2.2.2函数的表示法（第2课时 分段函数）课件-2024-2025学年高一上学期数学北师大版（2019）必修第一册

2.2　函数的表示法 第2课时　分段函数 第二章　函数 北师大版 数学 必修第一册 基础落实·必备知识一遍过 重难探究·能力素养速提升 目录索引 学以致用·随堂检测促达标 课程标准 1.了解分段函数的概念. 2.会求分段函数的函数值,能画出分段函数的图象. 3.能在实际问题中列出分段函数,并能解决有关问题. 基础落实·必备知识一遍过 知识点　分段函数 1.分段函数的定义 如果一个函数,在其定义域内,对于自变量的不同取值区间,有不同的对应关系,则称其为分段函数. 分段函数是一个函数而不是几个函数  2.分段函数的图象 分段函数有几段,它的图象就由几部分组成.在同一平面直角坐标系中,根据分段函数每段的定义区间和解析式依次画出图象,要注意确定每段图象的端点是空心点还是实心点,各段函数图象组合到一起就可得到整个分段函数的图象. 名师点睛 1.求分段函数的函数值的关键是分段归类,即自变量的取值属于哪个区间,就只能用那个区间上的解析式来进行计算. 2.写分段函数的定义域时,区间端点应不重不漏.分段函数的定义域是各段自变量取值集合的并集. 3.分段函数值域的求法是分别求出各段上的因变量的取值集合后取并集;分段函数的最大(小)值的求法是先求出每段函数的最大(小)值,然后比较各段的最大(小)值,其中最大(小)的为分段函数的最大(小)值. 自主诊断 1.判断正误.(正确的画√,错误的画×) (1)分段函数是一个函数,其定义域为各段的定义域的并集.(　　) (2)Y=|x-8|可以转化为分段函数的形式.(　　) (3)分段函数 的图象可以作出来.(　　) √ √ × 2.如图,函数f(x)的图象是折线段ABC,其中点A,B,C的坐标分别为(0,4),(2,0),(6,4),则f(f(f(2)))=　　　　　.  2 解析 由题图知f(2)=0,∴f(f(2))=f(0)=4, ∴f(f(f(2)))=f(4)=2. 3.[人教A版教材习题]画出函数y=|x-2|的图象. (方法二　翻折法)先画出y=x-2的图象,然后把图象位于x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上面. 重难探究·能力素养速提升 探究点一　分段函数的求值 变式探究在本例已知条件下,若f(x)>0,求x的取值范围. 解 ∵f(x)>0, ∴-2<x<0或0<x<2或x≥2. ∴x的取值范围是(-2,0)∪(0,+∞). 规律方法　1.求分段函数的函数值的步骤 (1)先确定所求值对应的自变量属于哪一区间. (2)再代入该区间对应的解析式进行求值,直到求出值为止.当出现f(f(x0))的形式时,应从内到外依次求值. 2.已知分段函数的函数值求自变量的值的步骤 (1)先确定所求自变量的值可能存在的区间及其对应的函数解析式. (2)再将函数值代入不同的解析式中. (3)通过解方程求出自变量的值. (4)检验所求的值是否在所讨论的区间内. 探究点二　分段函数的图象 【例2】 画出下列函数的图象,并写出它们的值域. (2)y=|x+1|+|x-3|. 解 (1)函数 的图象如图①,观察图象,得函数的值域为(1,+∞). (2)将原函数式中的绝对值符号去掉,化为分段函数 它的图象如图②.观察图象,得函数的值域为[4,+∞). 规律方法　1.因为分段函数在定义域的不同区间内解析式不一样,所以它的图象也由几部分构成,有的可以是光滑的曲线段,有的也可以是一些孤立的点或几段线段,画图时要特别注意区间端点处对应点的虚实之分. 2.对含有绝对值的函数,要作出其图象,首先去掉绝对值符号,将函数转化为分段函数,再作其图象. C 解析 因为当x=0时,y=0-1=-1,所以函数图象过点(0,-1),排除A,B; 当x<0时,y=x2,则函数图象是开口向上的抛物线在y轴左侧的部分.因此只有选项C中的图象符合题意. 探究点三　根据分段函数图象求解析式 【例3】 已知函数y=f(x)的图象由图中的两条射线和抛物线的一部分组成, 则函数的解析式为　　 　　　.  解析 根据图象,设左侧的射线对应的函数解析式为y=kx+b(x≤1). ∵点(1,1),(0,2)在射线上, ∴左侧射线对应的函数解析式为y=-x+2(x≤1). 同理,当x≥3时,对应的函数解析式为y=x-2(x≥3). 再设抛物线对应的一元二次函数解析式为y=a(x-2)2+2(1<x<3,a<0). ∵点(1,1)在抛物线上,∴a+2=1,∴a=-1. ∴当1<x<3时,对应的函数解析式为y=-x2+4x-2(1<x<3). 综上可知,所求函数的解析式为 变式训练2已知函数f(x)的图象如图所示,则f(x)的解析式为　　　　 　　　.  解析 ∵f(x)的图象由两条线段组成,∴由一次函数解析式求法可得 探究点四　分段函数在实际中的应用 【例4】 某上市股票在30天内每股的交易价格P(单位:元)与时间t(单位:天)组成有序数对(t,P),点(t,P)落在图中的两条线段上,该股票在30天内(包括第30天)的日交易量Q(单位:万股)与时间t的部分数据如下表所示. 