专题02 有理数的运算（基础类型）-2024-2025学年七年级数学上册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（人教版2024新教材）

专题02有理数的运算思维导图 【类型覆盖】 类型一、科学记数法 【解惑】我国已建成全球规模最大的光纤和移动宽带网络．截至2023年底，光缆线路总长度达至64580000千米，其中数64580000用科学记数法可表示为（   ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．物理是上帝的游戏，而数学是上帝的游戏规则．不管多大或多小的数，都得靠数学来表示呢！来自2024年综合运输春运工作专班的数据显示，2月10日～17日（农历正月初一至初八），全社会跨区域人员流动量累计亿人次．客流量大已成为2024年春运的最显著特征，铁路、公路、民航等客运频频刷新纪录．用科学记数法表示亿，正确的是（    ）． A． B． C． D． 2．全国大约有124600000人在某学习平台上学习，将这个数据用科学记数法表示为 ． 3．截止2024年3月24日，南水北调中线一期已累计调水700亿立方米．其中70000000000用科学记数法表示为 ． 类型二、近似数 【解惑】下列各数精确到的是（   ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．下列说法正确的是（    ） A．精确到百位 B．万精确到个位 C．精确到千分位 D．精确到个位 2．用四舍五入法对0.0572取近似数，精确到千分位结果是 ． 3．通过学习，我们知道1公顷= 平方米：若1公顷亩，则1亩 平方米（精确到百分位）． 类型三、倒数 【解惑】的倒数是（    ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．若x的倒数是，则x的值为（    ） A． B．3 C． D． 2．的相反数是 ，的绝对值是 ，的倒数是 ． 3．一个数的相反数是，则这个数的倒数是 ． 类型四、有理数的加法运算 【解惑】计算：． 【融会贯通】 1．计算： (1)； (2)． 2．计算： (1)； (2)． 3．计算： (1)； (2)． 类型五、有理数的减法运算 【解惑】计算下列各题． (1)； (2)； (3)； (4)． 【融会贯通】 1．计算： (1) (2)； (3)． 2．计算： (1)； (2)； (3)． 3．计算下列各题： (1)； (2)； (3)； (4)； 类型六、有理数的乘法运算 【解惑】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【融会贯通】 1．计算： (1) (2) 2．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 3．计算： (1)； (2)； (3)． 类型七、有理数的除法运算 【解惑】计算： (1)； (2) ； (3)； (4). 【融会贯通】 1．计算： (1)﹣91÷13； (2)﹣56÷（﹣14）； (3)（﹣42）÷12； (4)16÷（﹣3）； (5)﹣600÷15； (6)（﹣48）÷（﹣16）． 2．计算： (1) (2) (3) (4) 3．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 类型八、有理数的乘方运算 【解惑】计算： 【融会贯通】 1．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 2．计算： (1) (2) (3) 3．计算 (1)； (2)； (3)； (4)． 【一览众山小】 1．某潜水艇所在的海拔高度是米，在它的上方20米处有一只海豚，则海豚所在的海拔高度是（    ） A．米 B．米 C．30米 D．60米 2．的倒数是(　  ) A． B． C． D． 3．端午出游童趣浓，绿水青山映碧空．“端午”正是出游好时节．“端午”假期，甘肃文旅经济持续升温，全省各地共接待游客 2515万人次．数据“2515万”用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 4．计算： ． 5．计算： ． 6．对于近似数，它有 个有效数字． 7．计算 (1)； (2)． 8．简便计算： (1) (2) (3) (4) 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02有理数的运算思维导图 【类型覆盖】 类型一、科学记数法 【解惑】我国已建成全球规模最大的光纤和移动宽带网络．截至2023年底，光缆线路总长度达至64580000千米，其中数64580000用科学记数法可表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了科学记数法的表示方法，熟练掌握科学记数法的表示方法是解题的关键． 科学记数法的表现形式为的形式，其中为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，是正整数，当原数绝对值小于1时，是负整数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：． 故选：C． 【融会贯通】 1．物理是上帝的游戏，而数学是上帝的游戏规则．不管多大或多小的数，都得靠数学来表示呢！来自2024年综合运输春运工作专班的数据显示，2月10日～17日（农历正月初一至初八），全社会跨区域人员流动量累计亿人次．客流量大已成为2024年春运的最显著特征，铁路、公路、民航等客运频频刷新纪录．