21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系（作业课件）-【优翼·学练优】2024-2025学年九年级数学上册同步备课(人教版)

www.youyi100.com 2024秋季学期 《学练优》· 九年级数学上 · RJ 第二十一章　一元二次方程 21.2　解一元二次方程 *21.2.4　一元二次方程的根与系数的关系 目 录 CONTENTS 01 A基础巩固 02 B综合运用 03 C拓广探索 知识点一　根与系数的关系 1. 教材P17习题T7变式不解方程，求下列各方程的 两根之和与两根之积： （1）2 x2＋5 x －1＝0： x1＋ x2＝ ， x1 x2＝ ⁠. － 　 － 　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 （2）－ x2＋6 x －2＝0： x1＋ x2＝ ， x1 x2＝ ⁠. （3）4 x2＋1＝7 x ： x1＋ x2＝ 　 　， x1 x2＝ 　 　. （4）3 x2－1＝0： x1＋ x2＝ ， x1 x2＝ ⁠. 6　 2　 　 　 0　 － 　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 2. （2023·湘西州中考）已知一元二次方程 x2－4 x ＋ m ＝0的一个根为 x1＝1，则另一个根 x2＝ ⁠. 条件变式　已知两根和→已知两根积 （2023·雅安中考）已知关于 x 的方程 x2＋ mx －4＝0的一个根为1，则该方程的另一个根为 ⁠. 3　 －4　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 3. 设方程 x2－3 x －4＝0的两个根为 x1， x2，不解方 程求下列各式的值： （1） ＋ ； 解：由根与系数的关系得 x1＋ x2＝3， x1 x2＝－4. ＋ ＝ ＝－ . 解：由根与系数的关系得 x1＋ x2＝3， x1 x2＝－4. ＋ ＝ ＝－ . 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 （2）（ x1－3）（ x2－3）. 解：（ x1－3）（ x2－3）＝ x1 x2－3（ x1＋ x2）＋9 ＝－4－3×3＋9＝－4. 解：（ x1－3）（ x2－3）＝ x1 x2－3（ x1＋ x2）＋9＝ －4－3×3＋9＝－4. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 知识点二　根与系数的关系的应用 4. （2023－2024·唐山月考）关于 x 的方程 x2＋ bx ＋ c ＝0的两根为1和－2，则 b ， c 的值分别为（　A　） A. b ＝1， c ＝－2 B. b ＝－1， c ＝－2 C. b ＝3， c ＝2 D. b ＝－3， c ＝2 A 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 5. 改编题　已知 m ， n 是方程2 x2－ x －1＝0的两根，则点 P （ m ＋ n ， mn ）在第 象限. 6. （2023·黄冈中考）已知一元二次方程 x2－3 x ＋ k ＝0的两个实数根为 x1， x2，若 x1 x2＋2 x1＋2 x2＝1，则实数 k ＝ ⁠. 四　 －5　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 易错变式　本质不变，需根据Δ≥0进行取舍 （2023·岳阳中考）已知关于 x 的一元二次方程 x2＋ 2 mx ＋ m2－ m ＋2＝0有两个不相等的实数根 x1， x2，且 x1＋ x2＋ x1· x2＝2，则实数 m ＝ ⁠. 3　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 7. （2023·襄阳中考）关于 x 的一元二次方程 x2＋2 x ＋3－ k ＝0有两个不相等的实数根. （1）求 k 的取值范围； 解：（1） b2－4 ac ＝22－4×1×（3－ k ）＝－8＋4 k ， ∵原方程有两个不相等的实数根， ∴－8＋4 k ＞0，解得 k ＞2. 解：（1） b2－4 ac ＝22－4×1×（3－ k ）＝－8＋4k ， ∵原方程有两个不相等的实数根， ∴－8＋4 k ＞0，解得 k ＞2. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 （2）若方程的两个根为α，β，且 k2＝αβ＋3 k ，求 k 的值. 解：（2）∵方程的两个根为α，β，∴αβ＝3－ k . ∴ k2＝3－ k ＋3 k ，解得 k1＝3， k2＝－1（舍去）. ∴ k 的值为3. 解：（2）∵方程的两个根为α，β，∴αβ＝3－ k . ∴ k2＝3－ k ＋3 k ，解得 k1＝3， k2＝－1（舍去）. ∴ k 的值为3. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 8. （2023·唐山路北区期末）在解一元二次方程 x2＋ px ＋ q ＝0时，小红看错了常数项 q ，得到方程的两 个根是－3，1.小明看错了一次项系数 p ，得到方程 的两个根是5，－4，则原来的方程是（　B　） A. x2＋2 x －3＝0 B. x2＋2 x －20＝0 C. x2－2 x －20＝0 D. x2－2 x －3＝0 B 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 9. （2023－2024·保定曲阳县期末）已知α，β是方程 x2－2 x －2022＝0的两个实数根，则α2－4α－2β－2 的值是（　A　） A. 2016 B. 2018 C. 2022 D. 2024 A 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 10. 新角度方程思想已知关于 x 的一元二次方程 x2－ 2 x －3 n2＝0.若方程的两个实数根分别为α，β，且 α＋2β＝5，则 n ＝ ⁠. 提示：∵α，β是方程 x2－2 x －3 n2＝0的两个实数根，∴α＋β＝ .又∵α＋2β＝5，联立方程组， 可求α，β的值. ±1　 2　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 11. 已知关于 x 的一元二次方程 x2－4 x －2 k ＋8＝0 有两个实数根 x1， x2. （1）求 k 的取值范围； 解：（1）由题意可知Δ＝（－4）2－4×1×（－2 k ＋8）≥0， 整理得16＋8 k －32≥0，解得 k ≥2. 解：（1）由题意可知Δ＝（－4）2－4×1×（－2 k＋ 8）≥0， 整理得16＋8 k －32≥0，解得 k ≥2. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 （2）若 x2＋ x1 ＝24，求 k 的值. 解：（2）由题意得 x2＋ x1 ＝ x1 x2[（ x1＋ x2）2 －2 x1 x2]＝24. 由根与系数的关系得 x1＋ x2＝4， x1 x2＝－2 k ＋8. 故有（－2 k ＋8）[42－2（－2 k ＋8）]＝24， 整理得 k2－4 k ＋3＝0，解得 k1＝3， k2＝1. 又由（1）可知 k ≥2，∴ k 的值为3. 解：（2）由题意得 x2＋ x1 ＝ x1 x2[（ x1＋ x2）2－ 2 x1 x2]＝24. 由根与系数的关系得 x1＋ x2＝4， x1 x2＝－2 k ＋8. 故有（－2 k ＋8）[42－2（－2 k ＋8）]＝24， 整理得 k2－4 k ＋3＝0，解得 k1＝3， k2＝1. 又由（1）可知 k ≥2，∴ k 的值为3. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 12. （2023·鄂州中考）若实数 a ， b 分别满足 a2－3 a ＋2＝0， b2－3 b ＋2＝0，且 a ≠ b ，求 ＋ 的值. 辅助设问 能力点：【逆向思维】 a ， b 可看作关于 x 的一元二次方程 的两根，再利用根与系数的关系求解. x2－3 x ＋2＝0　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 解：∵ a ， b 分别满足 a2－3 a ＋2＝0， b2－3 b ＋2＝ 0， a ≠ b ， ∴可将 a ， b 看作是一元二次方程 x2－3 x ＋2＝0的 两个实数根. ∴ a ＋ b ＝3， ab ＝2. ∴ ＋ ＝ ＝ . 解：∵ a ， b 分别满足 a2－3 a ＋2＝0， b2－3 b ＋2＝0， a ≠ b ， ∴可将 a ， b 看作是一元二次方程 x2－3 x ＋2＝0的 两个实数根. ∴ a ＋ b ＝3， ab ＝2. ∴ ＋ ＝ ＝ . 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 易错设问 将题目条件“ a ≠ b ”删除，求 ＋ 的值. 解：分两种情况： ①当 a ≠ b 时，∵ a ＋ b ＝3， ab ＝2， ∴ a2＋ b2＝（ a ＋ b ）2－2 ab ＝32－2×2＝9－4＝5. ∴ ＋ ＝ ＝ . 解：分两种情况： ①当 a ≠ b 时，∵ a ＋ b ＝3， ab ＝2， ∴ a2＋ b2＝（ a ＋ b ）2－2 ab ＝32－2×2＝9－4＝5. ∴ ＋ ＝ ＝ . ②当 a ＝ b 时， ＋ ＝1＋1＝2. 综上， ＋ 的值为 或2. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 $$