原来的销售模式，实行了网上销售．这不刚大学毕业的小明把自家的冬枣产品也放到了网上，他原计划每天卖100斤冬枣，但由于种种原因，实际每天的销售量与计划量相比有出入，下表是某周的销售情况与计划量相比（超额的部分记为正，不足的部分记为负．单位：斤） 星期 一 二 三 四 五 六 日 与计划量的差值 (1)根据记录的数据可知前三天共卖出______斤： (2)根据记录的数据可知销售量最多的一天比销售量最少的一天多销售______斤： (3)本周实际销售总量达到了计划数量没有？ (4)若冬枣每斤按8元出售，每斤冬枣的运费平均3元，不考虑其它的成本，那么小明本周一共收入多少元？ 类型三、有理数加减中的简便运算 【解惑】计算． (1) (2) 【融会贯通】 1．在有些情况下，不需要计算出也能把绝对值符号去掉，例如：，，，． (1)根据上面的规律，写出下列各式去掉绝对值符号后的形式（不要计算出结果）： ①______；②______． (2)计算：． 2．下面是某数学兴趣小组探究用不同方法求“有理数加法”的讨论片段，请仔细阅读，并完成相应的任务． 试题：计算：． 小明：我是先把原带分数化成假分数，然后直接按照有理数加法的运算法则从左到右依次计算． 小军：我认为小明的方法很单一，而且有点麻烦，下面是我按照“拆项法”进行解答的过程： 解：原式 ． 老师：小军的方法很有创意，值得提倡与学习． 任务：请根据片段中的“拆项法”，进行下面的计算： (1)． (2)． 3．在学习了有理数的加减法之后，老师讲解了例题的计算思路为：从左侧开始将两个加数组合在一起作为一组；其和为1，共有1009组，所以结果为．根据这个思路某同学改编了下列几题： (1)计算： ①______； ②______． (2)蚂蚁在数轴的原点处，第一次向右爬行1个单位，第二次向右爬行2个单位，第三次向左爬行3个单位，第四次向左爬行4个单位，第五次向右爬行5个单位，第六次向右爬行6个单位，第七次向左爬行7个单位……按照这个规律，求出第2023次爬行后蚂蚁在数轴什么位置 类型四、有理数乘法的实际应用 【解惑】某个体水果店经营香蕉，每千克进价元，售价元，月日至月日经营情况如下表： 购进 售出（） 损耗（） (1)若月日晚库存为，则月日晚库存 ； (2)就月日这一天的经营情况看，当天是赚钱还是赔钱，规定赚钱为正，当天赚 元； (3)月日到月日该个体户共赚多少钱？ 【融会贯通】 1．小艾同学的父亲是一名交警，假期某天早上，小艾随父亲乘交通巡逻车从恒隆出发，在红旗路上巡视，中午到达学校门口，如果规定向东行驶为正，向西行驶为负，行驶记录如下．单位：． 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次 第七次 (1)巡逻车在巡逻过程中，第 次离恒隆最远． (2)学校在恒隆哪个方向，与恒隆相距多少千米？ (3)若每千米耗油升，每升汽油需元，问这半天交通巡逻车所需汽油费多少元？ 2．出租车司机小李某天下午的营运全是在东西走向的中山路上进行的，如果规定向东行驶为正，他这天下午行车的里程（单位：千米）如下： ，，，，，，，，， (1)小李下午出发地记为0，他将最后一名乘客送抵目的地时，小李在下午出发地的哪个方向，有多远？ (2)如果汽车耗油量为升/千米，那么这天下午汽车共耗油多少升？ (3)如果现在汽油的价格是元/升，那么这天下午小李的汽油费用是多少元？ 3．“十一”期间，某风景区在7天中每天游客的人数变化如下表(正数表示比前一天多的人数，负数表示比前一天少的人数)，若9月30日的游客人数为1万人，进园的人均消费为 元． 日期(10月) 1 日 2日 3 日 4 日 5 日 6日 7 日 人数变化单位： 万人 (1)10月4日的游客人数为________万人； (2)七天内游客人数最多的是________；游客人数为________万人 (3)此风景区一方面给广大市民提供一个休闲游玩的好去处；另一方面拉动了内需，促进了消费．请帮该景区计算“十一”期间所有游园人员在此风景区的总消费是多少万元? 类型五、有理数除法的实际应用 【解惑】小虫从某点O处出发在一直线上来回爬行，假定向右爬行的路程记为正数，向左爬行的路程记为负数，爬行的路程依次为（单位：），，，，，，． (1)小虫经过这7次爬行后是否回到出发点O处？请说明理由． (2)小虫第_____________次爬行后离原出发点O最远？最远距离是_____________cm． (3)在爬行过程中，如果每爬3cm奖励两片嫩叶，那么小虫共得多少片嫩叶？ 【融会贯通】 1．如图，水平桌面上有甲、乙、丙三个圆柱形容器，并在距离容器底部处用两根相同的管子连接，其中甲、丙两容器的底面积均为，乙容器的底面积为，甲容器中有水．现同时向乙、丙两个容器内匀速注水，直至每个容器都注满水时停止注水，已知每个容器每分钟注水． 容器甲    容器乙     容器丙 (1)当甲、乙两个容器中水位的高度第一次相等时，求注水的时间； (2)当甲、乙两个容器中水位的高度相差时，求注水的时间． 2．在东西向的马路上有一个巡岗亭，巡岗员甲从岗亭出发以的速度匀速来回巡逻．如果规定向东为正，向西为负．巡逻情况记录如下：(单位：) 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 4 3 已知巡岗员甲第五次巡逻结束时刚好回到岗亭． (1)求第四次结束时，巡岗员甲的位置在岗亭的东边还是西边，相距多远； (2)直接写出表中第五次巡逻应记为多少千米； (3)巡岗员甲从出发到第五次巡逻结束用时多长； (4)巡逻过程中配置无线对讲机，并一直与留守在岗亭的乙通话，若无线对讲机只能在2千米范围内正常使用，直接写出甲巡逻过程中，甲与乙可以正常通话的时间有多少小时． 3．为鼓励人们节约用水，某市居民生活用水实行“阶梯水价”收费，具体收费标准是：用户每月用水量在吨及以内的为第一级水量基数，按一级用水价格收取，超过2吨且不超过吨的部分为第二级水量基数，按一级用水价格的倍收取，超过吨的部分为第三级水量基数，按一级用水价格的倍收取．为节约用水，小高记录了月份他家每月号的水表读数．（注：相邻两个月同一天的水表读数之差为上一个月的用水量） 月 月 月 月 月 月 月 水表读数（吨） (1)填空：小高家月份的用水量_______吨，月平均每月用水量为_______吨． (2)已知小高家月份的水费为元，试求他家月份需缴纳水费多少元？ (3)7月份放暑假后，小高的爷爷、奶奶来到家里和小高一起生活，用水量明显增加，比月份多用水吨，试求小高家月份需缴纳水费多少元？ 类型六、有理数乘方的实际应用 【解惑】拉面是把一根较粗的面条先对折成2根再拉开，然后将两端捏紧，再对折成4根再拉开，…，一直重复这个流程，面条的数量会不断增多，也会不断变细． (1)将这个流程重复7次后，面条的数量会变成多少根？ (2)若刚开始时的面条的横截面积为，则将这个流程重复8次后，平均每一根面条横截面积是多少？（每一次拉开的长度都与第一根面条的长度相同且粗细均匀） 【融会贯通】 1．（1）在下表中，给出了国外四个城市与北京的时差 城市 悉尼 罗马 伦敦 纽约 时差/小时 2 －7 －8 －13 下面的五个时钟显示了同一天同一时刻国外四个城市时间和北京时间， ①若北京时间是11月12日上午9点10分，那么伦敦时间为 ； ②从左到右五个时钟对应的城市分别为：A： ；B： ；C： ；D： ；E： ． （2）阅读下列材料，并解决后面的问题． 材料：一般地，n个相同的因数a相乘：记为．如，此时，3叫做以2为底8的对数，记为（即）．一般地，若（且），则n叫做以a为底b的对数，记为（即）．如，则4叫做以3为底81的对数，记为（即）．直接写出之间满足的关系式． 2．