1.2.2 全称量词与存在量词课件-2024-2025学年高一上学期数学北师大版（2019）必修第一册

2.2　全称量词与存在量词 第一章　预备知识 北师大版 数学 必修第一册 基础落实·必备知识一遍过 重难探究·能力素养速提升 学以致用·随堂检测促达标 目录索引 课程标准 1.通过已知的数学实例,理解全称量词与存在量词的定义. 2.掌握判断全称量词命题与存在量词命题. 3.能正确使用存在量词对全称量词命题进行否定;能正确使用全称量词对存在量词命题进行否定. 基础落实·必备知识一遍过 知识点1　全称量词与全称量词命题 1.全称量词: 在命题中,诸如“所有”“每一个”“任意”“任何”“一切”这样的词叫作全称量词,用符号“　　”表示,读作“对任意的”.  2.全称量词命题: 在给定集合中,断言　　　　　都具有同一种性质的命题叫作全称量词命题.全称量词命题“对M中任意的x,有p(x)成立”可用符号简记为“∀x∈M,p(x)”.其中M是给定的集合,p(x)是一个关于x的语句.  ∀ 所有元素 名师点睛 1.全称量词命题表示的数量可能是无限的,也可能是有限的,由题目而定. 2.一个全称量词命题可以包含多个变量,如“∀x,y∈R,x2+y2≥0”. 3.有时全称量词是省略的,理解时需要把它补充出来.如:“正方形是矩形”应理解为“所有的正方形是矩形”. 思考辨析 1.常见的全称量词还有哪些?   2.命题“自然数是正整数”是全称量词命题吗?它的量词是什么? 提示 常见的全称量词还有“任给”“凡是”等. 提示 是全称量词命题.它的量词是“所有的”(“每一个”等),即所有的自然数都是正整数. 自主诊断 1.判断正误.(正确的画√,错误的画×) (1)全称量词命题是陈述某集合中所有元素都具有某种性质的命题.(　　) (2)全称量词命题一定含有全称量词.(　　) (3)“所有的素数都是奇数”是全称量词命题.(　　) (4)“至少有一个三角形没有外接圆”是全称量词命题.(　　) √ × √ × 2.用符号“∀”表示命题:自然数的平方大于或等于零. 解 ∀n∈N,n2≥0. 3.[人教A版教材例题]判断下列全称量词命题的真假: (1)所有的素数都是奇数; (2)∀x∈R,|x|+1≥1; (3)对任意一个无理数x,x2也是无理数. 解 (1)2是素数,但2不是奇数,所以,全称量词命题“所有的素数是奇数”是假命题. (2)∀x∈R,总有|x|≥0,因而|x|+1≥1,所以,全称量词命题“∀x∈R,|x|+1≥1”是真命题. (3) 是无理数,但( )2=2是有理数,所以,全称量词命题“对每一个无理数x,x2也是无理数”是假命题. 知识点2　存在量词与存在量词命题 1.存在量词 在命题中,诸如“有些”“有一个”“存在”这样的词叫作存在量词,用符号“∃”表示,读作“存在”. 2.存在量词命题　 　　　至少有一个元素  在给定集合中,断言某些元素具有一种性质的命题叫作存在量词命题.存在量词命题“存在M中的一个x,使p(x)成立”可用符号简记为“∃x∈M,p(x)”.其中M是给定的集合,p(x)是一个关于x的语句. 名师点睛 1.含有存在量词的命题,不管包含的程度多大,都是存在量词命题. 2.一个存在量词命题可以包含多个变量,如“∃a,b∈R,(a+b)2=(a-b)2”. 3.有些命题中虽然没有写出存在量词,但其意义具备“存在”“有一个”等特征的命题都是存在量词命题. 思考辨析 1.给出下列命题:①有些矩形不是平行四边形;②存在一个x∈R,使得x2≤0;③至少有一个菱形的对角线不垂直;④有的自然数不是正整数. 上述命题中的“有些”“存在一个”“至少有一个”“有的”都表示什么含义?如何定义这类命题? 提示 这些短语在陈述中表示所述事物的个体或部分,称为存在量词.含有存在量词的命题,叫做存在量词命题. 2.常见的存在量词还有哪些? 提示 常见的存在量词还有“有的”“对某些”等. 自主诊断 1.判断正误.(正确的画√,错误的画×) (1)存在量词命题是陈述某集合中存在一个或部分元素具有某种性质的 命题.(　　) (2)“在实数集内,有些一元二次方程无解”是存在量词命题.