1.3.2 基本不等式（第2课时 习题课 基本不等式的应用）课件-2024-2025学年高一上学期数学北师大版（2019）必修第一册

3.2　基本不等式 第2课时　习题课　基本不等式的应用 第一章　预备知识 北师大版 数学 必修第一册 重难探究·能力素养速提升 学以致用·随堂检测促达标 目录索引 重难探究·能力素养速提升 探究点一　利用基本不等式求函数和代数式的最值 角度1通过变形后应用基本不等式求最值 【例1-1】 求下列函数的最值,并求出相应的x值. 规律方法　利用基本不等式求最值的关键是获得定值条件.解题时应对照已知条件和欲求的式子,运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创设使用基本不等式的条件,具体可以归纳为:一不正,用其相反数,改变不等号方向;二不定,应凑出定和或定积;三不等,一般需用其他方法,如尝试利用函数的单调性(在第二章学习). C.最大值1 D.最小值1 D 角度2应用“1”的代换转化为基本不等式求最值 【例1-2】 已知正数a,b满足a+b=1,则 的最小值为　　　　　.  4 变式探究将本例反过来,已知正数a,b满足 =4,则a+b的最小值为　　　　.  1 规律方法　在利用基本不等式求最值时,常用的技巧就是“1”的代换,其目的是借助“1”将所求式子的结构进行调整,优化到能够利用基本不等式求解为止. 角度3含有多个变量的条件的最值问题 【例1-3】 已知正数a,b满足 =3,求ab的取值范围. 变式探究本例中,若将条件改为“正数a,b满足2a+b+6=ab”,求ab的最小值. 规律方法　含有多个变量的条件最值问题,一般方法是采取减少变量的个数,将问题转化为只含有一个变量的函数的最值问题进行解决;如果条件等式中,含有两个变量的和与积的形式,还可以直接利用基本不等式对两个正数的和与积进行转化,然后通过解不等式进行求解,或者通过构造一元二次方程,利用根的分布解决问题. 探究点二　利用基本不等式解决实际应用中的最值问题 【例2】 如图,要设计一张矩形广告牌,该广告牌含有大小相等的左右两个矩形栏目(如图中阴影部分),这两栏的面积之和为18 000 cm2,四周空白的宽度为10 cm,两栏之间的中缝空白的宽度为5 cm.怎样确定广告牌的长与宽的尺寸(单位:cm),能使矩形广告牌面积最小? 即当x=140,y=175时,S取得最小值24 500. 故当广告牌的宽为140 cm,长为175 cm时,可使矩形广告牌的面积最小. 规律方法　求实际问题中最值的一般思路:(1)先读懂题意,设出变量,理清思路,列出函数关系式.(2)把实际问题抽象成函数的最值问题.(3)在定义域内,求函数的最值时,一般先考虑用基本不等式,当用基本不等式求最值的条件不具备时,再考虑函数的单调性(单调性在第二章学习).(4)正确写出 答案. 变式训练2[2024北京房山高一期末]某养殖场要建造一个长方体无盖养殖水池,其容积为3 200 m3,深为2 m.已知池底每平方米的造价为15元,池壁每平方米的造价为12元,那么怎样设计水池能使总造价最低?最低总造价是多少? 本节要点归纳 1.知识清单: (1)“和定积最大,积定和最小”; (2)求解应用题的方法与步骤: ①审题,②建模(列式),③解模,④作答. 2.方法归纳:配凑法、常值代换法. 3.常见误区:缺少等号成立的条件. 学以致用·随堂检测促达标 1 2 3 4 5 6 7 8 A 级 必备知识基础练 1. [探究点一]下列函数中最小值为4的函数是(　　) C 1 2 3 4 5 6 7 8 B 1 2 3 4 5 6 7 8 3.[探究点二]某公司租地建仓库,每月土地占用费y1与仓库到车站的距离成反比,而每月库存货物的运费y2与到车站的距离成正比.如果在距离车站10千米处建仓库,这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元,那么要使这两项费用之和最小,仓库应建在离车站(　　) A.5千米处 B.4千米处 C.3千米处 D.2千米处 A 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 5.[探究点二]某人准备雇司机开车去某地,已知从出发点到目的地的距离为100 km,按交通法规定:这段公路车速限制在40~100(单位:km/h)之间.假设目前油价为7.2元/L,汽车的耗油率为 ,其中x(单位:km/h)为汽车的行驶速度,耗油率指汽车每小时的耗油量.司机每小时的工资为76.4元,不考虑其他费用,此次出行的总费用最少是多少?此时的车速是多少?(注:总费用=耗油费+司机的工资) 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 B 级 关键能力提升练 6.(多选题)已知x,y是正数,且2x+y=1,则下列结论正确的是(　　) ABC 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 7.已知a,b是正实数,且a+2b-3ab=0,则ab的最小值是　　　　　,a+b的最小值是　　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 C 级 学科素养创新练 8.某火车站准备在某仓库外,利用其一侧原有墙体,建造一间墙高为3米,底面积为12平方米,且背面靠墙的长方体形状的保管员室.由于此保管员室的后背靠墙,无须建造费用,因此甲工程队给出的报价为:屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元,左右两面新建墙体报价为每平方米150元,屋顶和地面以及其他报价共计7 200元.