已知小东的身高为，一张纸的厚度约为． (1)请通过计算说明小东的身高是纸的厚度的多少倍？ (2)若将这张纸连续对折5次，这时它的厚度是多少？ (3)假设连续对折始终是可能的，那么对折多少次后，所得的厚度可以超过小东的身高？（其中，，，．） 3．在求1＋2＋22＋23＋24＋⋯＋210的值时，张红发现：从第二个加数起，每一个加数都是前一个加数的两倍，于是她假设： S＝1＋2＋22＋23＋24＋⋯＋210①，然后在①式的两边都乘以2，得： 2S＝2＋22＋23＋24＋⋯＋211②， ②﹣①得：2S﹣S＝211﹣1，所以S＝211﹣1 （1）请根据张红的方法求1＋3＋32＋33＋34＋⋯＋310的值． （2）如果把2换成字母m（m≠0），能否求出1＋m＋m2＋m3＋m4＋⋯＋m2021的值？如果能，用含m的式子表示该值． 类型七、有理数中的新定义运算 【解惑】探究规律，完成相关题目 小明说：“我在有理数内定义了一种新的运算，叫*（加乘）运算．” 然后他写出了一些按照*（加乘）运算的运算法则进行运算的算式： 小红看了这些算式后说：“我知道你定义的*（加乘）运算的运算法则了．” 聪明的你也明白了吗？请完成以下问题： (1)归纳*（加乘）运算的运算法则： 两数进行*（加乘）运算时，__________ 特别地，0和任何数进行*（加乘）运算，或任何数和0进行*（加乘）运算，__________ (2)计算：__________．（括号的作用与有理数运算中的作用一致） (3)我们知道加法有交换律和结合律，这两种运算律在有理数的*（加乘）运算中还适用吗？请你任选一个运算律，判断它在*（加乘）运算中是否适用，并举例验证．（举一个例子即可） (4)若有理数满足等式，则的值为__________． 【融会贯通】 1．探究规律，完成相关题目： 小明说：“我定义了一种新的运算，叫※（加乘）运算．” 然后他写出了一些按照※（加乘）运算的运算法则进行运算的算式： ；； ；； ；；；． 小亮看了这些算式后说：“我知道你定义的※（加乘）运算的运算法则了．” 聪明的你也明白了吗？ (1)观察以上式子，类比计算： ① ， ； (2)计算：；（括号的作用与它在有理数运算中的作用一致，写出必要的运算步骤） (3)若．计算：的值． 2．如果，那么为的“劳格数”，记为．由定义可知：与表示、两个量之间的同一关系． (1)根据“劳格数”的定义，填空：　 　，______； (2)“劳格数”有如下运算性质：若、为正数，则，；根据运算性质，填空：________．（a为正数） (3)若，分别计算；． 3．定义运算 观察下列运算： ，，， ，，， ，． （1）请你认真思考上述运算，归纳运算的法则： 两数进行运算时，同号两数运算______，异号两数运算______． 特别地，0和任何数进行运算，或任何数和0进行运算，仍得这个数． （2）计算：______，______． （3）若，则______，若，则______． 类型八、有理数中的圈次方 【解惑】【概念学习】规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如，等．类比有理数的乘方，我们把记作，读作“2的圈3次方”记作，读作“的圈4次方”． 【初步探究】 （1）直接写出计算结果：__________，__________； 【深入思考】 我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ （2）试一试：仿照上图的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式． __________；__________；__________． （3）算一算：． 【融会贯通】 1．【概念学习】 规定：求若干个相同的有理数（均不等0）的除法运算叫做除方，如，等．类比有理数的乘方，我们把记作2③，读作“2的圈3次方”，记作④，读作“的圈4次方”．一般地，把（个，）记作a圈n，读作“的圈次方”． 【初步探究】 （1）直接写出计算结果：________，________． （2）关于除方，下列说法错误的是（）． A．任何非零数的圈3次方都等于它的倒数 B．对于任何正整数，1的圈n次方， C． D．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数 【初步探究】 我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘法运算呢？ （3）试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式，________；________． （4）想一想：将一个非零有理数的圈次方写成幂的形式是________． （5）算一算：． 2．概念学习 规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如，等．类比有理数的乘方，我们把记作，读作“2的圈3次方”，记作，读作“的圈4次方”，一般地，把（个）（）记作，读作“的圈次方”． 初步探究 （1）直接写出计算结果：________，________； （2）关于除方，下列说法错误的是________： A．任何非零数的圈2次方都等于1； B．对于任何正整数，1的圈次方都等于1； C．； D．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数． 深入思考： 我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？    （1）试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式， 的圈4次方＝________ 5的圈5次方＝________； 的圈6次方＝________ （2）想一想：将一个非零有理数的圈次方写成幂的形式等于________； （3）算一算：． 3．【概念学习】 现规定：求若干个相同有理数（均不等于0）连除的商的运算叫做除方． 比如：，等，类比有理数的乘方，我们把： 写作：，读作“2的圈3次方”； 写作，读作“的圈4次方”． 一般地，把写作，读作“a的圈n次方"． 【初步探究】 （1）直接写出计算结果：________，________； 【深入思考】 我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，那么有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ 除方整式幂的形式 （2）归纳：请把有理数的圈次方写成幂的形式为：________； （3）利用（2）中的结论，计算：． 【一览众山小】 1．将，，，0，1，2，3，4，5，6这10个数填到图中的10个格子里，每个格子中只填一个数，使得所有田字形的4个格子中所填数字之和都等于，则的最大值是（　　） A．8 B．9 C．10 D．11 2．一只蜗牛从数轴上表示的点出发，第一次向正方向移动1个单位，第二次向反方向移动2个单位，第三次向正方向移动3个单位，第四次向反方向移动4个单位，…，按这样的规律则蜗牛第101次移动后在数轴上的位置所表示的有理数是（  ） A． B．48 C． D．49 3．设表示不大于m的最大整数，如，，则（    ） A． B． C． D． 4．计算： ． 5．某日小王驾驶一辆小型车到某地办事，上午到达，在路边的电子收费停车区域内停车．