用科学记数法表示亿，正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了科学记数法，将数据表示成形式为的形式，其中，n为整数，正确确定a、n的值是解题的关键． 将亿写成其中，n为整数的形式即可． 【详解】解：亿． 故选B． 2．全国大约有124600000人在某学习平台上学习，将这个数据用科学记数法表示为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了科学记数法，将数据表示成形式为的形式，其中，n为整数，正确确定a、n的值是解题的关键． 将124600000写成其中，n为整数的形式即可． 【详解】解：． 故答案为． 3．截止2024年3月24日，南水北调中线一期已累计调水700亿立方米．其中70000000000用科学记数法表示为 ． 【答案】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．利用科学记数法的形式和方法解答即可． 【详解】解：， 故答案为： 类型二、近似数 【解惑】下列各数精确到的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查小数的近似数取值，关键要看清精确到的位数． 精确到，即保留小数点后面第二位，然后利用“四舍五入”法解答，所以只要看选项中保留的小数是不是二位数即可． 【详解】解：A、，保留到小数点后面第三位，即精确到千分位，不符合题意； B、，保留到小数点后面第一位，即精确到十分位，不符合题意； C、，保留到小数点后面第二位，即精确到百分位，符合题意； D、，故该选项错误，不符合题意； 故选：C． 【融会贯通】 1．下列说法正确的是（    ） A．精确到百位 B．万精确到个位 C．精确到千分位 D．精确到个位 【答案】C 【分析】本题考查了指出一个近似数精确到哪一位，掌握相关结论即可． 【详解】解：精确到千分位，故A错误； 万精确到千位，故B错误； 精确到千分位，故C正确； 精确到万位，故D错误； 故选：C． 2．用四舍五入法对0.0572取近似数，精确到千分位结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查了近似数：对万分位数字四舍五入即可． 【详解】解：用四舍五入法对0.0572取近似数，精确到千分位为， 故答案为：． 3．通过学习，我们知道1公顷= 平方米：若1公顷亩，则1亩 平方米（精确到百分位）． 【答案】 10000 666.67 【分析】根据对大面积单位公顷的认识，1公顷平方米．若1公顷亩，求1亩是多少平方米，用10000平方米除以15．此题考查了大面积的单位换算、小数除法的应用． 【详解】解：1公顷平方米 （平方米） 即1亩平方米方 故答案为：10000，666.67． 类型三、倒数 【解惑】的倒数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了倒数的定义，熟练掌握倒数的定义——“若两个数的乘积是，我们就称这两个数互为倒数”是解题的关键． 符号不变，然后将这个数的分子和分母互换位置，即可求得这个数的倒数． 【详解】解：的倒数是， 故选：． 【融会贯通】 1．若x的倒数是，则x的值为（    ） A． B．3 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了倒数．熟练掌握乘积为1的两个数互为倒数是解题的关键． 根据计算求解即可． 【详解】解：由题意知，， 故选：A． 2．的相反数是 ，的绝对值是 ，的倒数是 ． 【答案】 3 【分析】本题考查了相反数，绝对值，倒数．熟练掌握相反数，绝对值，倒数是解题的关键． 根据相反数，绝对值，倒数的定义求解作答即可． 【详解】解：由题意知，的相反数是，的绝对值是，的倒数是， 故答案为：，3，． 3．一个数的相反数是，则这个数的倒数是 ． 【答案】10 【分析】本题考查了相反数和倒数，熟记定义是解题关键．先根据相反数的定义（只有符号不同的两个数互为相反数）可得这个数为0.1，再根据倒数的定义（乘积为1的两个数互为倒数）即可得． 【详解】解：∵一个数的相反数是， ∴这个数是0.1， ∵， ∴0.1的倒数是10， 故答案为：10． 类型四、有理数的加法运算 【解惑】计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查有理数的加法及绝对值的化简，解题的关键是熟练掌握法则及绝对值的性质． 利用有理数的加法法则及绝对值的性质化简，再进行计算即可． 【详解】解：原式 故答案为：9． 【融会贯通】 1．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据加法法则，同号两数相加，取相同的符号，绝对值相加即可，计算即可； （2）根据加法法则，异号两数相加，取绝对值较大数的符号，绝对值较大的数减去绝对值较小的数，计算即可；． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【点睛】本题考查了有理数的加法运算，解题的关键是掌握有理数的加法法则． 2．计算： (1)； (2)． 【答案】(1)0 (2)0 【分析】本题考查有理数加法，加法运算律，关键是熟记有理数加法运算法则与运算律． （1）根据有理数加法法则与运算律进行计算便可． （2）根据有理数加法法则与运算律进行计算便可． 【详解】（1）解： ＝ ； （2） ． 3．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了有理数的加法，掌握运算法则，利用加法的交换律与结合律进行计算是解题关键． （1）去括号利用，再利用加法的交换律与结合律进行计算即可． （2）去括号利用，再利用加法的交换律与结合律进行计算即可． 【详解】（1） ； （2） ． 