1.4.2 一元二次不等式及其解法、1.4.3 一元二次不等式的应用课件-2024-2025学年高一上学期数学北师大版（2019）必修第一册

4.2　一元二次不等式及其解法　4.3　一元二次不等式的应用 第一章　预备知识 北师大版 数学 必修第一册 基础落实·必备知识一遍过 重难探究·能力素养速提升 学以致用·随堂检测促达标 目录索引 课程标准 1.了解一元二次不等式的现实意义. 2.能够借助一元二次函数求解一元二次不等式;并能用集合表示一元二次不等式的解集. 3.借助一元二次函数的图象,了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系. 基础落实·必备知识一遍过 知识点1　一元二次不等式的概念 1.定义:一般地,形如ax2+bx+c>0,或ax2+bx+c<0,或ax2+bx+c≥0,或ax2+bx+c≤0(其中,x为未知数,a,b,c均为常数,且a≠0)的不等式叫作一元二次不等式. 2.使一元二次不等式成立的所有未知数的值组成的集合叫作这个一元二次不等式的解集. 名师点睛 1.一元二次不等式中的“一元”是指不等式中所要求解的未知数,并且这个未知数是唯一的,但这并不是说不等式中不能含有其他字母,若含有其他字母,则把其他字母看成常数. 2.一元二次不等式中的“二次”是指所要求解的未知数的最高次数必须是2,且最高次项的系数不为0. 思考辨析 一元二次不等式的一般形式中“a≠0”可以省略吗? 提示 不能,必须保证a≠0. 自主诊断 1.判断正误.(正确的画√,错误的画×) (1)mx2-5x>0是一元二次不等式.(　　) (2)若m为不为0的实数,则mx2+5>0是一元二次不等式.(　　) × √ 2.已知下列不等式:①ax2+2x+1>0;②x2-y>0;③-x2-3x<0;④ >0,其中一元二次不等式的个数为(　　)　 　　　　　　　　　　　　 A.1 B.2 C.3 D.4 A 解析 ①中当a=0时,它不是一元二次不等式;②中有两个未知数,它不是一元二次不等式;③是一元二次不等式;④是分式不等式. 知识点2　一元二次不等式的解法 一元二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系如下表: y=ax2+bx+c(a>0) 方程ax2+bx+c=0的判别式Δ=b2-4ac Δ>0 Δ=0 Δ<0 方程ax2+bx+c=0的实数根 有两相异实数根 x1,2= (x1<x2) 有两相等实数根x1=x2=- 没有 实数根 函数y=ax2+bx+c的图象       y=ax2+bx+c(a>0) 方程ax2+bx+c=0的判别式Δ=b2-4ac Δ>0 Δ=0 Δ<0 不等式ax2+bx+c>0的解集 (-∞,x1)∪(x2,+∞)   R 不等式ax2+bx+c<0的解集 (x1,x2) ⌀ ⌀ 名师点睛 一元二次不等式ax2+bx-c>0(a>0)的求解方法,如图. 说明:图中的函数图象仅为示意图 思考辨析 1.对任意的一元二次不等式,求解集的关键点有哪些?       2.一元二次不等式ax2+bx+c>0恒成立的含义是什么,系数a,b,c之间有什么关系? 提示 ①抛物线y=ax2+bx+c与x轴的位置情况,也就是一元二次方程ax2+bx+c=0的根的情况;②抛物线y=ax2+bx+c的开口方向,也就是a的正负. 提示 一元二次不等式ax2+bx+c>0恒成立的含义是指不等式的解集为R,系数a,b,c之间的关系是a>0且Δ=b2-4ac<0. 自主诊断 1.判断正误.(正确的画√,错误的画×) (1)若a>0,则一元二次不等式ax2+1>0无解.(　　) (2)若一元二次方程ax2+bx+c=0的两根为x1,x2(x1<x2),则一元二次不等式ax2+bx+c<0的解集为{x|x1<x<x2}.(　　) × × 2.[人教B版教材例题]求不等式x2-x-2>0的解集. 解 因为x2-x-2=(x+1)(x-2), 所以原不等式等价于(x+1)(x-2)>0, 因此所求解集为(-∞,-1)∪(2,+∞). 3.[人教A版教材习题]x是什么实数时,下列各式有意义? 重难探究·能力素养速提升 探究点一　一元二次不等式的求解 【例1】 解下列不等式: (1)2x2-3x-2>0; (2)-3x2+6x-2>0; (3)4x2-4x+1≤0; (4)x2-2x+2>0. (4)因为x2-2x+2=0的判别式Δ=4-4×1×2=-4<0,所以方程x2-2x+2=0无实数解.