收费标准如图： 白天 首小时内 小型车：1.5元/15分钟 大型车：3元/15分钟 首小时后 小型车：2.25元/15分钟 大型车：4.5元/15分钟 夜间（（不含）～次日（不含）） 小型车：1元/2小时 大型车：2元/2小时 不足一个计时单位按一个计时单位收取费用 （1）如果他离开，那么应缴费 元； （2）如果他离开时缴费15元，那么停车的时长t（单位：分钟）的取值范围是 ． 6．现定义两种运算“⊕”和“※”．对于任意两个整数， ， ，那么⊕ ． 7．计算下面各题，能简算可以简算． ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ 8．观察下列运算过程： ，① ，得，② ，得，． 用上面的方法计算：． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02有理数的运算思维导图 【类型覆盖】 类型一、有理数加法的实际应用 【解惑】七年级一班某次数学测验，第二组个同学的平均成绩为分，数学老师以平均成绩为基准，超过为正，把小龙、小聪、小梅、小莉、小刚这五位同学的成绩简记为，，，，；问第位同学小叶的实际成绩是多少分？ 【答案】分 【分析】本题考查了正负数的实际应用，根据正负数的意义求出小龙、小聪、小梅、小莉、小刚这五位同学的成绩与平均成绩差值，即可求出小叶的实际成绩，理解正负数的意义是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴第6位同学小叶的实际成绩超出标准分10分. ∴小叶的实际成绩是分， 答：小叶的实际成绩是分． 【融会贯通】 1．食堂要购进筐青萝卜，以每筐千克为标准，超过或者不足的分别用正、负表示，记录如表： 与标准质量的差（千克） 0 2 筐数 1 4 2 3 5 5 (1)筐萝卜中，最轻的一筐比最重的要轻多少？ (2)这筐青萝卜的实际重量与标准重量相比，是多了还是少了？差值是多少？ (3)这批青萝卜每千克售价为元，买进这筐青萝卜的实际总价钱需要多少元？ 【答案】(1)最轻的一筐比最重的要轻千克； (2)这筐青萝卜的实际重量与标准重量相比多了，多了千克； (3)买进这筐青萝卜的实际总价钱为元； 【分析】本题考查正负数及正负意义的应用： （1）根据表格中与标准质量差的最大值最小值之差即可得到答案； （2）利用正负数之和与0比较即可得到答案； （3）先求出总数量，乘以单价即可得到答案； 【详解】（1）解：由题意可得， （千克）， ∴最轻的一筐比最重的要轻千克； （2）解：由题意可得， （千克）， ∵， ∴这筐青萝卜的实际重量与标准重量相比多了，多了千克； （3）解：由（2）得， 这筐青萝卜的实际重量为： （千克）， ∵这批青萝卜每千克售价为元， ∴买进这筐青萝卜的实际总价钱为：（元）， ∴买进这筐青萝卜的实际总价钱为元． 2．一辆货车从超市出发，向东走了到达小兵家，继续向东走了到达小颖家，然后向西走了到达小明家，最后回到超市． (1)以超市为原点，以向东的方向为正方向，用1个单位长度表示，请你画出数轴，并在数轴上分别用点，，表示出小兵家、小颖家和小明家的位置； (2)货车一共行驶了多少千米？ 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了数轴、有理数的加法，掌握数轴的定义是解题关键． （1）分别求出小彬家、小颖家、小明家与超市的距离，再在数轴上描点即可得； （2）根据所走的行程，列出式子，计算有理数的加法即可得． 【详解】（1）．解：如图所示： （2）货车一共行驶了：． 故货车一共行驶了． 3．出租车司机小王每天下午的营运全都是在东西走向的人民大街进行的，如果规定向东为正、向西为负，他这天下午共运行次，行车里程如下：（单位：km） 、、、、、、、、、、，问： (1)将最后一名乘客送到目的地时，小王距离下午出车时的地点有多少千米？ (2)若汽车耗油量为升/千米，这天下午小王共耗油多少升？ (3)判断一下：人民大街的总长度不能小于多少千米？ (4)小王所开的出租车按物价部门规定：起步价元（即：不超过km，收元），超过km后，每行驶千米加价元，小王这天下午共收入多少元（不计算耗油钱）？ 【答案】(1)将最后一名乘客送到目的地时，小王距离下午出车时的地点有千米 (2)这天下午小王共耗油升 (3)人民大街的总长度不能小于千米 (4)小王这天下午收入元 【分析】本题考查了正数和负数，利用了有理数的加法运算，有理数的大小比较． （1）把所有行车记录相加，然后根据和的正负情况确定最后的位置； （2）求出所有行车记录的绝对值的和，再乘以即可； （3）结合（1）中所得的数据得到答案； （4）根据收费标准，可得每次的收费，根据有理数的加法，可得答案． 【详解】（1）解：（千米）． 答：将最后一名乘客送到目的地时，小王距离下午出车时的地点有千米． （2）解：（升）． 答：这天下午小王共耗油升； （3）解：由（1）知，人民大街的总长度不能小于千米； （4）解：根据题意，得 （元）． 答：小王这天下午收入元． 类型二、有理数减法的实际应用 【解惑】1993年，一个老人说：“今年我的生日已过，40多年前的今天，我还是20多岁的青年，那时我的年龄刚好等于那年年份的四个数字之和．”老人2019年是多大年龄？ 【答案】93岁 【分析】根据“40多年前的今天，”1993年的40多年前，应是年和年之间．由“那年20多岁，他的年龄刚好等于那年年份的四个数字之和”得到：应在年之间．只有每个年份的四个数字之和是20多．于是．所以老人在1926年出生．然后进一步解答即可．解答本题关键是确定这位老人的年龄范围． 【详解】解：1993年的40多年前，应是年和年之间． ∵“那年20多岁，他的年龄刚好等于那年年份的四个数字之和” ∴应在年之间． 则只有1947、1948、1949每个年份的四个数字之和是20多． ∴． 所以老人在1926年出生． （岁）． 【融会贯通】 1．小李是一名外卖员，某天中午他骑电动车一直在南北方向的文化路上送外卖．如果向北行驶记作“+”，向南行驶记作“﹣”，这天中午他从集合点出发，行程记录如下（单位：千米）： ，，，，，． (1)小李将最后一份外卖送到目的地时，他在集合点的什么方向？距集合点多远？ (2)小李距集合点最远为 ______千米． (3)若小李在出发时电动车显示剩余电量还能行驶15千米，在中间不充电的情况下，他能否完成上面的行程？请说明理由． 【答案】(1)他在集合点的南边，距集合点1千米 (2)2 (3)能，理由见解析 【分析】本题考查了数轴，正负数，绝对值，有理数的加减法运算，解题的关键是： （1）将题中所记录的数据相加求和即可得出答案； （2）分别求出这6次行驶距离集合点的路程，比较即可； （3）分别求出这6个数的绝对值，相加求和，然后与15进行比较即可得出答案． 【详解】（1）解： （千米）， 答：小李将最后一份外卖送到目的地时，他在集合点的南边，距集合点1千米； （2）第一次距离集合点（千米）， 第二次距离集合点（千米）， 第三次距离集合点（千米）， 第四次距离集合点（千米）， 第五次距离集合点（千米）， 第六次距离集合点（千米）， 因为， 所以小李距集合点最远为2千米， 故答案为：2； （3）能，理由： （千米）千米， 所以在中间不充电的情况下，他能完成上面的行程． 2．某地今年十一黄金周期间动车站的客流量统计表（每天以6万人次为基准，超出记为正，不足记为负）． 日期 9月29日 9月30日 10月1日 10月2日 10月3日 10月4日 10月5日 客流量/万人次 (1)10月5日这一天的实际客流量是 万人次；该动车站客流量最多的一天是 日，这一天的实际客流量是 万人次； (2)若规定该动车站客流量比前一天上升为正，例如9月29日客流量比9月28日上升万人次记为“”．则该动车站的客流量新的统计表如下表： 日期 9月29日 9月30日 10月1日 10月2日 10月3日 10月4日 10月5日 客流量/万人次 ①9月28日的实际客流量是 万人次； ②请补全十一黄金周期间动车站的客流量新的统计表． 