1.3.1 不等式的性质课件-2024-2025学年高一上学期数学北师大版（2019）必修第一册

3.1　不等式的性质 第一章　预备知识 北师大版 数学 必修第一册 基础落实·必备知识一遍过 重难探究·能力素养速提升 学以致用·随堂检测促达标 目录索引 课程标准 1.能够用作差法比较两个数或式的大小. 2.理解不等式的概念,掌握不等式的性质. 3.会用不等式的性质证明不等式或解决相关问题. 基础落实·必备知识一遍过 知识点1　实数的大小比较 比较实数a,b大小的依据 思考辨析 如果给定实数a与b,那么如何比较它们的大小呢? 提示 通常是通过判断它们的差(a-b)的符号来比较它们的大小.当a与b同号且都不为0时,也可通过它们的商与1的大小关系来比较它们的大小. 自主诊断 1.判断正误.(正确的画√,错误的画×) (1)比较两个代数式的大小只能用作差法.(　　) (2)不等式x≥3的含义是指x不小于3.(　　) (3)若a<b或a=b之中有一个正确,则a≤b正确.(　　) 2.[人教A版教材习题]比较(x+2)(x+3)和(x+1)(x+4)的大小. × √ √ 解 因为(x+2)(x+3)-(x+1)(x+4)=(x2+5x+6)-(x2+5x+4)=2>0, 所以(x+2)(x+3)>(x+1)(x+4). 知识点2　不等式的性质 名称 表达式 性质1(传递性) 如果a>b,且b>c,那么a>c 性质2(可加性) 如果a>b,那么a+c>b+c(c∈R) 性质3(乘法法则) 如果a>b,c>0,那么ac>bc; 如果a>b,c<0,那么ac<bc 性质4(同向不等式可加性) 如果a>b,c>d,那么a+c>b+d 性质5(不等式的可乘性) 如果a>b>0,c>d>0,那么ac>bd; 如果a>b>0,c<d<0,那么ac<bd. 乘方法则:当a>b>0时,an>bn,其中n∈N+,n≥2 性质6(开方法则) 当a>b>0时, ,其中n∈N+,n≥2 名师点睛 1.注意“等式”与“不等式”的异同,如: 等式 不等式 说明 a=b⇔b=a a>b⇔b<a 改变不等式方向 a=b⇔ac=bc(c≠0) a>b⇒ac>bc或ac<bc(c≠0) 讨论c的符号 2.要注意各个不等式成立的前提,如性质4中两个不等式方向要相同,性质3中要按c的正负分情况. 3.由性质2,可得a+b>c⇒a+b+(-b)>c+(-b)⇒a>c-b,即不等式中任何一项可以改变符号后移到不等号的另一边,称为移项法则,在解不等式时经常用到. 4.倒数法则: 如果a>b,ab>0,那么 ,结论成立的条件是a,b要同号. 自主诊断 1.判断正误.(正确的画√,错误的画×) (1)若a>b,则a-c>b-c.(　　) (2) >1⇒a>b.(　　) (3)若a>b且c>d,则a-c>b-d.(　　) (4)若ac2>bc2,则a>b.(　　) √ × × √ 2.[2024北京丰台高一期末]下列说法正确的是(　　) A.若a>b,则ac2>bc2 B.若a>b,c>d,则a+c>b+d C.若a>b,c>d,则ac>bd B 解析 当a>b,c=0时,ac2=bc2,故A错误;当a>b,c>d时,a+c>b+d,故B正确;当a=2,b=1,c=-1,d=-2时,a>b,c>d,ac=bd,故C错误;当b=2,a=1,c=1时, 故D错误.故选B. 3.[人教A版教材习题]用不等号“>”或“<”填空: (1)如果a>b,c<d,那么a-c　　　b-d;  (2)如果a>b>0,c<d<0,那么ac　　bd;  > < < < 解析 (1)因为c<d,所以-c>-d.因为a>b,所以a-c>b-d. (2)因为c<d<0,所以-c>-d>0. 因为a>b>0,所以-ac>-bd,所以ac<bd. 重难探究·能力素养速提升 探究点一　实数大小的比较 【例1】 比较下列各组中的两个代数式的大小: (1)2x2+3与x+2,x∈R; (2)a+2与 ,a∈R,且a≠1. 规律方法　作差法是比较两个代数式大小的基本方法,一般步骤是:(1)作差;(2)变形,变形的常用方法有配方、因式分解、分母有理化等;(3)定号,即确定差的符号;(4)下结论,写出两个代数式的大小关系. 变式训练1[2024广东广州高一期末]求解下列问题: (1)已知a∈R,比较(a+3)(a+7)和(a+4)(a+6)的大小; 解 (1)因为(a+3)(a+7)-(a+4)(a+6)=a2+10a+21-a2-10a-24=-3<0, 所以(a+3)(a+7)<(a+4)(a+6). (2)已知x<y<0,比较 的大小. 探究点二　不等式基本性质的应用 角度1应用不等式性质判断命题真假 【例2-1】 对于实数a,b,c,判断下列结论是否正确: (1)若a>b,则ac2>bc2; (2)若a<b<0,则a2>ab>b2; (3)若c>a>b>0,则 解 (1)当c=0时,有ac2=bc2.故该结论错误. 规律方法　1.解决这类问题时,通常有两种方法:一是直接利用不等式的性质进行推理,看根据条件能否推出相应的不等式;二是采用取特殊值的方法,判断所给的不等式是否成立,尤其是在选择题中经常采用这种办法. 2.注意正确的倒数法则,应该是a>b,ab>0⇒ ,不能误认为是a>b⇒ 在应用时不能出错. 