又因为函数y=x2-2x+2的图象是开口向上的抛物线,所以原不等式的解集为R. 规律方法　解不含参数的一元二次不等式的一般步骤 (1)化标准.通过对不等式的变形,使不等式的右侧为0,使二次项系数为正. (2)判别式.对不等式的左侧进行因式分解,若不能分解,则计算对应方程的判别式. (3)求实根.求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程无实根. (4)画图象.根据一元二次方程根的情况画出对应的一元二次函数的图象. (5)写解集.根据图象写出不等式的解集. 变式训练1解下列不等式: (1)4x2-20x<-25; (2)(x-3)(x-7)<0; (3)-3x2+5x-4<0; (4)x(1-x)≥x(2x-3)+1. 解 (1)不等式可化为4x2-20x+25<0,由于Δ=0,且对应的二次函数的图象是开口向上的抛物线,所以不等式的解集是⌀. (2)不等式对应方程的两个根是3和7,且对应的二次函数的图象是开口向上的抛物线,故不等式的解集是{x|3<x<7}. (3)不等式-3x2+5x-4<0可化为3x2-5x+4>0,由于判别式Δ=25-48=-23<0,函数y=3x2-5x+4的图象开口向上,所以不等式的解集是R. (4)不等式x(1-x)≥x(2x-3)+1可化为3x2-4x+1≤0.因为方程3x2-4x+1=0的两个根是 ,1,函数y=3x2-4x+1的图象开口向上, 所以不等式的解集是 探究点二　分式不等式的求解 【例2】 解下列不等式: 规律方法　1.分式的分子、分母同号时,分式为正;异号时为负.转化为整式后分子、分母作为两因式之积,同样是同号时为正,异号时为负. 2.分式不等式的解法:先通过移项、通分整理成标准型 (≤0),再化成整式不等式来解.如果能判断出分母的正负,直接去分母也可. 变式训练2解下列不等式: 探究点三　不等式中的含参类问题 角度1已知不等式的解集求参数值 【例3-1】 求实数a,b的值,使得关于x的不等式ax2+bx+a2-1≤0的解集分别为: (1)[-1,2]; (2)(-∞,-1]∪[2,+∞); (3)[-1,+∞). (3)由题意知,原不等式必为一元一次不等式,所以a=0,从而不等式变为 规律方法　1.一元二次不等式的解集的端点就是对应的一元二次方程的根,要充分利用这个关系解题. 2.不等式解集的形式与二次项系数有直接的关系,对于关于x的一元二次不等式a(x-x1)(x-x2)>0(x1<x2),当a>0时,其解集是{x|x<x1,或x>x2},当a<0时,其解集是{x|x1<x<x2}. 变式训练3已知关于x的不等式x2+ax+b<0的解集为(1,2),求关于x的不等式bx2+ax+1>0的解集.  解 ∵关于x的不等式x2+ax+b<0的解集为(1,2), ∴1,2是关于x的方程x2+ax+b=0的两个根. 将其代入所求不等式bx2+ax+1>0,得2x2-3x+1>0. 由2x2-3x+1>0,得(2x-1)(x-1)>0,解得x< 或x>1.故bx2+ax+1>0的解集为 角度2含参数的一元二次不等式的解法 【例3-2】 解关于x的不等式ax2-(a+1)x+1<0. 规律方法　解含参数的一元二次不等式的步骤 变式训练4解关于x的不等式x2+3ax-4a2<0(a∈R). 解 由于x2+3ax-4a2<0可化为(x-a)(x+4a)<0,且方程(x-a)(x+4a)=0的两个根分别是a和-4a. 当a=-4a,即a=0时,不等式的解集为⌀; 当a>-4a,即a>0时,解不等式为-4a<x<a; 当a<-4a,即a<0时,解不等式为a<x<-4a. 综上所述,当a=0时,不等式的解集为⌀; 当a>0时,不等式的解集为{x|-4a<x<a}; 当a<0时,不等式的解集为{x|a<x<-4a}. 角度3不等式的恒成立问题 【例3-3】 (1)已知不等式kx2+2kx-(k+2)<0恒成立,求实数k的取值范围. 解 当k=0时,原不等式化为-2<0,显然符合题意. 当k≠0时,令y=kx2+2kx-(k+2),由y<0恒成立, ∴其图象都在x轴的下方,即开口向下,且与x轴无交点. 综上,实数k的取值范围是(-1,0]. (2)当x∈[1,2]时,不等式x2+mx+4<0恒成立,求实数m的取值范围. 解 令y=x2+mx+4. ∵y<0在[1,2]上恒成立,∴y=0的根一个在(-∞,1)上,另一个在(2,+∞)上. ∴实数m的取值范围是(-∞,-5). 