【答案】(1)，29， (2)①；② 【分析】本题主要考查了正负数的实际应用，有理数加减计算的实际应用： （1）根据正负数的意义分别计算出每一天的客流量即可得到答案； （2）①根据正负数的意义即可求出9月28日的实际客流量；②用10月2日的客流量减去10月1日的客流量即可得到答案． 【详解】（1）解：9月29日实际客流量是万人次， 9月30日实际客流量是万人次， 10月1日实际客流量是万人次， 10月2日实际客流量是万人次， 10月3日实际客流量是万人次， 10月4日实际客流量是万人次， 10月5日实际客流量是万人次， ∴10月5日这一天的实际客流量是万人次； 该动车站客流量最多的一天是29日，这一天的实际客流量是万人次； 故答案为：，29，； （2）解：①∵9月29日实际客流量是万人次， ∴9月28日实际客流量是万人次， 故答案为：； ②∵10月1日实际客流量是万人次， 10月2日实际客流量是万人次， ∴10月2日比10月1日减少万人次， 故答案为：． 3．随着手机的普及，微信的兴起，许多人抓住这种机会，做起了“微商”．很多农产品也改变了原来的销售模式，实行了网上销售．这不刚大学毕业的小明把自家的冬枣产品也放到了网上，他原计划每天卖100斤冬枣，但由于种种原因，实际每天的销售量与计划量相比有出入，下表是某周的销售情况与计划量相比（超额的部分记为正，不足的部分记为负．单位：斤） 星期 一 二 三 四 五 六 日 与计划量的差值 (1)根据记录的数据可知前三天共卖出______斤： (2)根据记录的数据可知销售量最多的一天比销售量最少的一天多销售______斤： (3)本周实际销售总量达到了计划数量没有？ (4)若冬枣每斤按8元出售，每斤冬枣的运费平均3元，不考虑其它的成本，那么小明本周一共收入多少元？ 【答案】(1) (2) (3)本周实际销售总量达到了计划数量 (4)小明本周一共收入元 【分析】本题考查了正数与负数在实际生活中的应用以及有理数加减乘除混合运算，读懂表格数据， 根据题意准确列式是解题的关键． （1）根据前三天销售量相加计算即可； （2）将销售量最多的一天与销售量最少的一天相减计算即可； （3）先将各数相加求得正负即可求解； （4）将总数量乘以价格差解答即可． 【详解】（1）解：（斤）， 故答案为：； （2）（斤）， 故答案为：； （3）， 答：本周实际销售总量达到了计划数量； （4） （元）， 答：小明本周一共收入元． 类型三、有理数加减中的简便运算 【解惑】计算． (1) (2) 【答案】(1) (2)1012 【分析】（1）根据带分数的意义，可将算式变为，然后去掉括号，将算式变为，然后根据带符号搬家和括号的应用，将算式变为，再计算括号里面的结果，接着根据乘法的意义，将算式变为进行简算即可． （2）合理分组：每两个数为一组，结果是3；一共有337组；进行简算即可． 【详解】（1） ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝； （2） 每两个数为一组，结果是3； 则 即一共有337组； 原式． 【融会贯通】 1．在有些情况下，不需要计算出也能把绝对值符号去掉，例如：，，，． (1)根据上面的规律，写出下列各式去掉绝对值符号后的形式（不要计算出结果）： ①______；②______． (2)计算：． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】本题考查了绝对值、有理数加减法的结合律，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）①根据去掉绝对值符号即可得； ②根据去掉绝对值符号即可得； （2）先去掉绝对值符号，再利用有理数加减法的结合律进行计算即可得． 【详解】（1）解：①， 故答案为：； ②， 故答案为：． （2）解： ． 2．下面是某数学兴趣小组探究用不同方法求“有理数加法”的讨论片段，请仔细阅读，并完成相应的任务． 试题：计算：． 小明：我是先把原带分数化成假分数，然后直接按照有理数加法的运算法则从左到右依次计算． 小军：我认为小明的方法很单一，而且有点麻烦，下面是我按照“拆项法”进行解答的过程： 解：原式 ． 老师：小军的方法很有创意，值得提倡与学习． 任务：请根据片段中的“拆项法”，进行下面的计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】根据拆项法，可把整数结合在一起，分数结合在一起，再根据有理数的加法，可得答案． 【详解】（1）解： （2） 【点睛】本题主要考查了有理数的加减混合运算，利用题干中的拆项法拆项后再利用运算律解答是解题的关键． 3．在学习了有理数的加减法之后，老师讲解了例题的计算思路为：从左侧开始将两个加数组合在一起作为一组；其和为1，共有1009组，所以结果为．根据这个思路某同学改编了下列几题： (1)计算： ①______； ②______． (2)蚂蚁在数轴的原点处，第一次向右爬行1个单位，第二次向右爬行2个单位，第三次向左爬行3个单位，第四次向左爬行4个单位，第五次向右爬行5个单位，第六次向右爬行6个单位，第七次向左爬行7个单位……按照这个规律，求出第2023次爬行后蚂蚁在数轴什么位置 【答案】(1)①，② (2)第2023次爬行后蚂蚁在原点处 【分析】（1）根据题目所给计算方法进行计算即可； （2）将向右爬行记为正，向左爬行记为负，列出算式进行计算即可． 【详解】（1）解：根据题意可得； ① ； ② 故答案为：，； （2）解：将向右爬行记为正，向左爬行记为负， ， ∴第2023次爬行后蚂蚁在原点处． 【点睛】本题主要考查了有理数加减混合运算的实际应用，解题的关键是熟练正确理解题意，根据题意正确列出算式． 类型四、有理数乘法的实际应用 【解惑】某个体水果店经营香蕉，每千克进价元，售价元，月日至月日经营情况如下表： 购进 售出（） 损耗（） (1)若月日晚库存为，则月日晚库存 ； (2)就月日这一天的经营情况看，当天是赚钱还是赔钱，规定赚钱为正，当天赚 元； (3)月日到月日该个体户共赚多少钱？ 【答案】(1)； (2)； (3)元． 【分析】（）根据表格求出月日的库存即可； （）根据售价进价利润，列出算式，计算即可得到结果； （）根据售价进价利润，列出算式，计算即可得到结果； 此题考查了正负数的意义，有理数的混合运算的应用，弄清题意是解题的关键． 【详解】（1）解：根据题意得，月日晚库存千克， 故答案为：； （2）解：根据题意得，元， ∴当天是赔钱， 规定赚钱为正，当天赚元， 故答案为：； （3）解：根据题意得，元， 答：月日到月日该个体户共赚元钱． 【融会贯通】 1．小艾同学的父亲是一名交警，假期某天早上，小艾随父亲乘交通巡逻车从恒隆出发，在红旗路上巡视，中午到达学校门口，如果规定向东行驶为正，向西行驶为负，行驶记录如下．单位：． 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次 第七次 (1)巡逻车在巡逻过程中，第 次离恒隆最远． (2)学校在恒隆哪个方向，与恒隆相距多少千米？ (3)若每千米耗油升，每升汽油需元，问这半天交通巡逻车所需汽油费多少元？ 【答案】(1)六； (2)学校在恒隆东面，与恒隆相距千米； (3)交通巡逻车所需汽油费为元． 【分析】（）求出每次记录时恒隆的距离，数值最大的为最远的距离： （）把次记录相加，根据和的情况判断学校与恒隆的关系即可； （）求出所有记录的绝对值的和，再乘以计算即可得解； 本题考查了正负数的意义，有理数的加法和乘法的实际应用，理解正负数的意义是解题的关键． 