压轴专项六：综合压轴题型2023—2024学年人教版数学八年级下册

2023—2024学年人教版数学八年级下册压轴专项六:综合压轴题型(解析) 1、数学活动实验、猜想与证明 问题情境 数学活动课上,小颖向同学们提出了这样一个问题:如图1,在矩形ABCD中,AB=2BC,点M,N分别是AB,CD的中点,作射线MN,连接MD,MC,请直接写出线段MD与MC的数量关系. 解决问题 (1)请你解答小颖提出的问题; (2)小彬受此问题启发,将矩形ABCD变为平行四边形,其中∠A为锐角,如图2,AB=2BC,点M,N分别是AB, CD的中点,过点C作CE⊥AD交射线AD于点E,交射线MN于点F,连接ME,MC,则ME=MC,请你证明小彬的结论; (3)小丽在小彬结论的基础上提出了一个新问题,∠BME与∠AEM有怎样的数量关系?请你回答小丽提出的问题,并证明你的结论. 2、如图1,在正方形ABCD中,点E,F分别是BC,AB上的点,且CE=BF,连接DE,过点E作EG⊥DE,使EG=DE,连接FG,FC. (1)判断:FG与CE的数量关系是 ,位置关系是 ; (2)如图2,若点E,F分别是边CB,BA延长线上的点,其他条件不变,(1)中的结论是否仍然成立?请作出判断并给予证明. (3)如图3,若点E,F分别是边BC,AB延长线上的点,正方形ABCD的边长为2a,GE=a(a>0),其他条件不变,求四边形BEGF的面积.(用含a的式子表示) 图1 图2 图3 3、南山区某道路供水、排水管网改造工程,甲工程队单独完成任务需40天,若乙队先做30天后,甲乙两队一起合作20天就恰好完成任务.请问: (1)乙队单独做需要多少天才能完成任务? (2)现将该工程分成两部分,甲队用了x天做完其中一部分,乙队用了y天做完另一部分,若x、y都是正整数,且甲队做的时间不到15天,乙队做的时间不到70天,那么,两队实际各做了多少天? 4、如图,等边 ABC的边长是4,D,E分别为AB,AC的中点,延长BC至点F,使CF=BC,连接CD和EF. (1)求证:DE=CF; (2)求EF的长; (3)求四边形DEFC的面积. 5、等边 ABC中,点D为直线BC上一动点(点D不与B、C重合),以AD为边在AD右侧作等边 ADE,连接CE. (1)观察猜想: 如图1,当点D在线段BC上时, ①AB与CE的位置关系为 ; ②BC、CD、CE之间的数量关系为 . (2)数学思考: 如图2,当点D在线段CB的延长线上时,结论①,②是否仍然成立?若成立,请给予证明:若不成立,请你写出正确结论再给予证明. (3)拓展延伸: ①当点D在线段BC上时,已知AB=2,以A、C、D.E为顶点的四边形的面积为 . ②已知AB=2,当点D在直线CB上运动的过程中,BE的值最小时,DE的长为 . 6、在平面直角坐标系中,四边形AOBC是矩形,点O(0,0),点A(6,0),点B(0,8).以点A为中心,顺时针旋转矩形AOBC,得到矩形ADEF,点O,B,C的对应点分别为D,E,F,记旋转角为 (0 < <90 ). ( )如图①,当 =30 时,求点D的坐标; ( )如图②,当点E落在AC的延长线上时,求点D的坐标; ( )当点D落在线段OC上时,求点E的坐标(直接写出结果即可). 7、如图,直线l1:y=2x+4与x轴交于点A,与y轴交于点B,将直线l1关于坐标原点中心对称后得到直线l2,l2与x轴交于点C,与y轴交于点D. (1)求直线l2的表达式; (2)求证:四边形ABCD为菱形; (3)除菱形ABCD外,是否在直线l1上还存在点P,在直线l2上还存在点Q,使得以点B、C、P、Q为顶点的四边形为菱形?若存在,求出符合条件的所有点P坐标,若不存在,说明理由. 8、问题提出 (1)如图①,在Rt ABC中,∠BAC=90 ,BC=4.