专题2.1 等式性质与不等式性质（4类必考点）-2024-2025学年高一数学必考点分类集训系列（人教A版2019必修第一册）

专题2.1 等式性质与不等式性质 【考点1：利用不等式的性质判断不等关系】 1 【考点2：作差法比较大小】 3 【考点3：作商法比较大小】 6 【考点4：利用不等式的性质求取值范围】 6 【考点1：利用不等式的性质判断不等关系】 【知识点：不等式的性质】 性质 性质内容 特别提醒 对称性 a>b⇔b<a ⇔ 传递性 a>b，b>c⇒a>c ⇒ 可加性 a>b⇔a＋c>b＋c ⇔ 可乘性 ⇒ac>bc 注意c的符号 ⇒ac<bc 同向可加性 ⇒a＋c>b＋d ⇒ 同向同正可乘性 ⇒ac>bd>0 ⇒ 可乘方性 a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥1) a，b同为正数 可开方性 a>b>0⇒>(n∈N，n≥2) 【知识点：倒数的性质】 ①a>b，ab>0⇒<.②a<0<b⇒<.③a>b>0,0<c<d⇒>.④0<a<x<b或a<x<b<0⇒<<. 【知识点：有关分数的性质】 若a>b>0，m>0，则：①<；>(b－m>0)．②>；<(b－m>0)． 1．（23-24高一上·广东湛江·期末）下列命题中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 2．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期末）已知实数，，下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一下·北京·期末）已知、、，则下列选项可能成立的是（    ） A．、、、 B．、、、 C．、、、 D．、、， 4．（23-24高二下·北京延庆·期末）已知实数，满足，则下列不等式中正确的是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一上·上海·课后作业）若，则下列结论中正确的是（    ） A．不等式和均不能成立 B．不等式和均不能成立 C．不等式和均不能成立 D．不等式和均不能成立 6．（多选）（广西南宁市2023-2024学年高一下学期期末考调研测试数学试题）已知实数满足，则（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知a，，则下列选项中能使成立的是 ，能使成立的是 （填上正确的序号）． ①    ②    ③   ④ 8．（24-25高一上·上海·随堂练习）若，，则下列不等式中成立的是 （填上正确的序号）． ①；②；③；④． 【考点2：作差法比较大小】 【知识点：作差法比较大小】 作差法： 1．（23-24高二下·吉林长春·期末）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 2．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期末）已知实数，，下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·上海·随堂练习），则 ． 4．（24-25高一上·上海·随堂练习）比较大小： ． 5．（24-25高一上·上海·随堂练习）日常生活中，在一杯含有a克糖的b克糖水中，再加入m克糖（假设全部溶解），这杯糖水变甜了．请根据这一事实提炼出一个不等式 ． 6．（24-25高一上·上海·单元测试）已知且，比较与的大小． 7．（24-25高一上·上海·期中）对于四个正数、、、，如果，那么称是的“下位序对”， (1)对于、、、，试求的“下位序对”； (2)设、、、均为正数，且是的“下位序对”，试判断，，之间的大小关系． 8．（24-25高一上·上海·随堂练习）甲、乙两人沿同一公路由A地到达B地，甲走一半路程后跑步前进，乙走一半时间后也跑步前进，设甲、乙两人走的速度相同，跑的速度也相同，请比较甲、乙两人从A到B的时间、的大小关系． 9．（24-25高一上·上海·随堂练习）课堂上，老师让同学们制作几种几何体，张同学用了3张纸，7张纸；李同学用了2张纸，8张纸．设每张纸的面积为，每张纸的面积为，且，张同学的用纸总面积为，李同学的用纸总面积为．回答下列问题： (1)________（用、的式子表示），________（用、的式子表示）； (2)请你分析谁用的纸面积大． 10．（24-25高一上·上海·随堂练习）某网店的最新iPad商品计划分两次降价促销，有三种方案： A：第一次降价百分率为m，第二次降价百分率为n． B：第一次降价百分率为n，第二次降价百分率为m． C：第一次降价百分率为，第二次降价百分率为． 