专题5.2.1 二次函数的图象和性质（7个考点）（题型专练+易错精练）-2024-2025学年九年级数学下册《知识解读•题型专练》（苏科版）

专题5.2.1 二次函数的图象和性质（7个考点） 【考点1 二次函数y=ax²顶点与对称轴问题】 【考点2 二次函数y=ax²顶开口方向和开口大小问题】 【考点3 二次函数y=ax²图象性质】 【考点4 二次函数y=ax²最值问题】 【考点5二次函数y=ax²中y值大小比较问题】 【考点6二次函数y=ax²与一次函数综合问题】 【考点7 二次函数y=ax²图象及性质的实际应用】 【考点1 二次函数y=ax²顶点与对称轴问题】 1．抛物线 开口 ，顶点坐标是 ，当x 0时，． 【答案】 向下 【分析】本题考查了二次函数的性质，重点是注意函数的开口方向、顶点坐标、对称轴及单调性与最值的问题． 根据二次函数的性质即可得出结论． 【详解】解：， ∴抛物线开口向下，顶点坐标为，当时，． 故答案为：向下，，． 2．抛物线的顶点坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，该函数关于轴对称，所以在处取得最值，即顶点坐标，理解函数的性质是解题的关键． 【详解】解：的对称轴为轴，开口向上， ∴当时，取得最小值为， ∴顶点坐标为：， 故答案为：． 3．已知抛物线，则此抛物线的对称轴是 ． 【答案】轴或直线 【分析】抛物线的对称轴是y轴或直线，从而可得答案． 【详解】解：抛物线的对称轴是y轴或直线； 故答案为：y轴或直线 【点睛】本题考查的是抛物线的图象与性质，熟记抛物线的对称轴方程是解本题的关键． 【考点2 二次函数y=ax²顶开口方向和开口大小问题】 4．在平面直角坐标系中，抛物线的开口方向是（    ） A．向上 B．向下 C．向左 D．向右 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数图象的性质．根据，得出抛物线开口向上，即可求解． 【详解】解：抛物线中，， 抛物线开口向上， 故选：A． 5．下列二次函数的开口方向一定向上的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用抛物线开口方向向上，则二次项系数大于0判断即可． 【详解】二次函数的开口方向一定向上，则二次项系数大于0， 故选：C． 【点睛】此题主要考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数y＝ax2＋bx＋c中，当a＞0，开口向上解题是解题关键． 6．下列四个二次函数：①y＝x2，②y＝﹣2x2，③，④y＝3x2，其中抛物线开口从大到小的排列顺序是(   ) A．③①②④ B．②③①④ C．④②①③ D．④①③② 【答案】A 【分析】二次函数的解析式中a的绝对值越小，开口方向越大，根据以上特点得出即可． 【详解】解：∵1＜|﹣2|＜3， ∴抛物线开口从大到小的排列顺序是③①②④， 故选A． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，能熟记二次函数的性质是解此题的关键，注意：二次函数的解析式中，a的绝对值越小，开口方向越大． 7．若二次函数的开口向下，则m的值是（   ） A．2 B．-1 C．2或-1 D．以上答案都不对 【答案】B 【分析】由二次函数可得，由开口向下可得m-1＜0，问题可解． 【详解】∵是二次函数 ∴ 得m=-1或m=2； 又∵的开口向下 ∴m-1＜0 ∴m=-1 故选：B． 【点睛】此题考查二次函数的定义和图象开口方向．此题是二次函数的基本知识点． 8．下列二次函数的图象中，开口最大的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由|a|的绝对值越大其开口越小进行选择即可． 【详解】解：在y=ax2（a≠0）中，当|a|的绝对值越大时其开口越小， ∵||＜|-1|=|1|＜|2|， ∴二次函数y=x2的开口最大， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，掌握二次函数的开口大小由a的大小决定是解题的关键． 【考点3 二次函数y=ax²图象性质】 9．抛物线与的共同特点是（    ） A．开口都向上 B．对称轴都是y轴 C．都有最高点 D．都是y随x的增大而增大 【答案】B 【分析】本题考查二次函数图象的性质．根据题目中的函数解析式和二次函数的性质可以解答本题． 