2.1 第3课时 三角形内角和与外角（讲解课件）-【优翼·学练优】2024-2025学年八年级数学上册同步备课（湘教版）

nullnullnullnullnull2.1 三角形 第2章 三角形 第3课时 三角形内角和与外角 优翼数学教学课件（XJ）八上 我的形状最小，那我的内角和最小. 我的形状最大，那我的内角和最大. 不对，我有一个钝角，所以我的内角和才是最大的. 一天，三类三角形通过对自身的特点，讲出了自己对三角形内角和的理解，请同学们作为小判官给它们评判一下吧. 导入新课 我们在小学已经知道，任意一个三角形的内角和等于180°，与三角形的形状、大小无关，所以它们的说法都是错误的. 思考：除了度量以外，你还有什么办法可以验证三角形的内角和为 180° 呢? 折叠 还可以用拼接的方法，你知道怎样操作吗？ 锐角三角形 测量 48° 72° 60° 60°＋48°＋72°＝180° （请同学们运用学科工具——量角器测量演示） 剪拼 A B C （小组合作，讨论剪拼方法.各小组代表板演剪拼过程） 2 1 视频：剪拼验证内角和定理 点击视频开始播放 → 三角形的三个内角拼到一起恰好构成一个平角. 观测的结果不一定可靠，还需要通过数学知识来证明.从上面的操作过程，你能发现证明的思路吗？ 还有其他的拼接方法吗？ 探究：在纸上任意画一个三角形，将它的内角撕下来拼合在一起. 三角形的内角和定理的证明 新课讲授 验证结论 三角形内角的和等于 180°. 求证：∠A +∠B +∠C = 180°. 已知：△ABC . 证法1：过点 A 作 l∥BC， 则∠B =∠1，∠C =∠2 (两直线平行，内错角相等). ∵∠1 +∠2 +∠BAC = 180°， ∴∠B +∠C +∠BAC = 180°. 1 2 点击拼图开始播放 → 证法2：延长 BC 到 D，过点 C 作 CE∥BA， 则∠A =∠1 (两直线平行，内错角相等)， ∠B =∠2 (两直线平行，同位角相等). 又∵∠1 +∠2 +∠ACB = 180°， ∴∠A +∠B +∠ACB = 180°. C B A E D 1 2 点击拼图开始播放 → C B A E D F 证法3：过 D 作 DE∥AC，DF∥AB. ∴∠C = ∠EDB，∠B = ∠FDC (两直线平行，同位角相等)， ∠A +∠AED = 180°， ∠EDF +∠AED = 180° (两直线平行，同旁内角相补). ∴∠A = ∠EDF. ∵∠EDB +∠EDF +∠FDC = 180°， ∴∠C +∠A +∠B = 180°. 想一想：同学们还有其他的证法吗？ 思考：多种方法证明三角形内角和等于 180° 的核心是什么？ 借助平行线“移角”的功能，将三个角转化到一个平角上. C A B 1 2 3 4 5 l A C B 1 2 3 4 5 l P 6 m A B C D E C 2 4 A B 3 E Q D F P G H 1 试一试：同学们按照上图中的辅助线，给出证明步骤？ B G C 2 4 A 3 E D F H 1 典例精析 在△ABD 中， ∠ADB = 180° - ∠B - ∠BAD = 180° - 75° - 20° = 85°. 例1 如图，在△ABC 中， ∠BAC = 40°，∠B = 75°，AD 是△ABC 的角平分线，求∠ADB 的度数. A B C D 解：由∠BAC = 40°，AD 是△ABC 的角平分线，得 ∠BAD = ∠BAC = 20°. 【变式题】如图，CD 是∠ACB 的平分线，DE∥BC，∠A＝50°，∠B＝70°，求∠EDC，∠BDC 的度数． 解：因为∠A＝50°，∠B＝70°， 所以∠ACB＝180°－∠A－∠B＝60°. 又 CD 是∠ACB 的平分线， 所以∠BCD＝ ∠ACB＝30°. 因为 DE∥BC， 所以∠EDC＝∠BCD＝30°. 在△BDC 中，∠BDC＝180°－∠B－∠BCD＝80°. 解：已知 DE⊥AB，则∠FEA＝90°． 因为 在△AEF 中，∠FEA＝90°，∠A＝30°， 所以∠AFE＝180°－∠FEA－∠A＝60°. 又 ∠CFD＝∠AFE， 所以∠CFD＝60°. 则在△CDF 中，∠D＝180°－∠CFD－∠FCD＝40°. 例2 如图，△ABC 中，D 在 BC 的延长线上，过 D 作 DE⊥AB 于 E，交 AC 于 F. 已知∠A＝30°，∠FCD＝80°，求∠D. 基本图形 由三角形的内角和定理易得∠A +∠B =∠C +∠D. 总结归纳 由三角形的内角和定理易得∠1 +∠2 =∠3 +∠4. 