【详解】（1）解：，，，，，，， ∵最大， ∴第六次离恒隆最远， 故答案为：六； （2）解：∵， ∴学校在恒隆东面，与恒隆相距千米； （3）解：小艾和父亲巡逻所走路程： 千米， 巡逻车所需汽油费：元， 答：交通巡逻车所需汽油费为元． 2．出租车司机小李某天下午的营运全是在东西走向的中山路上进行的，如果规定向东行驶为正，他这天下午行车的里程（单位：千米）如下： ，，，，，，，，， (1)小李下午出发地记为0，他将最后一名乘客送抵目的地时，小李在下午出发地的哪个方向，有多远？ (2)如果汽车耗油量为升/千米，那么这天下午汽车共耗油多少升？ (3)如果现在汽油的价格是元/升，那么这天下午小李的汽油费用是多少元？ 【答案】(1)小李在下午出发地东6千米 (2)汽车共耗油21.32升 (3)小李的汽油费用是95.94元 【分析】 此题主要考查了正负数的意义，有理数混合运算的应用，绝对值的应用，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量． （1）把所有行车记录相加，然后根据和的正负情况确定最后的位置； （2）求出所有行车记录的绝对值的和，再乘以0.41即可； （3）将（2）中的结果乘以4.5即可． 【详解】（1）解：（千米）， 答：小李在下午出发地东6千米； （2）（千米）， （升）， 答：这天下午汽车共耗油21.32升； （3）（元）， 答：小李的汽油费用是95.94元． 3．“十一”期间，某风景区在7天中每天游客的人数变化如下表(正数表示比前一天多的人数，负数表示比前一天少的人数)，若9月30日的游客人数为1万人，进园的人均消费为 元． 日期(10月) 1 日 2日 3 日 4 日 5 日 6日 7 日 人数变化单位： 万人 (1)10月4日的游客人数为________万人； (2)七天内游客人数最多的是________；游客人数为________万人 (3)此风景区一方面给广大市民提供一个休闲游玩的好去处；另一方面拉动了内需，促进了消费．请帮该景区计算“十一”期间所有游园人员在此风景区的总消费是多少万元? 【答案】(1) (2)月日； (3)765万元 【分析】本题考查正数和负数及有理数运算的实际应用， （1）根据正数和负数的实际意义列式计算即可； （2）分别求得每天的实际人数后即可求得答案； （3）结合（1）（2）中所求列式计算即可． 【详解】（1）10月1日游客人数为（万人）， 10月2日游客人数为（万人）， 10月3日游客人数为（万人）， 10月4日游客人数为（万人）， 即10月4日的游客人数为2.8万人， 故答案为：2.8； （2）10月5日游客人数为（万人）， 10月6日游客人数为（万人）， 10月7日游客人数为（万人）， 则七天内游客人数最多的是10月3日，游客人数为3.2万人， 故答案为：10月3日；3.2； （3） （万元）， 即该景区计算“十一”期间所有游园人员在此风景区的总消费是918万元． 类型五、有理数除法的实际应用 【解惑】小虫从某点O处出发在一直线上来回爬行，假定向右爬行的路程记为正数，向左爬行的路程记为负数，爬行的路程依次为（单位：），，，，，，． (1)小虫经过这7次爬行后是否回到出发点O处？请说明理由． (2)小虫第_____________次爬行后离原出发点O最远？最远距离是_____________cm． (3)在爬行过程中，如果每爬3cm奖励两片嫩叶，那么小虫共得多少片嫩叶？ 【答案】(1)小虫经过这7次爬行后又回到出发点处； (2)3，13； (3)那么小虫共得36片嫩叶． 【分析】本题考查了有理数加法和乘除法的应用，绝对值的应用，熟练掌握有理数的运算法则及绝对值的意义是解答本题的关键． （1）直接把各数相加即可； （2）计算每次爬行小虫与出发点的距离即可； （3）求出小虫爬行的总路程即可得出结论． 【详解】（1）小虫经过7次爬行后又回到点O．理由如下： ， 小虫经过这7次爬行后又回到出发点O处； （2）第一次爬行距离O点， 第二次爬行距离O点， 第三次爬行距离O点， 第四次爬行距离O点， 第五次爬行距离O点， 第六次爬行距离O点， 第七次爬行距离O点， 小虫第3次爬行后离原出发点O最远，最远距离是； 故答案为：；． （3） ， ， 答：那么小虫共得36片嫩叶． 【融会贯通】 1．如图，水平桌面上有甲、乙、丙三个圆柱形容器，并在距离容器底部处用两根相同的管子连接，其中甲、丙两容器的底面积均为，乙容器的底面积为，甲容器中有水．现同时向乙、丙两个容器内匀速注水，直至每个容器都注满水时停止注水，已知每个容器每分钟注水． 容器甲    容器乙     容器丙 (1)当甲、乙两个容器中水位的高度第一次相等时，求注水的时间； (2)当甲、乙两个容器中水位的高度相差时，求注水的时间． 【答案】(1) (2)当时间为，，，甲、乙两个容器中水位的高度相差 【分析】本题考查了有理数混合运算的应用，圆柱的容积计算，关键是注意分类讨论． （1）甲、乙两个容器中水位的高度第一次相等时，即乙容器水位达到甲容器中水的水位； （2）分水还未达到管子连接处、乙水位达到了管子连接处两种情况讨论． 【详解】（1）解：， ， ． （2）解：分两种情况：①乙容器中水还未达到管子连接处，i)当甲容器中水位比乙容器中水位高，相差时； ， 丙装满时间为， 即后，此时丙水位达到了管子连接处，，丙处水流入乙；此时容器乙高度增加速度， i)当甲容器中水位比乙容器中水位高，相差时； 当时，， ii) 当甲容器中水位比乙容器中水位低，相差时；此时丙水位达到了管子连接处，丙处水流入乙； 时，， 乙装满时间为； ②乙水位达到了管子连接处，当甲容器中水位比乙容器中水位低，相差时； 即后，，时， 综上，当时间为，，，甲、乙两个容器中水位的高度相差． 2．在东西向的马路上有一个巡岗亭，巡岗员甲从岗亭出发以的速度匀速来回巡逻．如果规定向东为正，向西为负．巡逻情况记录如下：(单位：) 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 4 3 已知巡岗员甲第五次巡逻结束时刚好回到岗亭． (1)求第四次结束时，巡岗员甲的位置在岗亭的东边还是西边，相距多远； (2)直接写出表中第五次巡逻应记为多少千米； (3)巡岗员甲从出发到第五次巡逻结束用时多长； (4)巡逻过程中配置无线对讲机，并一直与留守在岗亭的乙通话，若无线对讲机只能在2千米范围内正常使用，直接写出甲巡逻过程中，甲与乙可以正常通话的时间有多少小时． 【答案】(1)巡岗员甲得位置在岗亭的西边处 (2) (3)(小时) (4)小时 【分析】（1）把前面4次记录相加，根据和的情况判断第4次结束时小张的位置即可； （2）根据（1）的结论即可得到结果； （3）①求出所有记录的绝对值的和，再除以20计算即可得解 （4）求出距离的和，再除以20计算即可得解． 【详解】（1）解：依题意， ∴巡岗员甲得位置在岗亭的西边处， （2）解：依题意， ∴第五次巡逻应记为； （3）， (小时)； （4）解：依题意，在2千米范围内的路程为， （小时）， 答：他与小李可以正常通话的时间有小时． 【点睛】本题考查了正数和负数，有理数的加法与除法的实际应用，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示． 3．为鼓励人们节约用水，某市居民生活用水实行“阶梯水价”收费，具体收费标准是：用户每月用水量在吨及以内的为第一级水量基数，按一级用水价格收取，超过2吨且不超过吨的部分为第二级水量基数，按一级用水价格的倍收取，超过吨的部分为第三级水量基数，按一级用水价格的倍收取．为节约用水，小高记录了月份他家每月号的水表读数．