变式训练2已知a,b,c满足c<b<a,且ac<0,则下列选项不一定成立的是(　　) C 角度2应用不等式性质证明不等式 【例2-2】 若a>b>0,c<d<0,e<0,求证: ∵a>b>0,c<d<0,∴a+b>0,c+d<0,b-a<0,c-d<0. ∴(a+b)-(c+d)>0,(b-a)+(c-d)<0. ∵e<0,∴e[(a+b)-(c+d)][(b-a)+(c-d)]>0. (方法二)∵c<d<0,∴-c>-d>0,又a>b>0,∴a-c>b-d>0,∴(a-c)2>(b-d)2>0, 规律方法　1.简单不等式的证明可直接由已知条件,利用不等式的性质,通过对不等式变形得证. 2.对于不等式两边都比较复杂的式子,直接利用不等式的性质不易证得,可考虑将不等式两边作差,然后进行变形,根据条件确定每一个因式的符号,利用符号法则判断最终的符号,完成证明. 变式训练3(1)[人教B版教材习题]求证:如果a>b,c<0,那么ac<bc. 证明 ac-bc=(a-b)c. 因为a>b,所以a-b>0. 又c<0,所以(a-b)c<0,所以ac-bc<0,即ac<bc. 角度3利用不等式性质求取值范围 【例2-3】 如果3<a<7,1<b<10,试求a+b,3a-2b, 的取值范围. 解 因为3<a<7,1<b<10, 所以3+1<a+b<7+10,即4<a+b<17. 故a+b的取值范围为(4,17). 又因为9<3a<21,-20<-2b<-2, 所以-11<3a-2b<19. 故3a-2b的取值范围为(-11,19). 规律方法　利用不等式的性质可以解决取值范围问题,当题目中出现两个变量求取值范围时,要注意两个变量是相互制约的,不能分割开来,应建立待求整体与已知变量之间的关系,然后根据不等式的性质求出取值范围. 变式训练4已知-4≤a-b≤-1,-1≤4a-b≤5,求9a-b的取值范围. 解 设9a-b=x(a-b)+y(4a-b),则9a-b=(x+4y)a-(x+y)b, 即-1≤9a-b≤20.故9a-b的取值范围为[-1,20]. 本节要点归纳 1.知识清单: (1)不等式的性质; (2)不等式的性质的应用. 2.方法归纳:作差法、配方法. 3.常见误区:注意不等式性质的单向性或双向性,即每条性质是否具有可逆性. 学以致用·随堂检测促达标 1 2 3 4 1.(多选题)已知a,b,c∈R,则下列结论不正确的是(　　) ABD 1 2 3 4 2.(x+5)(x+7)　　　　(x+6)2.(填“>”“<”“≥”或“≤”)  < 解析 (x+5)(x+7)-(x+6)2=x2+12x+35-(x2+12x+36)=-1<0,所以(x+5)(x+7)<(x+6)2. 1 2 3 4 3.已知1≤a≤2,3≤b≤6,则3a-2b的取值范围为　　　　　.  [-9,0] 解析 ∵1≤a≤2,3≤b≤6,∴3≤3a≤6,-12≤-2b≤-6,由不等式的性质得-9≤3a-2b≤0,即3a-2b的取值范围为[-9,0]. 1 2 3 4 D.若b>a>0,c>0,则 , (3)如果a>b>0,那么; (4)如果a>b>c>0,那么. (3)因为a>b>0,所以ab>0,>0,所以a>b>0,所以>0. 所以()2>()2,即 (4)因为a>b>0,所以ab>0,>0. 所以a>b,即,即因为c>0,所以 解 (1)因为(2x2+3)-(x+2)=2x2-x+1=2>0,所以2x2+3>x+2. (2)(a+2)- 由于a2+a+1=>0, 所以当a>1时,>0,即a+2>; 当a<1时,<0,即a+2< 解 因为x<y<0,所以xy>0,y-x>0,>0,所以 ; (4)若a>b,,则a>0,b<0; (5)若a<b<0,则. (2)由可得a2>ab.因为所以ab>b2,从而有a2>ab>b2.故该结论正确. (3)由a>b>0,可得 -a<-b<0.因为c>a>b,所以0<c-a<c-b,因此>0,于是故该结论正确. (4)由,可知>0.因为a>b,所以b-a<0,且ab<0.又因为a>b,所以a>0,b<0.故该结论正确. (5)依题意取a=-2,b=-1,则=2,显然故该结论错误. , A. B.>0 C. D.<0 解析 因为c<b<a,且ac<0,所以c<0,a>0.于是>0,<0,但b2与a2的大小关系不确定,故不一定成立. . 证明 (方法一)== = 又(a-c)2(b-d)2>0,>0,即 ∴0<,又e<0, ★(2)已知a,b,x,y都是正数,且,x>y,求证:. 证明 ∵a,b,x,y都是正数,且,x>y,>0,∴0<,故0<+1<+1,即0<, 因为9<a2<49,所以,于是 故的取值范围为(). 由①②得,-1≤-(a-b)+(4a-b)≤20, 解得 即9a-b=-(a-b)+(4a-b). ∵-4≤a-b≤-1,-(a-b)① ∵-1≤4a-b≤5,∴-(4a-b)② A.a>b⇒ac2>bc2 B.⇒a>b C. D. 解析 当c=0时,A不成立;当c<0时,B不成立;当ab<0时,a>b, 即,C成立;同理可证D不成立. 4.已知a>b>0,c<d<0,求证:. 证明 ∵c<d<0,∴-c>-d>0.∴0<-<- 又a>b>0,∴->->0. ,即->- 两边同乘-1,得 $$