规律方法　1.如图①,一元二次不等式ax2+bx+c>0(a≠0)在R上恒成立⇔一元二次不等式ax2+bx+c>0(a≠0)的解集为R⇔一元二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象恒在x轴上方⇔ymin>0⇔ 图① 图② 2.如图②,一元二次不等式ax2+bx+c<0(a≠0)在R上恒成立⇔一元二次不等式ax2+bx+c<0(a≠0)的解集为R⇔一元二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象恒在x轴下方⇔ymax<0⇔ 3.含参数的一元二次不等式在某一区间上恒成立问题,求解时主要有两种方法:一种是将参数分离,转化为恒成立问题;另一种是利用一元二次不等式根的分布及数形结合思想求解. 变式训练5[2024山西大同高一期末]设函数y=mx2-mx-1. (1)若对于一切实数x,y<0恒成立,求实数m的取值范围; ★(2)对于x∈{x|1≤x≤3},y<-m+5恒成立,求m的取值范围. 解 (1)若m=0,显然y=-1<0恒成立; 综上,m的取值范围为{m|-4<m≤0}. (2)y<-m+5恒成立,即mx2-mx-1+m-5<0恒成立, 即m(x2-x+1)-6<0恒成立, 探究点四　一元二次不等式的实际应用 【例4】 行驶中的汽车,在刹车时由于惯性作用,要继续往前滑行一段距离才能停下,这段距离叫作刹车距离.在某种路面上,某种型号汽车的刹车距离s(单位:m)与汽车的车速v(单位:km/h)满足下列关系: (n为常数,且n∈N),做了两次刹车实验,有关实验数据如图所示,其中 (1)求n的值; (2)要使刹车距离不超过12.6 m,则行驶的最大速度是多少? 变式探究本例中,条件不变,若该型号的汽车在某一限速为80 km/h的路段发生了交通事故,交警进行现场勘查,测得该车的刹车距离超过了25.65 m,试问该车是否超速行驶?  解 由题意知s>25.65,即 >25.65,即v2+24v-10 260>0,解得v>90或v<-114. 由于v≥0,所以该车当时的速度v>90>80,因此该车超速行驶. 规律方法　用一元二次不等式解决实际问题的操作步骤 (1)理解题意,搞清量与量之间的关系. (2)建立相应的不等关系,把实际问题抽象为数学中的一元二次不等式问题. (3)解一元二次不等式,得到实际问题的解. 本节要点归纳 1.知识清单: (1)解一元二次不等式的常见方法; (2)与一元二次不等式有关的恒成立问题; (3)利用不等式解决实际问题. 2.方法归纳:数形结合、分类讨论、转化、恒等变形. 3.常见误区:忽略二次项系数的符号;利用一元二次不等式解决实际问题时,应注意实际意义. 学以致用·随堂检测促达标 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 A 级 必备知识基础练 1. [探究点一]不等式x-x2>0的解集是(　　) A.(0,1) B.(-∞,-1)∪(0,+∞) C.(-1,0) D.(-∞,0)∪(1,+∞) A 解析 一元二次不等式对应方程的两根为0和1,且抛物线开口向下,所以解集为{x|0<x<1}. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2. [探究点一][2023陕西宝鸡质检]若集合A={x|(2x+1)(x-3)<0}, B={x|x∈N+,x≤5},则A∩B等于(　　) A.{1,2,3} B.{1,2} C.{4,5} D.{1,2,3,4,5} B 解析 ∵(2x+1)(x-3)<0,∴- <x<3.又x∈N+且x≤5,则x=1,2.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3.[探究点二·2024江苏南京高一期末]若关于x的不等式ax-b>0的解集为(1,+∞),则关于x的不等式 >0的解集为(　　) A.{x|x<-2或x>1} B.{x|1<x<2} C.{x|x<-1或x>2} D.{x|-1<x<2} C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4. [探究点四]某商场若将进货单价为8元的商品按每件10元出售,每天可销售100件,现准备采用提高售价来增加利润,已知这种商品每件销售价提高1元,销售量就要减少10件.