1.1.2 集合的基本关系课件-2024-2025学年高一上学期数学北师大版（2019）必修第一册

第一章　预备知识 1.2　集合的基本关系 北师大版 数学 必修第一册 基础落实·必备知识一遍过 重难探究·能力素养速提升 学以致用·随堂检测促达标 目录索引 课程标准 1.理解集合之间包含与相等的含义. 2.能识别给定集合的子集. 3.会判断两个集合间的基本关系. 基础落实·必备知识一遍过 知识点1　子集 1.Venn图 为了直观地表示集合间的关系,常用平面上封闭曲线的内部表示集合,称为Venn图. 2.子集 概念 一般地,对于两个集合A与B,如果集合A中的任何一个元素都属于集合B,即若a∈A,则a∈B.那么称集合A是集合B的子集 　　　 符号表示 　　　　　　　,读作“A包含于B”(或“B包含A”)  图形表示   性质 ①任何一个集合都是它本身的子集,即A⊆A. ②　　　　是任何集合的子集.也就是说,对于任意一个集合A,都有⌀⊆A.  ③对于集合A,B,C,如果A⊆B,且B⊆C,那么A⊆C 表示所有的意思 A⊆B(或B⊇A) 空集 名师点睛 1.表示集合的Venn图的边界是封闭曲线,它可以是圆、椭圆、矩形,也可以是其他封闭曲线. 2.用Venn图表示集合的优点是能够直观地表示集合之间的关系;缺点是集合元素的公共特征不明显. 思考辨析 1.子集定义中“任意一个元素”能否改为“某个或某些元素”?   2.符号“⊆”与符号“∈”有什么区别? 提示 不能.若集合A中存在某个元素,其不为集合B中的元素,则集合A不是集合B的子集. 提示 符号“⊆”表示集合与集合之间的包含关系,而符号 “∈”表示元素与集合之间的从属关系. 自主诊断 1.判断正误.(正确的画√,错误的画×) (1)1⊆{1,2,3}.(　　) (2)若A⊆B,B⊆C,则A⊆C.(　　) (3)任何一个集合都有子集.(　　) (4){0,1,2}⊆{2,0,1}.(　　) × √ √ √ 2.已知集合A={-2,3,6m-6},{6}⊆A,则m=　　　,集合A的子集有　　　个.  3.[人教A版教材习题]写出集合{a,b,c}的所有子集. 2 8 解析 ∵{6}⊆A,∴6m-6=6,∴m=2.集合A的子集有23=8个. 解 ⌀,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c}. 知识点2　集合相等 概念 对于两个集合A与B,如果集合A是集合B的子集,且集合B也是集合A的子集,那么称集合A与集合B相等 符号表示 若A⊆B,且B⊆A,则　　  图形表示   名师点睛 1.因为A⊆B,所以集合A中的元素都是集合B中的元素;又因为B⊆A,所以集合B中的元素也都是集合A中的元素,也就是说,集合A与B相等,则集合A与B中的元素是完全相同的. 2.证明或判断两个集合相等,只需证A⊆B与B⊆A同时成立即可. A=B 思考辨析 除了教材中集合相等的定义,你还能找出定义两个集合相等的描述吗? 提示 只要组成两个集合的元素是一样的,我们就称这两个集合是相等的. 自主诊断 1.判断正误.(正确的画√,错误的画×) (1)相等集合中的元素一定是有限的.(　　) (2){0}=⌀.(　　) (3)若集合A=B,则A⊆B且B⊆A.(　　) × × √ 2.若A={1,a,0},B={-1,b,1},且A=B,则a=　　　,b=　　　.  解析 由两个集合相等可知b=0,a=-1. -1 0 知识点3　真子集 概念 对于两个集合A与B,如果　　　　　　,且　　　　,那么称集合A是集合B的真子集  符号表示 A⫋B(或B⫌A),读作“A真包含于B”(或“B真包含A”) 图形表示   A⊆B 　A≠B 名师点睛 1.集合A是集合B的真子集,需要满足两个条件:①A⊆B; ②存在元素x,满足x∈B,且x∉A. 2.如果集合A是集合B的真子集,那么集合A一定是集合B的子集,集合B一定不是集合A的子集. 3.任意集合都一定有子集,但是不一定有真子集.空集没有真子集,一个集合的真子集个数比它的子集个数少1. 思考辨析 1.任何集合都有子集和真子集吗?     2.{0},⌀,{⌀}之间有什么区别?   提示 空集只有子集没有真子集. 提示 {0}是含有一个元素0的集合,⌀是不含任何元素的集合,而{⌀}是含有一个元素⌀的集合. 自主诊断 1.判断正误.(正确的画√,错误的画×) (1)空集是任何集合的真子集.(　　) (2)任何集合的真子集个数至少有1个.(　　) (3)若一个集合只有一个真子集,则这个集合是空集.