1.4.1 一元二次函数课件-2024-2025学年高一上学期数学北师大版（2019）必修第一册

4.1　一元二次函数 第一章　预备知识 北师大版 数学 必修第一册 基础落实·必备知识一遍过 重难探究·能力素养速提升 学以致用·随堂检测促达标 目录索引 课程标准 1.熟练掌握一元二次函数一般形式和顶点形式. 2.能利用配方法化一元二次函数一般式为顶点式. 3.掌握一元二次函数y=ax2到y=a(x-h)2+k的图象变换方法,并由一元二次函数图象得到其相关性质. 基础落实·必备知识一遍过 知识点1　一元二次函数的图象及其变换 1.通常把一元二次函数的图象叫作抛物线. 2.一元二次函数y=a(x-h)2+k的图象可以由y=ax2的图象经过向左(或向右)平移|h|个单位长度,再向上(或向下)平移|k|个单位长度而得到. 　　　　　　“左加右减” 　 　“上加下减” 名师点睛 一元二次函数y=a(x-h)2+k(a≠0),a决定了一元二次函数图象的开口大小及方向;h决定了一元二次函数图象的左右平移;k决定了一元二次函数图象的上下平移. 自主诊断 1.判断正误.(正确的画√,错误的画×) (1)函数y=-(x-1)2+3的图象可由函数y=-x2的图象向右平移1个单位长度,再向上平移3个单位长度而得到.(　　) (2)一元二次函数的图象是抛物线,开口可以向左或向右.(　　) 2.将一元二次函数y=-2x2的顶点移到(-3,2),开口大小与方向不变,得到的新函数的解析式为　 .  √ × y=-2(x+3)2+2　 解析 可设新函数的解析式为y=a(x-h)2+k,由平移规律知h=-3,k=2,因为开口大小与方向不变,故a=-2.所以新函数的解析式为y=-2(x+3)2+2. 知识点2　一元二次函数的性质 一元二次函数y=a(x-h)2+k(a≠0)的性质如下: 类别 a>0 a<0 图象     开口方向 向上 向下 类别 a>0 a<0 顶点坐标 (h,k) (h,k) 图象对称轴方程 x=h x=h 函数值的变化趋势 在区间(-∞,h]上,函数值y随自变量x的增大而减小;在区间[h,+∞)上,函数值y随自变量x的增大而增大 在区间(-∞,h]上,函数值y随自变量x的增大而增大; 在区间[h,+∞)上,函数值y随自变量x的增大而减小 最值 函数在x=h处有最小值,记作ymin=k 函数在x=h处有最大值,记作ymax=k 名师点睛 二次函数的一般式与顶点式的互化依据: 自主诊断 1.函数y=-2(x+1)2+8的最值情况是(　　) A.最小值是8,无最大值 B.最大值是-2,无最小值 C.最大值是8,无最小值 D.最小值是-2,无最大值 C 解析 y=-2(x+1)2+8的图象开口向下,所以当x=-1时取最大值8,无最小值. 2.[人教A版教材习题]当自变量x在什么范围取值时,下列函数的值等于0?大于0?小于0? (1)y=3x2-6x+2; (2)y=25-x2; (3)y=x2+6x+10; (4)y=-3x2+12x-12. (2)使y=25-x2的值等于0的x的取值集合是{-5,5}; 使y=25-x2的值大于0的x的取值范围是{x|-5<x<5}; 使y=25-x2的值小于0的x的取值范围是{x|x<-5或x>5}. (3)使y=x2+6x+10的值等于0的x的取值集合是⌀; 使y=x2+6x+10的值大于0的x的取值范围是R; 使y=x2+6x+10的值小于0的x的取值范围是⌀. (4)使y=-3x2+12x-12的值等于0的x的取值集合是{2}; 使y=-3x2+12x-12的值大于0的x的取值范围是⌀; 使y=-3x2+12x-12的值小于0的x的取值范围是{x|x≠2}. 重难探究·能力素养速提升 探究点一　一元二次函数图象的平移变换 【例1】 抛物线y=2(x-1)2+3可以看作是由抛物线y=2x2经过以下哪种变换得到的(　　) A.向左平移1个单位长度,再向上平移3个单位长度 B.向右平移1个单位长度,再向上平移3个单位长度 C.向左平移1个单位长度,再向下平移3个单位长度 D.