专题5.2.2 二次函数y=ax²+c的图象和性质（4个考点）（题型专练+易错精练）-2024-2025学年九年级数学下册《知识解读•题型专练》（苏科版）

专题5.2.2 二次函数的图象和性质（4个考点） 【考点1 二次函数y=ax²+c顶点与对称轴问题】 【考点2 二次函数y=ax²+c图象性质】 【考点3二次函数y=ax²+c中y值大小比较问题】 【考点4二次函数y=ax²与一次函数综合问题】 【考点1 二次函数y=ax²+c顶点与对称轴问题】 1．抛物线的顶点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 抛物线的解析式为顶点式，根据抛物线的顶点式即可得出结论． 【详解】解：∵抛物线的解析式为，， ∴顶点坐标为． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了二次函数的顶点坐标．熟练掌握二次函数的顶点式，是解决问题的关键． 2．抛物线的对称轴是（　　） A．y轴 B．直线x=2 C．直线 D．直线x=﹣3 【答案】A 【详解】解：由二次函数的公式法可得顶点坐标为， 故对称轴为x==0， 所以对称轴为y轴． 故选：A． 3．抛物线y=2x2﹣4的顶点坐标是（ ） A．（1，﹣2） B．（0，﹣2） C．（1，﹣3） D．（0，﹣4） 【答案】D 【分析】形如y=ax2+k的顶点坐标为（0，k），据此可以直接求顶点坐标． 【详解】解：抛物线y=x2﹣4的顶点坐标为（0，﹣4）． 故选D． 【考点2 二次函数y=ax²+c图象性质】 4．抛物线的顶点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的顶点坐标．熟练掌握二次函数的顶点式，是解决问题的关键．抛物线的解析式为顶点式，根据抛物线的顶点式即可得出结论． 【详解】解：∵抛物线解析式为， ∴抛物线的顶点坐标为． 故选：C． 5．关于二次函数，下列叙述正确的是（    ） A．函数的图象开口向下 B．对称轴是轴 C．当时，有最大值 D．当时，随的增大而增大 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数的性质，根据二次项系数大于0可得开口向上，一次项系数为0，可得对称轴为轴，进而得到当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大，则当时，有最小值，据此可得答案． 【详解】解；∵二次函数解析式为，， ∴二次函数开口向上，对称轴为y轴，故A说法错误，B说法正确， ∴当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大，故D说法错误， ∴当时，有最小值，故C说法错误， 故选B． 6．二次函数的图象如图，将其绕顶点旋转后得到的抛物线的解析式为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数的图象绕顶点旋转后，所得抛物线的开口大小与原抛物线的开口大小相同，只是开口方向相反，即可得到答案． 【详解】解：二次函数解析式为， 二次函数的顶点坐标为， 二次函数的图象绕顶点旋转后，所得抛物线的开口大小与原抛物线的开口大小相同，只是开口方向相反， 得到的抛物线的解析式为， 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，旋转的性质，得出二次函数的图象绕顶点旋转后，所得抛物线的开口大小与原抛物线的开口大小相同，只是开口方向相反是解此题的关键． 7．已知抛物线．下列结论： ①抛物线开口向下；②对称轴是轴；③顶点坐标是；④函数有最小值；⑤当时，随的增大而减小． 其中正确的个数有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】根据题目中的函数解析式，利用二次函数的性质可以判断各个小题中的结论是否正确，本题得以解决． 【详解】解：∵抛物线， ∴抛物线开口向下，故①正确； 对称轴是轴，故②正确； 顶点坐标是，故③错误； 函数有最大值，故④错误； 当时，随的增大而减小，故⑤正确； 故选：B． 【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 8．下列各点在抛物线上的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分别计算自变量为1和0时的函数值，然后根据二次函数图象上点的坐标特征进行判断． 【详解】解：当时，；当，， 点在抛物线上． 故选：A． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式，熟练掌握二次函数的基本特征是解题关键． 9．如图，二次函数的图象大致是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】由二次函数的开口向上，对称轴为直线，得到坐标为，再结合选项中的图象逐一分析即可． 