专题1 配方法进阶应用【教参P48拓展】（作业课件）-【优翼·学练优】2024-2025学年九年级数学上册同步备课(人教版)

www.youyi100.com 2024秋季学期 《学练优》· 九年级数学上 · RJ 第二十一章　一元二次方程 21.2　解一元二次方程 专题1　配方法进阶应用【教参P48拓展】 通性通法：利用完全平方式的非负性解题 一阶：　一次配方 1. 【母题】求 a2＋6 a ＋8的最小值. 解： a2＋6 a ＋8＝ a2＋6 a ＋32－32＋8＝（ a ＋3）2 ⁠， 因为不论 a 取何值，（ a ＋3）2总是非负数， 即（ a ＋3）2≥0. 所以（ a ＋3）2 ≥ ⁠. 所以当 a ＝－3时， a2＋6 a ＋8有最小值 ⁠. －1　 －1　 －1　 －1　 2 3 4 1 变式：二次项系数为1→二次项系数不为1 （1）对于任意实数 a ，多项式－ a2＋2 a －3的值是 一个 数（填“正”或“负”）； 负　 2 3 4 1 （2）－3 a2＋12 a ＋1有最 值，求这个最值. 解：∵－3 a2＋12 a ＋1＝－3（ a2－4 a ＋4－4）＋1 ＝－3（ a －2）2＋13， 又（ a －2）2≥0，∴－3（ a －2）2≤0. ∴－3（ a －2）2＋13≤13. ∴－3 a2＋12 a ＋1的最大值是13. 大　 解：∵－3 a2＋12 a ＋1＝－3（ a2－4 a ＋4－4）＋1 ＝－3（ a －2）2＋13， 又（ a －2）2≥0，∴－3（ a －2）2≤0. ∴－3（ a －2）2＋13≤13. ∴－3 a2＋12 a ＋1的最大值是13. 2 3 4 1 二阶：　多次配方——先分组 一、分组配方求最值 2. （2023·连云港中考改编）若 W ＝4 x2－4 x ＋ y2－ 2 y ＋3（ x ， y 为实数），则 W 的最小值为 ⁠. 辅助设问 把代数式分成三组4 x2－4 x ＋ ， y2－2 y ＋ ， ，把前两组二次式分别配方，第三组为常数，完成后注意检验，要保证与原式恒等. 1　 1　 1　 1　 2 3 4 1 二、分组配方转化为几个完全平方式的和求值 3. （2023·广州越秀区期末）探究下面的问题： （1）已知△ ABC 的三边长 a ， b ， c 都是正整数， 且满足 a2＋ b2－8 a －12 b ＋52＝0，求△ ABC 的最 长边 c 的值. 2 3 4 1 解：∵ a2＋ b2－8 a －12 b ＋52＝0， ∴（ a2－8 a ＋16）＋（ b2－12 b ＋36）＝0， 即（ a －4）2＋（ b －6）2＝0. ∴ a －4＝0， b －6＝0.解得 a ＝4， b ＝6. ∵6－4＜ c ＜6＋4，即2＜ c ＜10， a ， b ， c 为 正整数， 最长边 c 的值为6，7，8，9. 解：∵ a2＋ b2－8 a －12 b ＋52＝0， ∴（ a2－8 a ＋16）＋（ b2－12 b ＋36）＝0， 即（ a －4）2＋（ b －6）2＝0. ∴ a －4＝0， b －6＝0.解得 a ＝4， b ＝6. ∵6－4＜ c ＜6＋4，即2＜ c ＜10， a ， b ， c 为 正整数， 最长边 c 的值为6，7，8，9. 2 3 4 1 （2）已知 a2＋2 b2－2 ab ＋4 b ＋4＝0，求 ab 的值. 提示：与－2 ab 项可以凑成完全平方式的另两项为 和 ⁠. a2　 b2　 解：∵ a2＋2 b2－2 ab ＋4 b ＋4＝0， ∴ a2－2 ab ＋ b2＋ b2＋4 b ＋4＝0. ∴（ a － b ）2＋（ b ＋2）2＝0. ∴ a － b ＝0， b ＋2＝0.解得 a ＝ b ＝－2， 则 ab ＝4. 解：∵ a2＋2 b2－2 ab ＋4 b ＋4＝0， ∴ a2－2 ab ＋ b2＋ b2＋4 b ＋4＝0. ∴（ a － b ）2＋（ b ＋2）2＝0. ∴ a － b ＝0， b ＋2＝0.解得 a ＝ b ＝－2， 则 ab ＝4. 2 3 4 1 三、作差后配方比较两个二次多项式的大小 4. 比较代数式3 x2－8 x ＋ y2与2 x2－2 y －18的大小. 解：3 x2－8 x ＋ y2－（2 x2－2 y －18）＝ x2－8 x ＋16＋ y2＋2 y ＋1＋1＝（ x －4）2＋（ y ＋1）2＋1， ∵（ x －4）2≥0，（ y ＋1）2≥0， ∴（ x －4）2＋（ y ＋1）2＋1≥1. ∴3 x2－8 x ＋ y2－（2 x2－2 y －18）＞0. ∴3 x2－8 x ＋ y2＞2 x2－2 y －18. 2 3 4 1 $$