向右平移1个单位长度,再向下平移3个单位长度 A 解析 ∵抛物线y=2(x-1)2+3顶点坐标为(1,3),抛物线y=2x2顶点坐标为(0,0), ∴抛物线y=2(x-1)2+3可以看作由抛物线y=2x2向右平移1个单位长度,再向上平移3个单位长度得到的. 规律方法　一元二次函数图象平移问题的解题策略 变式训练1将抛物线y= x2-6x+21向左平移2个单位长度后,再向上平移2个单位长度,得到新抛物线的解析式为(　　) A 探究点二　待定系数法求一元二次函数解析式 【例2】 用待定系数法求下列一元二次函数的解析式: (1)已知一元二次函数的图象过点(-2,20),(1,2),(3,0); (2)已知一元二次函数图象的顶点坐标为(-1,-2),且图象过点(2,25). 解 (1)设所求一元二次函数的解析式为y=ax2+bx+c(a≠0). 将(-2,20),(1,2),(3,0)分别代入解析式, ∴所求一元二次函数的解析式为y=x2-5x+6. (2)∵一元二次函数图象的顶点坐标为(-1,-2), ∴设一元二次函数的解析式为y=a(x+1)2-2(a≠0). ∵图象过点(2,25),∴a(2+1)2-2=25,解得a=3, ∴所求一元二次函数的解析式为y=3(x+1)2-2, 即y=3x2+6x+1. 规律方法　一元二次函数常见解析式的形式有三种:一般式、顶点式、两根式.解题时合理地选择解析式能起到事半功倍的效果.一般地,若已知函数图象经过三点,常设一般式;若题目中给出顶点坐标、最值、对称轴等信息,常考虑顶点式;若题目中给出函数图象与x轴的交点坐标,可设两根式. 变式训练2 (1)已知一元二次函数的图象过点(1,4),且与x轴的交点为(-1,0)和(3,0),求一元二次函数的解析式. 解 (方法一)设一元二次函数的解析式为y=ax2+bx+c(a≠0). 将(1,4),(-1,0),(3,0)分别代入上式,得 ∴y=-x2+2x+3. (方法二)设一元二次函数的解析式为y=a(x+1)(x-3)(a≠0). 将(1,4)代入上式,得a=-1, ∴y=-(x+1)(x-3)=-x2+2x+3. (2)已知一元二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴相交于点A(-3,0),对称轴方程为x=-1,顶点M到x轴的距离为2,求此函数的解析式. 解 (方法一)因为一元二次函数图象的对称轴方程是x=-1,顶点M到x轴的距离为2,所以顶点的坐标为(-1,2)或(-1,-2),故可得二次函数的解析式为y=a(x+1)2+2或y=a(x+1)2-2.因为图象过点A(-3,0),所以0=a(-3+1)2+2或0=a(-3+1)2-2,解得 (方法二)因为二次函数图象的对称轴方程为x=-1,图象过点A(-3,0),所以点A关于对称轴的对称点A'(1,0)也在图象上,所以可得二次函数的解析式为y=a(x+3)(x-1). 由题意得顶点坐标为(-1,2)或(-1,-2), 探究点三　一元二次函数的性质及应用 【例3】 (1)求函数y=x2-3x-7(x∈N)的最小值. 解 因为y=x2-3x-7= ,又因为x∈N,所以当x=1或x=2时,函数值都等于-9且最小. (2)在区间[2,3]上,求函数y=x2-3x-7的最大值与最小值. 解 该函数图象的对称轴为直线x= ,所给区间[2,3]在对称轴的右侧,又二次项系数为1>0,所以在[2,3]上该函数的函数值随x的增大而增大,所以当x=2时,函数值最小,最小值为-9,当x=3时函数值最大,最大值为-7. 规律方法　求一元二次函数在闭区间上的最值的方法 一看开口方向;二看对称轴和区间的相对位置,简称“两看法”.只需作出一元二次函数相关部分的简图,利用数形结合法就可以得到问题的解. 变式训练3已知函数y=-x2+4x-2. (1)试述函数y的变化趋势及最大值或最小值; (2)若x∈[0,3],求y的最大值和最小值. 