第12章 全等三角形 学业质量评价（作业课件）-【优翼·学练优】2024-2025学年八年级数学上册同步备课（人教版2012）

2024秋季学期 《学练优》· 八年级数学上 · RJ 第十二章学业质量评价 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列各组图形中，属于全等形的是（1201）（　C） C 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 2. 如图，△ ABC ≌△ DEF ，若∠ B ＝∠ C ＝72°， 则∠ D 的度数为（1202）（　D　） A. 72° B. 46° C. 40° D. 36° 第2题图 D 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 3. 如图，已知∠1＝∠2， AC ＝ AE ，下列条件无法 确定△ ABC ≌△ ADE 的是（1203）（　B　） A. ∠ C ＝∠ E B. BC ＝ DE C. AB ＝ AD D. ∠ B ＝∠ D 第3题图 B 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 4. 如图所示，为了测量水池两边 A ， B 间的距离， 可以先过点 A 作射线 AE ，再过 B 点作 BD ⊥ AE 于 D ，在 AD 延长线上截取 DC ＝ AD ，连接 BC ，则 BC 的长就是 A ， B 间的距离，用来判定△ ABD ≌△ CBD 的理由是（1203）（　B　） A. HL B. SAS C. ASA D. AAS 第4题图 B 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 5. 如图，游乐场的三条道路围成Rt△ ABC ，∠ C ＝ 90°，其中 BC ＝100m，一个人从 B 处出发沿着 BC 方向行走了80m，到达 D 处， AD 恰为∠ CAB 的平 分线，则此时这个人到 AB 的最短距离为（1205） （　C　） A. 100m B. 80m C. 20m D. 180m 第5题图 C 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 6. 如图， BD ＝ CF ， FD ⊥ BC 于点 D ， DE ⊥ AB 于点 E ， BE ＝ CD . 若∠ AFD ＝145°，则∠ EDF 的度数为（1206）（　B　） A. 45° B. 55° C. 35° D. 65° 第6题图 B 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 7. 如图， AB ⊥ CD ， CE ⊥ AD 于 E ， BF ⊥ AD 于 F . 若 AB ＝ CD ， CE ＝8， BF ＝6， AD ＝10，则 EF 的长为（1206）（　A　） A. 4 B. C. 3 D. 第7题图 A 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 8. 如图，在△ ABC 中， BD 平分∠ ABC ，以点 A 为 圆心，以任意长为半径画弧交射线 AB ， AC 于两 点，分别以这两点为圆心，以适当的定长为半径画 弧，两弧交于点 E ，作射线 AE ，交 BD 于点 I ，连 接 CI ，以下说法错误的是（1205）（　C　） C A. I 到 AB ， AC 边的距离相等 B. CI 平分∠ ACB C. I 到 A ， B ， C 三点的距离相等 D. I 是三角形三条角平分线的交点 第8题图 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 9. 如图， BD ＝ BC ， BE ＝ CA ，∠ DBE ＝∠ C ＝ 62°，∠ BDE ＝75°，则∠ AFE 的度数等于（1206）（　A　） A. 148° B. 140° C. 135° D. 128° 第9题图 A 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 10. 如图，在△ ABD 和△ ACE 中， AB ＝ AD ， AC ＝ AE ， AB ＞ AC ，∠ DAB ＝∠ CAE ＝50°，连接 BE ， CD 交于点 F ，连接 AF . 下列结论：① BE ＝ CD ；②∠ EFC ＝50°；③ AF 平分∠ DAE ；④ FA 平分∠ DFE . 其中正确的个数为（1206）（　C　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 第10题图 C 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. 