1.4 二次函数的应用（第3课时）（教学课件） -2024-2025学年九年级数学上册考试满分全攻略同步备课备考系列（浙教版）

九年级浙教版数学上册 第一章 二次函数 1.4 二次函数的应用 目录/CONTENTS 新知探究 情景导入 学习目标 课堂反馈 分层练习 课堂小结 学习目标 1.会用二次函数知识解决实物中的抛物线形问题. （重点） 2.建立恰当的直角坐标系将实际问题转化为数学问题. (难点） 中国杭州G20峰会是指2016年9月4日-5日在中国杭州召开的G20峰会。峰会主题为“构建创新、活力、联动、包容的世界经济”。以下是峰会期间杭州的美景 情景导入 你发现了什么？ 情景导入 假期，李磊和莉莉去乌镇旅游，见如右图所示的一座拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，水面下降1m，莉莉考李磊此刻水面的宽度是多少？你能替他回答出来吗？ x y O -3 (-2,-2) ● ● (2,-2) 4米 1.利用二次函数解决拱桥问题 新知探究 6 当 时， 所以，水面下降1m，水面的宽度为 m. 所以水面的宽度增加了 　　 m. 解：建立如图所示坐标系, 由抛物线经过点（2，－2），可得 所以，这条抛物线的解析式为 当水面下降1m时，水面的纵坐标为 -3 x y O (-2,-2) ● ● (2,-2) 设二次函数解析式为 7 x y x y 4 m 4 m 请同学们分别求出对应的函数解析式. O O 解：设y=ax2+2，将（-2,0）代入得a= ∴y= +2； 设y=a（x-2）2+2，将（0,0）代入得a= ∴y= +2； 假期，李磊和莉莉去乌镇旅游，见如右图所示的一座拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，水面下降1m，莉莉考李磊此刻水面的宽度是多少？你能替他回答出来吗？ 8 解决拱桥问题的一般步骤 (1)根据题意建立适当的直角坐标系； (2)把已知条件转化为点的坐标； (3)合理设出函数解析式； (4)利用待定系数法求出函数解析式； (5)根据求得的解析式进一步分析、判断并进行有关 的计算. 概念归纳 9 例1.一个涵洞的截面边缘是抛物线，如图所示. 现测得当水面宽AB=1.6m时，涵洞顶点与水面的距离为2.4 m. 这时，离开水面1.5 m处，涵洞宽ED是多少？是否会超过1 m？ ED的长 D或E的坐标 抛物线的函数表达式 涵洞的横截面所成抛物线有什么特点？ 顶点在原点 对称轴为y轴 开口向下 典例剖析 可设抛物线表达式为 y＝ax2（a＜0） 分析： 解：设涵洞的横截面所成抛物线表达式为 y＝ax2（a＜0） ∵ AB＝1.6m ， ∴ 又由题可知OC＝2.4 m， ∴点B的坐标是（0.8，－2.4） 代入y＝ax2（a＜0） ，得－2.4＝a×0.82 ∴ 因此，函数关系式是 由题可知OF＝1.5m， 设 FD＝x1m （x1＞0）， 则点D的坐标为（x1，－1.5）， 代入 ，得 ∴ （舍） ∴ 所以涵洞宽ED是 ，超过1m. 1.如图，一个横截面为抛物线形的隧道底部宽12 m、高6 m. 车辆双向通行，规定车辆必须在中心线两侧、距离道路边缘2 m的范围内行驶，并保持车辆顶部与隧道有不少于 m的空隙. 你能否根据这些要求，建立适当的平面直角 坐标系，应用已有的函数知识，确定通过隧 道车辆的高度限制？ 练一练 x y 12 6 解：如图，以抛物线的对称轴为y轴，路面为x轴，建立坐标系. A B C 由已知可得，抛物线顶点坐标C为（0，6），与x轴交点B为（6，0） 设抛物线解析式为 y=ax2+6， 得 把（6，0）代入解析式， ∴抛物线解析式为 当x＝6－2＝4时， ∴通过遂道车辆的高度限制为3米． 2.利用二次函数解决运动中抛物线型问题 新知探究 14 在篮球运动赛中，李磊跳起投篮，已知球出手时离地面高 米，与篮圈中心的水平距离为8米，当球出手后水平距离为4米时到达最大高度4米，设篮球运行的轨迹为抛物线，篮圈中心距离地面3米，你认为他能把球投中吗？ 3米 4米 4米 x y O 15 3米 4米 4米 x y A B C 解：如图建立直角坐标系，则点A的坐标是（0， ），B点坐标是（4，4），C点坐标是（8，3）. 因此可设抛物线的解析式是y=a(x-4)2+4 ①. 把点A(0, )代入①，得 解得 所以抛物线的解析式是 . 当x=8时，则 所以他不能把球投中. 