解 y=-x2+4x-2=-(x-2)2+2. (1)该函数的图象开口向下,对称轴为直线x=2,故在区间(-∞,2]上函数值y随自变量x的增大而增大,在区间[2,+∞)上,函数值y随自变量x的增大而减小.函数值y在x=2时取得最大值,最大值为2. (2)因为x∈[0,3],画出函数图象,如图所示. 由图可知,当x=2时,y取最大值,最大值为2; 当x=0时,y取最小值,最小值为-2. 探究点四　一元二次方程根的分布 【例4】 已知一元二次方程x2+(m+2)x+3+m=0的两个不相等的实数根都小于3,求实数m的取值范围. 解 (方法一)设方程的两个根分别为x1,x2,则x1+x2=-(m+2),x1x2=3+m, 要使方程的两个根都小于3,则需 (方法二)设一元二次方程x2+(m+2)x+3+m=0所对应的一元二次函数为y=x2+(m+2)x+3+m,二次项系数为1,函数图象开口向上.要使得方程x2+(m+2)x+3+m=0的2个根都小于3,也就是一元二次函数y=x2+(m+2)x+3+m的图象与x轴的两个交点都在3的左侧,则需 规律方法　一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)两根x1,x2(x1≠x2)的分布和二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的关系 变式训练4若一元二次方程x2+(m+2)x+3+m=0有两个根,且一根比3小,另一根比4大,求参数m的取值范围. 本节要点归纳 1.知识清单: (1)一元二次函数解析式的三种形式; (2)一元二次函数的图象及变换; (3)一元二次函数的性质. 2.方法归纳:配方法、数形结合、图象变换. 3.常见误区:易忽视一元二次函数的开口方向. 学以致用·随堂检测促达标 1 2 3 4 5 6 7 8 A 级 必备知识基础练 1.[探究点一]已知一元二次函数y= x2+2x+5,它的图象可以由函数y= x2的图象经过怎样的变换得到(　　) A.向左平移2个单位长度,再向下平移3个单位长度 B.向右平移2个单位长度,再向下平移3个单位长度 C.向左平移2个单位长度,再向上平移3个单位长度 D.向右平移2个单位长度,再向上平移3个单位长度 9 10 11 12 C 1 2 3 4 5 6 7 8 2. [探究点三]已知函数y=x2-4x+3,当0≤x≤m时,y的最小值为-1,最大值为3,则m的取值范围为(　　) A.[2,+∞) B.[0,2] C.[2,4] D.[-∞,4] C 解析 ∵y=x2-4x+3=(x-2)2-1, ∴当x=2时,y取得最小值,最小值为-1; 当y=3时,有x2-4x+3=3,解得x1=0,x2=4, ∴当x=0或4时,y=3. 又当0≤x≤m时,y的最小值为-1,最大值为3, ∴2≤m≤4. 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3.[探究点二]已知抛物线与x轴交于点(-1,0),(1,0),并且与y轴交于点(0,1),则抛物线的解析式为(　　) A.y=-x2+1 B.y=x2+1 C.y=-x2-1 D.y=x2-1 A 解析 设y=a(x-1)(x+1)(a≠0),代入(0,1),得a(0-1)(0+1)=-a=1, ∴a=-1, ∴y=1-x2. 故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 4.[探究点三]函数y=3+2x-x2(0≤x≤3)的最小值为(　　) A.-1 B.0 C.3 D.4 B 解析 ∵y=3+2x-x2=-(x-1)2+4,∴函数在[0,1]上y随着x的增大而增大,在[1,3]上y随着x的增大而减小.又当x=0时,y=3,当x=3时,y=0,∴y=3+2x-x2(0≤x≤3)的最小值为0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 5.[探究点三、四](多选题)下列关于二次函数y=(x-2)2-1的说法正确的 是(　　) A.