其中． (1)经过两次降价后，请把三种方案的降价幅度从大到小排列； (2)证明你的结论． 【考点3：作商法比较大小】 【知识点：作商法比较大小】 作商法： 1．（2024高三·全国·专题练习）已知a>b>0，则aabb与abba的大小关系为 . 2．（2024高一上·北京·阶段练习）设，，则 （填入“＞”或“＜”）． 3．（2024高二上·江西九江·阶段练习）若，则、、、中最小的是 . 4．（23-24高一·江苏·假期作业）已知，试比较和的大小. 5．（23-24高一下·黑龙江鹤岗·期末）设，比较与的大小 【考点4：利用不等式的性质求取值范围】 1．（23-24高一上·广东惠州·期中）已知，，则的范围是 ． 2．（2024高三上·江苏连云港·阶段练习）已知，，则的范围是 . 3．（23-24高一上·河南·期中）已知实数x，y满足，，则的范围为 ． 4．（多选）（23-24高一上·四川成都·阶段练习）若实数、满足：，则下列叙述正确的是（    ） A．的取值范围是 B．的取值范围是 C．的范围是 D．的范围是 5．（2024高一上·湖北武汉·阶段练习）设，，求，，的范围. 6．（23-24高一上·湖南邵阳·期中）已知，， (1)求的范围 (2)求的范围 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.1 等式性质与不等式性质 【考点1：利用不等式的性质判断不等关系】 1 【考点2：作差法比较大小】 5 【考点3：作商法比较大小】 10 【考点4：利用不等式的性质求取值范围】 12 【考点1：利用不等式的性质判断不等关系】 【知识点：不等式的性质】 性质 性质内容 特别提醒 对称性 a>b⇔b<a ⇔ 传递性 a>b，b>c⇒a>c ⇒ 可加性 a>b⇔a＋c>b＋c ⇔ 可乘性 ⇒ac>bc 注意c的符号 ⇒ac<bc 同向可加性 ⇒a＋c>b＋d ⇒ 同向同正可乘性 ⇒ac>bd>0 ⇒ 可乘方性 a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥1) a，b同为正数 可开方性 a>b>0⇒>(n∈N，n≥2) 【知识点：倒数的性质】 ①a>b，ab>0⇒<.②a<0<b⇒<.③a>b>0,0<c<d⇒>.④0<a<x<b或a<x<b<0⇒<<. 【知识点：有关分数的性质】 若a>b>0，m>0，则：①<；>(b－m>0)．②>；<(b－m>0)． 1．（23-24高一上·广东湛江·期末）下列命题中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】A 【分析】利用不等式的性质逐个判断各个选项即可． 【详解】对于A，若，又，则，故A正确， 对于B，若，，满足，但是，故B错误， 对于C，若，则，故C错误， 对于D，若，，满足，但是，故D错误， 故选：A． 2．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期末）已知实数，，下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】取特值说明判断A；作差比较大小判断BC；利用不等式性质推理判断D. 【详解】对于A，取，得，A错误； 对于B，，则，B错误； 对于C，，则，C错误； 对于D，，D正确. 故选：D 3．（23-24高一下·北京·期末）已知、、，则下列选项可能成立的是（    ） A．、、、 B．、、、 C．、、、 D．、、， 【答案】C 【分析】先判断出，排除BD，再根据和判断即可. 【详解】因为、，故，排除BD； 因为，所以，， 又，所以， 故A错误，C正确. 故选：C 4．（23-24高二下·北京延庆·期末）已知实数，满足，则下列不等式中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由可知A正确，通过反例可知BCD错误. 【详解】对于A，（当且仅当时取等号），又，，故A正确； 对于B，当，时，，，则，故B错误； 对于C，当，时，，，则，故C错误； 对于D，当，时，，故D错误. 故选：A. 5．（24-25高一上·上海·课后作业）若，则下列结论中正确的是（    ） A．不等式和均不能成立 B．不等式和均不能成立 C．不等式和均不能成立 D．不等式和均不能成立 【答案】B 【分析】利用不等式的性质结合已知条件逐个分析判断即可. 【详解】对于A，因为，所以，所以，即成立， 因为，所以，，所以，所以， 所以不成立，所以A错误， 对于B，由选项A可知不成立， 因为，所以，，所以，， 所以，所以，所以不成立，所以B正确， 对于CD，因为，所以， 所以，所以， 所以成立，所以CD错误， 故选：B 6．