（注：相邻两个月同一天的水表读数之差为上一个月的用水量） 月 月 月 月 月 月 月 水表读数（吨） (1)填空：小高家月份的用水量_______吨，月平均每月用水量为_______吨． (2)已知小高家月份的水费为元，试求他家月份需缴纳水费多少元？ (3)7月份放暑假后，小高的爷爷、奶奶来到家里和小高一起生活，用水量明显增加，比月份多用水吨，试求小高家月份需缴纳水费多少元？ 【答案】(1)； (2)月份需缴纳水费为元 (3)月份需缴纳水费元 【分析】（1）根据题意，用2月的水表读数减去1月的水表读数得出1月份的用水量，用7月份的水表读数减去1月份的水表读数除以6即可求得月平均每月用水量； （2）根据题意，2月份的水费按一级用水价格收取，根据题意求得一级用水的价格与二级用水的价格，进而根据表格求得月份用水量，即可求解； （3）根据题意得出7月份的用水超过30吨，则按照一、二、三级的水费进行计算即可求解． 【详解】（1）解：小高家月份的用水量吨； 月平均每月用水量为吨； 故答案为：17；17． （2）解：小高家月份用水量为：， 一级用水的价格为元吨；二级用水的价格为元吨； 他家月份用水量为：吨， ， 月份需缴纳水费为元 （3）解：根据题意：三级用水的价格为元吨， 月用水：（吨） （元） 月份需缴纳水费元． 【点睛】本题考查了有理数的混合运算的应用，根据题意列出算式是解题的关键． 类型六、有理数乘方的实际应用 【解惑】拉面是把一根较粗的面条先对折成2根再拉开，然后将两端捏紧，再对折成4根再拉开，…，一直重复这个流程，面条的数量会不断增多，也会不断变细． (1)将这个流程重复7次后，面条的数量会变成多少根？ (2)若刚开始时的面条的横截面积为，则将这个流程重复8次后，平均每一根面条横截面积是多少？（每一次拉开的长度都与第一根面条的长度相同且粗细均匀） 【答案】(1)128 (2) 【分析】本题考查有理数的乘方，能够从题中归纳发现规律是解题的关键． （1）根据题意列式计算即可得出答案； （2）根据题意列式计算即可得出答案． 【详解】（1）解：由题意得：（根） ∴这个流程重复7次后，面条的数量会变成128根． （2）解：将这个流程重复8次后，面条的数量是． ∵每一次拉开的长度都与第一根面条的长度相同且粗细均匀， ∴8次后，平均每一根面条横截面积． 【融会贯通】 1．（1）在下表中，给出了国外四个城市与北京的时差 城市 悉尼 罗马 伦敦 纽约 时差/小时 2 －7 －8 －13 下面的五个时钟显示了同一天同一时刻国外四个城市时间和北京时间， ①若北京时间是11月12日上午9点10分，那么伦敦时间为 ； ②从左到右五个时钟对应的城市分别为：A： ；B： ；C： ；D： ；E： ． （2）阅读下列材料，并解决后面的问题． 材料：一般地，n个相同的因数a相乘：记为．如，此时，3叫做以2为底8的对数，记为（即）．一般地，若（且），则n叫做以a为底b的对数，记为（即）．如，则4叫做以3为底81的对数，记为（即）．直接写出之间满足的关系式． 【答案】（1）①11月12日凌晨1点10分；②A：悉尼； B：北京；C：纽约；D：伦敦；E：罗马；（2） 【分析】（1）①根据北京与伦敦的时差确定出伦敦时间即可； ②根据纽约、悉尼、伦敦、罗马与北京的时差，结合钟表确定出对应的城市时间即可； （2）利用题干中的定义分别计算的值，由计算结果可得出结论． 【详解】解：（1）①若北京时间是11月12日上午9点10分，那么伦敦时间为11月12日凌晨1点10分； ②根据纽约、悉尼、伦敦、罗马与北京的时差，可得A：悉尼； B：北京；C：纽约；D：伦敦；E：罗马； 故答案为：①11月12日凌晨1点10分；②A：悉尼； B：北京；C：纽约；D：伦敦；E：罗马； （2） ． 【点睛】本题考查正负数的实际应用、有理数的乘方，正确理解新定义并熟练掌握其应用是解题关键． 2．已知小东的身高为，一张纸的厚度约为． (1)请通过计算说明小东的身高是纸的厚度的多少倍？ (2)若将这张纸连续对折5次，这时它的厚度是多少？ (3)假设连续对折始终是可能的，那么对折多少次后，所得的厚度可以超过小东的身高？（其中，，，．） 【答案】(1)18000 (2) (3)至少对折15次后，所得的厚度可以超过小东的身高 【分析】（1）先换算单位，然后再用小东的身高除以纸的厚度即可得出答案； （2）根据对折5次后为张纸的厚度，求出答案即可； （3）根据，即可得出答案． 【详解】（1）解：， ， 答：小东的身高是纸的厚度的18000倍； （2）解：， 答：将这张纸连续对折5次，这时它的厚度是． （3）解：∵，， ∴至少对折15次后，所得的厚度可以超过小东的身高． 【点睛】本题主要考查了有理数的乘方运算，除法运算，正确进行运算是解题的关键，注意进行单位换算． 3．在求1＋2＋22＋23＋24＋⋯＋210的值时，张红发现：从第二个加数起，每一个加数都是前一个加数的两倍，于是她假设： S＝1＋2＋22＋23＋24＋⋯＋210①，然后在①式的两边都乘以2，得： 2S＝2＋22＋23＋24＋⋯＋211②， ②﹣①得：2S﹣S＝211﹣1，所以S＝211﹣1 （1）请根据张红的方法求1＋3＋32＋33＋34＋⋯＋310的值． （2）如果把2换成字母m（m≠0），能否求出1＋m＋m2＋m3＋m4＋⋯＋m2021的值？如果能，用含m的式子表示该值． 【答案】（1）；（2）当时，则当时， 【分析】（1）仿照阅读部分，设1＋3＋32＋33＋34＋⋯＋310，再两边都乘以3，再把两式相减，即可得到答案； （2）分两种情况讨论：当时，则 当时，设1＋m＋m2＋m3＋m4＋⋯＋m2021，两边都乘以m，再两式相减可得答案. 【详解】解：（1）设1＋3＋32＋33＋34＋⋯＋310① 两边都乘以3得：② ②-①得： （2）设1＋m＋m2＋m3＋m4＋⋯＋m2021①， 当时，则 当时， 两边都乘以m， ②， ②-①得： 【点睛】本题考查的是乘方的含义，属于阅读理解类，理解题意，仿照例子的解题思路进行解答是解题的关键. 类型七、有理数中的新定义运算 【解惑】探究规律，完成相关题目 小明说：“我在有理数内定义了一种新的运算，叫*（加乘）运算．” 然后他写出了一些按照*（加乘）运算的运算法则进行运算的算式： 小红看了这些算式后说：“我知道你定义的*（加乘）运算的运算法则了．” 聪明的你也明白了吗？请完成以下问题： (1)归纳*（加乘）运算的运算法则： 两数进行*（加乘）运算时，__________ 特别地，0和任何数进行*（加乘）运算，或任何数和0进行*（加乘）运算，__________ (2)计算：__________．（括号的作用与有理数运算中的作用一致） (3)我们知道加法有交换律和结合律，这两种运算律在有理数的*（加乘）运算中还适用吗？请你任选一个运算律，判断它在*（加乘）运算中是否适用，并举例验证．（举一个例子即可） (4)若有理数满足等式，则的值为__________． 【答案】(1)同号得正，异号得负，并把绝对值相加；等于这个数的绝对值 (2) (3)加法的交换律仍然适用，结合律不适用，例子见解析 (4) 【分析】本题主要考查了有理数的加法计算，新定义： （1）首先根据※（加乘）运算的运算法则进行运算的算式，归纳出（加乘）运算的运算法则即可；然后根据：；，可得：0和任何数进行（加乘）运算，或任何数和0进行（加乘）运算，等于这个数的绝对值． （2）先计算出，再计算即可得到答案； （3）加法有交换律和结合律，交换律在有理数的（加乘）运算中还适用，结合律不适用，并举例验证加法交换律适用即可； （4）根据（1）的结论可得m与同号，且，据此可得答案． 【详解】（1）解：归纳（加乘）运算的运算法则： 两数进行（加乘）运算时，同号得正、异号得负，并把绝对值相加．