2.3 第1课时 等腰（边）三角形的性质（讲解课件）-【优翼·学练优】2024-2025学年八年级数学上册同步备课（湘教版）

2.3 等腰三角形 第2章 三角形 第1课时 等腰（边）三角形的性质 优翼数学教学课件（XJ）八上 等腰三角形 导入新课 思考：建筑工人在盖房子时，将一块等腰三角板放在梁上，从顶点系一重物，如果系重物的绳子正好经过三角板的底边中点，就说房梁是水平的，你知道为什么吗? 定义及相关概念 有两条边相等的三角形叫作等腰三角形. 等腰三角形中，相等的两边叫作腰，另一边叫作底边，两腰的夹角叫作顶角，腰和底边的夹角叫作底角. A C B 腰 腰 底边 顶角 底角 底角 剪一剪：把一张长方形的纸按图中的红线对折，并剪下蓝色部分（一个直角三角形），再把得到的直角三角形展开，得到的三角形有什么特点？ 互动探究 等腰三角形的性质 新课讲授 A B C AB = AC 等腰三角形 点击视频开始播放 → 视频：等腰三角形的剪裁 折一折：△ABC 是轴对称图形吗？它的对称轴是什么？ A C D B 折痕所在的直线是它的对称轴. 等腰三角形是轴对称图形. 找一找：把剪出的等腰三角形 ABC 沿折痕对折，找出其中重合的线段和角. 重合的线段 重合的角 　 A C B D AB 与 AC BD 与 CD AD 与 AD ∠B 与∠C ∠BAD 与∠CAD ∠ADB 与∠ADC 猜一猜：由这些重合的角，你能发现等腰三角形的性质吗？说一说你的猜想. 由此得到等腰三角形的性质定理： 等腰三角形是轴对称图形，对称轴是顶角平分线所在的直线. 等腰三角形的两底角相等(简称“等边对等角”). 总结归纳 等腰三角形底边上的高、中线及顶角平分线重合(简称“三线合一”). 画出任意一个等腰三角形的底角平分线、这个底角所对的腰上的中线和高，看看它们是否重合？ 不重合！ 三线合一 为什么不一样? “三线合一”的操作 点击按钮开始播放 → 1. 等腰三角形的顶角一定是锐角. 2. 等腰三角形的底角可能是锐角或者直角、钝角. 3. 钝角三角形不可能是等腰三角形. 4. 等腰三角形的顶角平分线一定垂直于底边. 5. 等腰三角形的角平分线、中线和高互相重合. 6. 等腰三角形底边上的中线一定平分顶角. （ X ） （ X ） （ X ） （ X ） （√） 明辨是非 （√） 判断下列说法正误： A B C D ( ( 1 2 填一填：根据等腰三角形的性质定理完成下列填空. 在△ABC 中，AB = AC. (1) ∵ AD⊥BC， ∴∠____=∠____，_____=_____. (2) ∵ AD 是中线， ∴ ____⊥____，∠____ =∠____. (3) ∵ AD 是角平分线， ∴ ____⊥____，____ =____. 1 2 2 BD CD AD BC BD 1 BC AD CD 例1 已知：如图，在△ABC 中，AB = AC，点 D，E 在边 BC 上，且 AD = AE. 求证：BD = CE. 证明：作 AF⊥BC，垂足为点 F， 则 AF 是等腰△ABC 和等腰△ADE 底边上的高，也是底边上的中线. ∴ BF = CF， ∴ BF - DF = CF - EF， DF = EF. 即 BD = CE. F 典例精析 方法总结：在等腰三角形的有关计算或证明中，会遇到一些添加辅助线的问题，其顶角平分线、底边上的高、底边上的中线是常见的辅助线． A B C D 例1 如图，在△ABC 中，AB = AC，点 D 在 AC 上，且 BD = BC = AD，求 △ABC 各角的度数. 典例精析 分析：(1) 找出图中所有的相等角； (2) 找出图中有几个等腰三角形； ∠A =∠ABD， ∠C =∠BDC =∠ABC. △ABC， △ABD， △BCD. A B C D x ⌒ 2x ⌒ 2x ⌒ ⌒ 2x (3) 观察∠BDC与∠A、∠ABD的关系，∠ABC、∠C 呢？ ∠BDC = ∠A +∠ABD = 2∠A = 2∠ABD， ∠ABC =∠BDC = 2∠A， ∠C =∠BDC = 2∠A. (4) 设∠A = x°，请把 △ABC 的内角和用含 x 的式子表示出来. ∵∠A +∠ABC +∠C = 180°， ∴ x + 2x + 2x = 180°. 解：∵AB = AC，BD = BC =AD， ∴∠ABC =∠C =∠BDC，∠A =∠ABD. 设∠A = x，则∠BDC =∠A +∠ABD = 2x， 从而∠ABC =∠C =∠BDC = 2x. 于是在 △ABC 中，有 ∠A +∠ABC +∠C = x + 2x + 2x = 180°， 解得 x = 36°. ∴∠A = 36°，∠ABC =∠C = 72°. 在含多个等腰三角形的图形中求角时，常常利用方程思想，通过内角、外角之间的关系列方程求解. 归纳 A B C D x ⌒ 2x ⌒ 2x ⌒ ⌒ 2x 如图，在△ABC 中，AB = AD = DC，∠BAD = 26°，求∠B 和∠C 的度数. 解：∵ AB = AD = DC， ∴∠B = ∠ADB，∠C= ∠DAC. 