1.3.2 基本不等式（第1课时 基本不等式）课件-2024-2025学年高一上学期数学北师大版（2019）必修第一册

3.2　基本不等式 第1课时　基本不等式 第一章　预备知识 北师大版 数学 必修第一册 基础落实·必备知识一遍过 重难探究·能力素养速提升 学以致用·随堂检测促达标 目录索引 课程标准 1.理解基本不等式 (a≥0,b≥0). 2.结合具体实例,能用基本不等式解决简单的求最大值或最小值的问题. 3.能运用基本不等式证明不等式及解决简单的实际问题. 基础落实·必备知识一遍过 知识点1　基本不等式 1.基本不等式:设a≥0,b≥0,那么 ,当且仅当a=b时,等号成立.这个不等式称为基本不等式,其中, 称为a,b的算术平均值, 称为a,b的几何平均值.因此基本不等式又称为均值不等式. 　 　　　　　不可忽略此条件 2.基本不等式可以表述为:两个非负实数的算术平均值大于或等于它们的几何平均值. 3.基本不等式的几何解释:在同一个圆中,半径大于或等于半弦. 名师点睛 1.基本不等式的条件是a,b都是非负实数,当且仅当a=b时,等号成立,即“a=b”是 思考辨析 1.已知a2+b2≥2ab(当且仅当a=b时,等号成立).如果a>0,b>0,我们用 分别代替不等式中的a,b,可得到什么形式?     2.基本不等式中a,b只能是具体的某个数吗? 提示 a,b既可以是具体的某个数,也可以是代数式. 自主诊断 1.判断正误.(正确的画√,错误的画×) (1)若a≠0,则 .(　　) (2)对于任意a,b∈R,a2+b2≥2ab.(　　) (3)当n∈N+时, .(　　) × √ √ 2.[人教A版教材习题]已知a,b∈R,求证: 知识点2　利用基本不等式求最值 当x,y均为正数时,下面的命题均成立: (1)若x+y=s(s为定值),则当且仅当x=y时,xy取得最大值 ; (2)若xy=p(p为定值),则当且仅当 x=y时,x+y取得最小值2 . 名师点睛 1.上述的结论也叫作最值定理.语言描述为: (1)两个正数的和为常数时,它们的积有最大值; (2)两个正数的积为常数时,它们的和有最小值.可简记为“和定积最大,积定和最小”. 2.应用上述结论时要注意以下三点:(1)各项或各因式均为正;(2)和或积为定值;(3)各项或各因式能取得相等的值.即“一正二定三相等”. 自主诊断 1.判断正误.(正确的画√,错误的画×) (2)若xy=4,则x+y的最小值为4.(　　) (3)若x>0,y>0,且x+y=2,则2xy的最大值为1.(　　) √ × × 2.[2024宁夏中卫高一期末]已知x>0,y>0,且x+y=10,则xy的最大值为　　　　.  25 3.[人教B版教材习题]已知x>0,求y=x+ 的最小值,并说明x为何值时y取得最小值. 4.[人教A版教材习题]已知-1≤x≤1,求1-x2的最大值. 解 当x=±1时,1-x2=0. 当-1<x<1时,1-x>0,1+x>0, 当且仅当1+x=1-x, 即x=0时,等号成立. 所以1-x2的最大值为1,此时x=0. 重难探究·能力素养速提升 探究点一　对基本不等式的理解 【例1】 (多选题)若a,b∈R,且ab>0,则下列不等式中,不成立的是(　　) ABC 规律方法　应用基本不等式时的注意点 (1)各项或各因式均为正; (2)和或积为定值; (3)各项或各因式能取得相等的值.即“一正二定三相等”. 变式训练1下列结论不成立的是(　　) A.若a,b∈R,则a10+b10≥2a5b5 B.若x≠0,则x2+ ≥2 C.若 ≥2,则必有a>0,b>0 D.若a∈R,则有a2+9≥6a C 探究点二　利用基本不等式求最值 【例2】 (1)已知x>0,则 +x的最小值为(　　) A.6 B.5 C.4 D.3 A (2)已知a>0,b>0,且ab=1,则a+4b的最小值为　　　　.  4 规律方法　利用基本不等式求最值时的注意点 一是各项均为正数;二是寻求定值,求和式最小值时应使积为定值,求积式最大值时应使和为定值(恰当变形,合理拆分项或配凑因式是常用的解题技巧);三是检验是否具备等号成立的条件. 探究点三　利用基本不等式证明不等式 【例3】 (1)已知a,b,c为不全相等的正实数,求证: 规律方法　利用基本不等式证明不等式的注意事项 (1)利用基本不等式证明不等式,关键是所证不等式中必须有和式或积式,通过将和式转化为积式或将积式转化为和式,从而达到放缩的目的. (2)注意多次运用基本不等式时等号能否取到. (3)解题时要注意技巧,当不能直接利用基本不等式时,可将原不等式进行组合、构造,以满足能使用基本不等式的形式. (4)在证明不等式的过程中,注意充分利用“1”的代换,即把常数1替换为已知的式子,然后经过整理后再利用基本不等式进行证明. 