【详解】解：抛物线开口向下，经过原点，有最高点，对称轴是y轴，在对称轴左侧，随增大而增大，在对称轴右侧，随增大而减小， 抛物线开口向上，经过原点，有最低点，对称轴是y轴，在对称轴左侧，随增大而减小，在对称轴右侧，随增大而增大， ∴抛物线和的共同性质是：对称轴都是y轴， 故选：B． 10．若二次函数的图象过点则a的值为（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，根据待定系数法，可得函数解析式． 【详解】解：将代入函数解析式，得：， 解得：． 故选：B． 11．二次函数的图象一定经过点（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数图象上点的特征，解题关键是掌握二次函数与方程的关系．把，，分别代入计算即可判断． 【详解】解：当时，， ∴二次函数的图象不经过点，， 当时，， ∴二次函数的图象不经过点， 当时，， ∴二次函数的图象经过点． 故选：C． 12．若点、都在抛物线上，则线段的长为（    ） A． B． C．4 D．2 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，掌握函数图象上的点的坐标与函数解析式的关系是解题的关键． 首先将点、代入，分别求出a，b，然后得到M，N的坐标，进而得到轴，即可求解． 【详解】解：将点、代入， 解得：，， ，， 轴， ， 故选：D． 13．抛物线不具有的性质是（    ） A．开口向下 B．对称轴是y轴 C．当时，y随x的增大而减小 D．函数有最小值 【答案】D 【分析】本题主要考查二次函数的基本性质，熟练掌握二次函数的基本性质是解题关键． 【详解】解：A、∵，∴开口向下，故不符合题意； B、抛物线，对称轴是y轴，故不符合题意； C、时y随x增大而减小，故不符合题意； D、顶点坐标，有最高点是原点，即有最大值，选项错误，符合题意． 故选：D． 14．已知二次函数，当时，则函数y的值为（    ） A．6 B． C．9 D． 【答案】D 【分析】将，代入函数解析式即可求解． 【详解】解：二次函数，当时，则函数y的值为 故选D 【点睛】本题考查了求二次函数值，掌握函数的定义是解题的关键． 15．对于二次函数，下列说法正确的是（    ） A．函数有最小值 B．函数图象开口向下 C．函数图象顶点坐标是 D．y随x增大而减小 【答案】B 【分析】根据二次函数的性质进行逐项判断即可． 【详解】解：二次函数，开口向下，有最大值，对称轴为y轴，顶点为， 当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小． 故A，C，D不符合题意；B符合题意； 故选B． 【点睛】本题考查的是二次函数的性质，熟记二次函数的开口方向，顶点坐标，函数最值，增减性是解本题的关键． 16．已知函数是二次函数． (1)求m的值； (2)当m为何值时，抛物线开口向上； (3)当m为何值时，抛物线有最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据二次函数的定义，可得且，即可求解； （2）根据抛物线开口向上，可得，即可求解； （3）根据题意可得抛物线开口向下，从而得到，即可求解． 【详解】（1）解：∵函数是二次函数， ∴且， 解得：； （2）解：∵抛物线开口向上， ∴， ； （3）解：∵抛物线有最大值， ∴抛物线开口向下， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 【考点4 二次函数y=ax²最值问题】 17．若二次函数有最小值，则a的值可以是（　　） A．9 B．6 C．0 D． 【答案】A 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．根据二次函数有最小值，可知二次项系数大于0，然后即可求得的取值范围，从而可以判断哪个选项符合题意． 【详解】解：∵二次函数有最小值， ∴， 解得， 故选：A． 18．如图，的图象上可以看出，当时，的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数图形得出和时的函数值，再确定出抛物线的最低点的函数值，即可． 【详解】解：由图象可知时，， 当时，， 而抛物线的对称轴为时，， 故选：． 【点睛】此题是二次函数图象上的点的坐标特征，主要从图象上看到关键的信息，解本题的关键是自变量的范围内包括对称轴，要特别注意． 19．二次函数，当时，的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出二次函数的最小值，再求出，时的函数值，即可解决问题． 