1.1.3 集合的基本运算（第2课时 全集与补集）课件-2024-2025学年高一上学期数学北师大版（2019）必修第一册

1.3　集合的基本运算 第2课时　全集与补集 第一章　预备知识 北师大版 数学 必修第一册 基础落实·必备知识一遍过 重难探究·能力素养速提升 学以致用·随堂检测促达标 目录索引 课程标准 1.在具体情境中,了解全集的含义. 2.理解在给定集合中一个子集的补集的含义,能求给定子集的补集. 3.能够解决交集、并集、补集的综合运算问题. 基础落实·必备知识一遍过 知识点　全集与补集 1.全集 在研究某些集合的时候,它们往往是某个给定集合的子集,这个给定的集合叫作全集,常用符号U表示.全集包含所要研究的这些集合. 2.补集 概念 设U是全集,A是U的一个子集(即A⊆U),则由U中所有不属于A的元素组成的集合,叫作U中子集A的补集,记作∁UA 符号表示 ∁UA={x|x∈U,且x∉A} 图形表示   性质 对任何集合A,有A∪(∁UA)=　　　,A∩(∁UA)=　　,∁U(∁UA)=　　  U ⌀ A 名师点睛 1.全集不是固定不变的,它是一个相对概念,是依据具体问题来选择的. 2.补集是相对于全集而言的,它与全集不可分割.一方面,若没有定义全集,则不存在补集的说法;另一方面,补集的元素一定都能在全集中找到. 3.补集既是集合之间的一种关系,也是集合之间的一种运算.求集合A的补集的前提是A为全集U的子集,随着所选全集的不同,得到的补集也是不同的. 4.符号∁UA有三层意思:①A是U的一个子集,即A⊆U;②∁UA表示一个集合,且∁UA⊆U;③∁UA是由U中不属于A的所有元素组成的集合,即∁UA={x|x∈U,且x∉A}. 5.若x∈U,则x∈A或x∈∁UA,二者必居其一. 思考辨析 1.全集一定包含任何元素吗? 2.一个确定集合的补集唯一吗? 3.一个集合A的补集中的元素具有什么特征? 提示 不一定.全集不是固定的,它是相对而言的.只要包含所研究问题中涉及的所有元素即可. 提示 由于补集是相对于某一个全集的补集,因此对于一个确定的集合来说,全集不同时,该集合的补集也不相同. 提示 一个集合A的补集它包含两个方面:一是该集合是全集的子集,二是该集合中的元素属于全集,但是不属于集合A. 自主诊断 1.判断正误.(正确的画√,错误的画×) (1)设集合U={1,2,3,4,5},A={1,2},B={2,3,4},则∁U(A∪B)={5}.(　　) (2)同一个集合在不同的全集中的补集不同.(　　) (3)不同的集合在同一个全集中的补集可能相同.(　　) √ √ × 2.若全集U=R,集合A={x|x≥1},则∁UA=　　　　　.  {x|x<1} 解析 由补集的定义可得∁UA={x|x<1}. 3.[2024浙江温州高一阶段检测]已知全集U={2,3,a2+2a+2},集合A={2,3}, ∁UA={5},则实数a的值为　　　　.  1或-3 解析 由题可得a2+2a+2=5,解得a=1或a=-3, 所以实数a的值为1或-3. 4.[人教A版教材例题]设全集U={x|x是三角形},A={x|x是锐角三角形},B={x|x是钝角三角形},求A∩B,∁U(A∪B). 解 根据三角形的分类可知A∩B=⌀,A∪B={x|x是锐角三角形或钝角三角形},∁U(A∪B)={x|x是直角三角形}. 5.[人教A版教材习题]图中U是全集,A,B是U的两个子集,用阴影表示: (1)(∁UA)∩(∁UB);(2)(∁UA)∪(∁UB). (1) (2) 解 如图所示. (1) (2) 重难探究·能力素养速提升 探究点一　补集的基本运算 【例1】 (1)已知全集为U,集合A={1,3,5,7},∁UA={2,4,6},∁UB={1,4,6},则集合B=　　　　　　　　.  {2,3,5,7} 解析(方法一)∵A={1,3,5,7},∁UA={2,4,6}, ∴U={1,2,3,4,5,6,7}. 又∁UB={1,4,6},∴B={2,3,5,7}. (方法二)满足题意的Venn图如图所示. 