精品解析：河南省信阳市商城县李集中学2023-2024学年八年级下学期期末数学试题

2023—2024学年度下期期末教学质量监测 八年级数学 注意事项： 1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求，直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题（本大题共10小题，每题3分，共30分） 1. 下列二次根式中，无论x取什么值都有意义的是（　　） A. B. C. D. 2. 下列式子中，是最简二次根式的是（　　） A B. C. D. 3. 如图，数轴上点表示的数是-1，点表示的数是1，，，以点为圆心，长为半径画弧，与数轴交于原点右侧的点，则点表示的数是（ ） A. B. C. D. 4. 《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在“勾股”章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”翻译成数学问题是：如图所示，△ABC中，∠ACB＝90°，AC+AB＝10，BC＝3，求AC的长．在这个问题中，AC的长为（　　） A. 4尺 B. 尺 C. 尺 D. 5尺 5. 如图，在□ABCD中，AB=6cm，BC=10cm，AC=8cm，BD=14cm，则下列结论中：①△AOB的周长是17cm，②△ACD是直角三角形，③AD=14cm，④□ABCD的面积是48cm2，其中正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 6. 如图，长方形中，，，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为，则的面积为（　　） A 6 B. 7 C. 10 D. 12 7. 如图，函数和的图象相交于点，则关于x的不等式的解集是（ ） A B. C. D. 8. 多多班长统计去年1～8月“书香校园”活动中全班同学的课外阅读数量（单位：本），绘制了如图折线统计图，下列说法正确的是（　　） A. 极差是47 B. 众数是42 C. 中位数是58 D. 每月阅读数量超过40的有4个月 9. 如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点P是AD边上的一个动点，过点P分别作PEAC于点E，PFBD于点F．若AB=6，BC=8，则PE+PF的值为（ ） A. 10 B. 9.6 C. 4.8 D. 2.4 10. 如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF中点，则AM的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5小题，每题3分，共15分） 11. 若一次函数的图象经过第一、三、四象限，则b的值可以是______．（写一个即可） 12. 计算：______． 13. 在平面直角坐标系中，已知一次函数y＝﹣6x+1图象经过P1（x1，y1）、P2（x2，y2）两点，若x1＜x2，则y1___y2．（填“＞”“＜”“＝”） 14. 如图，一次函数的图象与坐标轴的交点坐标分别为A（0，2），B（-3，0），下列说法：①随的增大而减小；②；③关于的方程的解为；④关于的不等式的解集．其中说法正确的有_____________． 15. 如图，在矩形ABCD中，BC＝20cm，点P和点Q分别从点B和点D出发，按逆时针方向沿矩形ABCD的边运动，点P和点Q的速度分别为3cm/s和2cm/s，则最快___s后，四边形ABPQ成为矩形． 三、解答题（本大题共8小题，共75分） 16. 计算： （1）； （2）． 17. 某体校准备在甲、乙两位射箭爱好者中选出一人参加集训，两人各射了5箭，他们的总成绩（单位：环）相同，小宇根据他们的成绩绘制了尚不完整的统计图表，并计算了甲成绩的平均数和方差（见小宇的作业）． 甲、乙两人射箭成绩折线图 小宇的作业： 解： ． 甲、乙两人射箭成绩统计表 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 甲成绩 9 4 7 4 6 乙成绩 7 5 7 a 7 （1） ， （2）请完成图中表示乙成绩变化情况的折线： （3）①观察图表，参照小宇计算方法，计算乙成绩的方差； ②请你从平均数和方差的角度分析，谁将被选中． 18. 如图，有一张矩形纸片， 将纸片折叠一次，使点A与点C重合，再展开，折痕交边于E，交边于F，连接和． （1）求证：四边形 是菱形． （2）若 的面积为 ，求的周长． 19. 如图，公路MN和公路PQ在点P处交会，公路PQ上点A处有学校，点A到公路MN的距离为120m，现有一卡车在公路MN上以5m/s的速度沿PN方向行驶，卡车行驶时130m范围以内都会受到噪音的影响，请你算出该学校受影响的时间多长？ 