(　　) (3)全称量词的含义是“任意性”,存在量词的含义是“存在性”.(　　) (4)“一元二次方程ax2+2x+1=0有实数解”是存在量词命题.(　　) √ √ √ √ 2.用符号“∃”表示下列命题: (1)存在一个实数对(x,y),使2x+3y+3<0成立; (2)有些整数既能被2整除,又能被3整除; (3)某个四边形不是平行四边形. 解 (1)∃(x,y)∈{(x,y)|x∈R,y∈R},2x+3y+3<0. (2)∃x∈Z,x既能被2整除,又能被3整除. (3)∃x∈{x|x是四边形},x不是平行四边形. 3.[人教A版教材例题]判断下列存在量词命题的真假: (1)有一个实数x,使x2+2x+3=0; (2)平面内存在两条相交直线垂直于同一条直线; (3)有些平行四边形是菱形. 解 (1)由于Δ=22-4×3=-8<0,因此一元二次方程x2+2x+3=0无实根,所以,存在量词命题“有一个实数x,使x2+2x+3=0”是假命题. (2)由于平面内垂直于同一条直线的两条直线互相平行,因此平面内不可能存在两条相交直线垂直于同一条直线.所以,存在量词命题“平面内存在两条相交直线垂直于同一条直线”是假命题. (3)由于正方形既是平行四边形又是菱形,所以存在量词命题“有些平行四边形是菱形”是真命题. 知识点3　全称量词命题与存在量词命题的否定 1.命题的否定 通常,对命题p进行否定,就得到一个新的命题,用符号“¬p”表示,读作“非p”或“p的否定”. 2.全称量词命题的否定 全称量词命题的否定是存在量词命题. 对于全称量词命题“∀x∈M,p(x)”的否定,通常表示为“∃x∈M,¬p(x)”. 3.存在量词命题的否定 存在量词命题的否定是全称量词命题. 对于存在量词命题“∃x∈M,p(x)”的否定,通常表示为“∀x∈M,¬p(x)”. 名师点睛 1.含有一个量词的命题与它的否定真假相反.所以当其中一个命题的真假不易判断时,可通过判断另一个命题的真假来得到. 2.含有一个量词的命题的否定,是在否定结论p(x)的同时,改变量词的属性,即将全称量词改为存在量词,将存在量词改为全称量词. 3.常见词语的否定 原词语 所有的 存在 任意的 是 否定 存在有 所有的 某些个 不是 原词语 都是 等于 大于   否定 不都是 不等于 不大于   思考辨析 已知命题:①所有的矩形都是平行四边形;②每一个自然数都是正整数;③存在一个x∈R,使得x2≤0;④至少有一个菱形的对角线不垂直. 这四个命题分别是什么命题?它的否定又是什么命题? 提示 ①②是全称量词命题,它们的否定是存在量词命题.③④是存在量词命题,它们的否定是全称量词命题. 自主诊断 1.判断正误.(正确的画√,错误的画×) (1)∃x∈M,x具有性质p(x)与∀x∈M,x不具有性质p(x)的真假性相反.(　　) (2)“∀x∈R,x2≥0”的否定为“∃x∈R,x2<0.”(　　) (3)全称量词命题与它的否定真假性相反.(　　) √ √ √ 2.(1)[2024杭州西湖高一期末]命题“∃x>1,x2-8=0”的否定为(　　)　　　　　　　　　　　　　 A.∀x≤1,x2-8≠0 B.∀x≤1,x2-8=0 C.∀x>1,x2-8≠0 D.∀x>1,x2-8=0 C (2)[2024江苏徐州高一期末]命题“∀x>0,x2>0”的否定是(　　) A.∀x>0,x2<0 B.∀x>0,x2≤0 C.∃x>0,x2<0 D.∃x>0,x2≤0 解析 存在量词命题的否定是将存在量词改为全称量词,结论改为原结论的反面,故原命题的否定为∀x>1,x2-8≠0.故选C. D 3.[人教A版教材习题]将下列命题改写成含有一个量词的全称量词命题或存在量词命题的形式,并写出它们的否定: (1)平行四边形的对角线互相平分; (2)三个连续整数的乘积是6的倍数; (3)三角形不都是中心对称图形; (4)一元二次方程不总有实数根. 