【详解】解：二次函数的开口向上，对称轴为直线，得到坐标为， ∴C符合题意；A，B，D不符合题意； 故选C 【点睛】本题考查的是二次函数的性质，掌握的图象与性质是解本题的关键． 10．关于二次函数，下列说法错误的是（    ） A．顶点坐标为 B．有最大值 C．与轴无交点 D．对称轴是直线 【答案】D 【分析】根据抛物线的解析式和二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题． 【详解】解∶∵， ∴顶点坐标为，开口向下， 故选项A正确，但不符合题意； ∴二次函数有最大值， 故选项B正确，但不符合题意； ∵二次函数的图象开口向下，且函数有最大值， ∴函数图象与轴无交点， 故选项C正确，但不符合题意； 的对称轴为轴， 故选项D错误，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 11．抛物线的开口向 ． 【答案】下 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，根据时，抛物线的开口向上，时，抛物线的开口向下求解即可． 【详解】解：∵抛物线中，， ∴抛物线的开口向下， 故答案为：下． 12．若点与 都在函数 的图象上，则，的大小关系是 ． 【答案】 【分析】此题考查了二次函数的性质，根据二次函数的解析式得出图象的开口向下，对称轴是直线，根据时，随的增大而减小，即可得出答案，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：由函数可知，，对称轴是直线， ∴当时，随的增大而减小， ∵， ∴， 故答案为：． 13．如果一次函数与二次函数的图象的一个交点坐标是，另一个交点是该二次函数图象的顶点，则 ． 【答案】 【分析】把代入求得，根据二次函数的顶点坐标为，把代入求得，把，代入，即可求得a值． 【详解】解：∵一次函数过点， ∴， 解得， ∴， ∵一次函数与二次函数的图象的一个交点坐标为，另一个交点是该二次函数图象的顶点， ∴另一个交点为， 把代入，得， 把，代入，得 ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查二次函数的图象性质、一次函数的图象性质，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的图象性质和二次函数的图象性质解答． 14．在平面直角坐标系中，已知点是抛物线上任意一点，则长的最小值为 ． 【答案】3 【分析】根据二次函数的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线开口向上，顶点坐标为， ∴长的最小值为3． 故答案为：3． 【点睛】本题考查了二次函数(a，h，k为常数，)的性质，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键．是抛物线的顶点式，a决定抛物线的形状和开口方向，其顶点是，对称轴是y轴． 15．抛物线的顶点是，则k的值为 ． 【答案】2 【分析】把代入解析式求解即可． 【详解】因为抛物线的顶点是， 所以， 解得， 故答案为：2． 【点睛】本题考查了抛物线的顶点，熟练掌握顶点的意义是解题的关键． 16．二次函数的对称轴是直线 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查了求抛物线的对称轴．根据二次函数的对称轴是直线，即可求解． 【详解】解：二次函数的对称轴是直线． 故答案为：3 17．如图，抛物线向右平移1个单位得到的抛物线，回答下列问题： (1)抛物线的解析式是______，顶点坐标为______； (2)阴影部分的面积______； (3)若再将抛物线绕原点O旋转得到抛物线，则抛物线的开口方向______，解析式为______； 【答案】(1)， (2)2 (3)向上， 【分析】（1）根据抛物线的移动规律左加右减可直接得出抛物线的解析式，再根据的解析式求出顶点坐标即可； （2）根据平移的性质知，阴影部分的面积等于底高，列式计算即可； （3）先求出二次函数旋转后的开口方向和顶点坐标，从而得出抛物线的解析式． 【详解】（1）解：∵抛物线向右平移1个单位得到的抛物线， ∴抛物线的解析式是，顶点坐标为． 故答案为：，； （2）解：阴影部分的面积是：． 故答案为：2； （3）解：∵将抛物线绕原点O旋转后，得到抛物线的顶点坐标为：， ∴抛物线的解析式为，开口方向向上． 故答案为：向上，． 【点睛】此题考查了二次函数的图象与几何变化，用到的知识点是二次函数的图象和性质、顶点坐标，关键是掌握二次函数的移动规律和几何变换． 【考点3二次函数y=ax²+c中y值大小比较问题】 18．已知点（﹣1，y1），（2，y2），（﹣3，y3）都在函数y＝x2＋1上，则（　　） A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y2＜y3＜y1 D．