20. 周日，小明一家从家里出发去40公里的郊外野炊，小明和妹妹小红早上8：00骑自行车先走．爸爸和妈妈开车10：00出发，半小时追上小明和小红，随即小明和小红乘坐爸妈的车一起前往目的地．设小明和小红所用的时间为（小时），小明和小红所走的路程为（公里），爸妈所走的路程为（公里），图中OCB表示与之间的函数关系，线段AB表示与之间的函数关系． （1）爸妈开车的速度是每小时多少公里？ （2）求、与x的函数表达式． （3）如果小明和小红中途不乘坐爸妈的车，继续骑车前往，12：00能到达目的地吗？说明理由． 21. 如图，在Rt△ABC中，两锐角的平分线AD，BE相交于O，OF⊥AC于F，OG⊥BC于G． （1）求证：四边形OGCF是正方形． （2）若，AC=4，求正方形OGCF的边长． 22. 小慧根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究．下面是小慧的探究过程，请补充完整： （1）函数的自变量的取值范围是 ． （2）列表，找出y与x的几组对应值． x 1 2 3 y b 0 1 2 其中， （3）在平面直角坐标系中，描出上表中以各对对应值为坐标的点，并画出该函数的图象． （4）结合函数的图象，解决下列问题： ①写出该函数的两条性质： ； ②若，则x的取值范围为 ． 23. 如图，直线l：与x轴、y轴分别交于A、B两点，，，垂足为点M，点P为直线l上的一个动点（不与A、B重合）． （1）求直线的解析式； （2）当点P运动到什么位置时的面积是6； （3）在y轴上是否存在点Q，使得以O，P，Q为顶点的三角形与全等，若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标，若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023—2024学年度下期期末教学质量监测 八年级数学 注意事项： 1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求，直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题（本大题共10小题，每题3分，共30分） 1. 下列二次根式中，无论x取什么值都有意义的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】试题解析：A、当时， 无意义，故此选项错误； B、当时，无意义，故此选项错误； C、当时，无意义，故此选项错误； D、无论取什么值，都有意义，故此选项正确； 故选D． 2. 下列式子中，是最简二次根式的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次根式的性质，逐一判断各个选项项，即可． 【详解】解：A. =2，故该选项不符合题意； B. ，故该选项符合题意； C. =，故该选项不符合题意； D. =，故该选项不符合题意． 故选B． 【点睛】本题主要考查最简二次根式，掌握二次根式的性质，是解题的关键． 3. 如图，数轴上点表示的数是-1，点表示的数是1，，，以点为圆心，长为半径画弧，与数轴交于原点右侧的点，则点表示的数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先根据勾股定理求出AC长，再根据圆的半径相等可知AP=AC，即可得出答案． 【详解】解：∵BC⊥AB， ∴∠ABC=90°， ∴AC=， ∵以A为圆心，AC为半径作弧交数轴于点P， ∴AP=AC=， ∴点P表示的数是， 故选：A． 【点睛】此题主要考查了勾股定理，以及数轴与实数，关键是求出AC的长． 4. 《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在“勾股”章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”翻译成数学问题是：如图所示，△ABC中，∠ACB＝90°，AC+AB＝10，BC＝3，求AC的长．在这个问题中，AC的长为（　　） A 4尺 B. 尺 C. 尺 D. 5尺 【答案】C 【解析】 【分析】首先设AC=x，然后根据勾股定理列出方程，求解即可. 【详解】设AC=x， ∵AC+AB=10， ∴AB=10﹣x． ∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°， ∴AC2+BC2=AB2，即x2+32=（10﹣x）2． 解得：x=4.55， 即AC=4.55． 故选：C． 【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图. 5. 