如图， AC ， BD 相交于点 O ， OB ＝ OD ，要使 △ AOB ≌△ COD ，可添加一个条件是 ⁠ .（只写一个）（1203） OA ＝ OC （答案不唯一）　 第11题图 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 12. 如图，点 B ， E ， D ， C 在同一直线上，△ ABE ≌△ ACD ， DE ＝4， BC ＝10，则 CE ＝ .（1202） 第12题图 3　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 13. 如图，在△ ABC 中，点 E 是 BC 边上一点，且 AB ＝ EB ，点 D 在 AC 上，连接 BD ， DE ，若 AD ＝ ED ，∠ A ＝80°，∠ CDE ＝40°，则∠ C 的度数 为 .（1206） 40°　 第13题图 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 14. 如图，小张同学拿着等腰直角三角尺，摆放在 两摞长方体教具之间，若每个长方体教具高度均为 6cm，∠ ACB ＝90°， AC ＝ BC ，则两摞长方体教 具之间的距离 DE 的长为 cm.（1206） 42　 第14题图 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 15. 如图，已知△ ABC 的周长是18， BO ， CO 分别 平分∠ ABC 和∠ ACB ， OD ⊥ BC 于 D ，且 OD ＝ 1，则△ ABC 的面积是 .（1205） 第15题图 9　 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 16. 如图，在长方形 ABCD 中， AB ＝ DC ＝4， AD ＝ BC ＝5.延长 BC 到 E ，使 CE ＝2，连接 DE . 动 点 P 从点 B 出发，以每秒2个单位长度的速度沿 BC － CD － DA 向终点 A 运动，设点 P 运动的时间为 t s. 当 t 取某个值时，使得△ DCP 和△ DCE 全等，则满 足条件的 t 值是 .（1206） 1.5或5.5　 第16题图 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 三、解答题（共72分） 17. （6分）如图， AB 与 CD 交于点 O ， AD ＝ CB ， ∠ A ＝∠ C . 求证： OB ＝ OD . （1203） 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 证明：∵在△ OCB 和△ OAD 中， ∴△ OCB ≌△ OAD （AAS）. ∴ OB ＝ OD . （6分） 证明：∵在△ OCB 和△ OAD 中， ∴△ OCB ≌△ OAD （AAS）. ∴ OB ＝ OD . （6分） 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 18. （8分）如图，点 B ， E ， C ， F 在一条直线 上， AB ∥ DE ， AB ＝ DE . 老师说，再添加一个条 件就可以使△ ABC ≌△ DEF . 下面是课堂上三位同 学的发言：甲说：“添加 AC ＝ DF . ”乙说：“添 加 AC ∥ DF . ”丙说：“添加 BE ＝ CF . ”（1203） 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 （1）甲、乙、丙三个同学说法正确的是 ；（3分） 乙、 丙　 （3分） 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 解：选择乙同学的说法，证明如下： ∵ AB ∥ DE ，∴∠ B ＝∠ DEF . ∵ AC ∥ DF ，∴∠ ACB ＝∠ F . 在△ ABC 和△ DEF 中， ∴△ ABC ≌△ DEF （AAS）.（8分） 解：选择乙同学的说法，证明如下： ∵ AB ∥ DE ，∴∠ B ＝∠ DEF . ∵ AC ∥ DF ，∴∠ ACB ＝∠ F . 在△ ABC 和△ DEF 中， ∴△ ABC ≌△ DEF （AAS）.（8分） （2）请你从正确的说法中选择一种，并给出相应的 证明过程. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 选择丙同学的说法，证明如下： ∵ AB ∥ DE ，∴∠ B ＝∠ DEF . ∵ BE ＝ CF ， ∴ BC ＝ EF . 在△ ABC 和△ DEF 中， ∴△ ABC ≌△ DEF （SAS）.（8分） 选择丙同学的说法，证明如下： ∵ AB ∥ DE ，∴∠ B ＝∠ DEF . ∵ BE ＝ CF ， ∴ BC ＝ EF . 