（正文）第13章 专题9 等腰三角形中的教材典图研究【回归教材】（作业课件）-【优翼·学练优】2024-2025学年八年级数学上册同步备课（人教版2012）

2024秋季学期 《学练优》· 八年级数学上 · RJ 第十三章　轴对称 专题9　等腰三角形中的教材典图研究【回归教材】 ◆典图一　来源于教材P93T11图 1. 如图，已知在等边三角形 ABC 的三边上，分别取 点 D ， E ， F . 若 AD ＝ BE ＝ CF ，求证：△ DEB ≌ △ EFC . 证明：在等边三角形 ABC 中，∠ B ＝∠ C ＝60°， AB ＝ BC . ∵ AD ＝ BE ＝ CF ，∴ BD ＝ CE . ∴△ DEB ≌△ EFC （SAS）. 2 3 1 变式1 如图，在等边三角形 ABC 中，若 ED ⊥ AB 于点 D ， DF ⊥ AC 于点 F ， FE ⊥ BC 于点 E ，且 AB ＝15， 求 CE 的长. 解：∵ ED ⊥ AB 于点 D ， DF ⊥ AC 于点 F ， FE ⊥BC 于点 E ， ∴∠ EDB ＝90°，∠ FEC ＝90°，∠ DFA ＝90°. 在等边三角形 ABC 中，∠ A ＝∠ B ＝∠ C ＝60°， 2 3 1 ∴∠ BED ＝∠ CFE ＝∠ ADF ＝30°. ∴∠ DEF ＝∠ EFD ＝∠ EDF ＝60°. ∴△ DEF 是等边三角形.∴ DE ＝ FE ＝ DF . ∴△ BDE ≌△ CEF （AAS）.∴ BD ＝ CE . ∵∠ BDE ＝90°，∠ BED ＝30°， ∴ BE ＝2 BD . ∴ BE ＝2 EC . ∵ AB ＝15，∴ BC ＝3 EC ＝15.∴ CE ＝5. 2 3 1 变式2 （2023·通辽中考）如图，等边三角形 ABC 的边长为6cm，动点 P 从点 A 出发以2cm/s的速度沿 AB 向点 B 匀速运动，过点 P 作 PQ ⊥ AB ，交边 AC 于点 Q ，以 PQ 为边作等边三角形 PQD ，使点 A ， D 在 PQ 异侧，当点 D 落在 BC 边上时，点 P 需移动 s. 1　 2 3 1 ◆典图二　来源于教材P93T13图 2. （2023·金昌中考）如图， BD 是等边三角形 ABC 的边 AC 上的高，以点 D 为圆心， DB 长为半径作弧 交 BC 的延长线于点 E ，则∠ DEC ＝（　C　） A. 20° B. 25° C. 30° D. 35° 第2题图 C 2 3 1 变式1 （2023·平顶山期末）如图，△ ABC 是等边三角形， BD 为边 AC 上的高，过点 D 作 DE ⊥ AB 于点 E ， ED 的延长线交 BC 的延长线于点 F ，过点 C 作 GC ⊥ BF ，交 EF 于点 G . 若 AE ＝1，则 CF ＝ ⁠. 2　 变式1题图 2 3 1 变式2 在等边三角形 ABC 中，点 E 在 AB 上，点 D 在 CB 的 延长线上，且 AE ＝ BD ，求证： EC ＝ ED . 证明：如图，过点 E 作 EF ∥ BC 交 AC 于 F . ∵△ ABC 为等边三角形， ∴∠ ABC ＝∠ ACB ＝60°. ∴∠ AEF ＝∠ ABC ＝60°， ∠ AFE ＝∠ ACB ＝60°. 2 3 1 ∴△ AEF 为等边三角形. ∴ AE ＝ EF ＝ AF . ∵∠ AFE ＝∠ ABC ＝60°， ∴∠ EFC ＝∠ DBE ＝120°. ∵ AB ＝ AC ， AE ＝ AF ， ∴ AB － AE ＝ AC － AF ，即 BE ＝ FC . ∵ AE ＝ BD ，∴ EF ＝ BD . ∴△ DBE ≌△ EFC （SAS）. ∴ EC ＝ ED . 2 3 1 ◆典图三　来源于教材P83T12图 3. 如图，已知等边三角形 ACD 和等边三角形 BCE ，连接 AE ， BD . 求证： AE ＝ BD . 