若点M为BC的中点,则AM= ; 问题探究 (2)如图②,在四边形ABCD中,∠BAD=∠BCD=90 ,BD=4,求AC的最大值; 问题解决 (3)如图③,四边形ABCD是即将开发的休闲广场用地,要求这一块地必须临一条笔直的公路BC而建,同时考虑到后期的规划建设,还要求∠BAD=60 ,∠ADC=150 ,AB=AD.已知BC=4km,那么这个四边形ABCD的对角线AC是否存在最大值?若存在,求出这个最大值;若不存在,说明理由. 9、已知直线AC经过点(1,5)和(-1,1)与直线BC :y=-2x-1相交于点C。 (1)求直线AC的解析式. (2)求直AC与y轴交点A的坐标及直线BC与x轴的交点D的坐标. (3)求两直线交点C的坐标. (4)求 ABC的面积. D 10、如图, ABC中,MN∥BD交AC于P,∠ACB、∠ACD的平分线分别交MN于E、F. (1)求证:PE=PF; (2)当MN与AC的交点P在什么位置时,四边形AECF是矩形,说明理由; (3)当 ABC满足什么条件时,四边形AECF是正方形.(不需要证明) 11、为了响应国家”精准扶贫”政策,甲城有化肥200吨,乙城有化肥300吨,现要把化肥运往C和D两乡进行扶贫,,从甲城运往C和D两乡的运费分别是20元/吨与25元/吨;从乙城运往C和D两乡的运费分别为15元/吨和24元/吨,现已知C乡需要240吨, D乡需要260吨,如果某个个体户承包了这项运输任务,请你帮他算一算,怎样调运运费最少? (1)若甲城运往C乡化肥x吨,请写出将化肥运往C、D两乡的总运费y(元)与x(吨)的函数关系式。 (2)求自变量x的取值范围。 (3)当甲、乙两城各运往C、D两乡多少吨化肥时,总运费最省,最省的总运费是多少? 12、甲、乙两家商场以同样价格销售相同的商品,在同一促销期间两家商场都让利酬宾.甲商场所有商品都按原价的八折出售,乙商场只对一次购物中超过元后的价格部分按原价的七折出售.某顾客打算在促销期问到这两家商场中的一家去购物,如果该顾客在次购物中的购物金额的原价为元,让利后的购物金额为元. (1)分别就甲乙两家商场付出与的函数解析式; (2)该顾客选择去哪家商场购物会更省钱?并说明理由. 13、如图, 正方形的边在正方形的边上, 、、点在一条点线上, 且正方形与正方形的边长分别为和, 在上截取.连接、. (1)先补全图形,猜想与之间的大小关系,并说明理由 (2)图中是否存在通过旋转、平移、翻折等变换能够互相重合的两个三角形?若存在,请说明变换过程;若不存在,请说出理由 (3)若把这个图形滑、的成块,请你把它们拼成个大正方形,在原图上画出示意图,并求出这个大正方形的面积. 14、去年我县某学校计划租用6辆客车送240名师生到县学生实训基地参加社会实践活动.现有甲、乙两种客车,它们的载客量和租金如下表.设租用甲种客车x辆,租车总费用为y元. 甲种客车 乙种客车 载客量(人/辆) 30 45 租金(元/辆) 200 280 (1) 求出y(元)与x(辆)之间函数关系式; (2) 求出自变量的取值范围; (3) 选择怎样的租车方案所需的费用最低?最低费用多少元? 15、在正方形ABCD中,动点E,F分别从D,C两点同时出发,以相同的速度在直线DC,CB上移动。 (1)如图1,当点E在边DC上自D向C移动,同时点F在边CB上自C向B移动时,连接AE和DF交于点P,则线段AE与DF的关系是 ; (2)如图2,当E,F分别在边CD,BC的延长线上移动时,连接AE,DF,(1)中的结论还成立吗?请说明理由; (3)如图2,连接AC,当 ACE为等腰三角形时,请你求出CECD的值. 学科网(北京)股份有限公司 $$ 2023—2024学年人教版数学八年级下册压轴专项六：综合压轴题型（解析） 1、【解析】　(1)MD=MC. ∵四边形ABCD是矩形,∴AD=BC,∠A=∠B. ∵点M是AB的中点,∴AM=BM, ∴△DAM≌△CBM,∴MD=MC. (2)∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AB=CD,AB∥CD. ∵点M,N分别是AB,CD的中点, ∴CN=DN=CD,AM=BM=AB, ∴DN=AM,DN∥AM, ∴四边形DAMN是平行四边形,∴MN∥AD. ∵CE⊥AE,∴∠DEC=∠NFC=90°. 