1.5 第1课时 可化为一元一次方程的分式方程的解法（讲解课件）-【优翼·学练优】2024-2025学年八年级数学上册同步备课（湘教版）

1.5 可化为一元一次方程的分式方程 第1章 分 式 第1课时 可化为一元一次方程的分式方程的解法 优翼数学教学课件（XJ）八上 一艘轮船在静水中的最大航速为 30 千米/时，它沿江以最大航速顺流航行 90 千米所用时间，与以最大航速逆流航行 60 千米所用时间相等. 设江水的流速为 x 千米/时，根据题意可列方程 . 这个方程是我们以前学过的方程吗？它与一元一次方程有什么区别？ 导入新课 定义： 此方程的分母中含有未知数 x，像这样分母中含未知数的方程叫作分式方程. 知识要点 分式方程的概念 新课讲授 判一判 下列方程中，哪些是分式方程？哪些是整式方程？ 整式方程 分式方程 方法总结：判断一个方程是否为分式方程，主要是看分母中是否含有未知数(注意：π 不是未知数)． （2）怎样去分母？ （3）在方程两边乘什么样的式子才能把每一个分母 都约去？ （4）这样做的依据是什么？ 解分式方程最关键的问题是什么？ （1）如何把它转化为整式方程呢？ 如何去分母 你能试着解这个分式方程吗？ 分式方程的解法 方程的最简公分母是：(30 + x)(30 - x). 解：方程两边同乘 (30 + x)(30 - x)，得 检验：将 x = 6 代入原分式方程中，左边 = = 右边， 因此 x = 6 是原分式方程的解. 90(30 - x) = 60(30 + x)， 解得 x = 6. x = 6 是原分式方程的解吗？ 解分式方程的基本思路：是将分式方程化为整式方程，具体做法是“去分母”，即方程两边同时乘最简公分母. 这也是解分式方程的一般方法. 归纳 下面我们再解一个分式方程： 解：方程两边同乘最简公分母 (x + 5)(x - 5)，得 x + 5 = 10， 解得 x = 5. x = 5 是原分式方程的解吗？ 检验：将 x = 5 代入原方程中，分母 x - 5 和 x2 - 25的值都为 0，相应的分式无意义. 因此 x = 5 虽是整式方程 x + 5 = 10 的解，但不是原分式方程 的解，实际上，这个分式方程无解. 想一想： 上面两个分式方程中，为什么 去分母后所得整式方程的解就是原分式方程的解， 而 去分母后所得整式方程的解却不是原分式方程的解呢？ 真相揭秘：分式两边同乘不为 0 的式子，所得整式方程的解与分式方程的解相同. 我们再来观察去分母的过程： 90(30-x)=60(30+x) 两边同乘 (30+x)(30-x) 当x=6时，(30+x)(30-x)≠0 真相揭秘：分式两边同乘了等于 0 的式子，所得整式方程的解使分母为 0，这个整式方程的解就不是原分式方程的解. x + 5 = 10 两边同乘(x+5)(x-5) 当x=5时，(x+5)(x-5)=0 解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程的分母为 0，所以分式方程的解必须检验． 怎样检验？ 这个整式方程的解是不是原分式方程的解呢？ 分式方程解的检验——必不可少的步骤 检验方法：把所求出的未知数的值代入最简公分母中，如果它使最简公分母的值不等于 0，那么它是原分式方程的一个根；如果它使最简公分母的值为 0，那么它不是原分式方程的根，称它是原方程的增根. 1. 在方程的两边同乘最简公分母，约去分母，化成整式方程； 2. 解这个整式方程； 3. 把整式方程的解代入最简公分母，若最简公分母的值不为 0，则整式方程的解是原分式方程的解，否则该解须舍去； 4. 写出原方程的根. 简记为：“一化二解三检验”. 知识要点 “去分母法”解分式方程的步骤 例1 解方程： 解 ：方程两边同乘最简公分母 x(x - 2)，得 解这个一元一次方程，得 x = -3. 