如图，在□ABCD中，AB=6cm，BC=10cm，AC=8cm，BD=14cm，则下列结论中：①△AOB的周长是17cm，②△ACD是直角三角形，③AD=14cm，④□ABCD的面积是48cm2，其中正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】由平行四边形的性质，求出OA和OB的长度，即可判断①、③；由勾股定理的定理，得到，即可判断②；先求出△ACD的面积，然后得到平行四边形ABCD的面积，即可判断④． 【详解】解：根据题意，在平行四边形ABCD中， ，，，， ∴△AOB的周长是：；则①正确，③错误； ∵， ∴△ACD是直角三角形，∠ACD=90°；则②正确； ∴△ACD的面积为：， ∴平行四边形ABCD的面积为：；则④正确； ∴正确的选项有3个； 故选：C． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，平行四边形的性质，解题的关键是熟练掌握平行四边形的性质进行解题． 6. 如图，长方形中，，，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为，则的面积为（　　） A. 6 B. 7 C. 10 D. 12 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理与折叠问题，设，，利用勾股定理建立方程，解方程求出，问题随之得解． 【详解】解：由折叠的性质可得， 设，， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 7. 如图，函数和的图象相交于点，则关于x的不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先利用待定系数法求出点坐标，再以交点为分界，结合图象写出不等式的解集即可． 【详解】解：函数过点， ， 解得：， ， 不等式的解集为． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了一次函数与一元一次不等式，关键是求出点坐标． 8. 多多班长统计去年1～8月“书香校园”活动中全班同学的课外阅读数量（单位：本），绘制了如图折线统计图，下列说法正确的是（　　） A. 极差是47 B. 众数是42 C. 中位数是58 D. 每月阅读数量超过40的有4个月 【答案】C 【解析】 【分析】根据统计图可得出最大值和最小值，即可求得极差；出现次数最多的数据是众数；将这8个数按大小顺序排列，中间两个数的平均数为中位数；每月阅读数量超过40的有2、3、4、5、7、8，共六个月． 【详解】A、极差为：83-28=55，故本选项错误； B、∵58出现的次数最多，是2次， ∴众数为：58，故本选项错误； C、中位数为：（58+58）÷2=58，故本选项正确； D、每月阅读数量超过40本的有2月、3月、4月、5月、7月、8月，共六个月，故本选项错误； 故选C． 9. 如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点P是AD边上的一个动点，过点P分别作PEAC于点E，PFBD于点F．若AB=6，BC=8，则PE+PF的值为（ ） A. 10 B. 9.6 C. 4.8 D. 2.4 【答案】C 【解析】 【分析】首先连接OP．由矩形ABCD的两边AB=6，BC=8，可求得OA=OD=5，然后由S△AOD=S△AOP+S△DOP求得答案． 【详解】解：连接OP， ∵矩形ABCD的两边AB=6，BC=8， ∴S矩形ABCD=AB•BC=48，OA=OC，OB=OD，AC=BD，AC==10， ∴S△AOD=S矩形ABCD=12，OA=OD=5， ∴S△AOD=S△AOP+S△DOP=OA•PE+OD•PF=OA（PE+PF）=×5×（PE+PF）=12， ∴PE+PF==4.8． 故选：C． 【点睛】此题考查了矩形性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用． 10. 如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF中点，则AM的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先证明四边形AEPF为矩形，可得AM＝AP，最后利用垂线段最短确定AP的位置，利用面积相等求出AP的长，即可得AM． 【详解】解：∵AB＝3，AC＝4，BC＝5， ∴， ∴△ABC直角三角形，∠A＝90°， 又∵PE⊥AB，PF⊥AC， ∴四边形AEPF为矩形， ∵M 为 EF 中点， ∴M 也是 AP中点，即AM＝AP， 故当AP⊥BC时，AP有最小值，此时AM最小， 由，可得AP＝， AM＝AP＝； 故选：D． 