1.1.1 集合的概念与表示（第1课时 集合的概念）课件-2024-2025学年高一上学期数学北师大版（2019）必修第一册

第一章 预备知识 1.1 集合的概念与表示 第1课时 集合的概念 北师大版 数学 必修第一册 基础落实 必备知识一遍过 重难探究 能力素养速提升 学以致用 随堂检测促达标 目录索引 课程标准 1.通过实例,了解集合的含义. 2.掌握集合中元素的三个特性. 3.理解元素与集合的“属于”关系. 4.记住常用数集及其记法. 基础落实 必备知识一遍过 知识点1 集合的概念 不能缺少任何一员 一般地,我们把指定的某些对象的全体称为集合,通常用大写英文字母A,B,C,…表示. 集合中的 叫作这个集合的元素,通常用小写英文字母a,b,c,…表示. 名师点睛 组成集合的对象可以是数、图形、符号等,也可以是人或物等. 每个对象 思考辨析 1.你能举例说出:初中阶段,我们在代数方面学习过的集合吗? 2.[人教B版教材习题]你所在的班级中,高个子同学能组成一个集合吗?为什么? 提示 自然数集合,有理数集合,实数集合,方程解的集合,不等式解的集合等. 提示 不能,因为高个子没有明确的标准. 自主诊断 1.判断正误.(正确的画√,错误的画 ) (1)组成集合的元素一定是数.( ) (2)接近于0的数可以组成集合.( ) 2.判断下列每组对象能否组成一个集合. (1)不超过36的非负数; (2)方程x2-10=0在实数范围内的解; (3)某校2024年在校的所有成绩好的同学; (4) 的近似值的全体. 解 (1)对任意一个实数能判断出是不是“不超过36的非负数”,所以能组成集合; (2)方程的解能组成集合; (3)“成绩好”无明确的标准,因此不能组成一个集合; (4)“ 的近似值”不明确精确到什么程度,所以不能组成集合. 知识点2 元素与集合的关系 关系 语言表述 符号表示 读法 属于 元素a在集合A中 元素a属于集合A 不属于 元素a不在集合A中 元素a不属于集合A 名师点睛 1.a∈A与a∉A取决于元素a是否在集合A中,这两种情况有且只有一种成立. 2.元素与集合之间只能用符号“∈”“∉”,表示元素与集合之间的从属关系,具有方向性. a∈A a∉A 自主诊断 判断正误.(正确的画√,错误的画 ) 设集合A表示小于10的所有质数组成的集合, (1)4是集合A中的元素,即4属于集合A,记作4∈A.( ) (2)9不是集合A中的元素,即9不属于集合A,记作9∉A.( ) √ 知识点3 集合中元素的三个特性 特性 含义 示例 确定性 集合中的元素必须是确定的,即有明确的判断标准来判断给定的元素是不是属于某一集合 “个子高的人”不能组成集合,“身高大于180 cm的人”可以组成集合 互异性 一个集合中的任何两个元素都不相同,也就是说,集合中的元素没有重复 方程(x-1)2=0的所有根组成的集合中只有“1”一个元素 无序性 集合中的所有元素不存在排列次序 如1,2,3与3,2,1组成的集合表示同一个集合 名师点睛 1.确定性的作用是判断一组对象能否组成集合. 2.互异性的作用是警示我们做题后要检验.特别是题中含有参数(字母)时,一定要检验求出的参数是否使集合的元素满足互异性. 思考辨析 1.方程x2+2x+1=0的解集中含有几个元素? 2.某个等腰三角形的边长组成的集合中有几个元素?正三角形呢? 3.改变一个集合中元素的顺序,这个集合还是原来的集合吗? 提示 1个元素. 提示 1个或2个元素,1个元素. 提示 是. 自主诊断 1.判断正误.(正确的画√,错误的画 ) (1)元素1,2,3和元素3,2,1组成的集合是不相同的.( ) (2)一个集合中可以找到两个相同的元素.( ) 2.已知a为实数,a-1和1是一个集合中的两个元素,则a应满足的条件是 . a≠2 解析 根据集合中元素的互异性可知a-1≠1,即a≠2. 3.[人教A版教材习题]判断下列元素的全体是否组成集合,并说明理由: (1)A,B是平面 内的定点,在平面 内与A,B等距离的点; (2)高中学生中的游泳能手. 解 (1)在平面 内与定点A,B等距离的点可以组成集合.理由:这些点是确定的,即线段AB垂直平分线上的点. (2)高中学生中的游泳能手不能组成集合.理由:游泳能手这一特征不明确. 知识点4 几种常用的数集及其记法 集合 意义 记法 自然数集 全体自然数组成的集合 N 正整数集 全体正整数组成的集合 N+或N* 整数集 全体整数组成的集合 Z 有理数集 全体有理数组成的集合 Q 实数集 全体实数组成的集合 R 正实数集 全体正实数组成的集合 R+ 名师点睛 常用数集之间的关系 思考辨析 正整数集和自然数集的区别是什么? 提示 自然数集中有0这个元素,正整数集中没有0这个元素. 自主诊断 1.判断正误.(正确的画√,错误的画 ) (1)0∈N+.( ) (2)33∈N.( ) (3)N∈R.( ) (4) ∈Q.( ) √ 2.[人教A版教材习题]用符号“∈”或“∉”填空: 0 N;-3 N; 0.5 Z; Z; Q; R. ∈ ∉ ∉ ∉ ∈ ∈ 重难探究 能力素养速提升 探究点一 集合的概念 【例1】(1)下列各组对象不能组成集合的是( ) A.