精品解析：黑龙江省大庆市大庆中学2023-2024学年高一下学期期末考试数学试题

大庆中学2023—2024学年度下学期期末考试 高一年级数学试题 考试时间：120分钟；试卷总分：150分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题（本题共8个小题，每题5分，共40分） 1. 已知是方程的根，则（ ） A. B. C. 2 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】代入方程，根据复数相等即可得出即可得解. 【详解】由题意，得，即， 所以，且，解得， 所以. 故选：A. 2. 若向量，，若与所成角为锐角，则n的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 且 【答案】B 【解析】 【分析】解不等式和即得解. 【详解】由题得. 因为与所成角为锐角，所以. 综合得且. 故选：B 3. 将一个骰子抛掷一次，设事件A表示向上的一面出现的点数不超过2，事件B表示向上的一面出现的点数不小于3，事件C表示向上的一面出现奇数点，则（ ） A. A与B是对立事件 B. A与B是互斥而非对立事件 C. B与C是互斥而非对立事件 D. B与C是对立事件 【答案】A 【解析】 【分析】 由互斥事件与对立事件的定义判断即可得出正确答案. 【详解】事件包含的基本事件为向上的点数为； 事件包含的基本事件为向上的点数为； 事件包含的基本事件为向上的点数为； 由于事件，不可能发生，且事件，的和事件为必然事件，与是对立事件 当向上一面的点数为3时，事件，同时发生，则与不互斥也不对立 故选：A 【点睛】本题主要考查了互斥事件与对立事件的判断，对立事件与互斥事件关系的辨析，属于中等题. 4. 一组数据：，其中为正整数，且．若该组数据的分位数为，则该组数据的众数为（ ） A. 1 B. 3 C. 5 D. 7 【答案】A 【解析】 【分析】确定分位数为第4个数和第5个数的平均数，考虑，，三种情况，计算得到答案. 【详解】，故分位数为第4个数和第5个数的平均数，不妨设， ①若，则，解得，，众数为； ②若，则中位数大于或等于，不成立； ③若，则中位数，不成立； 综上所述：，，众数为； 故选：A. 5. 已知直三棱柱的各个顶点都在球的球面上，且，，球的体积为，则该三棱柱的体积为（ ） A. B. 1 C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】首先求三棱柱底面三角形外接圆的半径，再求三棱柱外接球的半径，根据球的体积公式求三棱柱的高，最后代入三棱柱的体积公式，即可求解. 【详解】，则，则， 所以外接圆的半径， 设，所以直三棱柱外接球的半径， 球的体积，所以，即， 所以三棱柱的体积. 故选：A 6. 如图，在中，是上的两个三等分点，，则的值为（ ） A. 50 B. 80 C. 86 D. 110 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意利用平向量基本定理将用表示出来，然后利用数量积的运算律求解即可. 【详解】因为在中，是上的两个三等分点，， 所以， ， 所以 . 故选：B 7. 在棱长为2的正方体中，分别是棱上的动点，且，当三棱锥的体积最大时，直线与平面所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求得最大时的位置，进而求得到平面的距离，进而可求直线与平面所成角的正弦值 【详解】设，则 由知最大时最大 又 当且仅当即时取等 此时是的中点， 设到平面的距离为 由得，即，解得 设直线与平面所成角为： 故选： A . 8. 如图所示，在同一个铅垂面，在山脚测得山顶的仰角为，斜坡长为，在处测得山顶的仰角为，则山的高度为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】在中，由正弦定理得，，得，在直角三角形中，，即可求解. 【详解】解：如图所示： 因为，， 所以， 则， 在中，由正弦定理得， ， 则， 得， 在直角三角形中，， 得. 故选：D 二、多选题（本题共3个小题，每题6分，共18分） 9. 在空间中，设是不同的直线，表示不同的平面，则下列命题错误的是（ ） A. 若，则. B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据线面关系基本定理举反例判断A；根据线面关系基本定理举反例判断B；根据线面关系基本定理举反例判断C；根据线面关系基本定理判断D． 