【详解】解：， 抛物线对称轴为轴，即直线，开口向上，的最小值为， ∵，，且， ∴当时，函数值最大，且当时，， ∴当时，． 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，主要利用了二次函数的增减性和对称性，确定出对称轴从而判断出取得最大值和最小值的情况是解题的关键． 【考点5二次函数y=ax²中y值大小比较问题】 20．已知抛物线过，两点，则下列关系式中一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次函数图象与系数的关系，可知时，抛物线开口向上，对称轴为y轴，再根据点A、B的横坐标离对称轴的距离即可求解．． 【详解】解：， 抛物线的开口向上，对称轴为轴，在对称轴的左侧，在对称轴的右侧，且点A离对称轴的距离大于点离对称轴的距离， ． 故选：B． 【点睛】本题考查的是二次函数图象与系数的关系，解题的关键是要熟练其相关的性质并能运用数形结合的思想解题． 21．已知函数过点，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】求出抛物线的对称轴，利用二次函数的性质解答即可． 【详解】解：， 抛物线的对称轴为， ， 抛物线开口方向向上，当时，随的增大而增大， ， ， 故选B． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标的特征，二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题关键． 22．点都在函数的图象上，则的大小关系为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】确定函数的增减性即可求解． 【详解】解：抛物线的对称轴为轴 当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大 点关于抛物线的对称轴的对称点为 ∵ ∴ 故选：B 【点睛】本题考查函数的性质．掌握相关结论即可． 23．点，在二次函数的图象上，比较和的大小为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象性质：先由得对称轴，开口向上，越靠近对称轴所对应的函数值越小，据此即可作答． 【详解】解：∵二次函数 ∴对称轴，开口向上 ∵点，在二次函数的图象上， ∴ ∴ 则 故答案为： 24．已知点和在抛物线上，若，则与的大小关系（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，由抛物线的解析式可知对称轴为轴，，在对称轴的左侧，随的增大而增大． 【详解】解：由抛物线的解析式可知： 对称轴是直线，抛物线开口方向向下， ， 随的增大而增大． ． 故选：A． 【考点6二次函数y=ax²与一次函数综合问题】 25．如图所示，已知直线与抛物线交于A，B两点． (1)求A，B两点的坐标． (2)观察图象，直接写出当时的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了抛物线与一次函数的交点问题： （1）因为直线与抛物线交于A，B两点．则联立式子，得，解得的值，即可作答； （2）由（1）知，，结合图象，即可知道当时的取值范围； 正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】（1）解：依题意， 得 则， 解得，， 所以，； （2）解：由（1）知直线与抛物线交于，， 故结合图象，当时，则， 所以当时的取值范围为． 26．已知，如图：直线过x轴上的点，且与抛物线相交于B，C两点，点B的坐标为． （1）求直线和抛物线的函数解析式； （2）如果抛物线上有一点D，使得，求点D的坐标． 【答案】（1），；（2） 【分析】（1）设直线的解析式为，根据的坐标，待定系数法求一次函数函数的解析式即可，将点的坐标代入即可求得的值，进而求得抛物线的函数解析式； （2）联立直线和抛物线解析式，求得的坐标，进而求得，根据题意，进而求得的坐标， 【详解】（1）设直线的解析式为 ， 解得 直线的解析式为， 抛物线过点 抛物线的函数解析式为； （2）直线与抛物线相交于B，C两点，， 即 解得 当时， 直线 令，得 所以 当时， 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数与二次函数解析式，求一次函数与二次函数交点问题，数形结合是解题的关键． 【考点7 二次函数y=ax²图象及性质的实际应用】 27．