y2＜y1＜y3 【答案】A 【分析】根据函数图象上的点的坐标满足函数关系，分别求出y1、y2、y3，然后解答即可． 【详解】解：y1＝（−1）2＋1＝2， y2＝22＋1＝5， y3＝（−3）2＋1＝10， 所以，y1＜y2＜y3． 故选：A． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟记函数图象上的点的坐标满足函数关系式并准确求出三个函数值是解题的关键． 19．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+2x．点D（n，y1），E（3，y2）在抛物线上，若y1＜y2，则n的取值范围是（　　） A．n＞3或n＜﹣1 B．n＞3 C．n＜1 D．n＞3或n＜1 【答案】A 【分析】由抛物线的对称轴找到E点的对称点，抛物线开口向下，y1＜y2时结合图象求解； 【详解】解：∵抛物线y＝﹣x2+2x的对称轴为x＝1， E（3，y2）关于对称轴对称的点（﹣1，y2）， ∵抛物线开口向下， ∴y1＜y2时，n＞3或n＜﹣1， 故选A． 【点睛】本题考查二次函数图象的性质；找到E点关于对称轴的对称点是解题的关键． 20．已知点，点在抛物线上，且，且的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据抛物线图象，确定图象开口，对称轴，再根据函数的增减性即可求解． 【详解】解：抛物线的对称轴为， 当时，函数开口向上，对称轴为，则时，函数值随自变量的增大而增大， ∵点，点中，，， ∴， 故选：． 【点睛】本题主要考查二次函数图象的性质，掌握二次函数图象与系数的关系是解题的关键． 21．已知点都在函数上，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟记函数图象上的点的坐标满足函数关系式并准确求出三个函数值是解题的关键．根据函数图象上的点的坐标满足函数关系，分别求出、、，然后解答即可． 【详解】解：∵点都在函数上， ∴，，， ∴． 故选：B． 22．已知点在二次函数的图象上，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了比较二次函数值的大小，根据解析式得到二次函数开口向下，对称轴为y轴，则离对称轴越远函数值越小，再求出三个点到对称轴的距离即可得到答案． 【详解】解：∵二次函数解析式为，， ∴二次函数开口向下，对称轴为y轴， ∴离对称轴越远函数值越小， ∵点在二次函数的图象上，且， ∴， 故选D． 23．若二次函数的图象经过点，，则 （选填：﹥，﹤，=） 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据二次函数的对称轴和开口方向，判断所给点到对称轴的距离大小即可求解． 【详解】解：∵二次函数的对称轴为直线，且图象开口向上， 又，，， ∴ 故答案为： 24．抛物线上有两点，，若，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．或 D．以上都不对 【答案】D 【分析】根据，得到抛物线开口向下，对称轴为y轴，根据，得到当点A、B都在y轴左侧时，，当点A、B都在y轴右侧时，，当点A、B分布在y轴两侧时，，或，且． 本题主要考查了二次函数的图象和性质，解决问题的关键是熟练掌握二次函数的增减性，对称性． 【详解】∵， ∴抛物线开口向下，对称轴为y轴， ∵， 如图1，当点A、B都在y轴左侧时， ∵y随x的增大而增大， ∴， 如图2，当点A、B都在y轴右侧时， ∵y随x的增大而减小， ∴， 当点A、B分布在y轴两侧时，作点A关于y轴的对称点， 如图3，∵， ∴，且， 或如图4，∵， ∴，且． 故选：D． 【考点4二次函数y=ax²与一次函数综合问题】 25．函数y＝ax－a和（a为常数，且），在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据的顶点坐标为判断A，B不符合题意，再由C，D中的二次函数的图象判断 则 从而可得答案． 【详解】解：由的顶点坐标为 故A，B不符合题意； 由C，D中二次函数的图象可得： 函数y＝ax－a过一，二，四象限， 故C符合题意，D不符合题意， 故选C 【点睛】本题考查的是一次函数与二次函数的图象共存的问题，掌握“一次函数与二次函数的图象与性质”是解本题的关键． 26．函数y＝ax与y＝ax2+a（a≠0）在同一直角坐标系中的大致图象可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据一次函数的性质确定a>0与a<0两种情况分类讨论抛物线的顶点位置即可得出结论． 【详解】解：函数y＝ax与y＝ax2+a（a≠0） A. 函数y＝ax图形可得a＜0，则y＝ax2+a（a≠0）开口方向向下正确，当顶点坐标为（0，a）,应交于y轴负半轴，而不是交y轴正半轴，故选项A不正确；     B. 