例3 在△ABC 中， ∠A 的度数是∠B 的度数的 3 倍，∠C 比∠B 大 15°，求∠A，∠B，∠C 的度数. 解：设∠B 为 x°，则∠A 为 3x°，∠C 为 (x + 15)°， 从而有 3x + x + (x + 15)＝180. 解得 x＝33. 所以 3x＝99，x + 15＝48. 答：∠A，∠B，∠C 的度数分别为 99°，33°，48°. 几何问题借助方程来解， 这是一个重要的数学思想. 一个三角形的三个内角中，最多有几个直角？最多有几个钝角？ 因为三角形的内角和等于 180°，因此最多有一个直角或一个钝角. 议一议 三个角都是锐角的三角形叫锐角三角形； 锐角三角形 有一个角是钝角的三角形叫钝角三角形. 钝角三角形 有一个角是直角的三角形叫直角三角形， 直角三角形 直角边 直角边 斜边 A B C 直角三角形 ABC 可以写成 Rt△ABC； 2. 在△ABC 中，∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3，则△ABC 按角分是_______三角形. 针对训练： 1. 在△ABC 中，∠A = 35°，∠B = 43°，则∠C = °. 3. 在△ABC 中，∠A =∠B + 10°，∠C =∠A + 10°，则 ∠A = °， ∠B = °，∠C = °. 102 直角 60 50 70 定义 如图，把△ABC 的一边 BC 延长，得到∠ACD，像这样，三角形的一边与另一边的延长线所组成的角，叫作三角形的外角. ∠ACD 是△ABC 的一个外角 C B A D 三角形的外角的概念 问题1 如图，延长 AC 到 E，∠BCE 是不是△ABC 的一个外角？∠DCE 是不是△ABC 的一个外角？ E 在三角形每个顶点处都有两个外角. ∠ACD 与∠BCE 为对顶角，∠ACD =∠BCE； C B A D ∠BCE 是△ABC 的一个外角，∠DCE 不是△ABC 的一个外角. 问题2 如图，∠ACD 与∠BCE 有什么关系？在三角形的每个顶点处有多少个外角？ A B C 画一画 画出△ABC 的所有外角，共有几个呢? 每一个三角形都有 6 个外角． 每一个顶点相对应的外角都有 2 个，且这 2 个角为对顶角. 三角形的外角应具备的条件： ① 角的顶点是三角形的顶点； ② 角的一边是三角形的一边； ③ 另一边是三角形中一边的延长线. ∠ACD 是△ABC 的一个外角， C B A D 每一个三角形都有 6 个外角． 总结归纳 F A B C D E 如图，∠BEC 是哪个三角形的外角？∠AEC 是哪个三角形的外角？∠EFD 是哪个三角形的外角？ ∠BEC 是△AEC 的外角； ∠AEC 是△BEC 的外角； ∠EFD 是△BEF 和△DCF的外角. 练一练 三角形的外角 A C B D 相邻的内角 不相邻的内角 问题1 如图，△ABC 的外角∠BCD 与其相邻的内角 ∠ACB 有什么关系？ ∠BCD 与∠ACB 互补. 三角形的外角的性质 问题2 如图，△ABC 的外角∠BCD 与其不相邻的两内角 (∠A，∠B ) 有什么关系？ 三角形的外角 A C B D 相邻的内角 不相邻的内角 ∵∠A +∠B +∠ACB = 180°，∠BCD +∠ACB = 180°， ∴∠BCD =∠A +∠B. 你能用作平行线的方法证明此结论吗？ D 证明：过 C 作 CE∥AB， A B C 1 2 则∠1 = ∠B (两直线平行，同位角相等)， ∠2 = ∠A (两直线平行，内错角相等). ∴∠ACD =∠2 +∠1 =∠A +∠B. E 已知：△ABC 如图，求证：∠ACD =∠A +∠B. 验证结论 三角形内角和定理的推论 A B C D ( ( ( 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和. 应用格式： 因为∠ACD 是△ABC 的一个外角， 所以∠ACD =∠A +∠B. 知识要点 练一练：说出下列图形中∠1 和∠2 的度数： A B C D ( ( ( 80° 60° ( 2 1 (1) A B C ( ( ( ( 2 1 50° 32° (2) ∠1 = 40°，∠2 = 140° ∠1 = 18°，∠2 = 130° 例4 如图，∠A = 42°，∠ABD = 28°，∠ACE = 18°，求∠BFC 的度数. 