若二次函数的图象过点，则必在该图象上的点还有（　　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数解析式的求法，以及二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式． 把代入得的值，然后把各点坐标代入二次函数解析式判断是否在图象上即可得到答案． 【详解】解：把代入得， 解得： 所以二次函数解析式：． A．当时，，故在函数图象上，但因题目中已给出，重复，故不符合题意； B． 当时，，故不在函数图象上； C． 当时，，故在函数图象上； D． 当时，，故不在函数图象上； 故选C． 28．若点都在二次函数的图象上，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质、二次函数图象上点的坐标特征等知识点，根据二次函数的解析式得出函数图象的对称轴是y轴（直线），图象的开口向上，在对称轴的右侧，y随x的增大而增大，再比较即可． 【详解】解∶ 二次函数的对称轴为y轴，开口向上， ∴当时， y随x的增大而增大， ∵点都在二次函数的图象上，且， ∴， 故选∶A． 29．函数与 在同一直角坐标系中的大致图象可能是（ 　　） A．B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的知识点是一次函数的图象与二次函数的图象，理解掌握函数图象的性质是解此题的关键．先根据一次函数的性质确定与两种情况分类讨论抛物线的顶点位置即可得出结论． 【详解】解： A. 函数图形可得，则 开口方向向下正确，但顶点坐标应交于原点，而不是交轴正半轴，故选项A不正确； B. 函数图形可得，则 开口方向向下正确，顶点坐标为,故选项B正确； C. 函数图形可得，则 开口方向向上正确，但顶点坐标应交于原点，故选项C不正确； D. 函数图形可得，则 开口方向向上正确，但顶点坐标应交于原点，故选项D不正确； 故选B． 30．在同一坐标系内，，，的图象，它们的共同特点是（   ） A．都是关于原点对称，抛物线的开口方向向上 B．都是关于轴对称，随增大而增大 C．都是关于轴对称，随增大而减少 D．都是关于轴对称，抛物线顶点都是原点 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，掌握二次函数的图象与性质是关键；由二次函数的图象与性质即可求解． 【详解】解：对于二次函数，其图象对称轴为y轴，顶点为原点；当时，开口向上，在y轴左边，函数值随自变量的增大而减小，在y轴右边，函数值随自变量的增大而增大；当时，开口向下，在y轴左边，函数值随自变量的增大而增大，在y轴右边，函数值随自变量的增大而减小；由此选项A、B、C均错误，选项D正确； 故选：D． 31．若函数的图象经过点，则n的值为（   ） A．3 B．6 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数图象的点坐标．熟练掌握二次函数图象上的点坐标满足二次函数表达式是解题的关键． 将代入，计算求解即可． 【详解】解：将代入得，， 故选：A． 32．若点、都在抛物线上，则线段的长为（    ） A． B． C．4 D．2 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，掌握函数图象上的点的坐标与函数解析式的关系是解题的关键． 首先将点、代入，分别求出a，b，然后得到M，N的坐标，进而得到轴，即可求解． 【详解】解：将点、代入， 解得：，， ，， 轴， ， 故选：D． 33．若均在二次函数图象上，则 （填“>”“=”“<”）． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征．根据二次函数的性质即可得到结论． 【详解】解：由函数可知则抛物线的对称轴为轴，抛物线开口向上，在对称轴左侧随的增大而减小， ，均在对称轴的左侧， ， ． 故答案为：． 34．已知二次函数，当时，的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质，由二次函数解析式可得抛物线开口向上，对称轴为直线，则当时，函数有最小值为，再计算出当、时的值，由此即可得出答案，熟练掌握以上知识点是解此题的关键． 【详解】解：， ，抛物线开口向上，对称轴为直线， 当时，函数有最小值为， 当时，， 当时，， 当时，的取值范围是， 故答案为：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！