专题2.2 基本不等式（特色专题卷）-2024-2025学年高一数学特色专题卷（人教A版2019必修第一册）

专题2.2基本不等式 考试时间：120分钟；满分：150分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共19题，单选8题，多选3题，填空3题，解答5题，满分150分，限时150分钟，试卷紧扣教材，细分题组，精选一年好题，两年真题，练基础，提能力！ 1． 选择题（共8小题，满分40分，每小题5分） 1．（23-24高一上·广东肇庆·期中）若，则函数的最小值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 2．（23-24高二上·陕西渭南·期末）下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·浙江衢州·期中）已知实数，，且，则的最小值为（    ） A．12 B．14 C．16 D．18 4．（2024高三下·全国·阶段练习）若，，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高三上·河南信阳·阶段练习）设（m，n为正实数），，则A与B的大小关系是（   ） A． B． C． D． 6．（23-24高二上·湖南长沙·开学考试）已知，，，则的最小值为（    ） A．7 B． C． D． 7．（23-24高三上·浙江·期末）设实数、满足，且.则的最小值是（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高三上·上海静安·期中）若，且，则下列不等式中能恒成立的是（ ） A． B． C． D． 2． 多选题（共3小题，满分18分，每小题6分） 9．（2024·全国·模拟预测）已知正实数，满足，则下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 10．（2024高一上·河北保定·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．的最小值为2 B．的最小值为1 C．，的最大值为3 D．最小值为 11．（2024高一上·全国·课后作业）已知a>0，b>0，，对于代数式，下列说法正确的是（    ） A．最小值为9 B．最大值是9 C．当a=b=时取得最小值 D．当a=b=时取得最大值 3． 填空题（共3小题，满分15分，每小题5分） 12．（2024高三上·江西抚州·阶段练习）已知，，，则的最小值为 . 13．（2024·山西太原·一模）已知，，，则的最小值为 . 14．（23-24高一上·浙江·期末）已知实数、满足，且，则的最小值为 ，当且仅当 时取到等号． 4． 解答题（共5小题，第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分，满分77分） 15．（24-25高一上·上海·课堂例题）若，且，求的最小值. 16．（2024高一上·四川眉山·阶段练习）（1）当时，求的最大值； （2）已知，求的最大值. 17．（23-24高一上·江苏盐城·期中）已知，，且． (1)求的最大值； (2)求的最小值． 18．（23-24高一上·四川绵阳·期中）已知，且. (1)求的最小值，并求出相应的值； (2)是否存在实数，使得成立，若存在求出；若不存在，请说明理由. 19．（23-24高二上·北京·期中）围建一个面积为40平方米的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（旧墙足够长），利用的旧墙需维修，其它三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2米的进出口，如图所示，已知旧墙的维修费用为5元/米，新墙的造价为20元/米，设利用的旧墙的长度为（单位：米），修建此矩形场地围墙的总费用为（单位：元） （1）将表示为的函数； （2）试确定，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！9 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.2基本不等式 考试时间：120分钟；满分：150分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共19题，单选8题，多选3题，填空3题，解答5题，满分150分，限时150分钟，试卷紧扣教材，细分题组，精选一年好题，两年真题，练基础，提能力！ 1． 选择题（共8小题，满分40分，每小题5分） 1．（23-24高一上·广东肇庆·期中）若，则函数的最小值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【分析】将变形为，再利用基本不等式求解即可． 【详解】 函数，当且仅当时取等号． 因此函数的最小值为7． 故选：B 2．（23-24高二上·陕西渭南·期末）下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据基本不等式的推导式结合作差法可直接判定结果.