(　　) × × × 2.[人教A版教材习题]指出下列各集合之间的关系,并用Venn图表示: A={x|x是四边形},B={x|x是平行四边形},C={x|x是矩形},D={x|x是正方形}. 解 (1)A⫋B.(2)B⫋A.(3)A=B. 重难探究·能力素养速提升 探究点一　写出给定集合的子集 【例1】 (1)写出集合{a,b,c,d}的所有子集,并指出其中哪些是它的真子集; 解 集合{a,b,c,d}所有的子集为: 不含任何元素的子集为⌀;含有一个元素的子集为{a},{b},{c},{d};含有两个元素的子集为{a,b},{a,c},{a,d},{b,c},{b,d},{c,d};含有三个元素的子集为{a,b,c},{a,b,d},{b,c,d},{a,c,d};含有四个元素的子集为{a,b,c,d}. 其中除去集合{a,b,c,d},剩下的都是{a,b,c,d}的真子集. (2)填写下表,并回答问题: 集合 集合的子集 子集的个数 ⌀     {a}     {a,b}     {a,b,c}     由此猜想:含n个元素的集合{a1,a2,…,an}的所有子集的个数是多少? ⌀ 1 ⌀,{a} 2 ⌀,{a},{b},{a,b} 4 ⌀,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c} 8 由此猜想:含n个元素的集合{a1,a2,…,an}的所有子集的个数是2n. 规律方法　1.分类讨论是写出所有子集的有效方法,一般按集合中元素个数的多少来划分,遵循由少到多的原则,做到不重不漏. 2.若集合A中有n个元素,则集合A有2n个子集,有(2n-1)个真子集,有(2n-1)个非空子集,有(2n-2)个非空真子集,该结论可在选择题或填空题中直接使用. ★变式训练1(1)[人教B版教材例题]写出集合A={6,7,8}的所有子集和真子集. 解 集合A的所有子集是⌀,{6},{7},{8},{6,7},{6,8},{7,8},{6,7,8}.在上述子集中,除去集合A本身,即{6,7,8},剩下的都是A的真子集. (2)已知集合M满足{1,2}⊆M⫋{1,2,5,6,7},试求符合条件的集合M. 解 根据子集的定义,可得集合M必定含有1,2两个元素,而且含有5,6,7中的至多两个元素,因此,满足条件{1,2}⊆M⫋{1,2,5,6,7}的集合M有{1,2},{1,2,5},{1,2,6},{1,2,7},{1,2,5,6},{1,2,5,7},{1,2,6,7}. 探究点二　集合之间关系的判断 【例2】 (1)已知集合A={x|1≤x<6},B={x|x+3≥4},则A与B的关系是(　　) A.A⫋B B.A=B C.B⫋A D.B⊆A A 解析 由题意知,B={x|x≥1},将A,B表示在数轴上,如图所示.由数轴可以看出,集合A中元素全部在集合B中,且B中至少存在一个元素不属于集合A,所以A⫋B. A⫋B 规律方法　集合间基本关系判定的两种方法和一个关键 ★变式训练2(1)已知集合A={x∈N|x2-2<0},则以下关系正确的是(　　) A.2∈A B.0∉A C.{0,1}⊆A D.{-1,1}=A C 解析 由题意得集合A={0,1}.2∉A,故A不正确;0∈A,故B不正确;{0,1}⊆A,故C正确;{-1,1}≠A,故D不正确,故选C. A⫋B=C ∵当a∈Z时,6a+1表示被6除余1的数;当b∈Z时,3b-2表示被3除余1的数;当c∈Z时,3c+1表示被3除余1的数,∴A⫋B=C. 探究点三　集合相等关系的应用 【例3】 已知集合A={2,x,y},B={2x,2,y2},且A=B,求实数x,y的值. 变式探究 若将本例已知条件改为“集合A={x,xy,x-y},集合B={0,|x|,y},且A=B”,求实数x,y的值. 解 ∵0∈B,A=B,∴0∈A. 又由集合中元素的互异性,可知|x|≠0,y≠0, ∴x≠0,xy≠0,故x-y=0,即x=y. 又|x|≠y,∴x<0,|x|=-x,∴A={x,x2,0},B={0,-x,x},∴x2=-x,解得x=-1或x=0(舍去),∴x=y=-1. 规律方法　集合相等则元素相同,但要注意集合中元素的互异性,防止错解. 探究点四　由集合间的关系求参数的范围 【例4】 已知集合A={x|-5<x<2},B={x|2a-3<x<a-2}. (1)若a=-1,试判断集合A,B之间是否存在包含关系; (2)若B⊆A,求实数a的取值范围. 解 (1)若a=-1,则B={x|-5<x<-3}. 如图在数轴上标出集合A,B. 由图可知,B⫋A. (2)当B=⌀时,2a-3≥a-2,解得a≥1. 当B≠⌀时,2a-3<a-2,解得a<1. 又因为a<1,所以实数a的取值范围为[-1,1). 综上,实数a的取值范围为[-1,+∞). 变式探究1例4(2)中,是否存在实数a,使得A⊆B?若存在,求出实数a的取值范围;若不存在,请说明理由. 解 不存在.因为A={x|-5<x<2},所以若A⊆B,则B一定不是空集. 变式探究2若集合A={x|x<-5,或x>2},B={x|2a-3<x<a-2},且B⊆A,求实数a的取值范围. 解①当B=⌀时,2a-3≥a-2,解得a≥1.显然成立. ②当B≠⌀时,2a-3<a-2,解得a<1. 由已知B⊆A,则2a-3≥2,或a-2≤-5, 解得 ,或a≤-3.又因为a<1,所以a≤-3. 综上,实数a的取值范围为{a|a≥1,或a≤-3}. 规律方法　由集合间的关系求参数的范围问题中的两点注意事项 (1)解此类问题通常借助数轴,利用数轴分析法,将各个集合在数轴上表示出来,以形定数,同时还要注意验证端点值,做到准确无误,一般含“=”用实心 点表示,不含“=”用空心圈表示. (2)涉及“A⊆B”或“A⫋B,且B≠⌀”的问题,一定要分A=⌀和A≠⌀两种情况进行讨论,其中A=⌀的情况容易被忽略,应引起重视. 本节要点归纳 1.知识清单: (1)子集、集合相等、真子集的概念; (2)集合间关系的判断,求子集、真子集的个数问题; (3)由集合间的关系求参数的值或范围. 2.方法归纳:数形结合、分类讨论. 3.常见误区:易忽略对集合是否为空集的讨论;求参数范围时,端点值能否取到容易出现误判. 学以致用·随堂检测促达标 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 A 级 必备知识基础练 1. [探究点二]已知集合A={x|x是平行四边形},B={x|x是矩形},C={x|x是正方形},D={x|x是菱形},则(　　) A.A⊆B B.C⊆B C.D⊆C D.A⊆D B 解析 正方形是邻边相等的矩形. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2.[探究点一]已知集合N={1,3,5},则集合N的真子集个数为(　　) A.5 B.6 C.7 D.8 C 解析 集合N中有3个元素,故集合N的真子集个数为23-1=7.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3. [探究点四]设集合A={-1,0,1},B={a,a2},则使B⊆A成立的实数a的值是(　) A.-1 B.0 C.1 D.-1或1 A 解析 由集合元素的互异性,得a≠a2,即a≠0,且a≠1. 又B⊆A,∴a=-1,a2=1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 4.[探究点三]集合A={2,-1},B={m2-m,-1},且A=B,则实数m=(　　) A.2 B.-1 C.2或-1 D.4 C 解析 ∵A=B,∴m2-m=2,即m2-m-2=0,∴m=2或m=-1.经检验,2或-1满足题意.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 5.[探究点一](多选题) 满足{0,2,4}⊆A⫋{0,1,2,3,4}的集合A可以为(　　) A.{0,2,4} B.{0,1,3,4} C.{0,1,2,4} D.{0,1,2,3,4} AC 解析 根据集合间的包含关系可知,A可以为{0,1,2,4},{0,2,3,4},{0,2,4}. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 6. [探究点四]已知集合A={x| =a},当A为非空集合时,实数a的取值范围是　　　　　.  [0,+∞) 解析 要使集合A为非空集合,则方程 =a有解,故只须a≥0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 7. [探究点一]集合{x∈N+|1<x<6}的非空真子集的个数为　　　　　.  14 解析 因为{x∈N+|1<x<6}={2,3,4,5},有4个元素, 所以其非空真子集的个数为24-2=14. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 B 级 关键能力提升练 8.