在△ ABC 和△ DEF 中， ∴△ ABC ≌△ DEF （SAS）.（8分） 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 19. （8分）如图，在Rt△ ABC 中，∠ ACB ＝90°， 点 D 是斜边 AB 上一点，且 AC ＝ AD . （1205，1209） （1）作∠ BAC 的平分线，交 BC 于点 E ；（要求尺 规作图，不写作法，保留作图痕迹） 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 （1）解：如图， AE 为所作.（4 分） （1）解：如图， AE 为所作.（4 分） 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 （2）在（1）的条件下，连接 DE ，求证： DE ⊥ AB . 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 （2）证明：∵ AE 平分∠ BAC ， ∴∠ CAE ＝∠ DAE . 在△ ACE 和△ ADE 中， ∴△ ACE ≌△ ADE （SAS）. ∴∠ ADE ＝∠ C ＝90°.∴ DE ⊥ AB . （8分） （2）证明：∵ AE 平分∠ BAC ， ∴∠ CAE ＝∠ DAE . 在△ ACE 和△ ADE 中， ∴△ ACE ≌△ ADE （SAS）. ∴∠ ADE ＝∠ C ＝90°. ∴ DE ⊥ AB . （8分） 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 20. （8分）如图，在△ ABC 中，∠ ACB ＝90°， AC ＝ BC ， BE ⊥ CE 于 E ， AD ⊥ CE 于 D . （1）求证：△ ADC ≌△ CEB ；（1203） （2）若 AD ＝5cm， DE ＝3cm，求 BE 的长度. （1206） 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 （1）证明：∵ AD ⊥ CE ， BE ⊥ CE ， ∠ ACB ＝90°， ∴∠ ADC ＝∠ CEB ＝∠ ACB ＝90°. ∴∠ BCE ＝90°－∠ ACD ＝∠ CAD . 在△ ADC 和△ CEB 中， ∴△ ADC ≌△ CEB （AAS）.（4分） （1）证明：∵ AD ⊥ CE ， BE ⊥ CE ， ∠ ACB ＝90°， ∴∠ ADC ＝∠ CEB ＝∠ ACB ＝90°. ∴∠ BCE ＝90°－∠ ACD ＝∠ CAD . 在△ ADC 和△ CEB 中， ∴△ ADC ≌△ CEB （AAS）.（4分） 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 （2）解：由（1）知△ ADC ≌△ CEB ， 则 AD ＝ CE ＝5cm， CD ＝ BE . ∵ CD ＝ CE － DE ， ∴ BE ＝ AD － DE ＝5－3＝2（cm）.（8分） （2）解：由（1）知△ ADC ≌△ CEB ， 则 AD ＝ CE ＝5cm， CD ＝ BE . ∵ CD ＝ CE － DE ， ∴ BE ＝ AD － DE ＝5－3＝2（cm）.（8分） 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 21. （10分）证明“全等三角形的对应边上的中线 长相等”.（要求：画图，写出已知、求证和证明过 程）（1208） 解：已知：如图，已知△ ABC ≌△A'B'C'， AD 和A'D'分别是△ ABC 和△A'B'C'的中线. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 求证： AD ＝A'D'. 求证： AD ＝A'D'. 解：已知：如图，已知△ ABC ≌△A'B'C'， AD 和A'D'分别是△ ABC 和△A'B'C'的中线. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 证明：∵△ ABC ≌△A'B'C'， ∴ AB ＝A'B'，∠ B ＝∠B'， BC ＝B'C'. ∵ AD ，A'D'是 BC 和B'C'上的中线， ∴ BD ＝ BC ，B'D'＝ B'C'. ∴ BD ＝B'D'. ∴在△ ABD 和△A'B'D'中， ∴△ ABD ≌△A'B'D'（SAS）. ∴ AD ＝A'D'.（10分） 证明：∵△ ABC ≌△A'B'C'， ∴ AB ＝A'B'，∠ B ＝∠B'， BC ＝B'C'. ∵ AD ，A'D'是 BC 和B'C'上的中线， ∴ BD ＝ BC ，B'D'＝ B'C'. ∴ BD ＝B'D'. ∴在△ ABD 和△A'B'D'中， ∴△ ABD ≌△A'B'D'（SAS）. ∴ AD ＝A'D'.