18 18 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题5.2.1 二次函数的图象和性质（7个考点） 【考点1 二次函数y=ax²顶点与对称轴问题】 【考点2 二次函数y=ax²顶开口方向和开口大小问题】 【考点3 二次函数y=ax²图象性质】 【考点4 二次函数y=ax²最值问题】 【考点5二次函数y=ax²中y值大小比较问题】 【考点6二次函数y=ax²与一次函数综合问题】 【考点7 二次函数y=ax²图象及性质的实际应用】 【考点1 二次函数y=ax²顶点与对称轴问题】 1．抛物线 开口 ，顶点坐标是 ，当x 0时，． 2．抛物线的顶点坐标是 ． 3．已知抛物线，则此抛物线的对称轴是 ． 【考点2 二次函数y=ax²顶开口方向和开口大小问题】 4．在平面直角坐标系中，抛物线的开口方向是（    ） A．向上 B．向下 C．向左 D．向右 5．下列二次函数的开口方向一定向上的是（    ） A． B． C． D． 6．下列四个二次函数：①y＝x2，②y＝﹣2x2，③，④y＝3x2，其中抛物线开口从大到小的排列顺序是(   ) A．③①②④ B．②③①④ C．④②①③ D．④①③② 7．若二次函数的开口向下，则m的值是（   ） A．2 B．-1 C．2或-1 D．以上答案都不对 8．下列二次函数的图象中，开口最大的是（    ） A． B． C． D． 【考点3 二次函数y=ax²图象性质】 9．抛物线与的共同特点是（    ） A．开口都向上 B．对称轴都是y轴 C．都有最高点 D．都是y随x的增大而增大 10．若二次函数的图象过点则a的值为（    ） A． B．1 C． D．2 11．二次函数的图象一定经过点（    ） A． B． C． D． 12．若点、都在抛物线上，则线段的长为（    ） A． B． C．4 D．2 13．抛物线不具有的性质是（    ） A．开口向下 B．对称轴是y轴 C．当时，y随x的增大而减小 D．函数有最小值 14．已知二次函数，当时，则函数y的值为（    ） A．6 B． C．9 D． 15．对于二次函数，下列说法正确的是（    ） A．函数有最小值 B．函数图象开口向下 C．函数图象顶点坐标是 D．y随x增大而减小 16．已知函数是二次函数． (1)求m的值； (2)当m为何值时，抛物线开口向上； (3)当m为何值时，抛物线有最大值． 【考点4 二次函数y=ax²最值问题】 17．若二次函数有最小值，则a的值可以是（　　） A．9 B．6 C．0 D． 18．如图，的图象上可以看出，当时，的取值范围是（    ） A． B． C． D． 19．二次函数，当时，的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【考点5二次函数y=ax²中y值大小比较问题】 20．已知抛物线过，两点，则下列关系式中一定正确的是（    ） A． B． C． D． 21．已知函数过点，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D．1 22．点都在函数的图象上，则的大小关系为（　　） A． B． C． D． 23．点，在二次函数的图象上，比较和的大小为 ． 24．已知点和在抛物线上，若，则与的大小关系（    ） A． B． C． D．无法确定 【考点6二次函数y=ax²与一次函数综合问题】 25．如图所示，已知直线与抛物线交于A，B两点． (1)求A，B两点的坐标． (2)观察图象，直接写出当时的取值范围． 26．已知，如图：直线过x轴上的点，且与抛物线相交于B，C两点，点B的坐标为． （1）求直线和抛物线的函数解析式； （2）如果抛物线上有一点D，使得，求点D的坐标． 【考点7 二次函数y=ax²图象及性质的实际应用】 27．若二次函数的图象过点，则必在该图象上的点还有（　　　） A． B． C． D． 28．若点都在二次函数的图象上，则（    ） A． B． C． D． 29．函数与 在同一直角坐标系中的大致图象可能是（ 　　） A．B． C． D． 30．在同一坐标系内，，，的图象，它们的共同特点是（   ） A．都是关于原点对称，抛物线的开口方向向上 B．都是关于轴对称，随增大而增大 C．都是关于轴对称，随增大而减少 D．都是关于轴对称，抛物线顶点都是原点 31．若函数的图象经过点，则n的值为（   ） A．3 B．6 C． D． 32．若点、都在抛物线上，则线段的长为（    ） A． B． C．4 D．2 33．若均在二次函数图象上，则 （填“>”“=”“<”）． 34．已知二次函数，当时，的取值范围是 ． 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