2.1 第2课时 三角形的高、中线和角平分线（讲解课件）-【优翼·学练优】2024-2025学年八年级数学上册同步备课（湘教版）

nullnull2.1 三角形 第2章 三角形 第2课时 三角形的高、角平分线和中线 优翼数学教学课件（XJ）八上 复习回顾 定义 图示 垂线 线段中点 角平分线 O B A A B 当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫作另一条直线的垂线 把一条线段分成两条相等的线段的点 一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫作这个角的平分线 导入新课 你还记得怎么“过一点画已知直线的垂线”吗? 0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5 放、 靠、 过、 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5 画. 思考：过三角形的一个顶点，你能画出它的对边的垂线吗? 导入新课 问题1 什么是三角形的高？怎样画三角形的高？ 定义 从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫作三角形的高线，简称三角形的高. 问题2 由三角形的高你能得到什么结论？ ∠ADB = ∠ADC = 90° A B C D 垂足 注意：标明垂直记号和垂足的字母. 高 三角形的高 新课讲授 ② AD⊥BC，垂足为 D； ③ 点 D 在 BC 上，且∠ADB = 90° (或∠ADC = 90°). ① AD 是△ABC 的高； A B C D 高的描述方法（如图）：有三种 思考：你还能画出一条高来吗？ 一个三角形有三个顶点，应该有三条高. (1) 你能画出这个三角形的三条高吗? (2) 这三条高之间有怎样的位置关系? (3) 锐角三角形的三条高是在三角形 的内部还是外部? 锐角三角形的三条高交于同一点. 锐角三角形的三条高都在三角形的内部. 锐角三角形的三条高 如图所示. 探究交流 O A B C D E F 直角边 BC 上的高是 ； 直角边 AB 上的高是 . (2) 斜边 AC 上的高是 ； 直角三角形的三条高 A B C (1) 画出直角三角形的三条高； AB CB 它们有怎样的位置关系? D 直角三角形的三条高交于直角顶点. BD 钝角三角形的三条高 (1) 你能画出钝角三角形的三条 高吗？ A B C D E F (2) AC 边上的高是哪条线段？ AB 边上的高是哪条线段？ BC 边上的高是哪条线段？ BF CE AD A B C D F (3) 钝角三角形的三条高相交 吗？ (4) 它们所在的直线交于一点 吗？这点位于何处？ O E 钝角三角形的三条高不相交. 钝角三角形的三条高所在直线交于一点，并且这个点在三角形外部. 点击视频开始播放 → 视频：画钝角三角形的高 例1 作△ABC 的边 AB 上的高，下列作法中，正确的是(　　) 典例精析 方法总结：三角形任意一边上的高必须满足：(1) 过该边所对的顶点；(2) 垂直于该边，且垂足必须在该边或在该边的延长线上. D 例2 如图所示，在△ABC 中，AB＝AC＝5，BC＝6，AD⊥BC 于点 D，且 AD＝4，若点 P 在边 AC 上移动，则 BP 的最小值为 ． 方法总结：首先判定△ABC 为锐角三角形，得出 BP 最小等于 AC 边上的高；然后利用面积相等作为桥梁(可不求面积)去求这条高．此法通常称为“等面积法”． _____ 思考 在一张薄纸上任意画一个三角形，你能设法画出它的一个内角的平分线吗? 你能通过折纸的方法得到它吗? 三角形的角平分线 B A C 用量角器画最简便，用圆规和直尺也能. 在一张纸上画出一个一个三角形并剪下来，将它的一个角对折，使其两边重合. 折痕 AD 所在的射线即为∠BAC 的平分线. A B C D 三角形的角平分线的定义： 在三角形中，一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫作三角形的角平分线. 1 2 A B C D 注意：“三角形的角平分线”是线段，不是射线. ∠1 =∠2 每人准备锐角三角形、钝角三角形和直角三角形纸片 各一个. (1) 你能分别画出这三个三角形的三条角平分线吗? (2) 你能用折纸的办法得到它们吗? (3) 在每个三角形中，这三条角平分线之间有怎样的 位置关系 ? 做一做 观察直角三角形、钝角三角形的三条角平分线，你又有什么发现？ 三角形的三条角平分线交于同一点. 例3 如图，CD 平分∠ACB，DE∥BC，∠AED = 80°，求∠ECD 的度数. 解：∵ CD 平分∠ACB， 又 DE∥BC， 典例精析 ∴∠ACB =∠AED = 80°. ∴∠ECD = 40°. ∴∠ECD =∠BCD = ∠ACB. A B C E D 视频：平均分蛋糕 点击视频开始播放 → 三角形的中线 三 问题1 如图，如果点 C 是线段 AB 的中点，你能得到什么结论？ A C B AC = BC = AB 三角形的中线 定义： 在三角形中，连接一个顶点和它的对边中点的线段叫作三角形的中线. 问题2 类比三角形的高的概念，试说明什么叫三角形的中线. A B C 想一想：由三角形的中线能得到什么结论？ BE = CE = BC E 如图，BE = CE，则线段 AE 是△ABC 的 BC 边上的中线． 画一画：如图，画出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的三条中线，并观察它们中线的交点有什么规律？ 画图发现 三角形的三条中线交于三角形内部一点，这一点我们称为三角形的重心. A B C A B C A B C D E F D D E F E F O O O 问题3 如图，在△ABC 中，AD 是△ABC 的中线，AE 是△ABC 的高．