大于6的所有整数 B.高中数学的所有难题 C.被3除余2的所有整数 D.函数y= 图象上所有的点 B 解析 选项A,C,D中的元素具有确定性;而选项B中,“难题”没有明确标准,不符合集合中元素的确定性,不能组成集合. (2)给出下列各组对象: ①我们班比较高的同学;②无限接近于0的数的全体;③比较小的正整数的全体;④平面上到点O的距离等于1的点的全体;⑤正三角形的全体;⑥ 的近似值的全体. 其中能够组成集合的有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 B 解析 ①②③⑥不能组成集合,因为没有明确的判断标准;④⑤可以组成集合,“平面上到点O的距离等于1的点”和“正三角形”都有明确的判断标准. 规律方法 一般地,确认一组对象a1,a2,a3,…,an(a1,a2,…,an均不相同)能否构成集合的过程为: 变式训练1(1)下列给出的对象中能组成集合的是( ) A.著名物理学家 B.很大的数 C.聪明的人 D.小于3的实数 D 解析 只有选项D有明确的标准,能组成一个集合. (2)下列各组对象可以组成集合的是( ) A.数学必修第一册课本中所有的难题 B.小于8的所有素数 C.一些点 D.所有小的正数 B 解析 A中“难题”的标准不确定,不能组成集合;B能组成集合;C中“一些点”无明确的标准,对于某个点是否在“一些点”中无法确定,不能组成集合;D中“小”没有明确的标准,所以不能组成集合. 探究点二 元素与集合的关系 【例2】 (1)下列所给关系正确的个数是( ) ①|- |∈R;② ∉Q;③0∈Z;④|-1|∉N+. A.1 B.2 C.3 D.4 C 解析 根据各个数集的含义可知,①②③正确,④不正确.故选C. (2)我们在初中学习过一元二次方程及其解法.设A是方程x2-ax-5=0的解组成的集合. ①0是不是集合A中的元素? ②若-5∈A,求实数a的值. ③若1∉A,求实数a满足的条件. 解 ①将x=0代入方程左边,得02-a 0-5=-5≠0,所以0不是集合A中的元素. ②若-5∈A,则有(-5)2-(-5)a-5=0,解得a=-4. ③若1∉A,则12-a 1-5≠0,解得a≠-4. (3)若集合A是由所有形如3a+ b(a∈Z,b∈Z)的数组成的,判断-6+2 是不是集合A中的元素. 规律方法 判断元素与集合的关系的两种方法 变式训练2(1)下列关系正确的是( ) A. ∈N B.-1∈N C. ∈N D.9∈N D (2)已知集合A是由形如m+ n(其中m,n∈Z)的数组成的,判断 是不是集合A中的元素. 探究点三 集合中元素的特性及其应用 【例3】 已知集合A含有三个元素a-2,2a2+5a,12.若-3∈A,求实数a的值. 变式探究本例中集合A中含有三个元素,实数a的取值是否有限制? 规律方法 由集合中元素的特性求解字母取值的步骤 本节要点归纳 1.知识清单: (1)元素与集合的概念、元素与集合的关系; (2)集合中元素的三个特性及其应用; (3)常用数集的表示. 2.方法归纳:分类讨论. 3.常见误区:忽视集合中元素的互异性. 学以致用 随堂检测促达标 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 A 级 必备知识基础练 1.[探究点一](多选题)下列所给对象能组成集合的是( ) A.一个平面内的所有点 B.所有小于零的实数 C.某校高一(1)班有个性的学生 D.某一天到商场买过商品的顾客 ABD 解析 “一个平面内的所有点”的标准确定,能组成集合;“所有小于零的实数”的标准确定,能组成集合;“某校高一(1)班有个性的学生”中“有个性”的标准不确定,因而不能组成集合;“某一天到商场买过商品的顾客”的标准确定,能组成集合.故选ABD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 2. [探究点三]已知集合M是由满足y= (其中x∈N+, ∈Z)的实数y组成的,则M中含有的元素个数为( ) A.4 B.6 C.8 D.12 B 解析 由题意,可知y可取的值为1,2,3,4,6,12,共6个.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 3.[探究点二]有下列说法:①集合N中最小的数为1;②若-a∈N,则a∈N;③若a∈N,b∈N,则a+b的最小值为2;④所有小的正数组成一个集合.其中正确的个数是( ) A.0 B.1 C.2 D.3 A 解析 N中最小的数为0,所以①错;由-(-2)∈N而-2∉N可知②错;若a∈N,b∈N,则a+b的最小值为0,所以③错;“小”没有明确的标准,所以④错.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 4. [探究点二]已知集合A中元素x满足x=3k-1,k∈Z,则下列结论正确的是( ) A.-1∉A B.-11∈A C.3k2-1∈A D.