连接EN,则EN=NC, ∴EF=CF,∴MF是CE的垂直平分线,∴ME=MC. (3)∠BME=3∠AEM. 由(2)知CN=BM=AB,CN∥BM, ∴四边形BCNM是平行四边形. ∵AB=2BC,∴BM=BC,∴四边形BCNM是菱形, ∴∠BMC=∠NMC. ∵MN∥AE,∴∠AEM=∠EMF. ∵ME=MC,MF⊥CE,∴∠EMF=∠FMC. ∴∠BME=3∠AEM. 2、【解析】　(1)FG=CE　FG∥CE 如图1,设DE与CF交于点M. ∵四边形ABCD是正方形, ∴BC=CD,∠ABC=∠DCE=90°. 在△CBF和△DCE中, ∴△CBF≌△DCE,∴∠BCF=∠CDE,CF=DE. ∵∠BCF+∠DCM=90°,∴∠CDE+∠DCM=90°, ∴∠CMD=90°,∴CF⊥DE, ∵GE⊥DE,∴EG∥CF. ∵EG=DE,CF=DE,∴EG=CF, ∴四边形EGFC是平行四边形, ∴FG=CE,FG∥CE. (2)结论仍然成立.证明如下: 如图2,设DE与CF交于点N. ∵四边形ABCD是正方形, ∴BC=CD,∠ABC=∠DCE=90°. 在△CBF和△DCE中, ∴△CBF≌△DCE,∴∠BCF=∠CDE,CF=DE. ∵∠BCF+∠DCN=90°,∴∠CDE+∠DCN=90°, ∴∠CND=90°,∴CF⊥DE. ∵GE⊥DE,∴EG∥CF. ∵EG=DE,CF=DE,∴EG=CF, ∴四边形EGFC是平行四边形. ∴FG=CE,FG∥CE. (3)∵四边形ABCD是正方形, ∴BC=CD,∠FBC=∠ECD=90°. 在△CBF和△DCE中, ∴△CBF≌△DCE,∴∠BCF=∠CDE,CF=DE. ∵EG=DE,∴CF=EG. ∵DE⊥EG,∴∠DEC+∠CEG=90°. ∵∠CDE+∠DEC=90°,∴∠CDE=∠CEG, ∴∠BCF=∠CEG,∴CF∥EG, ∴四边形CEGF是平行四边形, ∴FG∥CE,FG=CE,CF=EG=a. 在Rt△BCF中,BF==a, ∴CE=BF=FG=a,BE=3a, ∴=·a=2a2. 3、解：（1）设乙工程队单独做需要x天完成任务，由题意，得 +×20＝1， 解得：x＝100， 经检验，x＝100是原方程的根． 答：乙工程队单独做需要100天才能完成任务； （2）根据题意得 +＝1． 整理得 y＝100﹣x． ∵y＜70， ∴100﹣x＜70． 解得 x＞12． 又∵x＜15且为整数， ∴x＝13或14． 当x＝13时，y不是整数，所以x＝13不符合题意，舍去． 当x＝14时，y＝100﹣35＝65． 答：甲队实际做了14天，乙队实际做了65天． 4、解：（1）在△ABC中， ∵D、E分别为AB、AC的中点， ∴DE为△ABC的中位线， ∴DE＝BC， ∵CF＝BC， ∴DE＝CF． （2）∵AC＝BC，AD＝BD， ∴CD⊥AB， ∵BC＝4，BD＝2， ∴CD＝＝2， ∵DE∥CF，DE＝CF， ∴四边形DEFC是平行四边形， ∴EF＝CD＝2． （3）过点D作DH⊥BC于H． ∵∠DHC＝90°，∠DCB＝30°， ∴DH＝DC＝， ∵DE＝CF＝2， ∴S四边形DEFC＝CF•DH＝2×＝2． 