【详解】对于A，，，可能，不一定，所以A错； 对于B，，，可能有，不一定，所以B错； 对于C，，，可能有或等，未必有，所以C错； 对于D，设，取不在、、、上点，过作交于，作交于， ，，，设与确定的平面交于点，连，，，， ，，为二面角的平面角， 四点、、、共圆； ，所以D对． 故选：ABC． 10. 下列说法正确的是（ ） A. 用简单随机抽样的方法从含有50个个体的总体中抽取一个容量为5的样本，则个体被抽到的概率是0.1 B. 数据的平均数为90，方差为3；数据的平均数为85，方差为5，则的平均数为87，方差为10.2 C. 数据的第70百分位数是23 D. 已知数据的极差为6，方差为2，则数据的极差和方差分别为12，8 【答案】ABD 【解析】 【分析】A选项，根据简单随机抽样的定义和概率性质得到答案；B选项，根据分层抽样平均数及方差公式判断；C选项，先对数据从小到大排序，再根据百分位数定义计算即可；D选项，根据方差性质得到的方差可判断. 【详解】A选项，每个个体被抽到的概率为，故A正确； B选项，的平均数为， 方差，故B正确； C选项，这10个数据从小到大排列为， 由于，故选择第7和第8个数的平均数作为第70百分位数， 即，所以第70百分位数是，故C错误； D选项，不妨设，则， 即数据的极差为12，由方差性质知，故D正确． 故选：ABD 11. 某不透明盒子中共有5个大小质地完全相同的小球，其中有3个白球2个黑球，现从中随机取两个球，甲表示事件“第一次取到黑球”，乙表示事件“第二次取到白球”，则下列说法错误的是（ ） A. 若不放回取球，则甲乙相互独立 B. 若有放回取球，则甲乙相互独立 C. 若不放回取球，则甲乙为互斥事件 D. 若有放回取球，则甲乙为互斥事件 【答案】ACD 【解析】 【分析】先求出放回和不放回的样本空间和相应事件甲和乙以及它们交事件的样本空间，进而可求出各事件发生的概率，从而根据样本点和概率以及互斥事件和独立事件的定义即可求解. 【详解】由题记样本点为，分别表示第一次和第二次取到的球， 将3个白球2个黑球分别标记为和， 则放回抽样样本空间为 共25个样本点， 甲事件样本空间为， 共10个样本点，则； 乙事件样本空间为 共15个样本点，则， 则共6个样本点， 故甲乙不为互斥事件，且即甲相互独立，故B对、D错； 不放回抽样样本空间为 共20个样本点， 甲事件样本空间为， 共8个样本点，则； 乙事件样本空间为 共12个样本点，则， 则共6个样本点， 故甲乙不为互斥事件，且即甲不相互独立，故A、C错. 故选：ACD. 三、填空题（本题共3个小题，每题5分，共15分） 12. 若复数，满足．且（i为虚数单位），则______． 【答案】 【解析】 【分析】令，，根据复数的相等可求得，代入复数模长的公式中即可得到结果. 【详解】设，， ， ，又，所以，， ， ， . 故答案为：. 13. 已知向量，则向量在上投影向量的模为__________． 【答案】## 【解析】 【分析】先利用平面向量数量积的坐标表示及三角恒等变换计算，再结合投影向量的定义计算即可. 【详解】因为， 所以， 则 ， 且， 设向量与的夹角为， 则向量在上投影向量的模为， 故答案为：． 14. 在三棱锥中，，若该三棱锥的所有顶点均在球的表面上，则球的表面积为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】由三棱锥三条侧棱相等可知三棱锥的外接球球心在正三棱锥的高上且点在底面的射影即为的外心,可先由正弦定理求得外接圆半径，再由勾股定理求得外接球半径,即可求得球的表面积. 【详解】因为，所以点在平面上的射影为的外心， 如下图，又，所以的外接圆的半径， 从而三棱锥的高为. 设该三棱锥外接球的半径为，则，即，解得， 故球的表面积为. 故答案为：. 四、解答题（本题共5个小题，共77分） 15. 在中，内角，，的对边分别为，，，且． （1）求角； （2）若，且，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理求出，再由，得； （2）由已知条件及正弦定理得，根据余弦定理得，求出，最后根据面积公式计算即可. 【小问1详解】 因为，， 所以由正弦定理得, ， 又，所以， 又， 所以. 【小问2详解】 由，则， 故，，所以， 所以， 又，整理得， 则， 解得， 所以的面积为． 16. 如图，在四棱锥中，四边形是矩形，平面平面，，分别为，的中点，且． （1）求证：； （2）求三棱锥的体积． 