由图可知B={2,3,5,7}. (2)已知全集U={x|x≤5},集合A={x|-3≤x<5},则∁UA=　　　　　　　　.  {x|x<-3,或x=5} 解析将全集U和集合A分别表示在数轴上,如图所示. 由补集的定义可知∁UA={x|x<-3,或x=5}. 规律方法　求集合的补集的方法 变式训练1(1)[2024河南开封高一月考](多选题)已知全集U=Z,集合A={x∈Z|2x+1≥0},B={-1,0,1,2},则(　　) A.A∩B={0,1,2} B.A∪B={x|x≥0} C.(∁UA)∩B={-1} D.A∩B的真子集个数是7 ACD ★(2)已知全集为U,集合A={x|-3≤x<5},∁UA={x|x≥5},B={x|1<x<3}, 求∁UB. 解 由已知U={x|-3≤x<5}∪{x|x≥5}={x|x≥-3},又B={x|1<x<3}, 所以∁UB={x|-3≤x≤1或x≥3}. 探究点二　交集、并集与补集的混合运算 【例2】 (1)已知全集U={x∈Z|0<x<8},集合M={2,3,5},N={x|x2-8x+12=0},则集合{1,4,7}为(　　) A.M∩(∁UN) B.∁U(M∩N) C.∁U(M∪N) D.(∁UM)∩N C 解析 ∵全集U={x∈Z|0<x<8}={1,2,3,4,5,6,7},M={2,3,5},N={x|x2-8x+12=0}={2,6}.∴M∩(∁UN)={3,5},∁U(M∩N)={1,3,4,5,6,7},∁U(M∪N)={1,4,7},(∁UM)∩N={6}.故选C. (2)已知全集U={x|-5≤x≤3},A={x|-5≤x<-1},B={x|-1≤x<1},求(∁UA)∩(∁UB). 解 将集合U,A,B分别表示在数轴上,如图所示, 则∁UA={x|-1≤x≤3}, ∁UB={x|-5≤x<-1,或1≤x≤3}, 所以(∁UA)∩(∁UB)={x|1≤x≤3}. 规律方法　求集合的交、并、补集运算的方法 变式训练2(1)如果全集U=R,M={x|-1<x≤2},N={1,3,5},则M∩(∁UN)=(　　) A.(-1,1)∪(1,2)　　　B.(-1,2) C.(-1,1)∪(1,2] D.(-1,2] C 解析 ∁UN={x|x≠1,且x≠3,且x≠5}, ∴M∩(∁UN)=(-1,1)∪(1,2]. (2)已知全集为R,A={x|3≤x<7},B={x|2<x<10},求∁R(A∪B)及(∁RA)∩B. 解 把集合A,B在数轴上表示如图. 由图知,A∪B={x|2<x<10}, ∴∁R(A∪B)={x|x≤2,或x≥10}. ∵∁RA={x|x<3,或x≥7}, ∴(∁RA)∩B={x|2<x<3,或7≤x<10}. 探究点三　补集性质的应用 【例3】 已知全集为R,集合A={x|x<a},B={x|1<x<2},且A∪(∁RB)=R,则实数a的取值范围是　　　　　.  [2,+∞) 解析 ∵B={x|1<x<2}, ∴∁RB={x|x≤1,或x≥2}. 又A={x|x<a},且A∪(∁RB)=R,利用如图所示的数轴可得a≥2. 规律方法　由含补集的运算求参数的取值范围时,常根据补集的定义及集合之间的关系,并借助于数轴列出参数应满足的关系式求解,具体操作时要注意端点值的取舍. 变式训练3已知集合A={x|x2+ax+12b=0}和B={x|x2-ax+b=0},满足B∩(∁UA)={2},A∩(∁UB)={4},U=R,求实数a,b的值. 解 ∵B∩(∁UA)={2},∴2∈B,但2∉A. ∵A∩(∁UB)={4},∴4∈A,但4∉B. 探究点四　补集思想的应用 【例4】 已知集合A={x|0≤x≤2},B={x|a≤x≤a+3}. (1)若(∁RA)∪B≠R,求实数a的取值范围; (2)若A∩B≠A,求实数a的取值范围. 解 (1)∵A={x|0≤x≤2}, ∴∁RA=|x|x<0,或x>2}. 