5、解：（1）观察猜想： ①∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝AC＝BC，∠BAC＝60°， 又∵△ADE是等边三角形， ∴AD＝AE，∠DAE＝60°， ∴∠BAC＝∠DAE，即∠BAD+∠DAC＝∠DAC+∠CAE， ∴∠BAD＝∠CAE， 在△BAD和△CAE中 ， ∴△BAD≌△CAE（SAS）， ∴∠ABC＝∠ACE＝60°， ∴∠BAC＝∠ACE， ∴AB∥CE， 故答案为：AB∥CE； ②∵△BAD≌△CAE， ∴BD＝CE， ∴BC＝BD+CD， ∴BC＝CE+CD， 故答案为BC＝CE+CD； （2）AB∥CE仍然成立，BC＝CE+CD不成立，数量关系为：BC＝CD﹣CE 证明如下： ∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝AC＝BC，∠BAC＝60°， 又∵△ADE是等边三角形， ∴AD＝AE，∠DAE＝60°， ∴∠BAC＝∠DAE，即∠BAD+∠BAE＝∠BAE+∠CAE， ∴∠BAD＝∠CAE， 在△BAD和△CAE中 ， ∴△BAD≌△CAE（SAS）， ∴∠ABD＝∠ACE，BD＝CE， ∴BC＝CD﹣BD， 即BC＝CD﹣CE， ∵∠ABD+∠ABC＝180°， ∴∠ABD＝120°＝∠ACE， ∴∠ACE+∠BAC＝180°， ∴AB∥CE； （3）①∵△BAD≌△CAE， ∴S△ABD＝S△CAE， ∴S四边形ADCE＝S△ABC＝×22＝， ②由图1可得∠ACE＝60°，由图2可得∠ACE＝120°， ∴点E在∠ACB的外角的角平分线所在的直线上， 由垂线段最短可得，当BE⊥CE时，BE有最小值，如图3， ∴∠EBC＝30°，∠ABC＝60°，BE⊥CE， ∴CE＝BC＝1，BE＝CE＝，∠ABE＝90° ∴DE＝AE＝＝＝， 故答案为：． 6、解：（I）过点D作DG⊥x轴于G，如图①所示： ∵点A（6，0），点B（0，8）． ∴OA＝6，OB＝8， ∵以点A为中心，顺时针旋转矩形AOBC，得到矩形ADEF， ∴AD＝AO＝6，α＝∠OAD＝30°，DE＝OB＝8， 在Rt△ADG中，DG＝AD＝3，AG＝DG＝3， ∴OG＝OA﹣AG＝6﹣3， ∴点D的坐标为（6﹣3，3）； （Ⅱ）过点D作DG⊥x轴于G，DH⊥AE于H，如图②所示： 则GA＝DH，HA＝DG， ∵DE＝OB＝8，∠ADE＝∠AOB＝90°， ∴AE＝＝＝10， ∵AE×DH＝AD×DE， ∴DH＝＝＝， ∴OG＝OA﹣GA＝OA﹣DH＝6﹣＝，DG＝＝＝， ∴点D的坐标为（，）； （Ⅲ）连接AE，作EG⊥x轴于G，如图③所示： 由旋转的性质得：∠DAE＝∠AOC，AD＝AO， ∴∠AOC＝∠ADO， ∴∠DAE＝∠ADO， ∴AE∥OC， ∴∠GAE＝∠AOD， ∴∠DAE＝∠GAE， 在△AEG和△AED中，， ∴△AEG≌△AED（AAS）， ∴AG＝AD＝6，EG＝ED＝8， ∴OG＝OA+AG＝12， ∴点E的坐标为（12，8）． 7、解：（1）直线l1：y＝2x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，则点A、B的坐标分别为（﹣2，0）、（0，4）， 将直线l1关于坐标原点中心对称后得到直线l2，则点C、D的坐标分别为（2，0）、（0，﹣4）， 设直线CD的表达式为：y＝kx+b，则，解得， 故直线l2的表达式为：y＝2x﹣4； （2）由点A、B、C、D的坐标知，AB＝＝2＝BC＝CD＝DA， 故四边形ABCD为菱形； （3）设点P、Q的坐标分别为（m，2m+4）、（n，2n﹣4）； 而点B、C的坐标分别为（0，4）、（2，0），则BC2＝20； ①当BC为边时， 则点B向右平移2个单位得到点C，同样点P（Q）向右平移2个单位得到点Q（P）， 故m+2＝n且BP＝BC或m﹣2＝n且BC＝BQ， 当m+2＝n且m2+（2m+4﹣4）2＝20，解得：m＝2或﹣2（舍去﹣1），故点P（2，8）； 当m﹣2＝n且n2+（2n﹣8）2＝20，解得：m＝4或，故点P（4，12）或（，）； ②当BC是对角线时， 0+2＝m+n①且BP＝BQ， ∵BP＝BQ，则m2+（2m+4﹣4）2＝n2+（2n﹣8）2②， 联立①②并解得：m＝﹣， 故点P（﹣，）； 综上，点P的坐标为（4，12）或（，）或（﹣，）． 8、解：（1）∵∠BAC＝90°，BC＝4．