1.1.1 集合的概念与表示（第2课时 集合的表示）课件-2024-2025学年高一上学期数学北师大版（2019）必修第一册

第一章　预备知识 1.1　集合的概念与表示 第2课时　集合的表示 北师大版 数学 必修第一册 基础落实·必备知识一遍过 重难探究·能力素养速提升 学以致用·随堂检测促达标 目录索引 课程标准 1.掌握集合的两种表示方法:列举法和描述法. 2.了解空集的含义. 3.会用区间表示集合. 基础落实·必备知识一遍过 知识点1　集合的表示方法 1.列举法 列举法是把集合中的元素　　　　　出来写在花括号“{　}”内表示集合的方法,一般可将集合表示为{a,b,c,…}.  元素与元素之间必须用“,”隔开  2.描述法　 通过描述元素满足的条件表示集合的方法叫作描述法.一般可将集合表示为{x及x的范围|x满足的条件},即在花括号内先写出集合中元素的一般符号及范围,再画一条竖线“|”,在竖线后写出集合中元素所具有的共同特征. 一一列举 名师点睛 1.用列举法表示集合时,必须注意以下几点: (1)集合的元素必须是明确的;(2)不必考虑元素出现的先后顺序;(3)集合的元素不能重复;(4)集合的元素可以表示任何事物;(5)对含有较多元素的集合,如果该集合的元素具有明显的规律,可用列举法表示,但是必须把元素间的规律显示清楚后,才能用省略号表示,如N+也可表示为{1,2,3,…,n,…}. 2.描述法的一般形式是{x∈I|p(x)}.其中“x”是集合中元素的一般符号的代表形式,简称代表元素;“I”是x取值范围的一般代表形式;“p(x)”(可以是符号表达式,也可以是文字表述形式)是集合中元素x的共同特征的一般代表形式.通常用于表示无限集,或容易归纳其特征的集合. 3.用描述法表示集合时,若需要多层次描述属性时,可选用“且”与“或”等联结.如集合{x|x<0或x≥3}. 4.元素的取值范围,从上下文关系来看,如果x∈R是明确的,则∈R可以省略不写,如集合D={x∈R|x<9}可以表示为D={x|x<9}. 5.若描述部分出现代表元素以外的字母时,要对该字母说明其含义或指出其取值范围.如{x∈Z|x=2m}中m未被说明,故该集合中元素是不确定的. 6.所有描述的内容都要写在花括号内,如{x∈Z|x=2m,m∈N+},此时m∈N+不能写到花括号外. 思考辨析 1.a与{a}有什么区别?   2.使用列举法表示集合时,对于元素之间的排列顺序有什么要求?   3.集合A={x|x>5}与B={t|t>5}是否表示同一个集合?   提示 a是一个元素,{a}是一个集合. 提示 由于集合中的元素具有无序性,因此使用列举法表示集合时,对于元素之间的排列顺序没有要求. 提示 是.虽然表示代表元素的字母不同,但都表示由大于5的所有实数组成的集合,因而表示同一个集合. 自主诊断 1.[人教A版教材习题]用适当的方法表示下列集合: (1)由方程x2-9=0的所有实数根组成的集合; (2)一次函数y=x+3与y=-2x+6图象的交点组成的集合; (3)不等式4x-5<3的解集. 解 (1){x|x2-9=0}或{-3,3}. (3){x|4x-5<3}或{x|x<2}. 2.[人教A版教材习题]把下列集合用另一种方法表示出来: (1){2,4,6,8,10}; (2)由1,2,3这三个数字抽出一部分或全部数字(没有重复)所组成的一切自然数; (3){x∈N|3<x<7}; (4)中国古代四大发明. 解 (1){x∈N|x=2k,k=1,2,3,4,5}. (2){1,2,3,12,21,13,31,23,32,123,132,213,231,312,321}. (3){4,5,6}. (4){造纸术,指南针,火药,印刷术}. 知识点2　集合的分类 1.含有　　　　　　　的集合叫作有限集,含有　　　　　　的集合叫作无限集.  2.不含任何元素的集合叫作　　　　,记作　 　.  名师点睛 1.集合的分类是按照集合中元素是有限个还是无限个划分的,不是按元素多少,一个集合中元素有很多,但是个数有限,也属于有限集. 2.空集中不含有任何元素,{0}不是空集,因为它含有元素0. 有限个元素 无限个元素 空集 ⌀ 思考辨析 空集是有限集还是无限集? 提示 空集可以看成包含0个元素的集合,所以空集是有限集. 自主诊断 1.判断正误.(正确的画√,错误的画×) (1)大于1的整数所构成的集合可以用列举法表示,属于有限集.(　　) (2)一元二次方程实数解的集合可以是空集.(　　) × √ 2.[人教A版教材习题]下列集合中,哪些是有限集?哪些是无限集? (1)使得式子 有意义的所有实数组成的集合; (2)使得式子 有意义的所有自然数组成的集合; (3)方程x2=-1的所有实数解组成的集合. 解 (2)(3)中的集合是有限集,(1)中的集合是无限集. 知识点3　区间及其表示 1.设a,b是两个实数,且a<b,我们作出规定　 　 此条件不能省略 集合表示 符号表示 数轴表示 {x|a≤x≤b} [a,b]   {x|a<x<b} (a,b)   {x|a≤x<b} [a,b)   {x|a<x≤b} (a,b]   这里的实数a,b称为区间的端点.在数轴上表示区间时,用实心点表示 　　　　区间的端点,用空心点表示　　　　　区间的端点.  属于 不属于 2.实数集R也可用区间表示为(-∞,+∞),符号“∞”读作“　　　　”,“-∞”读作“负无穷大”,“+∞”读作“正无穷大”.还可把满足x≥a,x>a,x≤b,x<b的实数x的集合分别表示为如下情况  　　　　　　 集合表示 符号表示 数轴表示 {x|x≥a} [a,+∞)   {x|x>a} (a,+∞)   {x|x≤b} (-∞,b]   {x|x<b} (-∞,b)   　“∞”处一定要用开区间符号 无穷大 3.[a,b]称为闭区间,(a,b),(a,+∞),(-∞,b)称为开区间,[a,b),(a,b],[a,+∞),(-∞,b]称为半开半闭区间. 名师点睛 1.区间只能表示数集. 2.区间符号中的两个端点(字母或数字)之间只能用“,”隔开. 思考辨析 区间是数集的另一种表示方法,那么任何数集都能用区间表示吗? 提示 不是任何数集都能用区间表示,如集合{0,1,2}就不能用区间表示. 自主诊断 1.判断正误.(正确的画√,错误的画×) (1)集合{1}可用区间[1,1]表示.(　　) (2)区间可以表示空集.(　　) (3)有的集合和区间可以互化.(　　) × × √ 2.用区间表示下列集合: (1){x|-1≤x≤3};(2){x|0<x≤1}; (3){x|2≤x<5};(4){x|0<x<2}; (5){x|x<3};(6){x|x≥2}. 解 (1)[-1,3].(2)(0,1].(3)[2,5).(4)(0,2).(5)(-∞,3).(6)[2,+∞). 重难探究·能力素养速提升 探究点一　集合的表示 角度1用列举法表示集合 【例1】 用列举法表示下列集合: (1)小于10的所有自然数组成的集合; (2)方程x2=x的所有实数根组成的集合; (3)由20以内的所有质数组成的集合. 解 (1)设小于10的所有自然数组成的集合为A,那么A={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}. (2)设方程x2=x的所有实数根组成的集合为B,那么B={0,1}. (3)设由20以内的所有质数组成的集合为C,那么C={2,3,5,7,11,13,17,19}. 规律方法　1.使用列举法表示集合时,应注意以下几点: (1)在元素个数较少或元素间有明显规律时可用列举法表示集合; (2)“{}”表示“所有”的含义,不能省略,且元素无先后顺序,满足无序性. 2.用列举法表示集合时,要分清该集合是数集、点集,还是其他集合. 变式训练1用列举法表示下列集合: (1)直线x+y=3与x-y=1的交点组成的集合; (2)不大于10的非负奇数集; 故所求集合为{(2,1)}. (2)不大于10的非负奇数集为{1,3,5,7,9}. (3)由题可知4-x的值为1,2,3,6,从而可以得到x的值为3,2,1,-2, 所以A={-2,1,2,3}. 角度2用描述法表示集合 【例2】 用描述法表示下列集合: (1)函数y=-x的图象上的点组成的集合; (2)数轴上离原点的距离大于3的点组成的集合; (3)不等式x-2<3的解组成的集合. 解 (1){(x,y)|y=-x}. (2){(x)||x|>3}. (3)不等式x-2<3的解是x<5,则不等式x-2<3的解组成的集合用描述法表示为{x|x<5}. 规律方法　1.用描述法表示集合时应弄清楚集合的属性,即它是数集、点集还是其他的类型.一般地,数集用一个字母代表其元素,点集用一个有序实数对代表其元素. 2.若描述部分出现代表元素以外的字母,则要说明新字母含义或指出其取值范围. 变式训练2用描述法表示下列集合: (1)平面直角坐标系中x轴上的点组成的集合; (2)曲线y=x2-4上的点组成的集合; (3)使函数 有意义的实数x组成的集合. 解 (1){(x,y)|x∈R,y=0}. (2){(x,y)|y=x2-4}. (3){x|x≠1}. 以下是两位同学的答案,你认为哪一个正确?请说明理由. 学生甲:由 得x=0或x=1,故A={0,1}; 学生乙:问题转化为求直线y=x与抛物线y=x2的交点,得到A={(0,0),(1,1)}. 解 学生甲正确,学生乙错误.由于集合A的代表元素为x,这是一个数,而不是点.