21.2.2公式法（同步课件）-【上好课】2024-2025学年九年级数学上册同步精品课堂（人教版）

第21章 一元二次方程 九年级数学上册同步精品课堂（人教版） 人教版 数学 九年级 上册 BY YUSHEN BY YUSHEN 21.2.2 公式法 BY YUSHEN BY YUSHEN 复习引入 解： BY YUSHEN BY YUSHEN 新知探究 思考： 任何一个一元二次方程都可以写成一般形式 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0). 能否也用配方法得出它的解呢？ BY YUSHEN BY YUSHEN 新知探究 用配方法解一般形式一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0). 方程两边都除以 a，得 解：移项，得 配方，得 即 思考：对于方程①接下来能用直接开平方解吗？ BY YUSHEN BY YUSHEN 新知探究 ∵ a≠0，∴ 4a2 > 0. 而 b2－4ac 的符号有以下三种情况： （1）b2－4ac ＞0， 这时 ＞0，由①得 则方程有两个不相等的实数根 BY YUSHEN BY YUSHEN 新知探究 （2）b2 - 4ac = 0， 这时 = 0，由①可知，方程有两个相等的实数根 x1 = x2 = - . （3）b2 - 4ac ＜0， 这时 ＜0，由①可知 ＜0，而 x 取任何实数都不能使 ＜0，因此方程无实数根. BY YUSHEN BY YUSHEN 新知探究 两个不相等的实数根 两个相等的实数根 没有实数根 两个实数根 判别式的情况 根的情况 我们把 b2 − 4ac 叫做一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 根的判别式，通常用希腊字母“Δ”表示，即 Δ = b2 − 4ac. Δ > 0 Δ = 0 Δ < 0 Δ≥0 BY YUSHEN BY YUSHEN 新知探究 思考：按要求完成下列表格： 的值 0 4 根的 情况 有两个相等的实数根 没有实数根 有两个不相等的实数根 Δ BY YUSHEN BY YUSHEN 一元二次方程根的判别式的应用 新知探究 不解方程，判断方程根的情况 根据方程根的情况，确定方程中的字母的取值范围 应用判别式证明方程根的情况 BY YUSHEN BY YUSHEN 典例精析 例1 一元二次方程 x2−5x＋7＝0 的根的情况是( ) A A． 没有实数根 B． 有两个相等的实数根 C． 有两个不相等的实数根 D． 有两个实数根 解：要判断方程是否有根，首先要判断Δ， 因为 Δ= (-5)2-4×1×7= -3<0， 所以此方程没有实数根.故选A. BY YUSHEN BY YUSHEN 典例精析 例2 若关于 x 的一元二次方程 x2－4x＋5＝a 有实数根，则 a 的取值范围是( ) D A． a＜1 B． a＞1 C． a≤1 D． a≥1 解：因为关于 x 的一元二次方程 x2－4x＋5＝a有实数根， 方程转化为（x-2) 2+1= a ，要使方程成立，即a-1≥0， 解得a≥1 ，所以a的取值范围为 a≥1 ． BY YUSHEN BY YUSHEN 典例精析 例3 若关于 x 的一元二次方程 kx2−4x+2=0有两个不相等的实数根，则 k 的取值范围为 ． k<2且k 0 解：因为关于 x 的一元二次方程 kx2-4x+2=0有两个不相等的实数根， 所以 k≠0且Δ＞0，即 (-4)2-4×k×2＞0， 解得 k＜2且 k≠0， 所以k的取值范围为 k＜2且 k≠0． BY YUSHEN BY YUSHEN 典例精析 变式 分析： 分类讨论 k = 0 k≠0 原方程变形为 −2x − 1 = 0，有实数根 Δ = 4 + 4k≥0 k≥−1 A 若关于 x 的方程 kx2 − 2x −1 = 0 有实数根，则 k 的取值范围是( ) A. k≥ −1 B. k≥ −1且 k≠0 C. k < 1 D. k < 1 且 k≠0 BY YUSHEN BY YUSHEN 典例精析 例4 已知a，b，c为三角形的三边长，且方程b(x2-1)-2ax+c(x2+1)=0有两个相等的实数根.试判断此三角形的形状. 解：方程整理得(b+c)x2-2ax-(b-c)=0， 因为方程b(x2-1)-2ax+c(x2+1)=0有两个相等的实数根， 所以Δ=4a2-4(b+c)·[-(b-c)]=0， 即a2+b2=c2， 根据勾股定理的逆定理得，此三角形为直角三角形 所以此三角形为直角三角形． BY YUSHEN BY YUSHEN 典例精析 例5 用公式法解下列方程: (1) 5x2-3x-1=0 解：(1) a=5,b=-3,c=-1 △=b2-4ac=(-3)2-4×5×(-1)=29>0 方程有两个不相等的实数根. 即 BY YUSHEN BY YUSHEN 典例精析 △=b2-4ac= (2) 方程化为 故方程无实数根. 