设屋子的左右两侧墙的长度均为x米(2≤x≤6). (1)当左右两面墙的长度为多少时,甲工程队报价最低? (2)现有乙工程队也参与此保管员室建造竞标,其给出的整体报价为 元(a>0),若无论左右两面墙的长度为多少米,乙工程队都能竞标成功,试求a的取值范围. 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 (1)y=x+(x<0); (2)y=+x(x>3); (3)y=x(1-3x)0<x<. 解 (1)y=x+=-[(-x)+]≤-2=-,当且仅当x=(x<0),即x=-时,等号成立,y取最大值- (2)y=+x=+(x-3)+3≥2+3=5,当且仅当=x-3(x>3),即x=4时,等号成立,y取最小值5. (3)y=x(1-3x)=3x(1-3x)[]2=,当且仅当3x=1-3x,即x=时,等号成立,y取最大值 变式训练1已知x≥,则有(　　) A.最大值 B.最小值 解析 (方法一)∵x,∴x-2>0,则[(x-2)+]≥1,当且仅当x-2=,即x=3时,等号成立,此时取得最小值1. (方法二)令2x-4=t,∵x, ∴t≥1.∴x=+2. 原式可化为2=1,当且仅当,即t=2,x=3时,等号成立,此时取得最小值1. 解析 ∵正数a,b满足a+b=1, =(a+b)()=2+2+2=4,当且仅当a=b=时,等号成立. 的最小值为4. 解析 因为a+b=(a+b)()=+()+2=1,当且仅当,即a=b=时,等号成立, 所以a+b的最小值为1. 解 由=3,得a+b=3ab. 因为a+b≥2,所以3ab≥2,即9(ab)2≥4ab. 因为a>0,b>0, 所以ab,当且仅当a=b=时,等号成立. 故ab的取值范围是 解 由2a+b+6=ab,可得2a+b=ab-6. 因为2a+b≥2, 所以ab-6≥2,即ab-6≥2, 因此ab-2-6≥0, 解得3-(舍去),即ab≥18,当且仅当a=3,b=6时,等号成立.故ab的最小值为18. 解 设矩形广告牌的宽为x cm,长为y cm,则每栏的长和宽分别为 (x-20)cm,()cm(x>20,y>25),两栏面积之和为2(x-20)=18 000, 由此得y=+25, ∴广告牌的面积S=xy=x(+25)=+25x, 整理得S=+25(x-20)+18 500. ∵x-20>0,∴S≥2+18 500=24 500. 当且仅当=25(x-20)时,等号成立,此时有(x-20)2=14 400, 解得x=140,代入y=+25,得y=175. 解 由题可知,水池的底面积为3 200÷2=1 600(m2). 设池底长为x m,x>0,则宽为 m, 故池壁造价为(x+)×2×12×2=48x+(元), 池底造价为1 600×15=24 000(元), 故总造价为48x++24 000(元). 因为48x++24 000≥2+24 000=27 840,当且仅当48x=,即x=40时取等号, 所以水池长宽都为40 m时总造价最低,为27 840元. A.y=x+ B.y=2t+ C.y=4t+(t>0) D.y=t+ 解析 A中,当x=-1时,y=-5<4,故A错误;B中,当t=-1时,y=-3<4,故B错误;C中t>0,则y=4t+2=4,当且仅当t=时,等号成立,故C正确;D中,当t=-1时,y=-2<4,故D错误.故选C. 解析 ∵-6≤a≤3,∴3-a≥0,a+6≥0, 由基本不等式,得,当且仅当a=-时取得等号. 2.[探究点一](-6≤a≤3)的最大值为(　　) A.9 B. C.3 D. 解析 设仓库与车站的距离为d(d>0),y1=,y2=k2d, 由题意知2=,8=10k2, ∴k1=20,k2=0.8, ∴y1+y2=+0.8d≥2=8, 当且仅当=0.8d, 即d=5时,等号成立.故选A. 4.[探究点一]若对任意x>0,≤a恒成立,则实数a的取值范围是　　　　　.  {a|a}　 解析 由题可知,a大于等于的最大值.因为x>0,所以当且仅当x=1时,等号成立,所以的最大值为,所以a (3+)L/h 解 设总费用为y元,由题意得 y=76.4+7.2(3+)=+2x(40≤x≤100). 因为y=+2x≥2=280, 当且仅当=2x,即x=70时取等号,所以这次租车的总费用最少是280元,此时的车速为70 km/h. A.xy的最大值为 B.4x2+y2的最小值为 C.的最小值为4 D.的最小值为4 解析 xy=2xy()2=,当且仅当2x=y,即x=,y=时,等号成立,故A正确; 4x2+y2=(2x+y)2-4xy=1-4xy,由选项A得xy,则4x2+y2=1-4xy≥1-4,当且仅当2x=y,即x=,y=时,等号成立,故B正确; =()(2x+y)=2+2+2=4,当且仅当,即x=,y=时,等号成立,故C正确; =()(2x+y)=+2,当且仅当,即x=y=时,等号成立,故D错误.故选ABC. 1+ 解析 由a+2b-3ab=0,有3ab=a+2b≥2即32, 所以ab(当且仅当a=2b,即a=,b=时取等号),所以ab的最小值为 由a+2b-3ab=0,可知=3, 所以a+b=()=(3+)(3+2)=1+ 当且仅当,即a=,b=时取等号, 所以a+b的最小值为1+ 解 (1)设甲工程队的总造价为y元, 则y=3(150×2x+400)+7 200=900(x+)+7 200(2≤x≤6), 900(x+)+7 200≥900×2+7 200=14 400. 当且仅当x=,即x=4时,等号成立. 即当左右两面墙的长度为4米时,甲工程队的报价最低为14 400元. (2)由题意可得,900(x+)+7 200>对任意的x∈[2,6]恒成立,即, ∴a<=(x+1)++6, 又x+1++6≥2+6=12, 当且仅当x+1=,即x=2时,等号成立, ∴a的取值范围为(0,12). $$