其余选项可用举反例和做差法来判定. 【详解】由于，可得，可知选项A错误，选项B正确； 可得则，可知选项C错误； 正负不定， 则大小不定，可知选项D错误. 故选项：B. 3．（23-24高一上·浙江衢州·期中）已知实数，，且，则的最小值为（    ） A．12 B．14 C．16 D．18 【答案】C 【分析】对等式变形，根据基本不等式求解最值. 【详解】实数，，且，所以， ， 当且仅当即时取得等号. 故选：C 4．（2024高三下·全国·阶段练习）若，，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】变形条件为，利用“1”的技巧变形待求式，运用均值不等式即可求解. 【详解】由题意可得， 则， 当且仅当，且，即，时，等号成立， 所以的最小值为， 故选：A 5．（23-24高三上·河南信阳·阶段练习）设（m，n为正实数），，则A与B的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用基本不等式求解出的范围，结合二次函数的性质求解出的范围，由此可比较出大小. 【详解】因为m，n为正实数，所以，当且仅当时取等号， 又， 所以， 故选：B. 6．（23-24高二上·湖南长沙·开学考试）已知，，，则的最小值为（    ） A．7 B． C． D． 【答案】A 【分析】构造齐次式结合基本不等式计算即可. 【详解】∵，，， ∴， 当且仅当，即时取得等号. 故选：A 7．（23-24高三上·浙江·期末）设实数、满足，且.则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由已知，分别讨论，两种情况，结合基本不等式分别进行求解后比较可得的最小值. 【详解】由题意可知，. 当时，， 当且仅当且，即，时取等号， 当时，， 当且仅当且时取等号， 综上可得，的最小值. 故选：C. 【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，解答的关键就是对的符号进行分类讨论，考查计算能力，属于中等题. 8．（23-24高三上·上海静安·期中）若，且，则下列不等式中能恒成立的是 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据题意，分析选项，对于、 、 都采用特殊值法，举出反例即可判断，对于，根据基本不等式可判断． 【详解】解：根据题意，分析选项， 对于，当时，，则错误； 对于，当时，左边，而右边，此时，则错误， 对于，当时，，而右边，此时，则错误， 对于，根据题意，因为，则与均为正值，则(当且仅当时取等号)，即成立，正确； 故选：． 【点睛】本题考查基本不等式的性质，注意基本不等式成立的条件：一正二定三相等，对于选择题的选项，也可以用特殊值法构造反例． 2． 多选题（共3小题，满分18分，每小题6分） 9．（2024·全国·模拟预测）已知正实数，满足，则下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】利用基本不等式逐个对各选项进行判断. 【详解】对于选项A， （当且仅当时等号成立），故A正确； 对于选项B，，得（当且仅当时等号成立），故B正确； 对于选项C，取，，则，故C错误； 对于选项D，（当且仅当时等号成立），故D正确． 故选:ABD 【点睛】方法点睛：利用基本不等式求最值的常用方法 （1）拼凑法，即将相关代数式进行适当变形，通过添项、拆项、变系数等方法凑成和为定值或者积为定值的形式， 然后利用基本不等式求解问题．该方法的实质在于对代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键． （2）常数代换法，利用此方法求最值时要注意目标代数式的结构特征，看是否需要整体乘以“1”的替身． 该方法的关键是找到常数，从而找到结果为“1”的式子． （3）消元法，即先根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式，再进行最值的求解． 利用此方法时要注意新变量取值范围的确定． 10．（2024高一上·河北保定·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．的最小值为2 B．的最小值为1 C．，的最大值为3 D．最小值为 【答案】BC 【解析】利用不等式的性质及基本不等式对选项逐个进行判断，选出正确选项． 【详解】选项A中，时，故错误； 选项B中，因为，则，故时，最小值是1，故正确； 选项C中，时，，当且仅当即时取等号，故最大值是3，故正确； 选项D中，，当且仅当时等号成立，但是无实数解，故最值取不到，故错误. 故选：BC. 【点睛】易错点睛： 利用基本不等式求最值时，一定要考虑取等号条件是否成立. 11．（2024高一上·全国·课后作业）已知a>0，b>0，，对于代数式，下列说法正确的是（    ） A．最小值为9 B．最大值是9 C．当a=b=时取得最小值 D．当a=b=时取得最大值 【答案】AC 【分析】先利用，代入=并展开，再利用基本不等式求最值及取最值的条件即可. 