判断此球能否准确投中的问题就是判断代表篮圈的点是否在抛物线上. O 16 若假设出手的角度和力度都不变,则如何才能使此球命中? （1）跳得高一点儿； （2）向前平移一点儿. 3米 8米 4米 4米 x y O 17 y x （8，3） （4，4） O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 6 4 2 （1）跳得高一点儿； 18 y （8，3） （4，4） O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 6 4 2 （７，３） ● （2）向前平移一点儿. x 19 2.某公园要建造圆形喷水池，在水池中央垂直于水面处安装一个柱子OA，O恰在水面中心，OA=1.25m，由柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向沿形状相同的抛物线落下，为使水流形状较为漂亮，要求设计成水流在离OA距离为1m处达到距水面最大高度2.25m.如果不计其他因素，那么水池的半径至少要多少m才能使喷出的水流不致落到池外？ 练一练 根据题意得，A点坐标为(0，1.25)，顶点B坐标为(1，2.25). 数学化 ● B(1,2.25) (0,1.25) ● C ● D o A x y 解：建立如图所示的坐标系. 根据对称性，如果不计其他因素，那么水池的半径至少要2.5m，才能使喷出的水流不致落到池外. 当y=0时,可求得点C的坐标为(2.5,0) ; 同理，点 D的坐标为(−2.5,0) . 设抛物线为y=a(x+h)2+k，由待定系数法可求得抛物线表达式为：y=－ (x−1)2+2.25. ● B(1,2.25) (0,1.25) ● D o A x y ● C 由图象可知，方程x2+2x-10=0_____根，一个根在____和____之间，另一个根在____和____（填两个整数）. 两个 －5 －4 2 3 你能利用二次函数的图象估计一元二次方程x2+2x-10=0的根吗? 3.一元二次方程的近似根 新知探究 （1）先求－5和－4之间的根. 利用计算器辅助进行探索： x y －4.1 －1.39 －4.2 －0.76 －4.3 －0.11 －4.4 0.56 y对应的值由负变为正 因此，x=－4.3是方程的一个近似根. y值更接近0 （2）根据以上方法求出另一个根 x y 2.1 2.2 2.3 2.4 －1.39 －0.76 －0.11 0.56 因此，x=2.3是方程的另一个近似根. 利用二次函数求一元二次方程的近似根的一般步骤： 画出二次函数y=ax2+bx+c的图象； 确定抛物线与x轴的交点的横坐标在哪两个数之间； 列表，在②中的连个数之间取值，进行估计. 近似根就出现在对应y值正负交换的位置. 利用二次函数的图象求一元二次方程 的近似根. 由图象可知方程有两根，一个在－5和－4之间，另一个在2和3之间. x y －4.9 1.21 －4.8 0.44 －4.7 －0.31 近似根：－4.7 2.9 2.8 2.7 近似根：2.7 你还能利用二次函数 的图象求一元二次方程 的近似根吗？ 和直线 交点和横坐标就是方程 的根 利用二次函数求一元二次方程的近似根的一般方法： 方法一 直接作出二次函数y=ax2+bx+c的图象；图象与x轴交点的横坐标就是一元二次方程ax2+bx+c=0 的根. 方法二 先将一元二次方程变形为 ax2+bx=－c，再在同一直角坐标系中画出抛物线y=ax2+bx 和直线y=－c；两图象的交点的横坐标就是方程ax2+bx+c=0 的根. 概念归纳 3.根据下列表格中二次函数y＝ax2＋bx＋c的自变量x与函数值y的对应值，判断方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0，a，b，c为常数)的一个根x的范围是(　　) x 6.17 6.18 6.19 6.20 y＝ax2＋bx＋c －0.03 －0.01 0.02 0.06 A．6<x<6.17 B．6.17<x<6.18 C．6.18<x<6.19 D．6.19<x<6.20 C 练一练 A 随堂练 B 随堂练 15 随堂练 随堂练 随堂练 C B 随堂练 5. 6. C 随堂练 7. 1＜x＜3　 随堂练 8. C 分层练习-基础 1. C 分层练习-基础 2. 600 分层练习-基础 3. 