类型五、有理数的减法运算 【解惑】计算下列各题． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2)3 (3) (4)3 【分析】本题考查了有理数的减法，熟记减去一个数等于加上这个数的相反数是解题的关键． （1）根据有理数的减法法则计算即可， （2）根据有理数的减法法则计算即可； （3）根据有理数的减法法则计算即可； （4）根据有理数的减法法则计算即可． 【详解】（1）解：； （2）； （3）； （4）． 【融会贯通】 1．计算： (1) (2)； (3)． 【答案】(1) (2)12 (3) 【分析】本题考查了有理数的减法．先根据有理数的减法法则，将减法转化为加法，再根据有理数的加法法则计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：． 2．计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)55 (2)16 (3) 【分析】本题考查了有理数的减法，熟练掌握有理数的减法法则是解题的关键． （1）根据有理数的减法法则计算即可； （2）根据有理数的减法法则计算即可； （3）根据有理数的减法法则计算即可． 【详解】（1）解：； （2）； （3）． 3．计算下列各题： (1)； (2)； (3)； (4)； 【答案】(1) (2) (3)0 (4) 【分析】（1）通分，进行计算即可得； （2）去括号，进行计算即可得； （3）先正数和正数相加，负数和负数相加，再进行计算即可得； （4）先计算同分母的，再进行计算即可得． 【详解】（1）解：原式= =； （2）解：原式= = =； （3）解：原式= = =0； （4）解：原式= = =． 【点睛】本题考查了有理数的运算，解题的关键是掌握有理数的加法和有理数的减法． 类型六、有理数的乘法运算 【解惑】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4)13 【分析】此题考查有理数的乘法，关键是根据有理数的乘法法则解答． （1）根据有理数乘法运算法则即可求解； （2）根据有理数乘法运算法则即可求解； （3）根据有理数乘法运算法则即可求解； （4）根据有理数乘法运算法则即可求解； 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 【融会贯通】 1．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了有理数的乘法计算： （1）（2）根据有理数的乘法计算法则求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 2．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了有理数的乘法运算，熟记运算法则是解题的关键． （1）根据有理数的乘法运算法则进行计算即可得解； （2）根据有理数的乘法运算法则进行计算即可得解 （3）根据有理数的乘法运算法则进行计算即可得解 （4）根据有理数的乘法运算法则进行计算即可得解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 3．计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3)700 【分析】本题考查了有理数乘法，解题的关键是掌握有理数乘法的运算法则． （1）将带分数化为假分数，根据有理数乘法的运算法则求解即可； （2）根据有理数乘法的运算法则，先确定符号，再进行乘法计算； （3）根据有理数乘法的运算法则，先确定符号，再进行乘法计算． 【详解】（1） ； （2） ； （3） ． 类型七、有理数的除法运算 【解惑】计算： (1)； (2) ； (3)； (4). 【答案】(1)5 (2) (3) (4) 【分析】本题考查有理数的除法，正确掌握运算法则是解题的关键． （1）根据有理数除法运算法则“除以一个数等于乘以这个数的倒数”即可求解； （2）根据有理数除法运算法则“除以一个数等于乘以这个数的倒数”即可求解； （3）根据有理数除法运算法则“除以一个数等于乘以这个数的倒数”即可求解； （4）根据有理数除法运算法则“除以一个数等于乘以这个数的倒数”即可求解． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 【融会贯通】 1．计算： (1)﹣91÷13； (2)﹣56÷（﹣14）； (3)（﹣42）÷12； (4)16÷（﹣3）； (5)﹣600÷15； (6)（﹣48）÷（﹣16）． 【答案】(1)-7 (2)4 (3)-3.5 (4) (5)-40 (6)3 【分析】（1）根据有理数的除法法则求出即可； （2）根据有理数的除法法则求出即可； （3）根据有理数的除法法则求出即可； （4）根据有理数的除法法则求出即可； （5）根据有理数的除法法则求出即可； （6）根据有理数的除法法则求出即可． 【详解】（1）解：﹣91÷13＝﹣7 （2）﹣56÷（﹣14）＝4 （3）（﹣42）÷12＝﹣3.5 （4）16÷（﹣3）＝﹣ （5）﹣600÷15＝﹣40 （6）（﹣48）÷（﹣16）＝3 【点睛】本题考查了有理数的除法法则的应用，熟练掌握有理数的除法法则是解题的关键． 2．计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)4 (2) (3)0 (4) 【分析】本题主要考查了有理数除法运算，解题的关键是熟练掌握有理数除法运算法则，准确计算． （1）根据有理数除法运算法则进行计算即可； （2）根据有理数除法运算法则进行计算即可； （3）根据有理数除法运算法则进行计算即可； （4）根据有理数除法运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解： ． 