（10分） 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 22. （10分）如图， E 在 AB 上，∠ A ＝∠ B ， AD ＝ BE ， AE ＝ BC ， F 是 CD 的中点. （1）求证： EF ⊥ CD ；（1203） 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 （1）证明：在△ AED 和△ BCE 中， ∴△ AED ≌△ BCE （SAS）. ∴ DE ＝ EC . ∵ F 是 CD 的中点， ∴ DF ＝ CF . 又 EF ＝ EF ， ∴△ DEF ≌△ CEF （SSS）. ∴∠ DFE ＝∠ CFE ＝90°. ∴ EF ⊥ CD . （5分） （1）证明：在△ AED 和△ BCE 中， ∴△ AED ≌△ BCE （SAS）. ∴ DE ＝ EC . ∵ F 是 CD 的中点， ∴ DF ＝ CF . 又 EF ＝ EF ， ∴△ DEF ≌△ CEF （SSS）. ∴∠ DFE ＝∠ CFE ＝90°. ∴ EF ⊥ CD . （5分） 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 （2）若∠ CEA ＝80°，∠ B ＝60°，求∠ ECD 的 度数.（1202） 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 （2）解：∵∠ CEA ＝80°， ∠ B ＝60°， ∴∠ BCE ＝∠ CEA －∠ B ＝80°－60°＝20°. ∵△ AED ≌△ BCE ， ∴∠ AED ＝∠ BCE ＝20°. ∴∠ CED ＝∠ CEA ＋∠ AED ＝80°＋20°＝ 100°. ∵△ DEF ≌△ CEF ， （2）解：∵∠ CEA ＝80°， ∠ B ＝60°， ∴∠ BCE ＝∠ CEA －∠ B ＝80°－60°＝20°. ∵△ AED ≌△ BCE ， ∴∠ AED ＝∠ BCE ＝20°. ∴∠ CED ＝∠ CEA ＋∠ AED ＝80°＋20°＝ 100°. ∵△ DEF ≌△ CEF ， 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 ∴∠ ECD ＝∠ EDC ＝ ＝40°. ∴∠ ECD 的度数是40°.（10分） ∴∠ ECD ＝∠ EDC ＝ ＝40°. ∴∠ ECD 的度数是40°.（10分） 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 23. （10分）【知识再现】 学完《全等三角形》一章后，我们知道“斜边和一 条直角边分别相等的两个直角三角形全等（简称 ‘HL’定理）”是判定直角三角形全等的特有方 法.（1204，1209） 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 【简单应用】 （1）如图①，在△ ABC 中，∠ BAC ＝90°， AB ＝ AC ，点 D ， E 分别在边 AC ， AB 上.若 CE ＝ BD ，则线段 AE 和线段 AD 的数量关系是 ⁠ .（3分） AE ＝ AD 　 （3分） 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 【拓展延伸】 （2）在△ ABC 中，∠ BAC ＝α（90°＜α＜180°）， AB ＝ AC ，点 D 在边 AC 上.若点 E 在边 AB 上，且 CE ＝ BD ，如图②所示，则线段 AE 与线段 AD 相等吗？如果相等，请给出证明；如果不相等，请说明理由. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 解： AE ＝ AD . 解： AE ＝ AD . 证明如下： 如图②，过点 C 作 CM ⊥ BA 交 BA 的延长线于 M ， 过点 B 作 BN ⊥ CA 交 CA 的延长线于 N . ∵∠ M ＝∠ N ＝90°，∠ CAM ＝∠ BAN ， CA ＝ BA ， ∴△ CAM ≌△ BAN （AAS）. ∴ CM ＝ BN ， AM ＝ AN . （7分） ∵∠ M ＝∠ N ＝90°， CE ＝ BD ， CM ＝ BN ， 证明如下： 如图②，过点 C 作 CM ⊥ BA 交 BA 的延长线于 M ， 过点 B 作 BN ⊥ CA 交 CA 的延长线于 N . ∵∠ M ＝∠ N ＝90°，∠ CAM ＝∠ BAN ， CA ＝ BA ， ∴△ CAM ≌△ BAN （AAS）. ∴ CM ＝ BN ， AM ＝ AN . （7分） 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 ∴Rt△ CME ≌Rt△ BND （HL）. ∴ EM ＝ DN . 