设∠C = x°，则 ∠DAC = x°， ∠ADB +∠ADC = 180°，∠C +∠DAC +∠ADC = 180°，∴∠ABD =∠ADB =∠C +∠DAC = 2x°. 在△ABC 中，根据三角形内角和定理，得 2x + x + 26 + x = 180，解得 x = 38.5. ∴∠C = x° = 38.5°，∠B = 2x° = 77°. 针对训练： 例3 等腰三角形的一个内角是 50°，求这个三角形的底角的度数. 解：当 50° 的角是底角时，三角形的底角就是 50°；当 50° 的角是顶角时，由于两底角相等，根据三角形的内角和定理易得底角是 65°. 方法总结：等腰三角形的两个底角相等，已知一个内角为锐角时，则这个角可能是底角也可能是顶角，要分两种情况讨论． 问题1 等边三角形的三个内角之间有什么关系？ A B C A B C 等腰三角形 AB = AC ∠B = ∠C 等边三角形 AB = AC = BC AB = AC ∠B =∠C AC = BC ∠A =∠B ∠A =∠B =∠C 类比探究 等边三角形的性质 性质：等边三角形的三个内角相等，且都等于 60°. 已知：△ABC 中，AB = AC = BC. 求证：∠A =∠B =∠C = 60°. 证明： ∵ AB = AC， ∴∠B =∠C (等边对等角). 同理，∠A =∠C. ∴∠A =∠B =∠C. ∵∠A +∠B +∠C = 180°， ∴∠A =∠B =∠C = 60°. A B C A B C A B C 问题2 等边三角形有“三线合一”的性质吗？等边三角形有几条对称轴？ 结论：等边三角形每条边上的中线，高和所对角的平分线都“三线合一”. 顶角的平分线、底边的高 底边的中线 三线合一 一条对称轴 三条对称轴 例5 如图，△ABC 是等边三角形，E 是 AC 上一点，D 是 BC 延长线上一点，连接 BE，DE，若∠ABE＝40°，BE＝DE，求∠CED 的度数． 解：∵△ABC 是等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°. ∵∠ABE＝40°， ∴∠EBC＝∠ABC－∠ABE＝60°－40°＝20°. ∵ BE＝DE，∴∠D＝∠EBC＝20°. ∴∠CED＝∠ACB－∠D＝40°. 方法总结：等边三角形的三个内角都是 60°，这个性质常应用在求角度的问题上，一般需结合“等边对等角”、三角形的内角和与外角的性质求解. A B C D E 2. 如图，在△ABC 中，AB = AC，过点 A 作 AD∥BC，若∠1 = 70°，则∠BAC 的大小为（　　） A．30° B．40° C．50° D．70° B 1. 等腰三角形有一个角是 90°，则另两个角的度数分别是 （　　） A. 30°，60° B. 45°，45° C. 45°，90° D. 20°，70° B A B C D 1 ⌒ 当堂练习 3. 如图，l∥m，等边△ABC 的顶点 B 在直线 m 上，边 BC 与直线 m 所夹锐角为 20°，则∠α 的度数为（　　） A．60° B．45° C．40° D．30° C A B C 20° α l m 4. (1) 等腰三角形一个底角为 75°，它的另外两个角为 __________； (2) 等腰三角形的一个角为 36°，它的另外两个角为 ____________________； (3) 等腰三角形的一个角为 120°，它的另外两个角为 . 75°，30° 72°，72° 或 36°，108° 30°，30° 5. 如图，在△ABC 中，AB = AC，D 是 BC 边上的中点， ∠B = 30°，求∠BAD 和 ∠ADC 的度数. A B C D 解：∵ AB = AC，D 是 BC 边上的中点， ∴∠C =∠B = 30°， ∠ADC = 90°. ∴∠BAD =∠ADC -∠B = 90° - 30° = 60°. 6. 如图，点 P 为等边△ABC 的边 BC 上一点，且∠APD = 80°，AD = AP，求∠DPC 的度数. 解：∵△ABC 是等边三角形， ∴∠C = 60°. ∵ AD = AP， ∴∠APD =∠ADP = 80°. ∴∠DPC =∠ADP -∠C = 20°. 7. 如图，已知△ABC 为等腰三角形，AB＝AC，BD、CE为底角的平分线，且∠DBC＝∠F，求证：EC∥DF. ∴∠DBC＝∠ECB. ∵∠DBC＝∠F，∴∠ECB＝∠F. ∴ EC∥DF. 证明：∵△ABC 为等腰三角形，AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB. 又∵ BD、CE 为底角的平分线， A B C D E F 等腰三角形的性质 等边对等角 三线合一 注意是指同一个三角形中 注意是指顶角的平分线,底边上的高和中线才有这一性质.而腰上高和中线与底角的平分线不具有这一性质. 推论 等边三角形三个内角相等，且均等于 60° 课堂小结 $$nullnull