-34∉A C 解析 当k=0时,3k-1=-1,故-1∈A,选项A错误; 若-11∈A,则-11=3k-1,解得k= ∉Z,选项B错误; 令3k2-1=3k-1,得k=0,或k=1,即3k2-1∈A,选项C正确; 当k=-11时,3k-1=-34,故-34∈A,选项D错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 5.[探究点三]有下列说法:①集合N与集合N+是同一个集合;②集合N中的元素都是集合Z中的元素;③集合Q中的元素都是集合Z中的元素;④集合Q中的元素都是集合R中的元素,其中正确的有 .(填序号) ②④ 解析 因为集合N+表示正整数集,N表示自然数集,Z表示整数集,Q表示有理数集,R表示实数集,所以①③中的说法不正确,②④中的说法正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 6. [探究点三]已知集合A中含有0,2,5三个元素,B中含有1,2,6三个元素,定义集合C中的元素是a+b,其中a∈A,b∈B,则C中元素的个数是 . 8 解析 若a∈A,b∈B,则a+b的取值分别为1,2,3,4,6,7,8,11,则集合C中有8个 元素. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 B 级 关键能力提升练 7.(多选题)下面说法不正确的是( ) A.集合N中最小的数是0 B.若-a不属于N,则a属于N C.若a∈N,b∈N,则a+b的最小值为2 D.x2+1=2x的解集可表示为{1,1} BCD 解析 因为集合N中最小的数是0,所以A说法正确; 因为N表示自然数集,-0.5∉N,0.5∉N,所以B说法不正确;当a=0,b=1时,a+b=1<2,所以C说法不正确; 根据集合中元素的互异性知D说法不正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 8.已知x,y为非零实数,代数式 的值所组成的集合是M,则集合M中的元素为 . -1,3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 9.已知集合M有2个元素x,2-x,若-1∉M,则下列说法一定错误的是 .(填序号) ② 解析 依题意 解得x≠-1,x≠1且x≠3,当x=2或2-x=2,即x=2或0时,M 中的元素为0,2,故①可能正确;当x=1或2-x=1,即x=1时,M中两元素都为1,不满足互异性,故②不正确;③显然正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 10.已知集合A中含有两个元素a-3和2a-1. (1)若-3是集合A中的元素,试求实数a的值. (2)-5能否为集合A中的元素?若能,试求出该集合中的所有元素;若不能,请说明理由. 解 (1)因为-3是集合A中的元素,所以-3=a-3或-3=2a-1. 若-3=a-3,则a=0, 此时集合A含有两个元素-3,-1,符合要求; 若-3=2a-1,则a=-1, 此时集合A中含有两个元素-4,-3,符合要求. 综上所述,满足题意的实数a的值为0或-1. (2)不能.理由如下:若-5为集合A中的元素,则a-3=-5或2a-1=-5. 当a-3=-5时,解得a=-2,此时2a-1=2 (-2)-1=-5,显然不满足集合中元素的互异性; 当2a-1=-5时,解得a=-2,此时a-3=-5,显然不满足集合中元素的互异性. 综上,-5不能为集合A中的元素. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 C 级 学科素养拔高练 11.设A是由一些实数组成的集合,若a∈A,则 ∈A,且1∉A. (1)若3∈A,求集合A中一定有的元素. (2)证明:若a∈A,则1- ∈A. (3)集合A中能否只有一个元素?若能,求出集合A;若不能,说明理由. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 (3)解 不能.理由如下: 假设集合A只有一个元素a,则 即a2-a+1=0有且只有一个实数解. ∵ =(-1)2-4=-3<0, ∴a2-a+1=0无实数解. 故假设不成立,即集合A中不能只有一个元素. 解 是.因为-6+2=3 (-2)+2,此时a=-2∈Z,b=2∈Z,所以-6+2是集合A中的元素. 解 是.因为=2+,此时m=2,n=1,满足集合A中数的组成形式,所以是集合A中的元素. 解 因为-3∈A,所以a-2=-3或2a2+5a=-3,解得a=-1或a=-当a=-1时,a-2=-3,2a2+5a=-3,不满足集合中元素的互异性,所以舍去a=-1.当a=-时,经检验,符合题意.故a=- 解 有限制. 由元素的互异性可得解得 所以实数a不能取四个值:14,,-4,-1. - 解析 ①当x,y均为正数时,代数式的值为3;②当x,y为一正一负时,代数式的值为-1;③当x,y均为负数时,代数式的值为-1.所以集合M的元素为-1,3. (1)解 ∵3∈A,=-A, A,=3∈A, ∴集合A中一定有3,- (2)证明 ∵a∈A,A, =1-A. a=, $$