特别地，0和任何数进行（加乘）运算，或任何数和0进行（加乘）运算，都得这个数的绝对值， 故答案为：同号得正、异号得负，并把绝对值相加；都得这个数的绝对值． （2）解： ， 故答案为：； （3）解：加法的交换律仍然适用， 例如：，， ∴， 故加法的交换律仍然适用． 结合律不适用， 举例：，， ∴， ∴结合律不适用． （4）解：∵， ∴， 故答案为：． 【融会贯通】 1．探究规律，完成相关题目： 小明说：“我定义了一种新的运算，叫※（加乘）运算．” 然后他写出了一些按照※（加乘）运算的运算法则进行运算的算式： ；； ；； ；；；． 小亮看了这些算式后说：“我知道你定义的※（加乘）运算的运算法则了．” 聪明的你也明白了吗？ (1)观察以上式子，类比计算： ① ， ； (2)计算：；（括号的作用与它在有理数运算中的作用一致，写出必要的运算步骤） (3)若．计算：的值． 【答案】(1)①；②； (2) (3) 【分析】本题考查了有理数的新定义运算，正确理解新定义掌握有理数的运算法则是解题的关键． （1）根据题意得出：同号得正，异号得负，并把绝对值相加的运算法则依次计算即可． （2）根据零与任意数※（加乘）或任何数同零※（加乘），都得这个数的绝对值，结合前面的运算计算即可； （3）根据题意得出，确定，然后代入式子进行计算即可． 【详解】（1）解：① =， 故答案为：． ② =， 故答案为：． （2）解： = ． （3）∵， ∴， ∴， ∴ ． 2．如果，那么为的“劳格数”，记为．由定义可知：与表示、两个量之间的同一关系． (1)根据“劳格数”的定义，填空：　 　，______； (2)“劳格数”有如下运算性质：若、为正数，则，；根据运算性质，填空：________．（a为正数） (3)若，分别计算；． 【答案】(1)1， (2)3 (3)0.6020，0.699． 【分析】本题考查新定义，有理数的运算；理解题意，将新定义转化为同底数幂的乘除法、幂的乘方与积的乘方运算是解题的关键． （1），，则有；，，则有； （2）根据，进行求解即可； （3）由题意得：，． 【详解】（1）由题意得：， ， ； 由题意得：， ， ； 故答案为：1，； （2）∵，， ∴ 故答案为3； （3）， ， ． 3．定义运算 观察下列运算： ，，， ，，， ，． （1）请你认真思考上述运算，归纳运算的法则： 两数进行运算时，同号两数运算______，异号两数运算______． 特别地，0和任何数进行运算，或任何数和0进行运算，仍得这个数． （2）计算：______，______． （3）若，则______，若，则______． 【答案】（1）结果为正，并将两数的绝对值相加；结果为负，并用较大绝对值减去较小绝对值；（2）45，-17；（3）-2020，-2022． 【分析】（1）根据已知等式可得运算规则； （2）根据（1）中所得运算规律进行计算可得答案； （3）先根据结果的正负判断出a和b的符号，再结合绝对值规律可得答案． 【详解】解：（1）由题意知，两数进行⊕运算时，同号两数运算结果为正，并将两数的绝对值相加，异号两数运算结果为负，并用较大绝对值减去较小绝对值． 特别地，0和任何数进行⊕运算，或任何数和0进行⊕运算，仍得这个数． 故答案为：结果为正，并将两数的绝对值相加；结果为负，并用较大绝对值减去较小绝对值； （2）（-16）⊕（-29）=+（16+29）=45， （+18）⊕[0⊕（-35）] =（+18）⊕（-35） =-（35-18） =-17； 故答案为：45，-17； （3）∵-1⊕a=2021， ∴a=-（2021-1）=-2020； ∵1⊕b=-2021， ∴b=-（2021+1）=-2022， 故答案为：-2020，-2022． 【点睛】本题主要考查有理数的混合运算，解题的关键是根据已知算式总结出运算规律． 类型八、有理数中的圈次方 【解惑】【概念学习】规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如，等．类比有理数的乘方，我们把记作，读作“2的圈3次方”记作，读作“的圈4次方”． 【初步探究】 （1）直接写出计算结果：__________，__________； 【深入思考】 我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ （2）试一试：仿照上图的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式． __________；__________；__________． （3）算一算：． 【答案】（1），；（2），，；（3）1 【分析】本题属于新定义题型，考查有理数乘除运算法则及对有理数乘方运算的理解． （1）根据新定义内容列出算式，然后将除法转化为乘法，再根据乘法和乘方的运算法则进行化简计算； （2）根据新定义内容列出算式，然后将除法转化为乘法，再根据乘法和乘方的运算法则进行化简计算； （3）根据（1）（2）的规律求解即可． 【详解】（1）， ， 故答案为：，； （2） ， ； 故答案为：，，； （3） ． 【融会贯通】 1．【概念学习】 规定：求若干个相同的有理数（均不等0）的除法运算叫做除方，如，等．类比有理数的乘方，我们把记作2③，读作“2的圈3次方”，记作④，读作“的圈4次方”．一般地，把（个，）记作a圈n，读作“的圈次方”． 【初步探究】 （1）直接写出计算结果：________，________． （2）关于除方，下列说法错误的是（）． A．任何非零数的圈3次方都等于它的倒数 B．对于任何正整数，1的圈n次方， C． D．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数 【初步探究】 我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘法运算呢？ （3）试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式，________；________． （4）想一想：将一个非零有理数的圈次方写成幂的形式是________． （5）算一算：． 【答案】1）；；（2）C；（3）；；（4）；（5） 【分析】（1）根据除方的概念即“的圈次方”的运算法则进行计算； （2）根据除方内容结合有理数的除法运算法则进行分析判断； （3）仿照材料例题进行计算； （4）根据新定义内容列出式子，然后将除法转化为乘法，再根据乘法和乘方的运算法则进行化简计算； （5）先算乘法，再算加减， 【详解】（1）， ， 故答案为：． （2）A、任何非零数的圈3次方都等于它的倒数，原说法正确，故此选项不符合题题意； B、对于任何正整数，1的圈n次方，原说法正确，选项不符合题题意； C、，∴，原说法错误，故此选项符合题意； D、负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数，说法正确，不符合题意； 故答案为：C； （3） ； ． 故答案为：； （4）一个非零有理数的圈次方； 故答案为：； （5）由的圈次方， 原式 【点睛】本题属于新定义题型，考查有理数乘除运算法则及对有理数乘方运算的理解，理解新定义内容，掌握有理数乘除法和有理数乘方的运算法则是解题关键． 2．概念学习 规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如，等．类比有理数的乘方，我们把记作，读作“2的圈3次方”，记作，读作“的圈4次方”，一般地，把（个）（）记作，读作“的圈次方”． 初步探究 （1）直接写出计算结果：________，________； （2）关于除方，下列说法错误的是________： A．任何非零数的圈2次方都等于1； B．