那么要保证每天所赚的利润在320元以上,销售价每件应定为(　　) A.12元 B.16元 C.12元到16元之间 D.10元到14元之间 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析 设销售价定为每件x元,利润为y, 则y=(x-8)[100-10(x-10)], 依题意,得(x-8)[100-10(x-10)]>320, 即x2-28x+192<0,解得12<x<16, 所以每件销售价应定为12元到16元之间. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5. [探究点三](多选题) 已知一元二次函数y=ax2+bx+c,且不等式y>-2x的解集为(1,3),则(　　) A.a<0 B.方程ax2+bx+c=0的两根为1,3 C.b=-4a-2 D.若方程y+6a=0有两个相等的根,则实数a=- ACD 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6. [探究点一]设x∈R,使不等式3x2+x-2<0成立的x的取值范围为　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.[探究点三·2024吉林梅河口高一期末]若关于x的不等式 (m-1)x2+(m-1)x+2>0的解集为R,则实数m的取值范围是　　　　　.  [1,9) 解析 关于x的不等式(m-1)x2+(m-1)x+2>0的解集为R,当m-1=0,即m=1时,不等式化为2>0,显然恒成立,符合题意;当m-1≠0,即m≠1时,则 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8.[探究点三]解关于x的不等式:ax2+(2-4a)x-8>0. 解 若a=0,不等式可化为2x-8>0, 所以x>4,不等式的解集为{x|x>4}. 若a≠0,不等式可化为(ax+2)(x-4)>0, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9. [探究点三]已知函数y=x2-2x+a,且不等式y<0的解集为{x|-1<x<t}. (1)求实数a,t的值; (2)实数c为何值时,一元二次不等式(c+a)x2+2(c+a)x-1<0的解集为R. 解 (1)∵x2-2x+a<0的解集为{x|-1<x<t}, ∴-1+t=2,-1×t=a,解得t=3,a=-3. (2)由(1)可知a=-3,代入得(c-3)x2+2(c-3)x-1<0, ∵其解集为R, 故实数c的取值范围为(2,3]. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 B 级 关键能力提升练 10.(多选题)已知命题p:∀x∈R,x2+ax+4>0,则命题p是真命题的一个充分不必要条件可以是(　　) A.a∈[-1,1] B.a∈(-4,4) C.a∈[-4,4] D.a∈{0} AD 解析 由题意知命题p:∀x∈R,x2+ax+4>0, ∴Δ=a2-16<0,∴-4<a<4,∴命题p成立的一个充分不必要条件是(-4,4)的真子集.故AD符合. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 11.在R上定义运算“☉”:a☉b=ab+2a+b,则满足x☉(x-2)<0的实数x的取值范围为(　　) A.{x|0<x<2} B.{x|-2<x<1} C.{x|x<-2或x>1} D.{x|-1<x<2} B 解析 根据给出的定义,得x☉(x-2)=x(x-2)+2x+(x-2)=x2+x-2=(x+2)(x-1).因为x☉(x-2)<0,所以(x+2)(x-1)<0,所以不等式的解集是{x|-2<x<1}. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12.一元二次不等式x2+ax+b≤0(a,b∈R)的解集为{x|x1≤x≤x2},且|x1|+|x2|≤2,下列结论正确的是(　　) A.|a+2b|≥2 B.|a+2b|≤2 C.|a|≥1 D.b≤1 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.