因此满足条件的元素只能为x=0,1;而不是实数对(0,0),(1,1),故学生甲正确. 变式探究若把例3中的集合改为 ,哪位同学解答正确? 解 代表元素是点, 所以这是点集,学生乙正确. 探究点二　集合表示方法的选择与转换 【例4】 [2024江西宜春开学检测]试选择适当的方法表示下列集合: (1)由方程x2-9=0的所有实数根组成的集合; (2)由小于8的所有素数组成的集合; (3)一次函数y=x+3与y=-2x+6的图象的交点组成的集合; (4)不等式4x-5<3的解集. 解 (1)∵方程x2-9=0的实数根为-3,3, ∴列举法表示该集合为{-3,3}. (2)∵小于8的素数为2,3,5,7, ∴列举法表示该集合为{2,3,5,7}. ∴列举法表示该集合为{(1,4)}. (4)解不等式4x-5<3,得x<2, ∴描述法表示该集合为{x|x<2}. 规律方法　表示集合时,应先根据题意确定符合条件的元素,再根据元素情况选择适当的表示方法.值得注意的是,并不是每一个集合都可以用两种方法表示出来. 变式训练3用另一种方法表示下列集合: (1){绝对值不大于2的整数}; (2){能被3整除,且小于10的正数}; (3){-3,-1,1,3,5}. 解 (1){-2,-1,0,1,2}. (2){3,6,9}. (3){x|x=2k-1,-1≤k≤3,k∈Z}. 探究点三　已知集合中元素个数求参数范围 【例5】 若集合A={x|kx2-8x+16=0}中只有1个元素,试求实数k的值,并用列举法表示集合A. 解 当k=0时,原方程为-8x+16=0,解得x=2. 此时集合A={2},满足题意. 当k≠0时,要使关于x的一元二次方程kx2-8x+16=0有两个相等实根,只需Δ=64-64k=0,即k=1. 此时方程的解为x1=x2=4,集合A={4},满足题意. 综上所述,实数k的值为0或1.当k=0时,A={2};当k=1时,A={4}. 变式探究1例5中,若集合A中含有2个元素,试求实数k的取值范围. 解得k<1,且k≠0.故k的取值范围为{k|k<1,且k≠0}. 变式探究2例5中,若集合A中至多有1个元素,试求实数k的取值范围. 解 ①当集合A中含有1个元素时,由例5知,k=0或k=1; ②当集合A中没有元素时,方程kx2-8x+16=0无解, 综上,实数k的取值范围为{k|k=0,或k≥1}. 规律方法　1.解答与描述法有关的问题时,明确集合中代表元素及其共同特征是解题的切入点及关键点. 2.本题因不能确定kx2-8x+16=0是否为一元二次方程,因而,需要分为k=0和k≠0两种情况进行讨论,从而做到不重不漏. 3.解答集合与含有参数的方程的综合问题时,一般要求对方程中最高次项的系数的取值进行分类讨论,确定方程的根的情况,进而求得结果.需特别关注判别式在讨论一元二次方程的实数根个数中的作用. 本节要点归纳 1.知识清单: (1)用列举法和描述法表示集合; (2)两种表示法的综合应用; (3)区间. 2.方法归纳:等价转化. 3.常见误区:点集与数集的区别. 学以致用·随堂检测促达标 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A 级 必备知识基础练 1. [探究点一]已知集合A={x|x(x+4)=0},则下列结论正确的是(　　) A.0∈A B.-4∉A C.4∈A D.2∈A A 解析 ∵A={x|x(x+4)=0}={0,-4},∴0∈A. 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 2.[探究点二]下列集合中,不同于另外三个集合的是(　　) A.{0} B.{y|y2=0} C.{x|x=0} D.{x=0} D 解析 由集合的含义知{0}={y|y2=0}={x|x=0},而集合{x=0}表示由方程x=0组成的集合,故选D. 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 AD 解析 由 得k=3x=4y,将各个选项中的数对代入验证,得A,D符合.故选AD. 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 4. [探究点一、三]设集合A={x|x2-3x+a=0},若4∈A,则a=　　　　　,此时集合A用列举法表示为　　　　　.  -4 {-1,4} 解析 ∵4∈A,∴16-12+a=0, ∴a=-4, ∴A={x|x2-3x-4=0}={-1,4}. 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 5.[探究点三]已知集合A={x|2x+a>0},且1∉A,则实数a的取值范围是　　　　　.  {a|a≤-2}　 解析 ∵1∉{x|2x+a>0},∴2×1+a≤0,即a≤-2. 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 6.[探究点二]用适当的方法表示下列集合: (1)一年中有31天的月份的全体; (2)大于-3.5小于12.8的整数的全体; (3)梯形的全体构成的集合; (4)所有能被3整除的数的集合; (5)方程(x-1)(x-2)=0的解集; (6)不等式2x-1>5的解集. 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 解 (1){1月,3月,5月,7月,8月,10月,12月}. (2){-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}. (3){a|a是梯形}或{梯形}. (4){x|x=3n,n∈Z}. (5){1,2}. (6){x|x>3}. 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 B 级 关键能力提升练 7.定义集合运算:A·B={z|z=x2(y-1),x∈A,y∈B}.设A={-1,1},B={0,2},则集合A·B中的所有元素之和为(　　) A.0 B.1 C.2 D.3 A 解析 当x=-1,y=0时,z=(-1)2×(0-1)=-1; 当x=-1,y=2时,z=(-1)2×(2-1)=1; 当x=1,y=0时,z=12×(0-1)=-1; 当x=1,y=2时,z=12×(2-1)=1. 所以A·B={-1,1}, 所以A·B中所有元素之和为0.故选A. 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 8.(多选题)下列关于集合的概念及表示正确的是(　　) A.集合{y|y=2x2+1}与集合{(x,y)|y=2x2+1}是同一个集合 C.集合M={(3,1)}与集合P={(1,3)}不是同一个集合 D.{x|x<-2且x>2}表示的是空集 CD 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 解析 对于选项A,集合{y|y=2x2+1}是数集,集合{(x,y)|y=2x2+1}是点集,不是同一个集合,所以A错误;对于选项B,因为 这些数组成的集合有3个元素,所以B错误;对于选项C,M={(3,1)},P={(1,3)}表示的不是同一个点,故集合M与集合P不是同一个集合,所以C正确;选项D显然正确.故选CD. 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 9.如图,用适当的方法表示阴影部分的点(含边界上的点)组成的集合M=  　.  10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10.对于任意两个正整数m,n,定义某种运算“※”如下:当m,n都为正偶数或都为正奇数时,m※n=m+n;当m,n中一个为正偶数,另一个为正奇数时, m※n=mn.则在此定义下,集合M={(a,b)|a※b=16}中的元素个数是　　　　　.  10 11 17 解析 因为1+15=16,2+14=16,3+13=16,4+12=16,5+11=16,6+10=16, 7+9=16,8+8=16,9+7=16,10+6=16,11+5=16,12+4=16,13+3=16,14+2=16,15+1=16,1×16=16,16×1=16,所以集合M中的元素共有17个. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 C 级 学科素养创新练 (1)试判断元素1和2与集合B的关系; (2)用列举法表示集合B. (2){(x,y)|}或{(1,4)}. (3)A={x∈Z|∈N}. 解 (1)由 y= 【例3】 集合A=可化简为什么? A= (3)联立解得 解 由题意得 即解得k>1. 3. [探究点二] (多选题)下列选项中是集合A=(x,y)x=,y=,k∈Z中的元素的是(　　) A. B. C.(3,4) D.(4,3) x=,y=, B.1,2,,0.5,这些数组成的集合有5个元素 =0.5,所以1,2,,0.5, {(x,y)|xy≥0,-2≤x,-1≤y} 11.设集合B=x∈N∈N. 解 (1)当x=1时,=2∈N,所以1∈B; 当x=2时,N,所以2∉B. (2)因为N,x∈N,所以2+x只能取2,3,6, 所以x只能取0,1,4,所以B={0,1,4}. $$