∀x∈R,y=(x-2)2-1≥1 B.∀a>-1,∃x∈R,y=(x-2)2-1<a C.∀a<-1,∃x∈R,y=(x-2)2-1=a D.∃x1≠x2,(x1-2)2-1=(x2-2)2-1 BD 解析 二次函数y=(x-2)2-1的图象开口向上,对称轴方程为x=2,且最小值为-1.对于A,因为y=(x-2)2-1≥-1,所以∀x∈R,y=(x-2)2-1≥1错误,即A错误;对于B,因为二次函数y=(x-2)2-1≥-1,所以∀a>-1,∃x∈R,y=(x-2)2-1<a,故B正确;对于C,因为二次函数y=(x-2)2-1≥-1,所以∀a<-1,∃x∈R,y=(x-2)2-1=a错误,即C错误;对于D,令y=0,即(x-2)2-1=0,得x=3或x=1,所以∃x1≠x2,(x1-2)2-1=(x2-2)2-1,故D正确.故选BD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 6.[探究点四]已知m∈Z,一元二次方程x2+mx+3=0有两个实数根x1,x2,且0<x1<2<x2<4,则m=　　　　　.  -4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 7.[探究点一、二]已知抛物线y=ax2+6x-8与直线y=-3x相交于点A(1,m). (1)求抛物线的解析式; (2)指出(1)中的抛物线经过怎样的平移可以得到y=ax2的图象. 解 (1)由题意得,点A(1,m)在直线y=-3x上, ∴m=-3×1=-3. 把x=1,y=-3代入y=ax2+6x-8,得a+6-8=-3,求得a=-1,∴抛物线的解析式是y=-x2+6x-8. (2)∵y=-x2+6x-8=-(x-3)2+1, ∴把抛物线y=-x2+6x-8向左平移3个单位长度,再向下平移1个单位长度得到y=-x2的图象. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 8.[2024湖北武汉高一入学考试](多选题)如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分,图象过点A(-3,0),对称轴方程为x=-1.给出下面四个选项,正确的是(　　) A.b2>4ac B.2a-b=1 C.a-b+c=0 D.5a<b AD 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 解析 由图可知二次函数的图象与x轴交于两点,所以b2-4ac>0,即b2>4ac,故A正确;对称轴为x=-1,即- =-1,2a-b=0,故B错误;结合图象,当x=-1时,y>0,即a-b+c>0,故C错误;因为函数图象开口向下,所以a<0,所以5a<2a.又b=2a,所以5a<b,故D正确.故选AD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B 级 关键能力提升练 9.若函数y=x2-4x-2的定义域为[0,m],值域为[-6,-2],则m的取值范围是(　　) A.(0,2] B.(0,4] C.(2,4) D.[2,4] D 解析 由题得,函数y=x2-4x-2=(x-2)2-6的定义域为[0,m],值域为[-6,-2],且函数图象的对称轴为直线x=2.当x=2时,y=-6,当x=0时,y=-2,由二次函数的对称性,可知y=-2对应的另一个x的值为4,则值域为[-6,-2]时,对应x的取值范围为[0,4],故m的取值范围是[2,4].故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 10.(多选题)若关于x的一元二次方程(x-2)·(x-3)=m有实数根x1,x2,且x1<x2,则下列结论正确的有(　　) A.当m=0时,x1=2,x2=3 B.m>- C.当m>0时,2<x1<x2<3 D.