又∵ AM ＝ AN ，∴ AE ＝ AD . （10分） ∴Rt△ CME ≌Rt△ BND （HL）. ∴ EM ＝ DN . 又∵ AM ＝ AN ，∴ AE ＝ AD . （10分） ∵∠ M ＝∠ N ＝90°， CE ＝ BD ， CM ＝ BN ， 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 24. （12分）如图，已知△ ABC 中，∠ ABC 的平分 线与∠ ACB 的外角平分线交于点 D ，过点 D 作 DE ⊥ BC 于点 E . （1205，1206） （1）若∠ BAC ＝68°，求∠ BDC 的度数； 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 （1）解：∵∠ ABC 的平分线与∠ ACB 的外角平分线交于点 D ，∴∠ ABD ＝∠ CBD ，∠ ACD ＝∠ DCN . ∵∠ BAC ＝68°， ∴∠ ACN －∠ ABC ＝∠ BAC ＝ 68°. （1）解：∵∠ ABC 的平分线与∠ ACB 的外角平分线交于点 D ， ∴∠ ABD ＝∠ CBD ，∠ ACD ＝∠ DCN . ∵∠ BAC ＝68°， ∴∠ ACN －∠ ABC ＝∠ BAC ＝ 68°. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 ∴∠ DCN －∠ CBD ＝ ∠ ACN － ∠ ABC ＝ ∠ BAC ＝ ×68°＝34°. ∵∠ BDC ＝∠ DCN －∠ CBD ， ∴∠ BDC ＝34°.（3分） ∴∠ DCN －∠ CBD ＝ ∠ ACN － ∠ ABC ＝ ∠ BAC ＝ ×68°＝34°. ∵∠ BDC ＝∠ DCN －∠ CBD ， ∴∠ BDC ＝34°.（3分） 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 （2）证明：如图，过点 D 作 DP ⊥ AB 于 P ， DQ ⊥ AC 于 Q . ∵ DE ⊥ BC ， BD 平分∠ ABC ， CD 平分∠ ACE ， ∴ DP ＝ DE ， DQ ＝ DE . ∴ DP ＝ DQ . ∴ AD 平分∠ CAM . （7分） （2）证明：如图，过点 D 作 DP ⊥ AB 于 P ， DQ ⊥ AC 于 Q . ∵ DE ⊥ BC ， BD 平分∠ ABC ， CD 平分∠ ACE ， ∴ DP ＝ DE ， DQ ＝ DE . ∴ DP ＝ DQ . ∴ AD 平分∠ CAM . （7分） （2）连接 AD ，求证： AD 平分∠ CAM ； 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 （3）若△ ABC 的周长为20，求 BE 的长. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 （3）解：由（2）知 DP ＝ DQ ， 在Rt△ ADQ 和Rt△ ADP 中， ∴Rt△ ADQ ≌Rt△ ADP （HL）. ∴ AQ ＝ AP . 同理可得 BP ＝ BE ， CQ ＝ CE . ∵△ ABC 的周长＝ AB ＋ BC ＋ AC ＝20， ∴ AB ＋ BC ＋ AP ＋ CE ＝20. ∵ AB ＋ AP ＝ BC ＋ CE ， ∴ BC ＋ CE ＝10，即 BE ＝10. （12分） （3）解：由（2）知 DP ＝ DQ ， 在Rt△ ADQ 和Rt△ ADP 中， ∴Rt△ ADQ ≌Rt△ ADP （HL）. ∴ AQ ＝ AP . 同理可得 BP ＝ BE ， CQ ＝ CE . ∵△ ABC 的周长＝ AB ＋ BC ＋ AC ＝20， 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 （3）解：由（2）知 DP ＝ DQ ， 在Rt△ ADQ 和Rt△ ADP 中， ∴Rt△ ADQ ≌Rt△ ADP （HL）. ∴ AQ ＝ AP . 同理可得 BP ＝ BE ， CQ ＝ CE . ∵△ ABC 的周长＝ AB ＋ BC ＋ AC ＝20， ∴ AB ＋ BC ＋ AP ＋ CE ＝20. ∵ AB ＋ AP ＝ BC ＋ CE ， ∴ BC ＋ CE ＝10，即 BE ＝10. （12分） ∴ AB ＋ BC ＋ AP ＋ CE ＝20. ∵ AB ＋ AP ＝ BC ＋ CE ， ∴ BC ＋ CE ＝10，即 BE ＝10. （12分） 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 $$