【答案】（1） 四边形是矩形，， 又平面平面，平面平面，平面，平面， 又平面，， ，，，， ， 平面，平面， 平面，； （2） 【解析】 【分析】（1）由面面垂直的性质得到平面，即可得到，再由勾股定理逆定理得到，从而得到平面，即可得证； （2）首先证明平面，再由计算可得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为四边形ABCD是矩形，所以，， 因为平面PAD，平面PAD，所以平面， 所以点E到平面PAD的距离等于点B到平面PAD的距离， 由（1）得平面，平面，，则， 又平面， 所以， 所以三棱锥的体积为． 17. 随着人们环保意识的日益增强，越来越多的人开始关注自己的出行方式，绿色出行作为一种环保、健康的出行方式，正逐渐受到人们的青睐，在可能的情况下，我们应当尽量采用绿色出行的方式，如步行、骑自行车或使用公共交通工具．某单位统计了本单位职工两个月以来上下班的绿色出行情况，绘制出了如图所示的频率分布直方图． （1）求频率分布直方图中a的值，并由频率分布直方图估计该单位职工两个月以来上下班的绿色出行天数的中位数； （2）若该单位有职工200人，从绿色出行天数大于25的3组职工中用分层随机抽样的方法选取6人参加绿色出行社会宣传活动，再从6人中选取2人担任活动组织者，求这2人的绿色出行天数都在区间（25，30]的概率． 【答案】（1），18.75 （2）． 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图中矩形的面积和为1求出，再求绿色出行天数的中位数即可； （2）先求出绿色出行天数在区间中的人数，再计算出各个区间内所抽取的人数，再利用古典概型的概率公式求出绿色出行天数都在区间的概率. 【小问1详解】 由题意得，解得． 由，， 知中位数位于（15,20]内． 设中位数为， 则，解得， 则中位数为． 【小问2详解】 绿色出行天数大于25的共有（人）， 则在区间（25,30]中的有（人），抽取人数为， 在区间（30,35]中的有（人），抽取人数为， 在区间（35,40]中的有（人），抽取人数为． 设从绿色出行天数在（25，30]中抽取的职工为，，，， 从绿色出行天数在（30,35]中抽取的职工为B，从绿色出行天数在（35,40]中抽取的职工为C， 全部可能的结果有（,），（,），（,），（,B），（,C）， （,），（,），（,B），（,C），（,），（,B）， （,C），（,B），（,C），（B,C），样本点总数， 满足要求的样本点个数， 则两人均来自（25，30]的概率为， 故2人的绿色出行天数都在区间（25,30]的概率为． 18. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （1）求角B； （2）若为锐角三角形，，D是线段AC的中点，求BD的长的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理角化边，再用余弦定理边化角，即可求出角； （2）由中线向量公式来计算中线长，再利用边化角得到中线与角的三角函数，再利用三角恒等变换，再结合锐角三角形得到角的范围，即可求出中线长的取值范围. 【小问1详解】 因为，由正弦定理得， 所以， 由余弦定理得， 又，所以； 【小问2详解】 因为，所以． 因为D是线段AC的中点，所以， 所以， 由正弦定理得，所以，， 所以 , 又为锐角三角形，所以，解得，所以， 即，则，所以， 即，则BD的长的取值范围是． 19. 如图，多面体中，四边形为矩形，二面角为，，，，，． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1） 是矩形， ，又平面，平面， 平面， ，平面，平面，平面， 又，BC，平面，平面平面， 平面，平面． （2） 【解析】 【分析】（1）证明出平面平面，利用面面平行的性质可证得结论成立； （2）分析可知二面角的平面角为，过点在平面内作，垂足为点，证明出平面，可得出直线与平面所成角为，计算出、的长，即可求得的正弦值，即为所求. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ，，即为二面角的平面角， ，又，平面，平面，平面， 又平面，平面平面， 作于，连接，因为平面平面，平面平面， 平面，所以平面， 所以直线与平面所成角为，因为，， 所以， 所以直线与平面所成角的正弦值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 大庆中学2023—2024学年度下学期期末考试 高一年级数学试题 考试时间：120分钟；试卷总分：150分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题（本题共8个小题，每题5分，共40分） 1. 