对于任何正整数，1的圈次方都等于1； C．； D．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数． 深入思考： 我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？    （1）试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式， 的圈4次方＝________ 5的圈5次方＝________； 的圈6次方＝________ （2）想一想：将一个非零有理数的圈次方写成幂的形式等于________； （3）算一算：． 【答案】初步探究（1）；（2）C；深入思考（1），；（2）（3） 【分析】初步探究（1）分别按公式进行计算即可； （2）根据定义依次判定即可； 深入思考：（1）把除法化为乘法，第一个数不变，从第二个数开始依次变为倒数，由此分别得出结果； （2）结果前两个数相除为1，第三个数及后面的数变为，则的圈n次方； （3）将（2）中规律代入计算，注意运算顺序． 【详解】初步探究 （1）， 故答案为：； （2）A、任何非零数的圈2次方就是两个相同的非零数相除，所以都等于1；故选项A说法正确； B、因为多少个1相除都是1，所以对于任何正整数，1的圈次方都等于1； C、，则，故选项C错误； D、负数的圈奇数次方，相当于奇数个负数相除，则结果是负数，负数的圈偶数次方，相当于偶数个负数相除，则结果是正数．故选项D说法正确； 故答案为：C； 深入思考： （1）由题意可得： 5的圈5次方； 圈6次方 故答案为：，； （2）的圈次 故答案为：； （3） 【点睛】本题考查了新定义运算．解决问题的关键是掌握有理数的混合运算法则，理解新定义运算的规则． 3．【概念学习】 现规定：求若干个相同有理数（均不等于0）连除的商的运算叫做除方． 比如：，等，类比有理数的乘方，我们把： 写作：，读作“2的圈3次方”； 写作，读作“的圈4次方”． 一般地，把写作，读作“a的圈n次方"． 【初步探究】 （1）直接写出计算结果：________，________； 【深入思考】 我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，那么有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ 除方整式幂的形式 （2）归纳：请把有理数的圈次方写成幂的形式为：________； （3）利用（2）中的结论，计算：． 【答案】（1）1，；（2）；（3）0 【分析】根据新定义进行计算求解即可． 【详解】（1）解：由题意知，，， 故答案为：1，； （2）解：由题意知，数 a 的圈 n次方写成幂的形式为， 故答案为：； （3）解： ∴原式． 【点睛】本题考查了有理数的乘法、除法，混合运算，整式幂．解题的关键在于理解题意． 【一览众山小】 1．将，，，0，1，2，3，4，5，6这10个数填到图中的10个格子里，每个格子中只填一个数，使得所有田字形的4个格子中所填数字之和都等于，则的最大值是（　　） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】A 【分析】本题考查了整数运算的综合运用，解题的关键是明确三个田字格的所有数字之和中，有两个数被重复计算了．先求出所有数字之和，得出，且n为整数，则，进而推出当时，n有最大值，即可解答． 【详解】解：， ∵所有田字形的4个格子中所填数字之和都等于， ∴，且n为整数， 整理得：， ∴当最大时，n有最大值， ∵n为整数， ∴当时，n有最大值， 此时， 故选：A． 2．一只蜗牛从数轴上表示的点出发，第一次向正方向移动1个单位，第二次向反方向移动2个单位，第三次向正方向移动3个单位，第四次向反方向移动4个单位，…，按这样的规律则蜗牛第101次移动后在数轴上的位置所表示的有理数是（  ） A． B．48 C． D．49 【答案】B 【分析】本题主要考查了数轴及图形变化类，熟练掌握数轴上点的移动规律是解题的关键； 数轴上点的移动规律是“左减右加”．依据规律列式计算即可． 【详解】 ； 故选：B． 3．设表示不大于m的最大整数，如，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查新定义运算，有理数的减法运算，根据的定义求出和，再计算减法即可． 【详解】解：由题意知，， ， 故选B． 4．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了分数四则运算的简算，把应用乘法分配律展开，再把、、展开成整数和分数的和，然后整数和整数一起简算，分数和分数一起简算，再结合减法的性质解答，灵活应用乘法分配律、减法性质是解题的关键． 【详解】解： ， 故答案为：． 5．某日小王驾驶一辆小型车到某地办事，上午到达，在路边的电子收费停车区域内停车．收费标准如图： 白天 首小时内 小型车：1.5元/15分钟 大型车：3元/15分钟 首小时后 小型车：2.25元/15分钟 大型车：4.5元/15分钟 夜间（（不含）～次日（不含）） 小型车：1元/2小时 大型车：2元/2小时 不足一个计时单位按一个计时单位收取费用 （1）如果他离开，那么应缴费 元； （2）如果他离开时缴费15元，那么停车的时长t（单位：分钟）的取值范围是 ． 【答案】 6 【分析】本题考查了有理数加减乘除的实际应用，正确列出各运算式子是解题关键． （1）根据白天的小型车收费标准列出运算式子，进行计算即可得； （2）先根据离开时缴费15元可得出他是在之间某个时间点离开的，再根据白天收费标准列出式子即可得． 【详解】解：（1）如果他离开，那么收费标准以白天的首小时内为准，且为4个计时单位， 因此，应缴费为（元）； （2）如果他在离开，则应缴费为， 如果他在离开，则应缴费为， 因此，他是在之间某个时间点离开的， 因为， 所以在以白天的首小时后为收费标准内，他停留了4个计时单位，即（分钟）， 因为不足一个计时单位按一个计时单位收取费用， 所以，即， ∴停车的时长t（单位：分钟）的取值范围是． 6．现定义两种运算“⊕”和“※”．对于任意两个整数， ， ，那么⊕ ． 【答案】14 【分析】本题考查了新定义运算，解题的关键是读懂新定义，利用新定义计算．读懂新定义，利用新定义计算即可． 【详解】解：， ． 故答案为：14． 7．计算下面各题，能简算可以简算． ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ 【答案】①；②；③；④；⑤；⑥ 【分析】本题考查了简便运算，熟悉掌握运算的法则是解题的关键． ①先把拆成，然后根据乘法分配律逆运算进行简算； ②根据乘法分配律，加法结合律进行简算； ③先算小括号里面的减法，再算中括号里面的除法，最后算中括号外面的除法； ④根据乘法分配律进行简算； ⑤先把除法转化成乘法，再根据乘法分配律逆运算进行简算； ⑥观察发现：，，，，按此规律将每个分数拆成两个分数相减的形式后进行简算． 【详解】① = = = = = ② = = = = = ③ = = = = = = ④ = = = ⑤ = = = = = ⑥ = = = = = 8．观察下列运算过程： ，① ，得，② ，得，． 用上面的方法计算：． 【答案】 【分析】本题考查有理数的混合运算，仿照题目中所给的方法计算即可得出答案，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法． 【详解】解：设，则， 得，即， 则． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$