试判断△ABD 和△ACD 的面积有什么关系，为什么？ B C D E A 答：相等，因为两个三角形等底同高，所以它们面积相等. 问题4 通过问题 3 你能得出什么结论？ 答：三角形的中线将三角形的面积平分. 例4 如图，AD 是△ABC 的中线， AE 是△ABC 的高. （1）图中共有几个三角形？请分别列举出来； 解：图中有 6 个三角形， 它们分别是： △ABD， △ADE， △AEC， △ABE， △ADC， △ABC. （2）其中哪些三角形的面积相等？ 解：因为 AD 是△ABC 的中线， 所以 BD = DC. 因为 AE 是△ABC 的高，也是△ABD 和△ADC 的高， 所以 S△ABD = S△ADC . 而 S△ABD = BD • AE， S△ADC = DC • AE， 总结：三角形的中线把三角形分成面相等的两个部分. 如图，在△ABC 中，∠1 =∠2，G 为 AD 中点，延长 BG 交 AC 于 E，F 为 AB 上一点，CF⊥AD 于 H，判断下列说法的正误： ⌒ ⌒ A B C D E 1 2 F G H ① AD 是△ABE 的角平分线 ( ) ② BE 是△ABD 的边 AD 上的中线 ( ) ③ BE 是△ABC 的边 AC 上的中线 ( ) ④ CH 是△ACD 的边 AD 上的高 ( ) × × × √ 练一练 解：∵AD 是△ABC 的中线，∴CD = BD. ∵△ABC 的周长为 35 cm，BC = 11 cm， ∴AC + AB = 35 - 11 = 24 (cm). 又∵△ABD 与△ACD 的周长差为 3 cm， ∴AB - AC = 3 cm. ∴AB = 13.5 cm，AC = 10.5 cm. 例5 如图，△ABC 中，AD 是 BC 边上的中线，若△ABC 的周长为 35 cm，BC = 11 cm，且△ABD 与△ACD 的周长差为 3 cm，求 AB 与 AC 的长. A C D B 三角形的高、角平分线、中线的有关计算 例6 如图，在△ABC 中，E 是 BC 上的一点，EC＝2BE，点 D 是 AC 的中点，S△ABC＝12，求 S△ADF－S△BEF 的值. ∴S△ABD－S△ABE＝(S△ADF＋S△ABF)－(S△ABF＋S△BEF)＝S△ADF－S△BEF， 即 S△ADF－S△BEF＝S△ABD－S△ABE＝6－4＝2. 解：∵点 D 是 AC 的中点，∴AD＝ AC. ∵S△ABC＝12，∴S△ABD＝ S△ABC＝ ×12＝6. ∵EC＝2BE，S△ABC＝12，∴S△ABE＝ S△ABC＝4. 三角形的 重要线段 概念 图形 表示法 三角形 的高线 从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线,顶点和垂足之间的线段 ∵AD是△ABC的高， ∴AD⊥BC， ∠ADB=∠ADC=90°. 三角形 的中线 三角形中,连接一个顶点和它对边中点的线段 ∵ AD是△ABC的边BC上的中线， ∴ BD=CD= BC. 三角形的 角平分线 三角形一个内角的平分线与它的对边相交,这个角的顶点与交点之间的线段 ∵AD是△ABC的角平分线， ∴ ∠1=∠2= ∠BAC 知识归纳 A B C D A B C D A B C D ( 1 ( 2 1．下列说法正确的是 （　　） A．三角形三条高都在三角形内 B．三角形三条中线相交于一点 C．三角形的三条角平分线可能在三角形内，也可 能在三角形外 D．三角形的角平分线是射线 B 当堂练习 2．在△ABC 中，AD 为中线，BE 为角平分线，则以下说法：①∠BAD =∠CAD；②∠ABE =∠CBE；③ BD = DC；④ AE = EC．其中正确的是 （　　） A．①② B．③④ C．①④ D．②③ D A B C D E 3. 如图，在△ABC 中，∠ACB = 90°，CD⊥AB，则图中的线段可以作为△ABC 的高的有 （　　） A．2 条 B．3 条 C．4 条 D．5 条 4. 下列各组图形，哪一组图形中 AD 是△ABC 的 BC 边上的高 ( ) A D C B A B C D A B C D A B C D A B C D B D 5.填空： (1) 如图①，AD，BE，CF 是△ABC 的三条中线，则 AB = 2＿＿，BD = ＿＿，AE = ＿＿. (2) 如图②，AD，BE，CF 是△ABC 的三条角平分线， 则∠1 =_______， ∠3 =_______，∠ABC = 2_____. 图① 图② AF DC ∠CAD ∠2 ∠BCF A B C D E F AC 6. 如图，AD 是△ABC 的中线，CE 是△ACD 的中线，S△AEC = 3 cm2，则 S△ABC =_____cm2. 12 解：∵ CD 是△ABC 的中线， ∴ BD = AD. ∵ BC - AC = 5cm， ∴△DBC 与△ADC 的周长差是 5 cm. 又∵△DBC 的周长为 25 cm， ∴△ADC 的周长为 25 - 5 = 20 (cm). 7. 如图，在△ABC 中，CD 是中线，已知 BC - AC = 5 cm， △DBC 的周长为 25 cm，求△ADC 的周长. A D B C 能力提升：王大爷有一块三角形的菜地，现在要将它们平均分给四个儿子，在菜地的一角 A 处有一口池塘，为了使分开后的四块菜地都能就近取水，王大爷为此很伤脑筋.你能想出什么办法帮帮王大爷吗？ 如果不考虑水源，你认为还可以怎样分? A （思路提示：想到三角形的中线能把三角形分成面积相等的两部分.） 三角形的重要线段 高 注意钝角三角形两短边上高的画法 中线 会把原三角形的面积平分 一边上的中线把原三角形分成两个三角形，这两个三角形的周长差等于原三角形其余两边的差 角平分线 是线段，不是射线 课堂小结 $$