第t天 4 10 16 22 Q/万股 36 30 24 18 (1)根据提供的图象,写出该种股票每股交易价格P与时间t所满足的函数解析式. (2)根据表中数据确定日交易量Q与时间t的一次函数解析式. (3)在(2)的结论下,用y(单位:万元)表示该股票日交易额,写出y关于t的函数解析式,并求出这30天中第几日交易额最大,最大值为多少? (2)设Q=at+b(a≠0,a,b为常数),将(4,36)与(10,30)代入,得 故日交易量Q与时间t的一次函数解析式为Q=40-t,0<t≤30,t∈N+. 规律方法　分段函数的意义是不同范围内的自变量x与y的对应关系不同,从而需分段来表达它.解决实际问题时要结合实际意义写出分段函数的解析式,再根据需要选择合适的解析式解决问题. 变式训练3[人教B版教材例题]北京市居民用水实行阶梯水价.其中年用水量不超过180 m3的部分,综合用水单价为5元/m3;超过180 m3但不超过 260 m3的部分,综合用水单价为7元/m3.如果北京市一居民年用水量为x m3,其要缴纳的水费为f(x)元.假设0≤x≤260,试写出f(x)的解析式,并作出f(x)的图象. 解 如果x∈[0,180],则f(x)=5x;如果x∈(180,260],按照题意有 f(x)=5×180+7(x-180)=7x-360.因此 注意到f(x)在不同的区间上,解析式都是一次函数的形式,因此y=f(x)在每个区间上的图象都是直线的一部分,又因为f(180)=5×180=900, f(260)=7×260-360 =1 460,由此可作出函数的图象,如图所示. 本节要点归纳 1.知识清单: (1)分段函数的求值; (2)作分段函数的图象; (3)分段函数在实际中的应用. 2.方法归纳:数形结合法. 3.常见误区:分段函数作图时定义域中端点的处理;对分段函数定义域和值域的理解;分段函数求值时,应注意自变量所在的区间. 学以致用·随堂检测促达标 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 A 级 必备知识基础练 1. [探究点一]下表表示y是x的函数,则函数的值域是(　　) x 0<x<5 5≤x<10 10≤x<15 15≤x≤20 y 2 3 4 5 A.[2,5] B.N C.(0,20] D.{2,3,4,5} D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2.[探究点一]已知函数f(x)的图象是两条线段(如图所示,不含端点),则 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 A.[-1,1] B.[-1,2] C.(-∞,1] D.[-1,+∞) A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 4.[探究点四]“龟兔赛跑”讲述了这样的故事:领先的兔子看着慢慢爬行的乌龟,骄傲起来,睡了一觉,当它醒来时,发现乌龟快到终点了,于是急忙追赶,但为时已晚,乌龟还是先到达了终点,用s1,s2分别表示乌龟和兔子所行的路程,t为时间,则下图中的s-t函数图象与故事情节相吻合的是(　　) B 解析 由于兔子中间睡了一觉,所以有一段路程不变,而乌龟的路程始终在增加且比兔子早到终点. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 5. [探究点一]已知函数 则f(f(f(5)))等于　　　　　.  -5 解析 f(f(f(5)))=f(f(0))=f(-1)=2×(-1)-3=-5. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 6. [探究点三]已知函数f(x)的图象如图所示,则f(x)的解析式 为　　 　　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 7.[探究点四]某市出租车收费标准如下:在3 km以内(含3 km)路程按起步价7元收费,超过3 km以外的路程按2.4元/km收费,某人乘车交车费19元,则此人乘车行程为　　　　 km.  8 解析 根据题意可判断出乘车的路程超过3 km,设此人乘车的路程为x km,由题意得(x-3)×2.4+7=19,整理得x-3=5,解得x=8,故此人乘车行程为8 km. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 8.[探究点二·2024四川遂宁高一期中]已知 (1)在所给坐标系中画出f(x)的图象; (2)直接写出f(x)的值域. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解 (1)函数图象如下所示. (2)由图象可知,函数的值域为[-4,+∞). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 B 级 关键能力提升练 9.已知函数y=f(x)的对应关系如下表,函数y=g(x)的图象是如图所示的曲线ABC,其中A(1,3),B(2,1),C(3,2),则f(g(2))=(　　) x 1 2 3 f(x) 2 3 0 A.3 B.2 C.1 D.0 B 解析 由题图知g(2)=1,∴f(g(2))=f(1)=2.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 10.