【详解】因为，所以==· =5+2，当且仅当时，即a=b=时，等号成立. 所以a=b=时，代数式取得最小值9. 故选：AC. 【点睛】思路点睛： 利用基本不等式求最值时，常有以下思路，需注意取等号条件是否成立. （1）积定，利用，求和的最小值； （2）和定，利用，求积的最大值； （3）妙用“1”拼凑基本不等式求最值. 3． 填空题（共3小题，满分15分，每小题5分） 12．（2024高三上·江西抚州·阶段练习）已知，，，则的最小值为 . 【答案】 【分析】由，可得，再根据结合基本不等式即可得解. 【详解】解：因为，所以， 则 ， 当且仅当时，取等号， 所以的最小值为. 故答案为：. 13．（2024·山西太原·一模）已知，，，则的最小值为 . 【答案】 【分析】由已知条件可得，求出，可得出，利用基本不等式可求得的最小值. 【详解】由可得，则，由可得， 所以，，当且仅当时，即当时，等号成立， 故的最小值为. 故答案为：. 14．（23-24高一上·浙江·期末）已知实数、满足，且，则的最小值为 ，当且仅当 时取到等号． 【答案】 【分析】由已知条件得出，以及，可得出，利用基本不等式可求得的最小值，利用等号成立的条件可求得的值. 【详解】因为实数、满足，且，，可得， 所以，，当且仅当时，即当时，等号成立. 所以，的最小值为，此时. 故答案为：；. 4． 解答题（共5小题，第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分，满分77分） 15．（24-25高一上·上海·课堂例题）若，且，求的最小值. 【答案】9 【分析】根据题意，结合基本不等式，即可求解. 【详解】因为，且， 所以， 当且仅当，即时取等号，此时，，所以的最小值为. 16．（2024高一上·四川眉山·阶段练习）（1）当时，求的最大值； （2）已知，求的最大值. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）利用基本不等式求出最大值；（2）变形后利用基本不等式求出最大值. 【详解】（1）. （当且仅当，即时等号成立） 的最大值为. （2）. （当且仅当，即时等号成立） ∴的最大值为. 17．（23-24高一上·江苏盐城·期中）已知，，且． (1)求的最大值； (2)求的最小值． 【答案】(1) (2)8 【分析】（1）由基本不等式得到，从而求出； （2）利用基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【详解】（1）因为，， 由基本不等式得，即，解得， 当且仅当时，等号成立，故的最大值为； （2）因为，，， 故， 当且仅当，即时，等号成立，故的最小值为8. 18．（23-24高一上·四川绵阳·期中）已知，且. (1)求的最小值，并求出相应的值； (2)是否存在实数，使得成立，若存在求出；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)最小值为2，； (2)不存在，理由见解析. 【分析】（1）根据给定条件，利用基本不等式求解即得. （2）假定存在，结合已知求出，再与（1）的结论比对判断即得. 【详解】（1）由，，得，于是，解得， 当且仅当时取等号，由，解得， 所以的最小值为2，此时. （2）假定存在实数，使得成立，于是，而，， 于是，整理得，由（1）知，，而， 因此不存在存在实数，使得成立. 19．（23-24高二上·北京·期中）围建一个面积为40平方米的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（旧墙足够长），利用的旧墙需维修，其它三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2米的进出口，如图所示，已知旧墙的维修费用为5元/米，新墙的造价为20元/米，设利用的旧墙的长度为（单位：米），修建此矩形场地围墙的总费用为（单位：元） （1）将表示为的函数； （2）试确定，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用. 【答案】（1）；（2）当米时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是元. 【分析】（1）设矩形的另一边长为米，则根据围建的矩形场的面积为40平方米，易得，此时再根据旧墙的维修费用为5元/米，新墙的造价为20元/米，即可得到修建围墙的总费用表示为的函数的解析式. （2）根据（1）所得的解析式，利用基本不等式，易求出修建此矩形场地围墙的总费用最小值，及相应的值. 【详解】（1）设矩形的另一边长为米， 则， 由已知，得， 所以. （2） 因为，所以， 所以， 当且仅当，即时，等号成立. 即当米时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是元. 【点睛】本题考查基本不等式的实际应用，考查利用基本不等式求最值，注意验证等号成立的条件，属于基础题. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！9 学科网（北京）股份有限公司 $$