4. B D 分层练习-基础 5. 6. x＜－1或x＞3 0＜x＜4 分层练习-基础 7. 8. D 分层练习-巩固 9. 0.5 分层练习-巩固 10. 分层练习-巩固 11. 分层练习-巩固 分层练习-巩固 12. 分层练习-巩固 分层练习-巩固 13. 分层练习-巩固 14. 分层练习-拓展 15. 分层练习-拓展 分层练习-拓展 16. 分层练习-拓展 直角坐标系 坐标 课堂反馈 整数　 整数 课堂反馈 实际问题 数学模型 转化 回归 （二次函数的图象和性质） 拱桥问题 运动中的抛物线问题 （实物中的抛物线形问题） 转化的关键 建立恰当的直角坐标系 能够将实际距离准确的转化为点的坐标 选择运算简便的方法 课堂小结 1．某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，以水平面为x轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线y＝－x2＋4x(单位：米)的一部分，则水喷出的最大高度是( ) A．4米　　 B．3米　　 C．2米　　 D．1米 2．某幢建筑物，从10m高的窗口A用水管向外喷水，喷出的水呈抛物线状(抛物线所在的平面与墙面垂直，如图所示)，如果抛物线的最高点M离墙1m，离地面eq \f(40,3)m，则水流落地点B离墙的距离OB是( ) A．2m B．3m C．4m D．5m 3．如图，有一抛物线形的立交拱桥，这个拱桥的最大高度为16m，跨度为40m.现把它的图形放在坐标系中，若在离跨度中心M点5m处垂直竖立一根铁柱支撑拱顶，这根铁柱应取　 　m. 4．图中是抛物线拱桥，P处有一照明灯，水面OA宽4m，从O、A测P处，仰角分别为α、β，且tanα＝eq \f(1,2)，tanβ＝eq \f(3,2)，以O为原点，OA所在直线为x轴直角坐标系． (1)求点P的坐标； (2)水面上升1m，水面宽多少(eq \r(2)取1.41，结果精确到0.1m)? 解：(1)P(3，eq \f(3,2))；　 (2)若水面上升1m后到达BC位置，如图，过点O(0,0)、A(4,0)的抛物线的解析式可设为y＝ax(x－4)，∵P(3，eq \f(3,2))在抛物线y＝ax(x－4)上，∴3a(3－4)＝eq \f(3,2)，解得a＝－eq \f(1,2)，∴抛物线的解析式为y＝－eq \f(1,2)x(x－4)．当y＝1时，－eq \f(1,2)x(x－4)＝1，解得x1＝2＋eq \r(2)，x2＝2－eq \r(2)，∴BC＝(x＋eq \r(2))－(2－eq \r(2))＝2eq \r(2)＝2×1.41＝2.82≈2.8.答：水面上升1m，水面宽约为2.8米． 7．借助二次函数y＝2x2－3x－1的图象，可求出下面方程______的近似根(　 　) A．x2＋5x－1＝0 B．2x2＋3x－1＝0 C．2x2－3x＋5＝6 D．x2＋5x＝0 8．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的近似解为(　 　) A．x1≈－2.1，x2≈0.1 B．x1≈－2.5，x2≈0.5 C．x1≈－2.9，x2≈0.9 D．x1≈－3，x2≈1 9．抛物线y＝ax2＋bx＋c(a＜0)的图象如图所示，则关于x的不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是(　　) A．x＜2 B．x＞－3 C．－3＜x＜1 D．x＜－3或x＞1 10．二次函数y＝x2＋bx＋c的图象如图所示，则方程x2＋bx＋c＝0的两个根是　 　；若函数y＜0，则对应x的取值范围是　 . x1＝1，x2＝3 5．竖直向上发射的小球的高度h(m)关于运动时间t(s)的函数解析式为h＝at2＋bt，其图象如图所示．若小球在发射后第2秒与第6秒时的高度相等，则下列时刻中小球的高度最高的是( ) A．第3秒 B．第3.5秒 C．第4.2秒 D．第6.5秒 6．某公园草坪的防护栏是由100段形状相同的抛物线组成的．为了牢固起见，每段护栏需要间距0.4m加设一根不锈钢的支柱，防护栏的最高点距底部0.5m(如图)，则这条防护栏需要不锈钢支柱的总长度至少为( ) A．50m B．100m C．160m D．200m 7．某一型号飞机着陆后滑行的距离y(m)与滑行时间x(s)之间的函数关系式是y＝60x－1.5x2，该型号飞机着陆后滑行　 　m才能停下来． 