解 (1)任意一个平行四边形,它的对角线互相平分; 它的否定:存在一个平行四边形,它的对角线不互相平分. (2)任意三个连续整数的乘积是6的倍数; 它的否定:存在三个连续整数的乘积不是6的倍数. (3)存在一个三角形不是中心对称图形; 它的否定:所有的三角形都是中心对称图形. (4)存在一个一元二次方程没有实数根; 它的否定:任意一元二次方程都有实数根. 重难探究·能力素养速提升 探究点一　全称量词命题与存在量词命题的辨析 【例1】 判断下列语句是否为全称量词命题或存在量词命题. (1)有些素数的和仍是素数; (2)自然数的平方是正数. 解 因为(1)含有存在量词,所以命题(1)为存在量词命题;因为“自然数的平方是正数”的实质是“任意一个自然数的平方都是正数”,所以(2)含有全称量词,故为全称量词命题. 综上所述,(1)为存在量词命题,(2)为全称量词命题. 规律方法　判断一个语句是全称量词命题还是存在量词命题的思路 变式训练1下列命题中,是全称量词命题的是　　　　　　　,是存在量词命题的是　　　　　.(填序号)  ①正方形的四条边相等;②有两个角是45°的三角形是等腰直角三角形; ③正数的平方根不等于0;④至少有一个正整数是偶数. ①②③ ④ 探究点二　全称量词命题与存在量词命题的真假判断 【例2】 判断下列命题的真假. (1)∃x∈Z,x3<1; (2)存在一个四边形不是平行四边形; (3)在平面直角坐标系中,任意有序实数对(x,y)都对应一点P; (4)∀x∈N,x2>0. 解 (1)这是存在量词命题.因为-1∈Z,且(-1)3=-1<1,它是真命题. (2)这是存在量词命题,是真命题.如梯形是四边形,不是平行四边形. (3)这是全称量词命题.由有序实数对与平面直角坐标系中的点的对应关系知,它是真命题. (4)这是全称量词命题.因为0∈N,02=0,所以命题“∀x∈N,x2>0”是假命题. 规律方法　判断全称量词命题和存在量词命题真假的方法 (1)要判断一个全称量词命题为真,必须对在给定集合的每一个元素x,使命题p(x)为真;但要判断一个全称量词命题为假时,只需在给定的集合中找到一个元素x,使命题p(x)为假. (2)要判断一个存在量词命题为真,只要在给定的集合中找到一个元素x,使命题p(x)为真;要判断一个存在量词命题为假,必须对在给定集合的每一个元素x,使命题p(x)为假. 变式训练2指出下列命题中,哪些是全称量词命题,哪些是存在量词命题,并判断真假. (1)存在一个实数,它的绝对值不是正数; (2)每一条线段的长度都能用正有理数来表示; (3)存在一个实数x,使得等式x2+x+8=0成立. 解 (2)是全称量词命题,(1)(3)是存在量词命题. (1)真命题.存在一个实数0,它的绝对值不是正数. (2)假命题,如边长为1的正方形,其对角线的长度为 就不能用正有理数表示. (3)假命题,方程x2+x+8=0的判别式Δ=-31<0,故方程无实数解. 探究点三　全称量词命题与存在量词命题的否定 【例3】 写出下列各命题的否定. (1)p:对任意的正数x, >x-1; (2)q:三角形有且仅有一个外接圆; (3)r:存在一个三角形,它的内角和大于180°; (4)s:有些素数是奇数. 解 (1)命题p的否定“存在正数x,使 (2)命题q的否定“存在一个三角形有两个或两个以上的外接圆或没有外接圆”. (3)命题r的否定“所有三角形的内角和都小于或等于180°”. (4)命题s的否定“所有的素数都不是奇数”. 规律方法　1.一般地,写含有一个量词的命题的否定,首先要明确这个命题是全称量词命题还是存在量词命题,并找到量词及相应结论,然后把命题中的全称量词改成存在量词,存在量词改成全称量词,同时否定结论,即得其否定. 2.对于省略量词的命题,应先挖掘命题中隐含的量词,改写成含量词的完整形式,再写出命题的否定. 变式训练3写出下列命题的否定,并判断其真假. (1)p:∀x∈R,x2-x+ ≥0; (2)q:所有的正方形都是矩形; (3)r:∃x∈R,x2+3x+7≤0; (4)s:至少有一个实数x,使x3+1=0. ∴命题p的否定是假命题. (2)命题q的否定“至少存在一个正方形不是矩形”,是假命题. (3)命题r的否定“∀x∈R,x2+3x+7>0”,是真命题. ∴命题r的否定是真命题. (4)命题s的否定“对任意实数x,使x3+1≠0”,是假命题. ∵当x=-1时,x3+1=0,∴命题s的否定是假命题. 