【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，确定出AP⊥BC时AM最小是解题关键． 二、填空题（本大题共5小题，每题3分，共15分） 11. 若一次函数的图象经过第一、三、四象限，则b的值可以是______．（写一个即可） 【答案】（答案不唯一，任意负数均可） 【解析】 【分析】本题考查的是一次函数的图象与系数的关系，熟知当，时，一次函数的图象在一、三、四象限是解答此题的关键． 先根据一次函数的图象经过一、三、四象限判断出b的符号，再写出符合条件的b的值即可． 【详解】解：∵一次函数的图象经过一、三、四象限， ∴， ∴ ∴b可以等于（答案不唯一）． 故答案为：（答案不唯一）． 12. 计算：______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的乘法运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则和积的乘方与平方差公式是解决问题的关键． 先根据积的乘方得到原式，然后利用平方差公式计算． 【详解】解： ． 故答案为：． 13. 在平面直角坐标系中，已知一次函数y＝﹣6x+1的图象经过P1（x1，y1）、P2（x2，y2）两点，若x1＜x2，则y1___y2．（填“＞”“＜”“＝”） 【答案】＞ 【解析】 【分析】根据一次函数解析式判断增减性，然后根据x1＜x2即可得出结论． 【详解】解：∵k＝﹣6＜0， ∴y随x的增大而减小． 又∵一次函数y＝﹣6x+1的图象经过P1（x1，y1）、P2（x2，y2）两点，且x1＜x2， ∴y1＞y2． 故答案为：＞． 【点睛】本题考查了一次函数的性质，能够根据一次函数的解析式判断其增减性是解题的关键． 14. 如图，一次函数的图象与坐标轴的交点坐标分别为A（0，2），B（-3，0），下列说法：①随的增大而减小；②；③关于的方程的解为；④关于的不等式的解集．其中说法正确的有_____________． 【答案】④ 【解析】 【分析】根据一次函数的性质，一次函数与一元一次方程的关系对各个说法分析判断即可得解． 【详解】解：把，，代入中，可得：， 解得：，所以解析式为：； ①随的增大而增大，故①说法错误； ②，故②说法错误； ③关于的方程的解为，故③说法错误； ④关于的不等式的解集，故④说法正确． 故答案是：④． 【点睛】本题主要考查了一次函数的性质，以及一次函数与一元一次方程，解题的关键是：利用数形结合求解． 15. 如图，在矩形ABCD中，BC＝20cm，点P和点Q分别从点B和点D出发，按逆时针方向沿矩形ABCD的边运动，点P和点Q的速度分别为3cm/s和2cm/s，则最快___s后，四边形ABPQ成为矩形． 【答案】4 【解析】 【分析】先由矩形的性质确定BC与AD的关系，根据矩形的判定定理，可得BP=AQ，列出一元一次方程求解即可． 【详解】解：∵四边形ABCD是矩形 ∴∠A=∠B=90°，AD=BC=20cm， 设最快x秒，四边形ABPQ成为矩形，则AQ=20-2x，BP=3x ∵四边形ABPQ是矩形 ∴AQ=BP ∴3x=20-2x ∴x=4 故答案为：4 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，掌握有一个角是直角的平行四边形是矩形是解答本题的关键． 三、解答题（本大题共8小题，共75分） 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】此题考查了二次根式的化简，二次根式的加减运算，零指数幂和负整数指数幂，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）先分别化简二次根式，再合并同类二次根式； （2）先利用二次根式的性质，零指数幂和负整数指数幂进行化简，然后计算加减． 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 ． 17. 某体校准备在甲、乙两位射箭爱好者中选出一人参加集训，两人各射了5箭，他们的总成绩（单位：环）相同，小宇根据他们的成绩绘制了尚不完整的统计图表，并计算了甲成绩的平均数和方差（见小宇的作业）． 甲、乙两人射箭成绩折线图 小宇的作业： 解： ． 甲、乙两人射箭成绩统计表 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 甲成绩 9 4 7 4 6 乙成绩 7 5 7 a 7 （1） ， （2）请完成图中表示乙成绩变化情况的折线： （3）①观察图表，参照小宇的计算方法，计算乙成绩的方差； ②请你从平均数和方差的角度分析，谁将被选中． 【答案】（1）4，6 （2）见解析 （3）①；②乙 【解析】 【分析】（1）由题意知，甲乙的总成绩相同，均为，则，，计算求解即可； （2）根据题意补全折线图即可； （3）①根据，计算求解即可；②利用方差进行决策即可． 