8．某菜农搭建一个横截面为抛物线形的大棚，有关尺寸如图所示，若菜农的身高为1.6米，则他在不弯腰的情况下在大棚内横向活动的范围是 　 　米． eq \r(5) 6．已知二次函数y＝x2－3x＋m(m为常数)的图象与x轴交于点(1,0)，则关于x的方程x2－3x＋m＝0的两个实数根是(　 　) A．1和－1 B．1和2 C．1和0 D．1和3 7．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，则一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(　 　) A．没有根 B．只有一个根 C．有两个根，且一个正，一个负 D．有两个根，且一根大于－1，一根小于－2 8．如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的一部分，其对称轴为直线x＝1.若其与x轴一交点为A(3,0)，则由图象可知，不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是 　 　. 9．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c中，函数y与自变量x的部分对应值如表： x … －1 0 1 2 3 … y … 10 5 2 1 2 … 则当y＜5时，x的取值范围是　 　. 6．地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h(单位：m)与小球运动时间t(单位：s)之间的函数关系如图所示．下列结论：①小球在空中经过的路程是40m；②小球抛出3秒后，速度越来越快；③小球抛出3秒时速度为0；④小球的高度h＝30m时，t＝1.5s.其中正确的是(　　) A．①④　 B．①②　 C．②③④　 D．②③ 9．如图，小明的父亲在相距2米的两棵树间拴了一根绳子，给他做了一个简易的秋千．拴绳子的地方距地面的高都是2.5米，绳子自然下垂呈抛物线状，身高1米的小明距较近的那棵树0.5米时，头部刚好接触到绳子，则绳子的最低点距地面的距离为 米． 9．如图，杂技团进行杂技表演，演员从跷跷板右端A处弹跳到人梯顶端椅子B处，其身体(看成一点)的路线是抛物线y＝－eq \f(3,5)x2＋3x＋1的一部分． (1)求演员弹跳离地面的最大高度； (2)已知人梯高BC＝3.4米，在一次表演中，人梯到起跳点A的水面距离是4米，问这次表演是否成功？请说明理由． 解：(1)配方得y＝－eq \f(3,5)(x－eq \f(5,2))2＋eq \f(19,4)，当x＝eq \f(5,2)时，y有最大值eq \f(19,4)，∴演员弹跳离地面的最大高度是4.75米；　 (2)能表演成功．理由：把x＝4代入抛物线解析式得y＝3.4，即点B(4,3.4)在抛物线y＝－eq \f(3,5)x2＋3x＋1上，∴能表演成功． 10．如图，需在一面墙上绘制几个相同的抛物线图案．按照图中的直角坐标系，最左边的抛物线可以用y＝ax2＋bx(a≠0)表示．已知抛物线上B、C两点到地面的距离均为eq \f(3,4)m，到墙边似的距离分别为eq \f(1,2)m，eq \f(3,2)m. (1)求该抛物线的函数关系式，并求图案最高点到地面的距离； (2)若该墙的长度为10m，则最多可以连续绘制几个这样的抛物线型图案？ 解：(1)根据题意得：B(eq \f(1,2)，eq \f(3,4))、C(eq \f(3,2)，eq \f(3,4))，把B、C代入y＝ax2＋bx得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\f(3,4)＝\f(1,4)a＋\f(1,2)b,\f(3,4)＝\f(9,4)a＋\f(3,2)b))，解得：eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＝－1,b＝2))，∴抛物线的函数关系式为y＝－x2＋2x；∴图案最高点到地面的距离＝eq \f(－22,4×－1)＝1；　 (2)令y＝0，即－x2＋2x＝0，∴x1＝0，x2＝2，∴10÷2＝5，∴最多可以连续绘制5个这样的抛物线形图案． 10．画出函数y＝x2－2x－3的图象，利用函数图象回答： (1)方程x2－2x－3＝0的解是什么？ (2)x取什么值时，函数值大于0? (3)x取什么值时，函数值小于0? 解：(1)如图为y＝x2－2x－3的图象，由图象可得方程x2－2x－3＝0的解是x1＝3，x2＝－1； (2)当x＜－1或x＞3时，函数值大于0； (3)当－1＜x＜3时，函数值小于0. 11．在同一直角坐标系中，画出二次函数y1＝x2＋2x－10和一次函数y2＝5x－12的图象． (1)求方程x2＋2x－10＝5x－12的近似根； (2)若一次函数y3＝x＋n与二次函数y1的图象只有一个交点，求出n的值． 解：图象略．(1)x1＝2，x2＝1；　 (2)由题意可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(y1＝x2＋2x－10,y3＝x＋n，))∴x2＋2x－10＝x＋n，x2＋x－10－n＝0，∵只有一个交点，∴b2－4ac＝0，∴1－4×(－10－n)＝0，n＝－eq \f(41,4). 11. (滨州中考)如图，一小球沿与地面成一定角度的方向飞出，小球的飞行路线是一条抛物线，如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度y (单位：m)与飞行时间x (单位：s)之间具有函数关系y＝－5x2＋20x，请根据要求解答下列问题： (1)在飞行过程中，当小球的飞行高度为15m时，飞行时间是多少？ (2)在飞行过程中，小球从飞出到落地所用时间是多少？ (3)在飞行过程中，小球飞行高度何时最大？最大高度是多少？ 解：(1)当y＝15时，15＝－5x2＋20x，解得x1＝1，x2＝3，答：在飞行过程中，当小球的飞行高度为15m时，飞行时间是1s或3s；　 (2)当y＝0时，0＝－5x2＋20x，解得x3＝0，x2＝4，∵4－0＝4，∴在飞行过程中，小球从飞出到落地所用时间是4s；　 (3)y＝－5x2＋20x＝－5(x－2)2＋20，∴当x＝2时，y取得最大值，此时，y＝20.答：在飞行过程中，小球飞行高度第2s时最大，最大高度是20m. 12．已知抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于点A(m－2,0)和B(2m＋1,0)(点A在点B的左侧)，与y轴相交于点C，顶点为P，对称轴为l：x＝1. (1)求抛物线的解析式； (2)直线y＝kx＋2(k≠0)与抛物线相交于两点M(x1，y1)、N(x2，y2)(x1＜x2)，当|x1－x2|最小时，求抛物线与直线的交点M和N的坐标． 解：(1)∵抛物线的对称轴为x＝1，∴－eq \f(b,2×－1)＝1，∴b＝2，抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于点A(m－2,0)和B(2m＋1,0)，即－x2＋bx＋c＝0的解为m－2和2m＋1，则有(m－2)＋(2m＋1)＝b，(m－2)(2m＋1)＝－c，∴m＝1，c＝3，∴抛物线的解析式为y＝－x2＋2x＋3；　 (2)由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(y＝kx＋2,y＝－x2＋2x＋3))，得x2＋(k－2)x－1＝0，∴x1＋x2＝－(k－2)，x1x2＝－1，∴(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝(k－2)2＋4.∴当k＝2时，(x1－x2)2的最小值为4，即|x1－x2|的最小值为2，∴x2－1＝0，x1＝－1，x2＝1，∴y1＝0，y2＝4.∴当|x1－x2|最小时，抛物线与直线的交点为M(－1,0)、N(1,4)． 知识点：利用二次函数解决抛物线形问题 建立二次函数模型解决实际问题的一般步骤： (1)建立恰当的 ；(2)将已知条件转化为坐标系中点的 ；(3)合理地设出所求函数表达式；(4)代入已知条件或点的坐标，求出表达式；(5)利用表达式求解问题． 利用二次函数图象求一元二次方程的近似值． 利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根的方法：(1)先画出函数y＝ 　 　的图象；(2)确定抛物线与x轴的交点分别在哪两个相邻的　 之间；(3)列表，在(2)中的两个　 　之间取值，从而利用计算器确定方程的近似根． ax2＋bx＋c(a≠0) $$