当m>0时,x1<2<3<x2 ABD 解析 当m=0时,(x-2)(x-3)=0, ∴x1=2,x2=3,故A正确; 方程(x-2)(x-3)=m化为x2-5x+6-m=0, 由方程有两个不等实根得 Δ=25-4(6-m)=1+4m>0, ∴m>- ,故B正确; 当m>0时,画出函数y=(x-2)(x-3)和函数y=m的图象如图, 由(x-2)·(x-3)=m得,函数y=(x-2)·(x-3)和函数y=m的交点横坐标分别为x1,x2, 由图可知,x1<2<3<x2,故C错误,D正确. 故选ABD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 11.一元二次函数 的图象经过点(-2,2),求c的值及函数的最大值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 C 级 学科素养创新练 12.已知一元二次方程x2-(2k-1)x-k+1=0. (1)当实数k为何值时,方程有一根为正、一根为负? (2)当实数k为何值时,方程两根都为正数? (3)当实数k为何值时,方程一根大于1,一根小于1? 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (3)设y=x2-(2k-1)x-k+1, 由题意得,当x=1时,y<0, 即12-(2k-1)-k+1=3-3k<0, 所以k>1. 所以实数k的取值范围为(1,+∞). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 y=ax2+bx+c=a(x+)2+(a≠0).所以h=-,k=. 解 (1)使y=3x2-6x+2的值等于0的x的取值集合是{}; 使y=3x2-6x+2的值大于0的x的取值范围是{x|x<或x>}; 使y=3x2-6x+2的值小于0的x的取值范围是{x|<x<}. A.y=(x-8)2+5　 B.y=(x-4)2+5 C.y=(x-8)2+3 D.y=(x-4)2+3 解析 抛物线y=x2-6x+21=(x-6)2+3,它的顶点坐标是(6,3).将其向左平移2个单位长度,再向上平移2个单位长度,得到新抛物线的顶点坐标(4,5),所以新抛物线的解析式是y=(x-4)2+5. 得解得 解得 故所求二次函数的解析式为y=-(x+1)2+2=-x2-x+或y=(x+1)2-2=x2+x- a=-或a=, 分别代入上式,解得a=-或a= 故所求二次函数的解析式为y=-(x+3)(x-1)=-x2-x+ 或y=(x+3)(x-1)=x2+x- (x-)2- 得 将x1+x2=-(m+2),x1x2=3+m代入不等式组,得m>2或-<m<-2 即实数m的取值范围为(-,-2)∪(2,+∞). 解得m>2或-<m<-2 即实数m的取值范围为(-,-2)∪(2,+∞). 根值 图象 条件 x1<k,x2<k x1>k,x2>k 根值 图象 条件 x1<x2,m<x1<n,p<x2<q m<x1<n,m<x2<n 根值 图象 条件 x1<k<x2 ay<0 x1<m<n<x2 注:y表示当x=k时,对应的函数值. 解 设y=x2+(m+2)x+3+m=0,要使一元二次方程x2+(m+2)x+3+m=0有两个根,且一根比3小,另一根比4大,则 即解得m<- 即m的取值范围为(-∞,-). 解析 y=x2+2x+5=(x+2)2+3,显然C正确. 解析 因为一元二次方程x2+mx+3=0有两个实数根x1,x2,0<x1<2<x2<4,且其图象开口向上,所以所以即-<m<-因为m∈Z,所以m=-4. y=-x2+x+c 解 把点(-2,2)代入y=-x2+x+c中,得-+c=2,解得c=, ∴y=-x2+x+=-(x-1)2+5, ∴此函数图象开口向下,当x=1时,函数有最大值5. 解 设方程的两根为x1,x2. (1)由题意得解得k>1. 所以实数k的取值范围为(1,+∞). (2)由题意得解得k<1. 所以实数k的取值范围为[,1). $$