【小问1详解】 解：由题意知，甲乙的总成绩相同，均为， ∴， ∴， 故答案为：4，6； 【小问2详解】 解：补全折线图如下； 【小问3详解】 ①解：由题意知， ， ∴乙成绩的方差为； ②解：由题意知，甲、乙成绩的平均数相同，甲成绩的方差大于乙成绩的方差，乙的成绩更稳定， ∴乙将被选中． 【点睛】本题考查了折线统计图，平均数，方差，利用方差进行决策等知识．熟练掌握折线统计图，平均数，方差，利用方差进行决策是解题的关键． 18. 如图，有一张矩形纸片， 将纸片折叠一次，使点A与点C重合，再展开，折痕交边于E，交边于F，连接和． （1）求证：四边形 是菱形． （2）若 的面积为 ，求的周长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由折叠的性质和矩形的性质可得，，，根据平行线的性质可得，进而由等角对等边可得，由等量代换可得，证明四边形是平行四边形，再根据菱形的判定证明即可； （2）由菱形的性质得，利用勾股定理可得，进而可得，由的面积为 ，可得，即可求得，进而求解即可． 【小问1详解】 证明：∵一张矩形纸片，将纸片折叠一次，使点A与点C重合， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，即， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形； 【小问2详解】 解：由（1）可得，四边形是菱形， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∵的面积为 ， ∴，即， 把②代入①得，， 即， ∴（负值舍去）， ∴． 【点睛】本题考查矩形的性质、折叠的性质、菱形的判定与性质、勾股定理、完全平方公式及求算术平方根，熟练运用矩形的性质和菱形的判定与性质是解题的关键． 19. 如图，公路MN和公路PQ在点P处交会，公路PQ上点A处有学校，点A到公路MN的距离为120m，现有一卡车在公路MN上以5m/s的速度沿PN方向行驶，卡车行驶时130m范围以内都会受到噪音的影响，请你算出该学校受影响的时间多长？ 【答案】20秒 【解析】 【分析】设卡车开到C处刚好开始受到影响，行驶到D处时结束，在Rt△ACB中求出CB，继而得出CD，再由卡车的速度可得出所需时间． 【详解】解：设卡车开到C处刚好开始受到影响，行驶到D处时结束了噪声的影响． 则有CA＝DA＝130m， 在Rt△ABC中，， ∴CD＝2CB＝100m， 则该校受影响的时间为：100÷5＝20（s）． 答：该学校受影响的时间为20秒． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，解答本题的关键是熟练掌握勾股定理的表达式，画出示意图，另外要求掌握时间＝路程÷速度． 20. 周日，小明一家从家里出发去40公里的郊外野炊，小明和妹妹小红早上8：00骑自行车先走．爸爸和妈妈开车10：00出发，半小时追上小明和小红，随即小明和小红乘坐爸妈的车一起前往目的地．设小明和小红所用的时间为（小时），小明和小红所走的路程为（公里），爸妈所走的路程为（公里），图中OCB表示与之间的函数关系，线段AB表示与之间的函数关系． （1）爸妈开车的速度是每小时多少公里？ （2）求、与x的函数表达式． （3）如果小明和小红中途不乘坐爸妈的车，继续骑车前往，12：00能到达目的地吗？说明理由． 【答案】（1）40；（2）；；（3）不能；理由见解析． 【解析】 【分析】（1）根据图象，由速度=路程÷时间求解即可； （2）利用待定系数法求解函数表达式即可； （3）将y=40代入直线OC的表达式求得x值，即可做出结论． 【详解】解：（1）由图象可知，由40÷（3﹣2）=40知，爸妈开车的速度是每小时40公里； （2）设，从图中知其图象经过（2，0）和（3，40）则 ，解得：， ∴（） 当时，，所以C点为（2.5，20） 又设OC的解析式为，则，解得：， 则，又CB段的解析式与相同， 所以 （3）在直线OC上，当时，由8x=40得：，这说明小明他们不乘坐爸妈车，全程需要5个小时，即13：00才能到达，所以他们12：00不能到达． 【点睛】本题考查一次函数的应用、待定系数法求函数解析式，理解题意，能从图象中正确获取相关信息是解答的关键． 21. 如图，在Rt△ABC中，两锐角平分线AD，BE相交于O，OF⊥AC于F，OG⊥BC于G． （1）求证：四边形OGCF是正方形． （2）若，AC=4，求正方形OGCF的边长． 【答案】（1）证明见解析；（2）． 【解析】 【分析】（1）根据有三个角是直角的四边形是矩形，可得四边形OGCF是矩形，根据角平分线的性质，可得OH与OF，OH与OG的关系，根据邻边相等的矩形是正方形，可得答案． （2）由30度直角三角形的性质和勾股定理，先求出AB和BC，然后设正方形OGCF的边长为，列出关于x的方程，即可得到答案． 