已知是方程的根，则（ ） A. B. C. 2 D. 3 2. 若向量，，若与所成角为锐角，则n的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 且 3. 将一个骰子抛掷一次，设事件A表示向上的一面出现的点数不超过2，事件B表示向上的一面出现的点数不小于3，事件C表示向上的一面出现奇数点，则（ ） A. A与B是对立事件 B. A与B是互斥而非对立事件 C. B与C是互斥而非对立事件 D. B与C是对立事件 4. 一组数据：，其中为正整数，且．若该组数据的分位数为，则该组数据的众数为（ ） A. 1 B. 3 C. 5 D. 7 5. 已知直三棱柱的各个顶点都在球的球面上，且，，球的体积为，则该三棱柱的体积为（ ） A. B. 1 C. D. 3 6. 如图，在中，是上的两个三等分点，，则的值为（ ） A. 50 B. 80 C. 86 D. 110 7. 在棱长为2的正方体中，分别是棱上的动点，且，当三棱锥的体积最大时，直线与平面所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 8. 如图所示，在同一个铅垂面，在山脚测得山顶的仰角为，斜坡长为，在处测得山顶的仰角为，则山的高度为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3个小题，每题6分，共18分） 9. 在空间中，设是不同的直线，表示不同的平面，则下列命题错误的是（ ） A. 若，则. B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 下列说法正确的是（ ） A. 用简单随机抽样的方法从含有50个个体的总体中抽取一个容量为5的样本，则个体被抽到的概率是0.1 B. 数据的平均数为90，方差为3；数据的平均数为85，方差为5，则的平均数为87，方差为10.2 C. 数据的第70百分位数是23 D. 已知数据的极差为6，方差为2，则数据的极差和方差分别为12，8 11. 某不透明盒子中共有5个大小质地完全相同的小球，其中有3个白球2个黑球，现从中随机取两个球，甲表示事件“第一次取到黑球”，乙表示事件“第二次取到白球”，则下列说法错误的是（ ） A. 若不放回取球，则甲乙相互独立 B. 若有放回取球，则甲乙相互独立 C. 若不放回取球，则甲乙为互斥事件 D. 若有放回取球，则甲乙为互斥事件 三、填空题（本题共3个小题，每题5分，共15分） 12. 若复数，满足．且（i为虚数单位），则______． 13. 已知向量，则向量在上投影向量的模为__________． 14. 在三棱锥中，，若该三棱锥的所有顶点均在球的表面上，则球的表面积为__________. 四、解答题（本题共5个小题，共77分） 15. 在中，内角，，的对边分别为，，，且． （1）求角； （2）若，且，求的面积． 16. 如图，在四棱锥中，四边形是矩形，平面平面，，分别为，的中点，且． （1）求证：； （2）求三棱锥的体积． 17. 随着人们环保意识的日益增强，越来越多的人开始关注自己的出行方式，绿色出行作为一种环保、健康的出行方式，正逐渐受到人们的青睐，在可能的情况下，我们应当尽量采用绿色出行的方式，如步行、骑自行车或使用公共交通工具．某单位统计了本单位职工两个月以来上下班的绿色出行情况，绘制出了如图所示的频率分布直方图． （1）求频率分布直方图中a的值，并由频率分布直方图估计该单位职工两个月以来上下班的绿色出行天数的中位数； （2）若该单位有职工200人，从绿色出行天数大于25的3组职工中用分层随机抽样的方法选取6人参加绿色出行社会宣传活动，再从6人中选取2人担任活动组织者，求这2人的绿色出行天数都在区间（25，30]的概率． 18. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （1）求角B； （2）若为锐角三角形，，D是线段AC的中点，求BD的长的取值范围． 19. 如图，多面体中，四边形为矩形，二面角为，，，，，． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $