1.1.3 集合的基本运算（第1课时 交集与并集）课件-2024-2025学年高一上学期数学北师大版（2019）必修第一册

1.3　集合的基本运算 第1课时　交集与并集 第一章　预备知识 北师大版 数学 必修第一册 基础落实·必备知识一遍过 重难探究·能力素养速提升 学以致用·随堂检测促达标 目录索引 课程标准 1.理解两个集合的并集与交集的含义. 2.能求两个集合的并集与交集. 3.能使用Venn图表达集合的基本关系与基本运算,体会图形对理解抽象概念的作用. 基础落实·必备知识一遍过 知识点1　交集　　　　　　　　 缺一不可 概念 一般地,由既属于集合A又属于集合B的所有元素组成的集合,叫作集合A与B的交集,记作A∩B,读作“A交B” 符号表示 A∩B ={x|x∈A,　　　　x∈B}  图形表示   性质 对于任何集合A,B,有A∩B=B∩A,A∩B⊆A,A∩B⊆B,A∩A=A,A∩⌀=⌀ 且 名师点睛 求两个集合的交集,结果还是一个集合.当两个集合没有公共元素时,两个集合的交集是空集,而不能说两个集合没有交集. 思考辨析 1.A∩B是把集合A与集合B的部分元素组合在一起吗?   2.两个集合交集中的元素一定在两个集合中吗? 3.若两个集合A,B的交集是空集,则两个集合有什么特征? 提示 A∩B是把集合A,B中的公共元素组合在一起. 提示 当两个集合有公共元素时,两个集合交集中的元素一定在两个集合中;若两个集合没有公共元素,则两个集合的交集是空集. 提示 若两个集合A,B的交集是空集,则两个集合中至少有一个集合是空集或者两个集合不是空集,但是两个集合没有公共元素. 自主诊断 1.判断正误.(正确的画√,错误的画×) (1)集合A和集合B的公共元素组成的集合就是集合A与B的交集.(　　) (2)若A∩B=⌀,则A,B均为空集.(　　) × × 2.已知集合A={x|x=3n+2,n∈N},B={6,8,10,12,14},则集合A∩B中元素的个数为(　　)　 　　　　　　　　　　　　 A.5 B.4 C.3 D.2 D 知识点2　并集 概念 一般地,由　　　　属于集合A　　　　属于集合B的元素组成的集合,叫作集合A与B的并集,记作A∪B,读作“A并B”  符号表示 A∪B={x|x∈A,　　　x∈B}  图形表示   性质 对任何集合A,B,有∪B=B∪A,A⊆A∪B,B⊆A∪B,A∪A=A,A∪⌀=A 所有 或 或 名师点睛 并集符号语言中,“x∈A,或x∈B”包括下列三种情况:①x∈A,且x∉B;②x∉A,且x∈B;③x∈A,且x∈B.可用下图形象地表示. 思考辨析 1.A∪B是把A和B的所有元素组合在一起吗? 2.若两个集合的并集是空集,则这两个集合有什么特征? 提示 不一定,当两集合没有公共元素时,A∪B中的元素就是由集合A和集合B的所有元素组成,当两集合有公共元素时,由集合中元素的互异性可知,两集合的公共元素只出现一次. 提示 两个集合的并集是空集,则这两个集合都是空集. 自主诊断 1.判断正误.(正确的画√,错误的画×) (1){1,2,3,4}∪{0,2,3}={1,2,3,4,0,2,3}.(　　) (2)若x∈A∩B,则x∈A∪B.(　　) (3)若A,B中分别有3个元素,则A∪B中最多有6个元素.(　　) × √ √ 2.[2024哈尔滨高一期末]已知集合A={x|x<1},B={x|-1≤x≤1},则A∪B=(　　) A.{x|-1<x<1} B.{x|-1≤x≤1} C.{x|-1≤x<1} D.{x|x≤1} D 解析 ∵A={x|x<1},B={x|-1≤x≤1},∴A∪B={x|x≤1}. 3.[人教A版教材习题]设A={x|x是等腰三角形},B={x|x是直角三角形},求A∩B,A∪B. 解 A∩B={x|x是等腰直角三角形};A∪B={x|x是等腰三角形或直角三角形}. 重难探究·能力素养速提升 探究点一　集合的交集与并集运算 角度1并集运算 【例1】 (1)设集合A={x|x2-2x-3=0},B={x|x2-4x+3=0},则A∪B=(　　) A.{1} B.{1,3} C.{-1,1,3} D.{-1,1} C 解析 A={-1,3},B={1,3},A∪B={-1,1,3}. (2)已知集合A={x|x<2},B={x≥1},则A∪B=(　　) A.{x|x<2} B.{x|1≤x<2} C.{x|x≥1} D.R D 解析 在数轴上表示出集合A,B,则A∪B=R. 变式训练1(1)[2024内蒙古赤峰高一期末]已知集合A={x∈N|x≤2},B={2,3},则A∪B=(　　) A.{x|x≤3} B.{1,2,3} C.{2,3} D.{0,1,2,3} D 解析 集合A={x∈N|x≤2}={0,1,2},B={2,3},所以A∪B={0,1,2,3}. ★(2)已知集合P={x|-1<x<3},Q={x|0<x<1},则P∪Q=(　　) A.{x|0<x<1} B.{x|-1<x<3} C.{x|-1<x<0,或1<x<3} D.⌀ B 解析 ∵P={x|-1<x<3},Q={x|0<x<1},∴P∪Q={x|-1<x<3}.故选B. 角度2交集运算 【例2】 (1)已知集合A={1,3,5,7},B={2,3,4,5},则A∩B=(　　) A.{3} B.{5} C.{3,5} D.{1,2,3,4,5,7} C 解析 直接由交集定义可得A∩B={3,5}. (2)设集合M={x|-3<x<2},N={x|1≤x≤3},则M∩N=(　　) A.[1,2) B.[1,2] C.(2,3] D.[2,3] A 解析 在数轴上表示出集合M,N,如图: ∴M∩N={x|1≤x<2}. 规律方法　求两个集合交集、并集的方法技巧 当求两个集合的并集、交集时,对于用描述法给出的集合,首先明确集合中的元素,其次将两个集合化为最简形式;对于连续的数集常借助于数轴写出结果,此时要注意数轴上方所有“线”下面的实数组成了并集,数轴上方“双线”(即公共部分)下面的实数组成了交集,此时要注意当端点不在集合中时,应用空心圈表示;对于用列举法给出的集合,则依据并集、交集的含义,可直接观察或借助于Venn图写出结果. 变式训练2(1)[2024浙江绍兴高一期末]已知集合A={-2,0,1,3},B={-1,1,3},则A∩B=(　　) A.{-2,-1,0,1,3} B.{-1,1,3} C.{1,3} D.{-2,1} C 解析 因为A={-2,0,1,3},B={-1,1,3},所以A∩B={1,3}. ★(2)[2024陕西西安高一阶段检测]已知集合A={x|x>1},B={x|x<5},则A∩B=(　　) A.R B.{x|1<x<5} C.{x|x>5} D.{x|x<1} B 解析∵A={x|x>1},B={x|x<5},∴A∩B={x|1<x<5}. 探究点二　已知集合的交集、并集求参数 【例3】 已知a∈R,集合A={-4,2a-1,a2},B={a-5,1-a,9}.若9∈A∩B,则实数a的值为　　　　　.  5或-3 解析 ∵9∈A∩B,∴9∈A,且9∈B, ∴2a-1=9或a2=9,解得a=5或a=±3. 当a=5时,A={-4,9,25},B={0,-4,9},符合题意; 当a=3时,A={-4,5,9},B={-2,-2,9},集合B不满足集合中元素的互异性,故a≠3; 当a=-3时,A={-4,-7,9},B={-8,4,9},符合题意. 综上可得实数a的值为5或-3. 变式探究例3中,将“9∈A∩B”改为“A∩B={9}”,其余条件不变,求实数a的值及A∪B. 解 ∵A∩B={9},∴9∈A. ∴2a-1=9或a2=9,解得a=5或a=±3. 当a=5时,A={-4,9,25},B={0,-4,9}, 由于A∩B={-4,9},不符合题意,故a≠5; 当a=3时,A={-4,5,9},B={-2,-2,9},集合B不满足集合中元素的互异性,故a≠3; 当a=-3时,A={-4,-7,9},B={-8,4,9},且A∩B={9},符合题意. 综上可得a=-3.此时A∪B={-8,-4,-7,4,9}. 规律方法　已知两个有限集运算结果求参数值的方法 对于这类已知两个有限集的运算结果求参数值的问题,一般先用观察法得到不同集合中元素之间的关系,再列方程求解.另外,在处理有关含参数的集合问题时,要注意对求解结果进行检验,检验求解结果是否满足集合中元素的有关特性,尤其是互异性. 【例4】 集合A={x|-1<x<1},B={x|x<a}. (1)若A∩B=⌀,求实数a的取值范围; (2)若A∪B={x|x<1},求实数a的取值范围. 解 (1)A={x|-1<x<1},B={x|x<a},且A∩B=⌀,在数轴上表示出集合A,B,如图所示, ∴数轴上点x=a在点x=-1左侧,且包含点x=-1, ∴a的取值范围为(-∞,-1]. (2)A={x|-1<x<1},B={x|x<a},且A∪B={x|x<1}, 在数轴上表示出集合A,B,如图所示, ∴数轴上点x=a在点x=-1和点x=1之间,不包含点x=-1,但包含点x=1.∴a的取值范围为(-1,1]. 变式探究例4(1)中,把“A∩B=⌀”改为“A∩B≠⌀”,求a的取值范围. 解 利用数轴表示出两个集合(图略),可知要使A∩B≠⌀,需数轴上点x=a在点x=-1右侧且不包含点x=-1,所以a的取值范围为(-1,+∞). 规律方法　已知集合运算求参数的思路 此类问题常借助数轴解决,首先根据集合间的关系画出数轴,然后根据数轴列出关于参数的不等式(组)求解,特别要注意端点值的取舍.当集合的元素能一一列举时,常借助集合的关系列关于参数的方程(组)求解,但求解后要代入检验是否符合题意. 探究点三　集合的交集、并集性质的应用 【例5】 设集合M={x|-2<x<5},N={x|2-t<x<2t+1,t∈R}.