若不等式x2+mx+m≥0在x∈[1,2]上恒成立,则实数m的最小值为　　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14.某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果,假设每箱售价不得低于50元且不得高于55元.市场调查发现,若每箱以50元的价格销售,平均每天销售90箱.价格每提高1元,平均每天少销售3箱. (1)求平均每天的销售量y(单位:箱)与销售单价x(单位:元/箱)之间的函数关系. (2)求该批发商平均每天的销售利润w(单位:元)与销售单价x(单位:元/箱)之间的函数关系. (3)当每箱苹果的售价为多少元时,可以获得最大利润?最大利润是多少?  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解 (1)根据题意,得y=90-3(x-50), 化简,得y=-3x+240(50≤x≤55,x∈N). (2)因为该批发商平均每天的销售利润=平均每天的销售量×每箱销售利润. 所以w=(x-40)(-3x+240)=-3x2+360x-9 600(50≤x≤55,x∈N). (3)因为w=-3x2+360x-9 600=-3(x-60)2+1 200,所以当x<60时,w随x的增大而增大. 又50≤x≤55,x∈N,所以当x=55时,w有最大值,最大值为1 125. 所以当每箱苹果的售价为55元时,可以获得最大利润,且最大利润为1 125元. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 C 级 学科素养创新练 15.在R上定义运算:|ac　bd|=ad-bc.若不等式|x-1a+1　a-2x|≥1对任意实数x恒成立,则实数a的最大值为　　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.已知关于x的不等式(kx-k2-4)(x-4)>0的解集为A,其中k∈R. (1)若5∈A,求实数k的取值范围. (2)求不等式的解集A. (3)是否存在实数k,使得上述不等式的解集A中只有有限个整数?若存在,求出使得A中整数个数最少的k的值;若不存在,请说明理由. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解 (1)由题意(5k-k2-4)(5-4)>0,解得1<k<4,所以k的取值范围是{k|1<k<4}. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (3)存在,当k=-2时A中整数个数最少. 由(2)知,当k≥0时,A中整数的个数为无限个; 当k<0时,A中整数的个数为有限个. (1);(2). 解 (1)要使有意义,需x2-4x+9≥0. 因为Δ=-20<0,所以方程x2-4x+9=0无实数根,所以不等式x2-4x+9≥0的解集为R,因此,当x∈R时,有意义. (2)要使有意义,需-2x2+12x-18≥0,即(x-3)2≤0,所以x=3. 因此,当x=3时,有意义. 解 (1)方程2x2-3x-2=0的解是x1=-,x2=2. 因为不等式对应的函数的图象是开口向上的抛物线, 所以原不等式的解集是 (2)不等式可化为3x2-6x+2<0. 方程3x2-6x+2=0的解是x1=1-,x2=1+ 因为不等式对应的函数的图象是开口向上的抛物线,所以原不等式的解集是 (3)方程4x2-4x+1=0的解是x1=x2=,又知不等式对应的函数的图象是开口向上的抛物线,所以原不等式的解集是 (1)<0;(2)≥0;(3)>1. 解 (1)原不等式可化为(x+1)(2x-1)<0,∴-1<x<, 故原不等式的解集为{x|-1<x<}. (2)原不等式可化为0, 即-<x≤1. 故原不等式的解集为{x|-<x≤1}. (3)原不等式可化为-1>0, >0,即>0, ∴x+2<0,∴x<-2. 故原不等式的解集为{x|x<-2}. ≥0 (1)≥0; (2)>1. 解 (1)原不等式可化为 解得x<-或x, ∴原不等式的解集为{x|x<-,或x}. (2)(方法一)原不等式可化为 解得-3<x<-, ∴原不等式的解集为{x|-3<x<-}. (方法二)原不等式可化为>0,化简得>0,即<0, ∴(2x+1)(x+3)<0,解得-3<x<- ∴原不等式的解集为{x|-3<x<-. 