21.2.2 公式法（作业课件）-【优翼·学练优】2024-2025学年九年级数学上册同步备课(人教版)

www.youyi100.com 2024秋季学期 《学练优》· 九年级数学上 · RJ 第二十一章　一元二次方程 21.2　解一元二次方程 21.2.2　公式法 目 录 CONTENTS 01 A基础巩固 02 B综合运用 03 C拓广探索 知识点一　一元二次方程根的判别式 1. （2023·吉林中考）一元二次方程 x2－5 x ＋2＝0根 的判别式的值是（　C　） A. 33 B. 23 C. 17 D. C 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 2. 下列一元二次方程无实数根的是（　C　） A. x2＋ x －2＝0 B. x2－2 x ＝0 C. x2＋ x ＋5＝0 D. x2－2 x ＋1＝0 C 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 3. （2023·滨州中考）一元二次方程 x2＋3 x －2＝0根 的情况为（　A　） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 不能判定 拓展变式 已知 c ＞0，则关于 x 的方程 x2＋ bx － c ＝0根的情况，上述四个选项中，说法正确的是 （　A　） A A 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 4. （2023·北京中考）若关于 x 的一元二次方程 x2－3 x ＋ m ＝0有两个相等的实数根，则实数 m 的值为 （　C　） A. －9 B. － C. D. 9 C 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 5. （2023·杭州中考改编）设一元二次方程 x2＋ bx ＋ c ＝0.在下面的两组条件中选择其中一组 b ， c 的值，使这个方程有两个不相等的实数根，并解这个方程. ① b ＝2， c ＝1； ② b ＝4， c ＝1. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 解：∵使这个方程有两个不相等的实数根， ∴ b2－4 c ＞0，即 b2＞4 c . ∴②可以.则这个方程为 x2＋4 x ＋1＝0， ∴ x2＋4 x ＋4＝－1＋4. ∴（ x ＋2）2＝3.∴ x ＋2＝± . ∴ x1＝ －2， x2＝－ －2. 解：∵使这个方程有两个不相等的实数根， ∴ b2－4 c ＞0，即 b2＞4 c . ∴②可以.则这个方程为 x2＋4 x ＋1＝0， ∴ x2＋4 x ＋4＝－1＋4. ∴（ x ＋2）2＝3.∴ x ＋2＝± . ∴ x1＝ －2， x2＝－ －2. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 知识点二　用公式法解一元二次方程 6. （2023－2024·廊坊广阳区月考）用求根公式解方 程2 x2－3＝ x 时 a ， b ， c 的值是（　B　） A. a ＝2， b ＝1， c ＝－3 B. a ＝2， b ＝－1， c ＝－3 C. a ＝2， b ＝－1， c ＝3 D. a ＝2， b ＝1， c ＝3 B 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 7. 用公式法解一元二次方程，得 x ＝ ，则该一元二次方程是 ⁠ ⁠. 8. 用公式法解下列方程： 3 x2＋5 x ＋1＝0　 （1） x2－3 x ＋3＝0； 解：这里 a ＝1， b ＝－3， c ＝3. ∵Δ＝ b2－4 ac ＝（－3）2－4×1×3＝－3＜0， ∴原方程无实数根. 解：这里 a ＝1， b ＝－3， c ＝3. ∵Δ＝ b2－4 ac ＝（－3）2－4×1×3＝－3＜0， ∴原方程无实数根. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 （2）（2023·无锡中考）2 x2＋ x －2＝0； 解：这里 a ＝2， b ＝1， c ＝－2. ∵Δ＝ b2－4 ac ＝12－4×2×（－2）＝17， ∴ x ＝ ， 即 x1＝ ， x2＝ . 解：这里 a ＝2， b ＝1， c ＝－2. ∵Δ＝ b2－4 ac ＝12－4×2×（－2）＝17， ∴ x ＝ ， 即 x1＝ ， x2＝ . 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 （3） x2－2 x ＋1＝0. 解：这里 a ＝1， b ＝－2 ， c ＝1. ∵Δ＝ b2－4 ac ＝（－2 ）2－4×1×1＝4， ∴ x ＝ ，即 x1＝ ＋1， x2＝ －1. 解：这里 a ＝1， b ＝－2 ， c ＝1. ∵Δ＝ b2－4 ac ＝（－2 ）2－4×1×1＝4， ∴ x ＝ ，即 x1＝ ＋1， x2＝ －1. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 9. （2023·聊城中考改编）若关于 x 的一元二次方程 mx2＋2 x ＋1＝0有两个不相等的实数根，则 m 的取 值范围是（　D　） A. m ＞－1 B. m ＜1 C. m ＞－1且 m ≠0 D. m ＜1且 m ≠0 D 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 若关于 x 的方程 mx2＋2 x ＋1＝0有实数根，则 m 的 取值范围是 ⁠. m ≤1　 易错设问 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 10. （2023·内江中考）对于实数 a ， b 定义运算“⊗”为 a ⊗ b ＝ b2－ ab ，例如：3⊗2＝22－3×2＝－2，则关于 x 的方程（ k －3）⊗ x ＝ k －1的根的情况，下列说法正确的是（　A　） A A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 11. 若等腰三角形的一边长是4，另两边的长是关于 x 的方程 x2－6 x ＋ n ＝0的两个根，则 n 的值为 ⁠ ⁠. 8或9 【解析】当4为腰长时，将 x ＝4代入 x2－6 x ＋ n ＝0， 得42－6×4＋ n ＝0，解得 n ＝8； 当 n ＝8时，原方程为 x2－6 x ＋8＝0， 解得 x1＝2， x2＝4. ∵2＋4＞4，∴ n ＝8符合题意. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 当4为底边长时，关于 x 的方程x2－6 x ＋ n ＝0 有两个相等的实数根， ∴Δ＝（－6）2－4×1× n ＝0，解得 n ＝9. 当 n ＝9时，原方程为 x2－6 x ＋9＝0，解得 x1＝ x2＝3. ∵3＋3＝6＞4，∴ n＝9符合题意. ∴ n 的值为8或9. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 12. 解方程： （1）3 x2＋5（2 x ＋1）＝0； 解： x1＝ ， x2＝ . （2） x （2 x －5）＝4 x －5. 解： x1＝ ， x2＝ . 解： x1＝ ， x2＝ . 解： x1＝ ， x2＝ . 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 13. 已知关于 x 的一元二次方程 ax2＋ bx ＋1＝0. （1）当 b ＝ a ＋2时，利用根的判别式判断方程根的 情况； 解：（1）∵ a ≠0， b ＝ a ＋2， c ＝1， ∴Δ＝ b2－4 a ＝（ a ＋2）2－4 a ＝ a2＋4 a ＋4－4 a ＝ a2＋4. ∵ a2＞0，∴Δ＞0. ∴方程有两个不相等的实数根. 解：（1）∵ a ≠0， b ＝ a ＋2， c ＝1， ∴Δ＝ b2－4 a ＝（ a ＋2）2－4 a ＝ a2＋4 a ＋4－4 a ＝ a2＋4. ∵ a2＞0，∴Δ＞0. ∴方程有两个不相等的实数根. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 （2）若方程有两个相等的实数根，写出一组满足条 件的 a ， b 的值，并求此时方程的根. 解：（2）∵方程有两个相等的实数根， ∴Δ＝ b2－4 a ＝0. 若 b ＝2， a ＝1，则方程变形为 x2＋2 x ＋1＝0， 解得 x1＝ x2＝－1（ a ， b 取值不唯一）. 解：（2）∵方程有两个相等的实数根， ∴Δ＝ b2－4 a ＝0. 若 b ＝2， a ＝1，则方程变形为 x2＋2 x ＋1＝0， 解得 x1＝ x2＝－1（ a ， b 取值不唯一）. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 14. 数形结合思想已知▱ ABCD 的两边 AB ， BC 的长 是关于 x 的方程 x2－ mx ＋ － ＝0的两个实数根. （1）求证：无论 m 取何值，方程总有两个实数根. （1）证明：关于 x 的方程 x2－ mx ＋ － ＝0， Δ＝ m2－2 m ＋1＝（ m －1）2. ∵无论 m 取何值，（ m －1）2≥0，∴Δ≥0. ∴无论 m 取何值，方程总有两个实数根. （1）证明：关于 x 的方程 x2－ mx ＋ － ＝0， Δ＝ m2－2 m ＋1＝（ m －1）2. ∵无论 m 取何值，（ m －1）2≥0，∴Δ≥0. ∴无论 m 取何值，方程总有两个实数根. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 （2）当 m 为何值时，四边形 ABCD 是菱形？求出此 时菱形的边长. （2）解：若四边形 ABCD 是菱形， 则 AB ＝ BC ，即方程有两个相等的实数根. ∴（ m －1）2＝0.∴ m ＝1. 将 m ＝1代入方程得 x2－ x ＋ ＝0， ∴ x1＝ x2＝ .∴此时菱形的边长为 . 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 （3）如果 AB 的长为2，那么▱ ABCD 的周长是多少？ （3）解：根据题意，将 x ＝2代入方程 x2－ mx ＋ － ＝0，解得 m ＝ . 将 m ＝ 代入方程 x2－ mx ＋ － ＝0， 解得 x1＝2， x2＝ . （3）解：根据题意，将 x ＝2代入方程 x2－ mx ＋ － ＝0，解得 m ＝ . 将 m ＝ 代入方程 x2－ mx ＋ － ＝0， 解得 x1＝2， x2＝ . ∴ BC ＝ . 故▱ ABCD 的周长为2×（ ＋2）＝5. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 $$