解：∵∠BEC 是△AEC 的一个外角， ∴∠BEC = ∠A + ∠ACE. ∵∠A = 42° ，∠ACE = 18°， ∴∠BEC = 60°. ∵∠BFC 是△BEF 的一个外角， ∴∠BFC = ∠ABD + ∠BEF. ∵∠ABD = 28°，∠BEF = 60°， ∴∠BFC = 88°. F A C D E B 典例精析 例5 如图，P 为△ABC 内一点，∠BPC＝150°，∠ABP ＝20°，∠ACP＝30°，求∠A 的度数． 解析：延长 BP 交 AC 于 E 或连接 AP 并延长，构造三角形的外角，再利用外角的性质即可求出∠A 的度数． E 解：延长 BP 交 AC 于点 E. 则∠BPC，∠PEC 分别为△PCE，△ABE 的外角， ∴∠BPC＝∠PEC＋∠PCE， ∠PEC＝∠ABE＋∠A. ∴∠PEC＝∠BPC－∠PCE ＝150°－30°＝120°. ∴∠A＝∠PEC－∠ABE＝120°－20°＝100°. E 【变式题】(一题多解) 如图，∠A = 51°，∠B = 20°， ∠C = 30°，求∠BDC 的度数. A B C D ( ( ( 51° 20° 30° 思路点拨：添加适当的辅助线将四边形问题转化为三角形问题. 解法一：连接 AD 并延长到点 E. 在△ABD 中，∠1 +∠B =∠3， 在△ACD 中，∠2 +∠C =∠4. ∵∠BDC =∠3 +∠4， ∠BAC =∠1 +∠2， ∴∠BDC =∠BAC +∠B +∠C = 51° + 20° + 30° = 101°. A B C D ( ( 20° 30° E ) ) 1 2 ) 3 ) 4 你发现了什么结论？ 解法二：延长 BD 交 AC 于点 E. 在△ABE 中，∠1 =∠B +∠A， 在△ECD 中，∠BDC =∠1 +∠C. ∴∠BDC =∠A +∠B +∠C = 51° + 20° + 30° = 101°. A B C D ( ( ( 51° 20° 30° E ) 1 解法三：连接 CD 并延长交 AB 于 F (方法同解法二). ) 2 F 解题的关键是正确的构造三角形，利用三角形外角的性质及转化的思想，把未知角与已知角联系起来求解. 总结 如图①，试比较∠2 、∠1的大小； 如图②，试比较∠3 、∠2、 ∠1的大小. 图① 图② 解：因为∠2 =∠1 +∠B， 所以∠2＞∠1. 解：因为∠2 =∠1 +∠B， ∠3 =∠2 +∠D， 所以∠3＞∠2＞∠1. 拓展探究 三角形的外角大于与它不相邻的内角. A B C D ( ( 1 2 3 A B C D ( ( ( 1 2 E 1. 求出下列各图中的 x 值. x = 70 x = 60 x = 30 x = 50 当堂练习 2. (1) 如图，∠BDC 是_______的 外角，也是 的外角； (2) 若∠B = 45°， ∠BAE = 36°， ∠BCE = 20°，求∠AEC 的度数. A B C D E △ADE △ADC 解：根据三角形外角的性质有 ∠ADC =∠B +∠BCE， ∠AEC =∠ADC +∠BAE， 所以∠AEC =∠B +∠BCE +∠BAE = 45° + 20° + 36° = 101°. 解：因为∠ADC 是△ABD 的外角， 4. 如图，D 是△ABC 的 BC 边上一点，∠B = ∠BAD， ∠ADC = 80°，∠BAC = 70°，求： （1）∠B 的度数； （2）∠C 的度数. 因为在△ABC 中，∠B +∠BAC +∠C = 180°， 所以∠C = 180° - 40° - 70° = 70°. 所以∠ADC =∠B +∠BAD = 80°. 又因为∠B =∠BAD， A B C D 所以 4. 如图，四边形 ABCD 中，点 E 在 BC 上，∠A +∠ADE = 180°，∠B = 78°，∠C = 60°，求∠EDC 的度数． 解：已知∠A +∠ADE = 180°， 所以 AB∥DE. 则∠CED =∠B = 78°. 又因为∠C = 60°， 所以∠EDC = 180° - (∠CED +∠C ) = 180° - (78°+ 60°) = 42°. A B C D E 1 2 F G 解：因为∠1 是△FBE 的外角， 所以∠1 = ∠B +∠E， 同理∠2 = ∠A +∠D. 在△CFG 中， ∠C +∠1 +∠2 = 180°， 所以∠A +∠B +∠C +∠ D +∠E = 180°. 5. 如图，求∠A+ ∠B+ ∠C+ ∠D+ ∠E 的度数. 拓展提升： 三角形 三角形内角和定理 三角形外角的性质 锐角三角形 直角三角形 钝角三角形 三个内角的和为180° ↑ 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和 ↓ 课堂小结 $$