函数y＝ax图形可得a＜0，则y＝ax2+a（a≠0）开口方向向下正确，当顶点坐标为（0，a）,应交于y轴负半轴，而不是在坐标原点上，故选项B不正确；     C. 函数y＝ax图形可得a＞0，则y＝ax2+a（a≠0）开口方向向上正确，当顶点坐标为（0，a）,应交于y轴正半轴，故选项C不正确；     D. 函数y＝ax图形可得a＜0，则y＝ax2+a（a≠0）开口方向向上正确，当顶点坐标为（0，a）,应交于y轴正半轴正确，故选项D正确；     故选D． 【点睛】本题考查的知识点是一次函数的图象与二次函数的图象，理解掌握函数图象的性质是解此题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！14 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题5.2.2 二次函数的图象和性质（4个考点） 【考点1 二次函数y=ax²+c顶点与对称轴问题】 【考点2 二次函数y=ax²+c图象性质】 【考点3二次函数y=ax²+c中y值大小比较问题】 【考点4二次函数y=ax²与一次函数综合问题】 【考点1 二次函数y=ax²+c顶点与对称轴问题】 1．抛物线的顶点坐标为（    ） A． B． C． D． 2．抛物线的对称轴是（　　） A．y轴 B．直线x=2 C．直线 D．直线x=﹣3 3．抛物线y=2x2﹣4的顶点坐标是（ ） A．（1，﹣2） B．（0，﹣2） C．（1，﹣3） D．（0，﹣4） 【考点2 二次函数y=ax²+c图象性质】 4．抛物线的顶点坐标为（    ） A． B． C． D． 5．关于二次函数，下列叙述正确的是（    ） A．函数的图象开口向下 B．对称轴是轴 C．当时，有最大值 D．当时，随的增大而增大 6．二次函数的图象如图，将其绕顶点旋转后得到的抛物线的解析式为（　　） A． B． C． D． 7．已知抛物线．下列结论： ①抛物线开口向下；②对称轴是轴；③顶点坐标是；④函数有最小值；⑤当时，随的增大而减小． 其中正确的个数有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 8．下列各点在抛物线上的是（    ） A． B． C． D． 9．如图，二次函数的图象大致是（    ） A．   B．   C．   D．   10．关于二次函数，下列说法错误的是（    ） A．顶点坐标为 B．有最大值 C．与轴无交点 D．对称轴是直线 11．抛物线的开口向 ． 12．若点与 都在函数 的图象上，则，的大小关系是 ． 13．如果一次函数与二次函数的图象的一个交点坐标是，另一个交点是该二次函数图象的顶点，则 ． 14．在平面直角坐标系中，已知点是抛物线上任意一点，则长的最小值为 ． 15．抛物线的顶点是，则k的值为 ． 16．二次函数的对称轴是直线 ． 17．如图，抛物线向右平移1个单位得到的抛物线，回答下列问题： (1)抛物线的解析式是______，顶点坐标为______； (2)阴影部分的面积______； (3)若再将抛物线绕原点O旋转得到抛物线，则抛物线的开口方向______，解析式为______； 【考点3二次函数y=ax²+c中y值大小比较问题】 18．已知点（﹣1，y1），（2，y2），（﹣3，y3）都在函数y＝x2＋1上，则（　　） A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y2＜y3＜y1 D．y2＜y1＜y3 19．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+2x．点D（n，y1），E（3，y2）在抛物线上，若y1＜y2，则n的取值范围是（　　） A．n＞3或n＜﹣1 B．n＞3 C．n＜1 D．n＞3或n＜1 20．已知点，点在抛物线上，且，且的取值范围是（    ） A． B． C． D． 21．已知点都在函数上，则（    ） A． B． C． D． 22．已知点在二次函数的图象上，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 23．若二次函数的图象经过点，，则 （选填：﹥，﹤，=） 24．抛物线上有两点，，若，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．或 D．以上都不对 【考点4二次函数y=ax²与一次函数综合问题】 25．函数y＝ax－a和（a为常数，且），在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（    ） A． B． C． D． 26．函数y＝ax与y＝ax2+a（a≠0）在同一直角坐标系中的大致图象可能是（　　） A．B．C．D． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 2 学科网（北京）股份有限公司 $$