(多选题)已知函数 关于函数f(x)的结论正确的是 (　　) A.f(x)的定义域为R B.f(x)的值域为(-∞,4) C.若f(x)=3,则x的值是 D.f(x)<1的解集为(-1,1) BC 解析 由题意知函数f(x)的定义域为(-∞,2),故A错误;当x≤-1时,f(x)的取值范围是(-∞,1], 当-1<x<2时,f(x)的取值范围是[0,4),因此f(x)的值域为(-∞,4),故B正确; 当x≤-1时,令x+2=3,解得x=1(舍去),当-1<x<2时,令x2=3,解得 当x≤-1时,x+2<1,解得x<-1,当-1<x<2时,x2<1,解得-1<x<1, 因此f(x)<1的解集为(-∞,-1)∪(-1,1). 故D错误.故选BC. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 11.已知函数 若f(a)=3,则a的值为　　　　.  -1或2 解析 由 当a<0时,a+4=3,解得a=-1;当a≥0时,2a-1=3,解得a=2.故a的值为-1或2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 12.已知函数f(x)=|x-2|(x+1). (1)作出函数f(x)的图象; (2)判断关于x的方程|x-2|(x+1)=a(a∈R)的解的个数. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 (2)关于x的方程|x-2|(x+1)=a的解的个数就是直线y=a与y=|x-2|(x+1)的图象的交点的个数.作出图象如图所示. 由图象可知, 当a<0时,有一个交点; 当a=0时,有两个交点; 当0<a< 时,有三个交点; 当a= 时,有两个交点; 当a> 时,有一个交点. 综上,当a<0或a> 时,方程有一个解; 当a=0或a= 时,方程有两个解; 当0<a< 时,方程有三个解. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 C 级 学科素养创新练 13.某公司为提高员工的综合素质,聘请专业机构对员工进行专业技术培训,其中培训机构费用成本为12 000元.公司每位员工的培训费用按以下方式与该机构结算:当公司参加培训的员工人数不超过30时,每人的培训费用为850元;当公司参加培训的员工人数多于30时,则给予优惠,每多一人,每人的培训费减少10元.已知该公司最多有60位员工可参加培训,设参加培训的员工人数为x,每位员工的培训费为y元,培训机构的利润为Q元. (1)写出y与x(1≤x≤60,且x∈N)之间的函数关系式; (2)当公司参加培训的员工为多少人时,培训机构可获得最大利润?最大利润是多少? 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解 (1)当1≤x≤30且x∈N时,y=850; 当30<x≤60且x∈N时,y=850-10(x-30)=1 150-10x.所以 (2)当1≤x≤30且x∈N时,Q=850x-12 000,Qmax=850×30-12 000=13 500; 当30<x≤60且x∈N时,Q=-10x2+1 150x-12 000,其图象的对称轴方程为 故当x=57或x=58时,Qmax=21 060. 所以当公司参加培训的员工为57人或58人时,培训机构可获得最大利润,最大利润为21 060元. f(x)= 解 (方法一)y=函数y=|x-2|的图象如图所示. 【例1】 已知函数f(x)= (1)求f的值; (2)若f(x)=2,求x的值. 分析(1)由内到外,先求f,再求f,最后求f;(2)分别令x+2=2,x2=2,x=2,分段求x的值并验证. 解 (1)f=-+2=, ∴f=f, ∴f=f (2)当f(x)=x+2=2时,x=0,不符合x<0. 当f(x)=x2=2时,x=±,其中x=符合0≤x<2. 当f(x)=x=2时,x=4,符合x≥2. 综上,x的值是或4. (1)y= y= y= 变式训练1下列图形是函数y=的图象的是(　　) y= 解得 y= f(x)= f(x)= 解 (1)P= 解得 (3)由(1)(2)可得y= 即y= 当0<t≤20时,当t=15时,ymax=125;当20<t≤30时,结合一元二次函数 y=t2-12t+320在(20,30]上的图象(图略)知,50≤y<120,因为125>120,所以,第15日交易额最大,最大值为125万元. f(x)= 解析 由题表可知,y= 所以函数的值域为{2,3,4,5}.故选D. f()=(　　) A.- B. C.- D. 解析 f(x)=f()=- 3.[探究点一]已知函数f(x)=则不等式xf(x-1)≤1的解集为(　　) 解析 原不等式等价于解得-1≤x≤1. f(x)= f(x)= 解析 当0≤x≤1时,f(x)=-1; 当1<x≤2时,设f(x)=kx+b(k≠0),则解得此时f(x)=x-2. 综上,f(x)= f(x)= f(x)= x=或x=-(舍去),故C正确; f(x)= f(x)= 解 (1)函数f(x)=|x-2|(x+1),去掉绝对值符号得f(x)= 可得f(x)的图象如图所示. y= x==57.5, $$