若M∪N=M,则实数t的取值范围为　　　　　.  (-∞,2] 变式训练3[2024陕西宝鸡高一期末]已知集合A={x|2a-1<x<a+1}, B={x|-1≤x≤2}. (1)若a=-1,求A∪B; (2)若A∩B=A,求实数a的取值范围. 解 (1)因为当a=-1时,A={x|-3<x<0},B={x|-1≤x≤2},所以A∪B={x|-3<x≤2}. (2)因为A∩B=A,所以A⊆B. 当A=⌀,即2a-1≥a+1,即a≥2时,满足题意; 所以0≤a≤1. 综上,实数a的取值范围为{x|0≤x≤1或x≥2}. 【例6】 设集合A={x|x2-2x=0},B={x|x2-2ax+a2-a=0,a∈R}. (1)若A∩B=B,求a的取值范围; (2)若A∪B=B,求a的值. 解 由x2-2x=0,得x=0或x=2.∴A={0,2}. (1)∵A∩B=B,∴B⊆A,∴B=⌀或{0}或{2}或{0,2}. 当B=⌀时,Δ=4a2-4(a2-a)=4a<0,∴a<0; 综上所述,a的取值范围是{a|a=1,或a≤0}. (2)∵A∪B=B,∴A⊆B.∵A={0,2},而B中方程至多有两个根, ∴A=B,由(1)知a=1. 规律方法　利用交集、并集运算求参数的思路 思路一:涉及A∩B=B或A∪B=A的问题,可利用集合的运算性质,转化为集合之间的关系求解,要注意空集的特殊性 思路二:将集合中的运算关系转化为两个集合之间的关系.若集合中的元素能一一列举,则可用观察法得到不同集合中元素之间的关系,要注意集合中元素的互异性;与不等式有关的集合,则可利用数轴得到不同集合之间的关系 变式训练4已知集合M={x|2x-4=0},集合N={x|x2-3x+m=0}, (1)当m=2时,求M∩N,M∪N; (2)当M∩N=M时,求实数m的值. 解 (1)由题意得M={2}. 当m=2时,N={x|x2-3x+2=0}={1,2}, ∴M∩N={2},M∪N={1,2}. (2)∵M∩N=M,∴M⊆N. ∵M={2},∴2∈N,∴2是关于x的方程x2-3x+m=0的解,即4-6+m=0,解得m=2. 本节要点归纳 1.知识清单: (1)交集、并集的概念及运算; (2)交集、并集的性质; (3)由交集、并集的关系式求参数值或范围. 2.方法归纳:数形结合、分类讨论. 3.常见误区:由交集、并集的关系求解参数时漏掉对集合为空集的讨论;求解参数后,易忽视代入原集合进行检验这一步骤. 学以致用·随堂检测促达标 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 A 级 必备知识基础练 1.[探究点一]A,B是两个集合,则集合{x|x∈A,且x∈B}可用阴影表示为(　　) 12 D 解析 集合{x|x∈A,且x∈B}=A∩B,故D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 2. [探究点一](多选题) 已知集合A={2,3,4},集合A∪B={1,2,3,4,5},则集合B可以为(　　) A.{1,2,5} B.{2,3,5} C.{0,1,5} D.{1,2,3,4,5} AD 解析 由题意知集合B中必有元素1和5,且有元素2,3,4中的0个、1个、2个或3个.A,D符合. 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 3.[探究点一·2024福建福州高一阶段检测]若集合A={x|-2<x<1},B={x|x<-1或x>3},则A∩B=(　　) A.{x|-2<x<-1} B.{x|-2<x<3} C.{x|-1<x<1} D.{x|1<x<3} 12 A 解析 ∵A={x|-2<x<1},B={x|x<-1或x>3}, ∴A∩B={x|-2<x<-1}.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 4. [探究点一]设集合A={1,2,3,4},B={-1,0,2,3},C={x∈R|-1≤x<2},则(A∪B)∩C=(　　) A.{-1,1} B.{0,1} C.{-1,0,1} D.{2,3,4} C 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 5. [探究点一]已知集合A={x|2≤x<4},B={x|y= },则A∪B=(　　) A.[3,+∞) B.[3,4) C.[3,4] D.[2,+∞) D 解析 A={x|2≤x<4},B={x|y= }={x|x≥3},则A∪B={x|x≥2}. 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 6. [探究点二]已知集合A={x|x<1,或x>5},B={x|a≤x≤b},且A∪B=R,A∩B={x|5<x≤6},则2a-b=　　　　　.  -4 解析 如图,可知a=1,b=6,∴2a-b=-4. 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 7.[探究点二]集合A={0,2,a},B={1,a2},若A∪B={0,1,2,4,16},则a=　　　　　.  12 4 解析 ∵A={0,2,a},B={1,a2},∴A∪B={0,1,2,a,a2}. 又A∪B={0,1,2,4,16},∴a=4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 8.[探究点三·2024江西上饶高一期末]已知集合A={x|-2<x<1}, B={x|2m-1<x<m+1}. (1)若m=-1,求A∩B; (2)若A∪B=A,求m的取值范围. 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解 (1)当m=-1时,B={x|-3<x<0}, 故A∩B={x|-2<x<0}. (2)因为A∪B=A,所以B⊆A. 当B=⌀时,2m-1≥m+1,解得m≥2; 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 A.5 B.6 C.7 D.8 C B 级 关键能力提升练 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 10.设A,B是非空集合,定义A*B={x|x∈A∪B且x∉A∩B},已知A={x|0≤x≤3},B={x|x≥1},则A*B等于(　　) A.{x|1≤x<3} B.{x|1≤x≤3} C.{x|0≤x<1或x>3} D.{x|0≤x≤1或x≥3} 12 C 解析 由题意知A∪B={x|x≥0},A∩B={x|1≤x≤3},所以A*B={x|0≤x<1或x>3}. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 11.设集合A={x|x2-3x+2=0},B={x|x2+2(a-1)x+(a2-5)=0}. (1)若A∩B={2},求实数a的值; (2)若A∪B=A,求实数a的取值范围.   解 (1)由题可知A={x|x2-3x+2=0}={1,2}. ∵A∩B={2},∴2∈B,1∉B,∴4+4(a-1)+(a2-5)=0,1+2(a-1)+(a2-5)≠0, 解得a=-5或a=1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (2)由(1)可知A={1,2}. 若A∪B=A,则B⊆A. 若B=⌀,则Δ=4(a-1)2-4(a2-5)=24-8a<0,解得a>3; 综上,a的取值范围是{a|a>3}. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 C 级 学科素养创新练 12.某班有36名同学参加数学、物理、化学竞赛小组,每名同学至多参加两个小组,已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26,15,13,同时参加数学和物理小组的有6人,同时参加物理和化学小组的有4人,则只参加物理小组的有　　　　人,同时参加数学和化学小组的有　　　　人.  5 8 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析 由条件知,每名同学至多参加两个小组,故不可能出现一名同学同时参加数学、物理、化学小组. 因为同时参加数学和物理小组的有6人,同时参加物理和化学小组的有4人,所以只参加物理小组的有15-6-4=5(人). 设同时参加数学和化学小组的人数为x, 则只参加数学小组的人数为26-6-x=20-x, 只参加化学小组的人数为13-4-x=9-x. 又总人数为36,所以20-x+x+6+4+5+9-x=36, 解得x=8,即同时参加数学和化学小组的有8人. 解析 由M∪N=M得N⊆M,当N=⌀时,2t+1≤2-t,即t,此时M∪N=M成立. 当N≠⌀时,由数轴可得解得<t≤2. 综上可知,实数t的取值范围是(-∞,2]. 当A≠⌀,即a<2时,因为A⊆B,所以 当B={0}时,a=0; 当B={2}时,无解; 当B={0,2}时,得a=1. 当B≠⌀时,解得-m≤0. 综上所述,m的取值范围为{m|m≥2或-m≤0}. 9.定义集合的商集运算为=xx=,m∈A,n∈B,已知集合S={2,4,6}, T=xx=-1,k∈S,则集合∪T中的元素个数为(　　) 解析 ∵S={2,4,6},∴T={x|x=-1,k∈S}={0,1,2},={0,,1}, T={0,,1,2}.∴集合T中元素的个数为7. 若B={1},则无解; 若B={2},则无解; 若B={1,2},则无解. $$