证明：∵△ ACD 和△ BCE 是等边三角形， ∴ AC ＝CD ， BC ＝ CE ，∠ ACD ＝∠ BCE ＝60°. ∴∠ ACE ＝∠ DCB . ∴△ ACE ≌△ DCB （SAS）. ∴ AE＝ BD . 2 3 1 拓展设问 如图，若 A ， C ， B 三点共线， AE 与 BD 交于点 P ， CD 与 AE 交于点 M ， CE 与 BD 交于点 N ，连接 MN ， CP ，判断下列结论是否正确，对的打“√”，错的 打“×”. 2 3 1 （1）∠ APD ＝60°. （　√　） （2）△ ACM ≌△ DCN . （　√　） （3） CM ＝ CN . （　√　） （4）△ CMN 是等边三角形. （　√　） √ √ √ √ （5） ME ＝ BE . （　×　） （6） PC 平分∠ APB . （　√　） × √ 2 3 1 变式1 如图，在△ ABC 中， AB ＝ AC ，点 D 是线段 BC 上 一点（不与 B ， C 重合），以 AD 为一边在 AD 的右 侧作△ ADE ，使 AD ＝ AE ，∠ DAE ＝∠ BAC ，连 接 CE . （1）如图①，若∠ BAC ＝90°， 求∠ BCE 的度数. 2 3 1 解：∵∠ BAC ＝∠ DAE ， ∴∠ BAD ＝∠ CAE . ∵ AB ＝ AC ， AD ＝ AE ， ∴△ BAD ≌△ CAE （SAS）. ∴∠ ACE ＝∠ B . ∵∠ BAC ＝90°， AB ＝ AC ， ∴∠ B ＝∠ ACB ＝45°. ∴∠ BCE ＝∠ ACB ＋∠ ACE ＝90°. 解：∵∠ BAC ＝∠ DAE ， ∴∠ BAD ＝∠ CAE . ∵ AB ＝ AC ， AD ＝ AE ， ∴△ BAD ≌△ CAE （SAS）. ∴∠ ACE ＝∠ B . ∵∠ BAC ＝90°， AB ＝ AC ， ∴∠ B ＝∠ ACB ＝45°. ∴∠ BCE ＝∠ ACB ＋∠ ACE ＝90°. 2 3 1 （2）如图②，设∠ BAC ＝α，∠ BCE ＝β，则α，β 之间有怎样的数量关系？请说明理由. 解：α＋β＝180°. 理由如下：∵∠ DAE ＝∠BAC ， ∴∠ BAD ＝∠ CAE . ∵ AB ＝ AC ， AD ＝ AE ， ∴△ BAD ≌△ CAE （SAS）. 2 3 1 ∴∠ ACE ＝∠ B . ∵∠ BCE ＝∠ ACB ＋∠ ACE ＝β， ∴∠ B ＋∠ ACB ＝β. ∵∠ BAC ＝α，∠ BAC ＋∠ B ＋∠ ACB ＝180°， ∴α＋β＝180°. 2 3 1 变式2 如图，在△ ABC 与△ ADE 中， AB ＝ AC ， AD ＝ AE ，∠ BAC ＝∠ DAE ＝90°， B ， D ， E 三点在 一条直线上， AC 与 BE 交于点 F ，若点 F 为 AC 的 中点， CE ＝3，求△ AEF 的面积. 解：如图，作 AG ⊥ BE 于点 G ， ∵∠ BAC ＝∠ DAE ， ∴∠ DAB ＝∠ EAC . 2 3 1 ∵ AB ＝ AC ， AD ＝ AE ，∴△ ADB ≌△ AEC（SAS）. ∴ BD ＝ EC ＝3.∵∠ DAE ＝90°， AD ＝AE ， ∴∠ ADE ＝∠ AED ＝45°. ∴∠ AEC ＝∠ ADB ＝135°.∴∠ FEC ＝90°. ∵ F 为 AC 的中点，∴ AF ＝ CF . 2 3 1 ∵∠ AGF ＝∠ CEF ＝90°，∠ AFG ＝∠ CFE ， ∴△ AGF ≌△ CEF （AAS）.∴ AG ＝ EC ＝3. ∴S△ ACE ＝ S△ ABD ＝ ×3×3＝ .∵点 F 为 AC 的中点， ∴ S△ AEF ＝ S△ ACE ＝ × ＝ . 2 3 1 变式3 如图，点 C （ ，0），以线段 OC 为边在第一象 限内作等边三角形 OBC ，点 D 为 x 轴正半轴上一动 点（ OD ＞ ），连接 BD ，以线段 BD 为边在第一 象限内作等边三角形 BDE ，连接 CE与 y 轴交于点 A ，则 AC 的长为 ⁠. 2 　 2 3 1 $$