假设(∁RA)∪B=R,如图所示. ∴a≤0,且a+3≥2,即a≤0,且a≥-1,∴满足(∁RA)∪B≠R的实数a的取值范围是{a|a<-1,或a>0}. (2)假设A∩B=A,则A⊆B,又A≠⌀, ∴满足A∩B≠A的实数a的取值范围为{a|a<-1,或a>0}. 规律方法　有些数学问题,若直接从正面解决,若解题思路不明朗,或需要考虑的因素太多,可用补集思想考虑其对立面,即从结论的反面去思考,探索已知和未知之间的关系,从而化繁为简,化难为易,开拓解题思路,这就是补集思想的应用. (1)运用补集思想求参数范围的方法: ①否定已知条件考虑反面问题; ②求解反面问题对应的参数范围; ③将反面问题对应的参数范围取补集,得到原问题的解. (2)补集思想适用的情况:从正面考虑情况较多、问题较复杂的时候,往往考虑运用补集思想. 变式训练4已知集合A={x|x<-6,或x>3},B={x|k-1≤x-1≤k},若A∩B≠⌀,求k的取值范围. 解 由已知可得B={x|k≤x≤k+1}, 令P={k|-6≤k≤2},则∁RP={k|k<-6,或k>2}, 所以满足A∩B≠⌀的k的取值范围是{k|k<-6,或k>2}. 本节要点归纳 1.知识清单: (1)全集和补集的概念及运算; (2)并、交、补集的混合运算; (3)与补集有关的参数的求解. 2.方法归纳:正难则反的补集思想、数形结合. 3.常见误区:求补集时忽视全集,运算时易忽视端点的取舍. 学以致用·随堂检测促达标 1 2 3 4 5 1.已知全集U={-1,0,1,3,6},A={0,6},则∁UA=(　　) A.{-1,3} B.{-1,1,3} C.{0,1,3} D.{0,3,6} B 解析 ∵全集U={-1,0,1,3,6},A={0,6}, ∴∁UA={-1,1,3}. 1 2 3 4 5 2.(多选题)已知全集U=R,集合A={x|1≤x≤3,或4<x<6},集合B={x|2≤x<5},下列集合运算正确的是(　　) A.∁UA={x|x<1,或3<x<4,或x>6} B.∁UB={x|x<2,或x≥5} C.A∩(∁UB)={x|1≤x<2,或5≤x<6} D.(∁UA)∪B={x|x<1,或2≤x<5,或x>6} BC 解析 在数轴上表示出集合A,B,如图, ∁UA={x|x<1,或3<x≤4,或x≥6},故A错误; ∁UB={x|x<2,或x≥5},故B正确;A∩(∁UB)={x|1≤x<2,或5≤x<6},故C正确; (∁UA)∪B={x|x<1,或2≤x<5,或x≥6},故D错误.故选BC. 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 3.[2024江苏南通期中]已知全集U和集合A,B如图所示,则(∁UA)∩B=　　　　.  {5,6} 解析 由题中的Venn图知(∁UA)∩B={5,6}. 1 2 3 4 5 4.已知全集U=R,A={x|1≤x<b},∁UA={x|x<1,或x≥2},则实数b=　　　　　.  2 解析 ∵∁UA={x|x<1,或x≥2}, ∴A={x|1≤x<2}.∴b=2. 1 2 3 4 5 5.已知全集U=R,A={x|-4≤x<2},B={x|-1<x≤3}, 求A∩B,(∁UB)∪P,(A∩B)∩(∁UP). 解 将集合A,B,P分别表示在数轴上,如图所示. ∵A={x|-4≤x<2},B={x|-1<x≤3}, ∴A∩B={x|-1<x<2},∁UB={x|x≤-1,或x>3}. 1 2 3 4 5 解析 集合A={x∈Z|2x+1≥0}=x∈Zx≥-,B={-1,0,1,2},所以A∩B={0,1,2},故选项A正确;A∪B={x∈Z|x≥-1},故选项B错误;∁UA=x∈Zx<-,所以(∁UA)∩B={-1},故选项C正确;因为A∩B={0,1,2},所以A∩B的真子集个数为23-1=7,故选项D正确.故选ACD. 解得 ∴a,b的值分别为,- 则得-1≤a≤0, 假设A∩B=⌀,则解得-6≤k≤2. P=, 又P=, ∴(∁UB)∪P=, ∁UP=, ∴(A∩B)∩(∁UP)={x|-1<x<2}∩{x|0<x<}={x|0<x<2}. $$