解 (1)由题意知a>0,且-1和2是关于x的方程ax2+bx+a2-1=0的两个根,所以有解得a=-1+,b=1- (2)由题意知a<0,且-1和2是关于x的方程ax2+bx+a2-1=0的两个根,所以有解得a=-1-,b=1+ bx-1≤0,于是应有所以b=-1. 由根与系数的关系,得解得 (1,+∞). 解 ①当a=0时,原不等式即为-x+1<0,解得x>1. ②当a<0时,原不等式化为(x-1)>0,解得x<或x>1. ③当a>0时,原不等式化为(x-1)<0. 若a=1,即=1时,不等式无解; 若a>1,即<1时,解得<x<1; 若0<a<1,即>1时,解得1<x< 综上可知,当a<0时,不等式的解集为{x|x<或x>1}; 当a=0时,不等式的解集为{x|x>1}; 当0<a<1时,不等式的解集为; 当a=1时,不等式的解集为⌀; 当a>1时,不等式的解集为 解得-1<k<0. 若m≠0,则解得-4<m<0. ∵x2-x+1=(x-)2+>0,∴m<恒成立. ∵当1≤x≤3时,函数y=的最小值为,∴只需m<即可, ∴m的取值范围为{m|m<}. s= 解 (1)由题意得 解得因为n∈N,所以n=6. (2)由于刹车距离不超过12.6 m,即s≤12.6,所以12.6,因此v2+24v-5 040≤0,解得-84≤v≤60.因为v≥0,所以0≤v≤60,即行驶的最大速度为60 km/h. 解析 ∵ax-b>0的解集为(1,+∞),∴a>0,ax-b>0可化为x>,=1,即a=b,>0可化为>0,∴a(x+1)(x-2)>0,∴x>2或x<-1.故选C. 解析 由于y>-2x的解集为(1,3),即ax2+(b+2)x+c>0的解集为(1,3),则a<0,且1,3为方程ax2+(b+2)x+c=0的根. ∴1+3=-,1×3=,∴b=-4a-2,c=3a,故A,C正确,B错误; 对于D项,y+6a=0有两个相等的根,即ax2-(4a+2)x+9a=0有两个相等的根,∴Δ=[-(4a+2)]2-36a2=0,∵a<0,∴a=-,故D正确. (-1,) 解析 由3x2+x-2<0,得(x+1)(3x-2)<0. 解得-1<x<满足题意的x的取值范围是(-1,). 解得1<m<9.综上,实数m的取值范围是[1,9). 令(ax+2)(x-4)=0,得x=-,或x=4. 若a>0,则-<4, 所以不等式的解集为xx>4或x<-. 若a<0,当-<4,即a<-时,不等式的解集为x-<x<4; 当->4,即-<a<0时,不等式的解集为x4<x<-; 当-=4,即a=-时,不等式的解集为空集. 综上,当a=0时,不等式的解集为{x|x>4}; 当a>0时,不等式的解集为xx>4或x<-; 当a<-时,不等式的解集为x-<x<4; 当-<a<0时,不等式的解集为x4<x<-; 当a=-时,不等式的解集为空集. 或c=3,解得2<c≤3. 解析 由题意得又|x1|+|x2|≤2,不妨令x1=-1,x2=0,则a=1,b=0,则|a+2b|=1,A不成立;令x1=x2=-1,则a=2,b=1,则|a+2b|=4,B不成立;令x1=-1,x2=1,则a=0,b=-1,则|a|=0,C不成立;b=x1x2≤()2≤()2≤1,当且仅当x1=x2=1时,等号成立,D正确. -　 解析 令y=x2+mx+m,若不等式x2+mx+m≥0在x∈[1,2]上恒成立, 则有Δ=m2-4m≤0,或解得m∈[-,+∞),实数m的最小值为- 解析 根据给出的定义,得|x-1a+1　a-2x|=x(x-1)-(a-2)(a+1)≥1,即x2-x-1≥(a+1)(a-2)对任意x恒成立.因为x2-x-1=(x-)2--,所以-a2-a-2,解得-a,故a的最大值为 (2)当k=0时,不等式化为-4(x-4)>0, 所以x<4,A={x|x<4}; 当k>0时,不等式化为(x-k-)(x-4)>0, 令(x-k-)(x-4)=0,得x=k+,或x=4. 当k>0且k≠2时,k+>4, 所以A={x|x<4,或x>k+}; 当k=2时,k+=4,所以A={x|x≠4}; 当k<0时,不等式化为(x-k-)(x-4)<0,易知k+<0<4,所以A={x|k+<x<4}. 综上,当k>0且k≠2时,A=xx<4,或x>k+; 当k=2时,A={x|x≠4}; 当k=0时,A={x|x<4}; 当k<0时,A=xk+<x<4. 要使A中整数的个数最少,则k+取最大值. 因为k+-4,当且仅当k=-2时,等号成立, 所以当k=-2时,A中整数的个数最少. $$