(多选题)已知集合A={x|ax≤2},B={2, },若B⊆A,则实数a的值可能是 (　　) A.-1 B.1 C.-2 D.2 ABC 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 9.已知集合M={x|- <x< ,x∈Z},则下列集合是集合M的子集的是 (　　) A.P={-3,0,1} B.Q={-1,0,1,2} C.T={y|-π<y<-1,y∈Z} D.S={x||x|≤ ,x∈Z} D 解析 集合M={-2,-1,0,1},集合T={-3,-2},集合S={-1,0,1},不难发现集合P中的元素-3∉M,集合Q中的元素2∉M,集合T中的元素-3∉M,而集合S={-1,0,1}中的任意一个元素都在集合M中,所以S⊆M. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 10.已知集合A={x|x2-x=0},则集合A=　　　　　;若集合B满足{0}⫋B⊆A,则集合B=　　　　　.  {0,1} {0,1} 解析 由x2-x=0,得x=1或x=0,∴集合A={0,1}.∵集合B满足{0}⫋B⊆A,∴集合B={0,1}. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 A=B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 12.已知集合A={1,1+a,1+2a},B={1,b,b2},若A=B,求a,b的值. ①若b=1+a,b2=1+2a,则(1+a)2=1+2a,解得a=0. 则A中三个元素都是1,不符合集合元素的互异性,舍去. ②若b=1+2a,b2=1+a,则(1+2a)2=1+a, 即4a2+3a=0,解得a=0或a= 由①知a=0不成立, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 C 级 学科素养创新练 13.已知集合M={x|x2+2x-a=0}. (1)若⌀⫋M,求实数a的取值范围; (2)若N={x|x2+x=0}且M⊆N,求实数a的取值范围. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解 (1)由题意得,方程x2+2x-a=0有实数解, ∴Δ=4+4a≥0,得a≥-1,∴实数a的取值范围是{a|a≥-1}. (2)∵N={x|x2+x=0}={0,-1},且M⊆N, ∴当M=⌀时,Δ=4+4a<0,得a<-1; 当M≠⌀时,若Δ=0,则a=-1, 此时M={-1},满足M⊆N,符合题意; 若Δ>0,即a>-1, 综上,实数a的取值范围为{a|a≤-1}. ★(2)已知集合A=xx=k+,k∈Z,B=xx=,k∈Z,则A与B之间的关系是　　　　　.  解析 (方法一)对于集合A,取k=0,1,2,3,…,得A={,…}.对于集合B,取k=0,1,2,3,4,5,6,7,…,得B={0,,1,,2,,3,,…}.∴A⫋B. (方法二)将集合A中元素的表达式通分,得A={x|x=,k∈Z},B={x|x=,k∈Z}.2k+1(k∈Z)可以表示任何奇数,k可以表示任何整数.∴A⫋B. (2)已知集合A=xx=a+,a∈Z,B=xx=,b∈Z, C=xx=,c∈Z,则A,B,C之间的关系为　　　　　.  解析 集合A={x|x=a+,a∈Z}={x|x=,a∈Z}, 集合B={x|x=,b∈Z}={x|x=,b∈Z}, 集合C={x|x=,c∈Z}={x|x=,c∈Z}, 解 ∵A=B,∴集合A与集合B中的元素相同, 解得 验证得,当x=0,y=0时,与集合中元素的互异性相矛盾,舍去.故x,y的取值为 由已知B⊆A,则解得-1≤a≤4. 此时有显然实数a不存在. a 解析 因为B⊆A,所以2∈A,A, 即解得a≤1.满足题意的选项为ABC. 11.已知集合A=xx=(2k+1),k∈Z,B=xx=k±,k∈Z,则集合A,B之间的关系为　　　　　.  解析 对于集合A,当k=2n时,x=(4n+1)=,n∈Z,当k=2n-1时, x=(4n-2+1)=,n∈Z, 所以集合A={x|x=,n∈Z}. 由B={x|x=,k∈Z},可知A=B. 解 因为A=B,则 - 当a=-时,b=1+2a=-,此时A=B= 由题可知M={0,-1},则无解. $$