探究点四　根据命题的真假求参数的取值范围 【例4】 若“∃x∈R,x2+2x-a<0”是真命题,则实数a的取值范围是　　　　.  {a|a>-1} 解析 若“∃x∈R,x2+2x-a<0”是真命题,则Δ>0,即4+4a>0,解得a>-1,故实数a的取值范围为{a|a>-1}. 规律方法　求解含有量词的命题中参数范围的策略 (1)对于全称量词命题“∀x∈M,a>y(或a<y)”为真的问题,实质就是不等式恒成立问题,通常转化为求函数y的最大值(或最小值),即a>ymax(或a<ymin). (2)对于存在量词命题“∃x∈M,a>y(或a<y)”为真的问题,实质就是不等式能成立问题,通常转化为求函数y的最小值(或最大值),即a>ymin(或a<ymax). ★变式训练4若“存在一个实数x0,使不等式m-( -2x0+5)>0”是真命题,求实数m的取值范围. 本节要点归纳 1.知识清单: (1)全称量词命题、存在量词命题的概念; (2)含量词的命题的真假判断; (3)全称量词命题、存在量词命题的否定及其命题真假的判断; (4)通过含量词的命题的真假求参数的取 值范围. 2.方法归纳:定义法、转化法、特例法. 3.常见误区:有些命题省略了量词,全称量词命题强调“整体、全部”,存在量词命题强调“个别、部分”;否定不唯一,命题与其否定的真假性相反. 学以致用·随堂检测促达标 1 2 3 4 1.已知命题p:∀x∈R,x>a2+b2,则命题p的否定是(　　) A.∃x∈R,x<a2+b2 B.∀x∈R,x≤a2+b2 C.∃x∈R,x≤a2+b2 D.∀x∈R,x<a2+b2 C 5 1 2 3 4 2.(多选题)下列说法正确的是(　　) A.存在x<0,x2-2x-3=0 B.对于一切实数x<0,都有|x|>x C.对于任意x∈R, =x D.“∃n∈N+,2n2+5n+2能被2整除”是假命题 AB 解析 选项A中,存在x=-1<0,使x2-2x-3=0,故正确; 选项B中,对于一切实数x<0,都有|x|>x恒成立,故正确; 选项D中,∃n=2∈N+,2n2+5n+2=20能被2整除,为真命题,故错误.故选AB. 5 1 2 3 4 3.下列语句:①被7整除的数都是奇数;②|x-1|<2;③存在实数a使方程 x2-ax+1=0成立;④等腰梯形的对角线相等. 其中是全称量词命题且为真命题的是　　　　　.(填序号)  ④ 解析 全称量词命题有①④,其中①是假命题,如70. 5 1 2 3 4 4.[2024甘肃张掖高一月考]若“∃x∈[-2,2],使k≤x2+1成立”是真命题,则实数k的取值范围是　　　　　.  5 {k|k≤5} 解析 设y=x2+1,-2≤x≤2,则1≤y≤5.因为“∃x∈[-2,2],使k≤x2+1成立”是真命题,所以k≤5,故k的取值范围为{k|k≤5}. 1 2 3 4 5.判断下列命题的真假. (1)有一些三角形的两个内角相等; (2)∃x∈R,x2+2x+4<0; (3)∀x∈Z,2x-1是奇数.   5 解 (1)该命题中含有“有一些”,是存在量词命题.如等腰三角形中就存在两个内角相等,故该命题是真命题. (2)该命题是存在量词命题. 因为x2+2x+4=(x+1)2+3≥3,所以不存在x∈R,使x2+2x+4<0,故该命题是假命题. (3)该命题是全称量词命题.当x∈Z时,因为2x-1是整数,且不能被2整除,所以2x-1是奇数,故该命题是真命题. x-1”. 解 (1)命题p的否定“∃x∈R,x2-x+<0”,是假命题. ∵∀x∈R,x2-x+0恒成立, ∵∀x∈R,x2+3x+7=>0恒成立, 解 不等式m-(-2x0+5)>0可化为m>-2x0+5=(x0-1)2+4,若存在一个实数x0,使不等式m>-2x0+5成立,只需m>4, 故所求实数m的取值范围是{m|m>4}. 选项C中,∃x=-2∈R,=2,则x,故错误; $$