变式训练3(1)已知a,b,c,d都是正数,求证:(ab+cd)(ac+bd)≥4abcd. 证明 因为a,b,c,d都是正数, 当且仅当ab=cd,且ac=bd时,等号成立. 故(ab+cd)(ac+bd)≥4abcd. (2)已知a>0,b>0,且a+b=2,求证: 本节要点归纳 1.知识清单: (2)“和定积最大,积定和最小”. 2.方法归纳:配凑法,常值代换法. 3.常见误区:注意等号成立的条件. 学以致用·随堂检测促达标 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A 级 必备知识基础练 1. [探究点二]已知正实数a,b满足a+b=ab,则ab的最小值为(　　) A.1 B. C.2 D.4 D 解析 ∵ab=a+b≥2 ,∴ab≥4,当且仅当a=b=2时,等号成立,故ab的最小值为4. 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2. [探究点二]已知0<x<1,则当x(1-x)取最大值时,x的值为(　　) B 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 3. [探究点一](多选题)若a>0,b>0,且a+b=4,则下列不等式一定成立的是(　) CD 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 4.[探究点二]设x>0,y>0,且xy=4,则 的最小值是(　　) A.1 B.2 C.-1 D.-2 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 5.[探究点一·2024安徽芜湖高一期末]《几何原本》中的几何代数法(用几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要方法,通过这一原理,很多代数的定理都能够利用图形实现证明.现有如图所示的图形,点F在半圆O上,且OF⊥AB,点C在直径AB上运动.作CD⊥AB交半圆O于点D.设AC=a,BC=b,则由FC≥CD可以直接证明的不等式为(　　) D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 6. [探究点二]已知4x+ (x>0,a>0)在x=3处取得最小值,则a=　　　　　.  36 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 B 级 关键能力提升练 8.[2024重庆永川高一期末]已知a>0,b>0,若不等式 恒成立,则m的最大值为(　　) A.9 B.12 C.16 D.10 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 9.1557年,英国数学家列科尔德在其论文《智慧的磨刀石》中首先把“=”作为等号使用,后来英国数学家哈里奥特首次使用“>”和“<”符号,并逐步被数学界接受,不等号的引入对不等式的发展影响深远.若实数 x+3y=3(x>1,y> ),则 的最小值为(　　) A.6 B.4 C.3 D.2 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 10.[2024重庆渝中高一期末]已知a,b>0,且a2+4b2=8,则a+2b的最大值为　　　　; 的最小值为　　　　.  4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 C 级 学科素养创新练 11 8 “”的充要条件. 2.基本不等式的变形公式:①a+b≥2,ab≤()2(当且仅当a=b时,等号成立);②a+≥2(a∈R+)(当且仅当a=1时,等号成立);③≥2(a,b同号)(当且仅当a=b时,等号成立). 3.由公式a2+b2≥2ab及,可得(a,b∈R+). 提示 得到a+b≥2 a+≥2=4 n+>2 ab≤()2. 证明 因为()2-ab=-ab =0, 所以()2≥ab,即ab≤()2. (1)函数y=x2+的最小值为2-1.(　　) 解析 ∵x>0,y>0,x+y=10,∴当且仅当x=y=5时,xy取得最大值=25. 解 ∵x>0,>0.