（多选）（广西南宁市2023-2024学年高一下学期期末考调研测试数学试题）已知实数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】利用不等式的性质进行分析即可. 【详解】由，知必有，所以两边同乘以a，得，故A正确； 因为b的符号不能确定，所以不一定正确，故B错误； 由两边同乘以c，得，故C正确； 当，时，满足且，但，故D错误． 故选：AC． 7．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知a，，则下列选项中能使成立的是 ，能使成立的是 （填上正确的序号）． ①    ②    ③   ④ 【答案】 ①④ ②④ 【分析】由不等式的性质逐一判断即可求解. 【详解】①得， ④得， 故能使成立的是①④； ，则， 由②故，由④， 故，故能使成立的是②④． 故答案为：①④，②④. 8．（24-25高一上·上海·随堂练习）若，，则下列不等式中成立的是 （填上正确的序号）． ①；②；③；④． 【答案】③ 【分析】先给出，，作为①，②，④的反例，然后根据不等式的性质即可证明③正确. 【详解】当，，时，有，但，，，故①，②，④错误； 由于，，故，故③正确. 故答案为：③. 【考点2：作差法比较大小】 【知识点：作差法比较大小】 作差法： 1．（23-24高二下·吉林长春·期末）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】A 【分析】结合作差法比较代数式的大小关系，判断“”和“”之间的逻辑推理关系，可得答案. 【详解】由题意， 若，则， 故“”是“”的充分条件； 反之若， 取，满足，但不满足， 故“”不是“”的必要条件． 于是“”是“”的充分不必要条件， 故选：A． 2．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期末）已知实数，，下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】取特值说明判断A；作差比较大小判断BC；利用不等式性质推理判断D. 【详解】对于A，取，得，A错误； 对于B，，则，B错误； 对于C，，则，C错误； 对于D，，D正确. 故选：D 3．（24-25高一上·上海·随堂练习），则 ． 【答案】 【分析】通过作差法即可判断. 【详解】由作差法得， 所以. 故答案为：. 4．（24-25高一上·上海·随堂练习）比较大小： ． 【答案】＞ 【分析】利用作差法比较大小即可. 【详解】因为， 所以. 故答案为：>. 5．（24-25高一上·上海·随堂练习）日常生活中，在一杯含有a克糖的b克糖水中，再加入m克糖（假设全部溶解），这杯糖水变甜了．请根据这一事实提炼出一个不等式 ． 【答案】，时， 【分析】利用作差法即可证得所提炼的不等式. 【详解】由题意有，时，． 理由如下：，因为，， 所以，即. 故答案为：，时，． 6．（24-25高一上·上海·单元测试）已知且，比较与的大小． 【答案】答案见解析 【分析】利用作差法比较大小，在定号时，需要进行分类讨论. 【详解】∵， ∴当时，，，则，即； 当时，，，则，即． 综上，时，；时，． 7．（24-25高一上·上海·期中）对于四个正数、、、，如果，那么称是的“下位序对”， (1)对于、、、，试求的“下位序对”； (2)设、、、均为正数，且是的“下位序对”，试判断，，之间的大小关系． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据下位序对的概念直接求解； （2）根据下位序对的概念及不等性质可比较大小. 【详解】（1）由，可得的下位序对为； （2）因为是的“下位序对”， 所以， 因为、、、均为正数， 故， 所以， 同理，即， 综上所述：． 8．（24-25高一上·上海·随堂练习）甲、乙两人沿同一公路由A地到达B地，甲走一半路程后跑步前进，乙走一半时间后也跑步前进，设甲、乙两人走的速度相同，跑的速度也相同，请比较甲、乙两人从A到B的时间、的大小关系． 【答案】 【分析】先表示出，，通过作差法比较它们的大小，进一步可得、的大小关系. 【详解】依题意，设总路程为，乙所花时间为，两人跑的速度和走的速度分别为，， 所以， 所以， 因为， 所以， 由得，乙花费的时间短， 所以. 9．（24-25高一上·上海·随堂练习）课堂上，老师让同学们制作几种几何体，张同学用了3张纸，7张纸；李同学用了2张纸，8张纸．