检验：把 x = -3 代入 x(x - 2)，得 x(x - 2) ≠ 0. 因此 x = -3 是原方程的解. 典例精析 解：两边同乘最简公分母 (x + 2)(x - 2)，得 x + 2 = 4. 解得 x = 2. 检验：把 x = 2 代入 (x + 2)(x - 2)，得 (x + 2)(x - 2) = 0. 因此 x = 2 不是原分式方程的解，原方程无解. 提醒：解分式方程时，通常要在方程两边同乘最简公分母，验根时，只要把求得的根代入最简公分母，看它的值是否为零，使它不为零的根才是原方程的根，使它为零的根即为增根，应舍去. 用框图总结为： 可化为一元一次方程的分式方程 一元一次方程 方程两边同乘最简公分母 求解 x = a 检验 x = a 是分式 方程的解 x = a 不是分式 方程的解 当x = a时 最简公分母是 否为零？ 否 是 例2 若关于 x 的分式方程 无解，求 m 的值． 解析： 先把分式方程化为整式方程，再分两种情况讨论求解：整式方程无解与分式方程有增根． 解：方程两边同乘 (x＋2)(x－2) 得 2(x＋2)＋mx＝3(x－2)，即 (m－1)x＝-10. ①当 m－1＝0 时，此方程无解，此时 m＝1； ②方程有增根，则 x＝2 或 x＝－2， 当 x＝2 时，代入 (m－1)x＝－10，得 (m－1)×2＝－10，解得 m＝－4； 当 x＝－2时，代入(m－1)x＝－10，得 (m－1)×(－2)＝－10，解得 m＝6. 所以 m 的值是 1，－4 或 6. 分式方程无解与分式方程有增根所表达的意义是不一样的．分式方程有增根仅仅针对使最简公分母为 0 的数；分式方程无解不但包括使最简公分母为 0 的情况（增根），而且还包括分式方程化为整式方程后，使整式方程无解的情况． 方法总结 2. 要把方程 化为整式方程，方程两边可以同乘（ ） D A. 3y - 6 B. 3y C. 3 (3y - 6 ) D. 3y ( y - 2 ) 1. 下列关于 x 的方程中，是分式方程的是(　　) A. B. C. D. D 当堂练习 3. 解分式方程 时，去分母后得到的整式方程是 ( ) A. 2(x - 8) + 5x = 16(x - 7) B. 2(x - 8) + 5x = 8 C. 2(x - 8) - 5x = 16(x - 7) D. 2(x - 8) - 5x = 8 A 4. 若关于 x 的分式方程 无解，则 m 的值为 ( ) A. －1 或 5 B. 1 C. －1.5 或 2 D. －0.5 或－1.5 D 5.解方程： 解： 方程两边同乘 x(x - 3)，得 2x = 3x - 9. 解得 x = 9. 检验：当 x = 9 时，x(x - 3)≠0. 所以，原分式方程的解为 x = 9. 6.解方程： 解： 方程两边同乘 (x - 1)(x + 2)，得 x(x + 2) - (x - 1)(x + 2) = 3. 解得 x = 1. 检验：当 x = 1 时，(x - 1)(x + 2) = 0，因此 x = 1 不是原分式方程的解. 所以，原分式方程无解. 7. 解方程： 解：方程两边同乘 ，得 解得 检验：把 代入最简公分母，得 所以原方程的解为 8. 若关于 x 的方程 有增根，求 m 的值. 解：方程两边同乘 (x - 2)，得 2 - x + m = 2x - 4. 所以 m = 3x - 6. 因为该分式方程有增根， 所以 x - 2 = 0，即 x = 2. 所以 m = 0. 分式 方程 误区 (1)去分母时，原方程的整式部分漏乘； 步骤 (去分母法) 一化(分式方程转化为整式方程)； 二解(整式方程)； 三检验(把解代入到最简公分母，看是否为零) (2)去分母后，分子是多项式时，没有添括号 (因分数线有括号的作用)； (3)忘记检验. 定义 分母中含未知数的方程叫作分式方程 课堂小结 $$