又x=3,∴y的最小值为2=2,当且仅当x=,即x=时y取得最小值. 所以1-x2=(1+x)(1-x)≤[]2=1, A.a2+b2>2ab B.a+b≥2 C. D.≥2 解析 对∀a,b∈R,a2+b2≥2ab,故A错误;当a<0,b<0时,选项B,C错误;因为ab>0,所以>0,>0,所以2=2,当且仅当,即a=b时,等号成立,故D正确.故选ABC. 解析 由基本不等式可知,若2成立,则有>0,>0,因此a>0,b>0或a<0,b<0,故C不正确.其他选项均正确. 解析 ∵x>0,>0,+x≥2=6,当且仅当x=,即x=3时,等号成立.故选A. 解析 因为a>0,b>0,且ab=1,所以a+4b≥2=4,当且仅当a=4b,即a=2,b=时,等号成立. 变式训练2(1)当x>0时,求+4x的最小值; 解 ∵x>0,>0,4x>0, +4x≥2=8, 当且仅当=4x,即x=时,等号成立, ∴当x>0时,+4x的最小值为8 (2)当x<0时,求+4x的最大值; 解 ∵x<0,∴-x>0,>0,-4x>0, +(-4x)≥2=8, 当且仅当=-4x,即x=-时,等号成立, +4x≤-8,∴当x<0时,+4x的最大值为-8 (3)已知4x+(x>0,a>0)在x=3时取得最小值,求a的值. 解 ∵x>0,a>0,∴4x>0,>0, ∴4x+2=4, 当且仅当4x=,即a=4x2=36时,等号成立,∴a=36. a+b+c>. 证明 ∵a>0,b>0,c>0, ∴a+b≥2>0,b+c≥2>0,c+a≥2>0. ∴2(a+b+c)≥2(), 即a+b+c ∵a,b,c为不全相等的正实数,∴等号不成立. (2)已知a,b,c为正实数,且a+b+c=1,求证:≥8. 证明 ∵a,b,c为正实数,且a+b+c=1,-1=, 同理可得-1-1 由上述三个不等式两边均为正,分别相乘, 得=8. 当且仅当a=b=c=时,等号成立. 故8. 所以ab+cd≥2,ac+bd≥2, 于是(ab+cd)(ac+bd)≥22=4abcd. ≥2. 证明 由于a+b=2, 所以(a+b)+2)=2, 当且仅当,即a=b时,等号成立.故2. (1)三个不等式:a2+b2≥2ab(a,b∈R),(a,b都是非负数), ab≤()2(a,b∈R); A. B. C. D. 解析 ∵0<x<1,∴1>1-x>0. ∴x(1-x),当且仅当x=1-x,即x=时,等号成立. A.0< B.<2 C.≥1 D. 解析 =2,当且仅当a=b=2时,等号成立,故B错误; ∵0<ab≤4,,故A错误; 22=1,故C正确; a2+b2=8,当且仅当a=b时,等号成立, ,故D正确.故选CD. 解析 因为x>0,y>0,且xy=4,所以>0,>0,2=2=2=1,当且仅当,即x=y=2时,等号成立.故选A. A.(a>0,b>0) B.a2+b2≥2ab(a>0,b>0) C.(a>0,b>0) D.(a>0,b>0) 解析 因为AC=a,BC=b,所以OF=,OC=-b=,所以CF=连接AD和DB,易知∠ADB=90°,由射影定理,得CD2=CA·CB=ab,所以CD=,由FC≥CD可得(a>0,b>0).故选D. 解析 由基本不等式,得4x+2=4,当且仅当4x=,即x=时,等号成立,即=3,即a=36. 7. [探究点三]已知a>0,b>0,求证:≥a+b. 证明 ∵a>0,b>0, +b≥2=2a,+a≥2=2b, +b++a≥2a+2b, a+b,当且仅当a=b时,等号成立. 解析 由已知a>0,b>0,不等式恒成立,所以m≤()(a+4b)恒成立,()(a+4b)=8+16,当且仅当,即a=4b时等号成立,所以m≤16.故选C. 解析 =2+因为x+3y=3(x>1,y>),所以x-1+3y-1=1,且x-1>0,3y-1>0,所以=(x-1+3y-1)·()=2+2+2=4,当且仅当,即x=,y=时,等号成立,故的最小值为6.故选A. 解析 ∵a,b>0,16=2(a2+4b2)≥(a+2b)2,∴0<a+2b≤4,当且仅当a=2b,即a=2,b=1时,等号成立,∴a+2b的最大值为4.∵(a+2+2b)()=+5≥2+5=9,,当且仅当a=2,b=1时,等号同时成立,的最小值为 11.若a>0,b>0,且点(a,b)在反比例函数y=的图象上,则的最小值是　　　　.  解析 ∵点(a,b)在反比例函数y=的图象上,∴b=,即ab=1.∵a>0,b>0,∴a+b>0,=a+b+8,当且仅当a+b=时,等号成立,故的最小值是8. $$