设每张纸的面积为，每张纸的面积为，且，张同学的用纸总面积为，李同学的用纸总面积为．回答下列问题： (1)________（用、的式子表示），________（用、的式子表示）； (2)请你分析谁用的纸面积大． 【答案】(1)，； (2)张同学用的纸面积大． 【分析】（1）根据每张纸的面积为，每张纸的面积为，列式即可； （2）通过作差法结合即可判断. 【详解】（1）根据每张纸的面积为，每张纸的面积为得 ，； （2）两式作差得， 因为，所以． 所以． 故张同学用的纸面积大． 10．（24-25高一上·上海·随堂练习）某网店的最新iPad商品计划分两次降价促销，有三种方案： A：第一次降价百分率为m，第二次降价百分率为n． B：第一次降价百分率为n，第二次降价百分率为m． C：第一次降价百分率为，第二次降价百分率为． 其中． (1)经过两次降价后，请把三种方案的降价幅度从大到小排列； (2)证明你的结论． 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【分析】（1）可先举例得到； （2）表达出方案A，方案B和方案C经过经过两次降价后，价格分别变为，，，作差法比较出大小. 【详解】（1）不妨令，可计算得到， 故两次降价后，三种方案的降价幅度从大到小排列为：； （2）设原先的价格为a， 则方案A经过两次降价后，价格变为； 方案B经过两次降价后，价格变为； 方案C经过两次降价后，价格变为， 显然方案A、B的降价幅度相同， 因为 ， 因为，所以， 可得， 即， 所以 【考点3：作商法比较大小】 【知识点：作商法比较大小】 作商法： 1．（2024高三·全国·专题练习）已知a>b>0，则aabb与abba的大小关系为 . 【答案】aabb>abba 【详解】 ∵＝＝（）a－b，又a>b>0，∴ >1，a－b>0，∴ （）a－b>1，即>1.又abba>0，∴ aabb>abba. 2．（2024高一上·北京·阶段练习）设，，则 （填入“＞”或“＜”）． 【答案】 【分析】由均大于0，可用作商法，再化简后与1作大小比较，即可得出答案. 【详解】∵，即. 又， . 故答案为：>. 3．（2024高二上·江西九江·阶段练习）若，则、、、中最小的是 . 【答案】 【分析】利用作商法以及不等式的性质求解即可. 【详解】因为，所以，， 因为，，所以， 即 故答案为： 4．（23-24高一·江苏·假期作业）已知，试比较和的大小. 【答案】 【分析】方法1：采用作商比较法，结合分母有理化即可求解；方法2：先计算，从而可得，进而可求解. 【详解】（方法1）因为，所以. 所以. 因为，所以，即； （方法2）所以， 又， 所以 , 所以. 5．（23-24高一下·黑龙江鹤岗·期末）设，比较与的大小 【答案】 【分析】先判断两个式子的符号，然后利用作商法与1进行比较即可. 【详解】， ， ， . 【考点4：利用不等式的性质求取值范围】 1．（23-24高一上·广东惠州·期中）已知，，则的范围是 ． 【答案】 【分析】根据不等式的性质即可得解. 【详解】， 故答案为： 2．（2024高三上·江苏连云港·阶段练习）已知，，则的范围是 . 【答案】 【分析】设，求出、的值，利用不等式的基本性质可求得的取值范围. 【详解】设，其中、， 则，解得，所以，， 因为，，则，， 由不等式的基本性质可得，即. 故答案为：. 3．（23-24高一上·河南·期中）已知实数x，y满足，，则的范围为 ． 【答案】 【分析】用、表示出，然后可算出答案. 【详解】设，则，解得， ∴ ∵，∴， ∵，∴ ∴． 故答案为： 4．（多选）（23-24高一上·四川成都·阶段练习）若实数、满足：，则下列叙述正确的是（    ） A．的取值范围是 B．的取值范围是 C．的范围是 D．的范围是 【答案】ABC 【分析】利用不等式的基本性质求出各选项中代数式的范围，即可得出合适的选项. 【详解】因为实数、满足：，由不等式的可加性可得，解得，A对； 由题意可得，由不等式的可加性可得，解得，B对； 设，则，解得， 所以，， 因为，由不等式的可加性可得，C对D错. 故选：ABC. 5．（2024高一上·湖北武汉·阶段练习）设，，求，，的范围. 【答案】，， 【分析】根据不等式的基本性质，先求出与的范围，再由可乘性得出的范围即可. 【详解】∵，， ∴，，，， ∴，， ∴. 故，，． 6．（23-24高一上·湖南邵阳·期中）已知，， (1)求的范围 (2)求的范围 【答案】(1) (2) 【分析】（1）（2）由不等式的性质求解， 【详解】（1）由，得， 则，即的取值范围为 （2）由，得， 即的取值范围为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$