【详解】解：（1）证明：如图，作OH⊥AB于H点 ∵OF⊥AC于点F，OG⊥BC于点G， ∴∠OGC=∠OFC=90°． ∵∠C=90°， ∴四边形OGCF是矩形． ∵AD平分∠BAC， ∴OH=OF． ∵BE平分∠ABC， ∴OH=OG， ∴OF=OG， ∴四边形OGCF是正方形． （2）由于，AC=4， ∴AB=8，BC=， 设正方形OGCF的边长为，则 AH=AF=4，BH=BG=， ∴， ∴； 【点睛】本题考查了正方形的判定，角平分线的性质定理，勾股定理，一元一次方程等知识，利用角平分线的性质得出邻边相等是解题关键． 22. 小慧根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究．下面是小慧的探究过程，请补充完整： （1）函数的自变量的取值范围是 ． （2）列表，找出y与x的几组对应值． x 1 2 3 y b 0 1 2 其中， （3）在平面直角坐标系中，描出上表中以各对对应值为坐标的点，并画出该函数的图象． （4）结合函数的图象，解决下列问题： ①写出该函数的两条性质： ； ②若，则x的取值范围为 ． 【答案】（1）任意实数 （2）2 （3）见解析 （4）①函数的最小值为0；函数的图象关于直线对称；② 【解析】 【分析】（1）由题意知，函数的自变量的取值范围是任意实数； （2）当时，，计算求解即可； （3）描点、连线，作函数图象即可； （4）①结合图象作答即可；②如图1，作的图象，令，可得，即函数的图象与函数的图象的交点坐标为，由题意知，当时，x的取值范围为函数的图象在函数的图象上方部分所对应的x的取值范围，结合图象作答即可． 【小问1详解】 解：由题意知，函数的自变量的取值范围是任意实数， 故答案为：任意实数． 【小问2详解】 解：当时，， 故答案为：2； 【小问3详解】 解：描点、连线，作函数图象如图1， 图1 【小问4详解】 ①解：由图象可知，该函数的两条性质为：函数的最小值为0；函数的图象关于直线对称， 故答案为：函数的最小值为0；函数的图象关于直线对称； ②解：如图1，作的图象， 令， 解得，， ∴函数的图象与函数的图象的交点坐标为， 由题意知，当时，x的取值范围为函数的图象在函数的图象上方部分所对应的x的取值范围， 由图象可知，x的取值范围为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了函数的自变量的取值范围，函数值，作函数图象，函数的性质，一次函数与不等式等知识．熟练函数的自变量的取值范围，函数值，作函数图象，函数的性质，一次函数与不等式是解题的关键． 23. 如图，直线l：与x轴、y轴分别交于A、B两点，，，垂足为点M，点P为直线l上的一个动点（不与A、B重合）． （1）求直线的解析式； （2）当点P运动到什么位置时的面积是6； （3）在y轴上是否存在点Q，使得以O，P，Q为顶点的三角形与全等，若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）； （2）点P坐标为； （3）存在，符合条件的点P的坐标为，，，． 【解析】 【分析】（1）通过求出点A坐标，用待定系数法即求出解析式； （2）先画图，确定面积可以为底，P到y轴距离为高求得，作出辅助线帮助思考．求出P到y轴距离后，要注意分类讨论； （3）题目问法说明两三角形三边对应关系不确定，故需要分类讨论．观察，得到即为斜边．所以也是直角三角形且为对应斜边，因此只能，两直角边对应关系不确定，分两类与．具体每类再分析时，发现长度求出后对应坐标值可正可负，结合图像分析再分类讨论． 【小问1详解】 解：∵直线l：与y轴交于点B， ∴，， ∵， ∴，即， ∵点A在直线l上， ∴， 解得：， ∴直线l的解析式为； 【小问2详解】 解：过P作轴于C，如图1， ∴， ∴， ∴点P的横坐标为4或， ∵点P为直线l上的一个动点且不与A、B重合， ∴横坐标不为4，纵坐标为：， ∴点P坐标为时，的面积是6； 【小问3详解】 解：存在满足条件的P、Q， ∵，， ∴，， ∴以O，P，Q为顶点的三角形与全等时，斜边为对应边，， ①， ∴，即P点横坐标为或，如图2和图3， ，， ∴点P或； ②， ∴，即点P、点Q纵坐标为或，如图4和图5， ， 解得：， ， 解得：， ∴点或， 综上所述，符合条件的点P的坐标为，，，． 【点睛】本题以一次函数为背景考查了三角形及全等三角形判定，体现了数形结合思想和分类讨论思想．解题关键是通过画图进行分析，解题时应注意在坐标系里线段长度对应坐标的绝对值，所以坐标可正可负要分类讨论．全等三角形存在性问题要通过画图分析，找到确定对应的边角，再根据不确定对应的边角分类讨论． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$