例5 用公式法解下列方程: (2) BY YUSHEN BY YUSHEN 典例精析 方程有两个相等的实数根. a=-2,b=-8,c=-8 △=b2-4ac=(-8)2-4×(-2)×(-8)=0 (3) 方程化为-2x2-8x-8=0 例5 用公式法解下列方程: (3)x2-8x=3x2+8 BY YUSHEN BY YUSHEN 一元二次方程的求根公式 新知探究 用公式法解一元二次方程时，首先要将方程化为一般式，然后当 Δ = b2 - 4ac≥0 时，才可以用求根公式. 用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法. 由上可知，当 Δ≥0 时，方程 ax2 + bx + c = 0 (a≠0)的实数根可写为 的形式，这个式子叫做一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 的求根公式. BY YUSHEN BY YUSHEN 公式法解方程的步骤 新知探究 1. 变形： 化已知方程 为一般形式； 2. 确定系数： 用 a，b，c 写出各项系数； 3. 计算： b2 − 4ac 的值； 4. 判断： 若 Δ = b2 − 4ac≥0，则利用求根公式求出； 若 b2 − 4ac＜0， 则方程没有实数根. BY YUSHEN BY YUSHEN 公式法解方程的步骤 新知探究 一元二次方程 化成 ax2+bx+c=0(a≠0) 的形式 a=？ b=？ c=？ 求Δ＝b2－4ac Δ≥0？ 无实数根 否 套公式求解 是 BY YUSHEN BY YUSHEN 典例精析 例6 列哪个一元二次方程的根( ) A．2x2+4x+1=0 B．2x2-4x+1=0 C．2x2-4x-1=0 D．2x2+4x-1=0 A 解：根据求根公式得 a=2,b=4,c=1, 故选A. BY YUSHEN BY YUSHEN 归纳总结 公式法 求根公式 步骤 一化（一般形式）； 二定（系数值）； 三求（求 b2 - 4ac 的值）； 四判（方程根的情况）； 五代（代求根公式计算） 务必将方程 化为一般形式 Δ =b2 − 4ac > 0 Δ =b2 − 4ac = 0 Δ =b2 − 4ac＜ 0 有两个不等的实数根 有两个相等的实数根 没有实数根 根的情况 BY YUSHEN BY YUSHEN 当堂检测 1.用公式法解方程 3x2+5x+1=0，正确的是( ) A．B． C． D． A 2.一元二次方程（x+1）（x-1）=2x+3的根的情况是（ ） A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.只有一个实数根 D.没有实数根 A BY YUSHEN BY YUSHEN 当堂检测 3.关于 x 的一元二次方程 (k+1)x2-2x+1=0 有两个实数根，则 k 的取值范围 是( ) A．k≥0 B．k≤0 C．k<0 且 k≠-1 D．k≤0 且 k≠-1 D 4.已知 α 是一元二次方程 x2-x-1=0 较大的根，则下列对 α 的值估计正确的是( ) A．2＜α＜3 B． 1.5＜α＜2 C． 1＜α＜1.5 D． 0＜α＜1 B 5.一元二次方程 3x2=4-2x 的解是 ． ， BY YUSHEN BY YUSHEN 当堂检测 6.先把下列一元二次方程化成一般形式，再写出一般形式的a、b、c： （1）方程2x2+x-6=0中，a= ，b= ， c= ； b2－4ac= . （2）方程5x2－4x=12中，a= ，b= ， c= ；b2－4ac= . （3）方程4x2－4x+1=0中，a= ，b= ， c= ；b2－4ac= . -4 1 -6 49 5 -4 -12 236 4 2 1 0 BY YUSHEN BY YUSHEN 当堂检测 7. (1) 关于 x 的一元二次方程 有两个实根，则 m 的取值范围是 . (2) 若关于 x 的一元二次方程 (m − 1)x2 − 2mx + m = 2 有实数根．求 m 的取值范围. 解：化为一般式，得 (m − 1)x2 − 2mx + m − 2 = 0． Δ = 4m2 − 4(m − 1)(m − 2)≥0，且 m − 1≠0. 解得 且 m≠1. BY YUSHEN BY YUSHEN 当堂检测 8.用公式法解下列方程： (1) x2 − 4x − 7 = 0； 方程有两个不等的实数根 解：a = 1，b = −4，c = −7. Δ = b2－4ac = (−4)2－4×1×(−7) = 44＞0. 即 BY YUSHEN BY YUSHEN 当堂检测 (2) 5x2－3x = x + 1； 方程有两个不等的实数根 即 a = 5，b = －4，c = －1. Δ = b2－4ac = (－4)2－4×5×(－1) = 36＞0. 解：方程化为 5x2－4x－1 = 0. BY YUSHEN BY YUSHEN $$