3．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】此题主要考查了有理数的除法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键． （1）直接利用有理数的除法运算法则除法变乘法，再利用有理数的乘法运算法则计算得出答案； （2）直接利用有理数的除法运算法则除法变乘法，再利用有理数的乘法运算法则计算得出答案； （3）直接利用有理数的除法运算法则除法变乘法，再利用有理数的乘法运算法则计算得出答案； （4）直接利用有理数的除法运算法则除法变乘法，再利用有理数的乘法运算法则计算得出答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 类型八、有理数的乘方运算 【解惑】计算： 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，熟练掌握有理数的混合运算顺序和运算法则是解题的关键．先计算有理数的乘方，再计算有理数的乘除，最后计算有理数的加减法即可． 【详解】解： ． 【融会贯通】 1．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2)6 (3)5 (4) 【分析】（1）按照有理数加减法法则进行计算即可． （2）按照先乘除，再加减的法则进行计算即可． （3）先把除法转化成乘法，再按照乘法分配律进行计算即可． （4）先乘法，再算小括号，再算乘除，最后算加减计算即可． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： 【点睛】本题考查了有理数带乘方的混合运算，解题关键是熟练掌握运算法则． 2．计算： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2)30 (3) 【分析】本题主要考查有理数的混合运算， （1）利用加法交换律，再算加减即可； （2）利用乘法的分配律进行求解即可； （3）先算乘方，绝对值，再算括号里的运算，接着算乘法，最后算加减即可． 【详解】（1）解： ； （2） ； （3） ． 3．计算 (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）根据有理数的加减法可以解答本题； （2）根据乘法分配律可以解答本题； （3）根据绝对值、有理数的乘除法可以解答本题； （4）根据有理数的乘方、有理数的乘除法和加减法可以解答本题． 【详解】（1） （2） ； （3） ； （4） 【点睛】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法． 【一览众山小】 1．某潜水艇所在的海拔高度是米，在它的上方20米处有一只海豚，则海豚所在的海拔高度是（    ） A．米 B．米 C．30米 D．60米 【答案】B 【分析】本题考查有理数加法的实际应用．用潜水艇的海拔高度，加上20米即可． 【详解】解：（米）； 故选B． 2．的倒数是(　  ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了倒数，根据倒数的定义“相乘等于1的两数互为倒数”直接进行解答即可． 【详解】解：的倒数是， 故选：D． 3．端午出游童趣浓，绿水青山映碧空．“端午”正是出游好时节．“端午”假期，甘肃文旅经济持续升温，全省各地共接待游客 2515万人次．数据“2515万”用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数． 【详解】解：2515万， 故选：C． 4．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查有理数的加法运算，熟练掌握加法法则是解题关键． 【详解】解：， 故答案为：． 5．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查有理数的乘除混合运算，除法变乘法，进行计算即可． 【详解】解：原式； 故答案为：． 6．对于近似数，它有 个有效数字． 【答案】3 【分析】本题考查的是有效数字的含义，根据有效数字的定义可以得到题目中的数有几个有效数字，从而可以解答本题． 【详解】解：近似数，它有3个有效数字， 故答案为：3． 7．计算 (1)； (2)． 【答案】(1)24 (2) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握混合运算的顺序是解答本题的关键． （1）利用乘法分配律计算即可； （2）先算乘方并把除法转化为乘法，然后算乘法，再算加减． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 8．简便计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4)0 【分析】考查了有理数的混合运算，进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化，掌握有理数的混合运算法则，乘法运算律是解题的关键． （1）根据有理数乘法运算法则，乘法运算律的结合进行计算即可求解； （2）根据有理数乘法运算法则，乘法运算律的结合进行计算即可求解； （3）根据有理数乘法运算法则，乘法运算律的结合进行计算即可求解； （4）根据有理数乘法运算法则，乘法运算律的结合进行计算即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$