点M为BC的中点， ∴AM＝BC＝2， 故答案为：2； （2）如图，取BD中点E，连接AE，CE， ∵∠BAD＝∠BCD＝90°，BD＝4，点E啊BD中点， ∴AE＝BD＝2，CE＝BD＝2， 在△AEC中，AE+EC≥AC， ∴当点E在AC上时，AC有最大值为AE+EC＝4， ∴AC的最大值为4； （3）如图，取BD中点N，BC中点H，连接AN，NH，过点C作CF⊥NH，交NH的延长线于F， ∵∠BAD＝60°，AB＝AD， ∴△ABD是等边三角形， ∴∠ABD＝∠ADB＝60°， ∴∠BDC＝∠ADC﹣∠ADB＝90°， 设BD＝a，CD＝b， ∴BD2+CD2＝BC2， ∴a2+b2＝16， ∵（a﹣b）2≥0， ∴ab≤， ∵△ABD是等边三角形，点N是BD中点， ∴AN⊥BD，BN＝DN＝，∠DAN＝30°， ∴AN＝a， ∵点N是BD中点，点H是BC中点， ∴NH∥CD， ∴∠BNH＝∠BDC＝90°， ∴∠ANB+∠BNH＝180°， ∴点A，点N，点H三点共线， ∵CF⊥NF，∠BDC＝∠DNF＝90°， ∴四边形DCFN是矩形， ∴NF＝CD＝b，DN＝CF＝，∠F＝90°， ∵AC2＝AF2+CF2＝（b+a）2+（）2＝b2+a2+ab＝16+ab≤16+• ∴AC2的最大值＝16+8＝（2+2）2， ∴AC的最大值为＝2+2． 9、解：答案（1）y=2x+3 （2）A(0,3） D（-,0） （3）C（-1,1） （4) 2 10、（1）∵CE平分∠ACB， ∴∠ACE=∠BCE． ∵MN ∥ BC， ∴∠PEC=∠BCE． ∴∠ACE=∠PEC，PE=PC． 同理：PF=PC． ∴PE=PF． （2）当P是AC中点时四边形AECF是矩形， ∵PA=PC，PF=PC， ∴四边形AECF是平行四边形． ∵PE=PC， ∴AC=EF，四边形AECF是矩形． （3）当∠ACB=90°时，四边形AECF是正方形． 11、（1）根据题意得出：甲调往C乡x吨，甲调往D乡（200-x）吨， 乙调往C是（240-x）吨， 乙调往D是（60+x）吨， y=20x+25（200﹣x）+15（240﹣x）+24（60+x）=4x+10400；　 （2） x≥0 200-x≥0 60+x≥0 240+x≥0 得0≤x≤200 3）∵ y=4x+10400；y随x的增大而减小， ∴ 当x=0时，y最小，此时y=10400元． 此时的方案为： 甲城运往C乡的化肥为0吨，甲城运往D乡的化肥为200吨， 乙城运往C乡的化肥为240吨，乙城运往D乡的化肥为60吨．　 12、解：（1）甲商城关于的函数解析式为 乙商场关于的解析式为 乙商场是 （2）①令，得 解得 当时，到乙商场购物会更省钱 ②令，得 解得 当时，到两家商场购物花费一样 ③令，得 解得 当时，到甲商场购物会更省钱 综上所述，时，到乙商场购物会更省钱 时，到两家商场去购物花费一样 当时，到甲商场购物会更省钱 13、解（1）如图画出图形 猜想；理由： 正方形、正方形 ，，， ， （2）存在，是和 变换过程：把先向右平移个单位，使在边上，与重合，再绕点逆时针旋转度，就可以与重合 （3）如图，大正方形正方形正方形 14、(1) y=-80x+1680 (2) 自变量的取值范围0≤x≤2 (3) 当x=0时，y=1680；当x=1时，y=1600；当x=2时，y=1520.故租甲种客车2辆，乙种客车4辆费用最低，最低费用为1520元. 15、 （1）如图1，当点E在边DC上自D向C移动，同时点F在边CB上自C向B移动时，连接AE和DF交于点P，则线段AE与DF的数量关系是AE=DF，位置关系是AE⊥DF； （2） 如图2，当E，F分别在边CD，BC的延长线上移动时，连接AE，DF，（1）中的结论AE=DF，和AE⊥DF仍然成立. （3） （3）连接AC，①当CA=CE时，CECD=：1或. ②当AC=AE时，CECD=2：1或2. 学科网（北京）股份有限公司 $$