第一章 集合知识归纳与题型突破（单元复习 15类题型清单）-2024-2025学年高一数学单元速记•巧练（苏教版2019必修第一册）

第一章 集合 知识归纳与题型突破（题型清单） 01 思维导图 02 知识速记 一、元素与集合的相关概念 1.集合:一般地,一定范围内某些　确定的　、　不同的　对象的全体组成一个集合,通常用大写拉丁字母来表示集合. 2.元素:集合中的　每一个对象　称为该集合的元素,简称元.通常用小写拉丁字母表示. 3.集合相等:如果两个集合所含的元素　完全相同　,那么称这两个集合相等. 4.集合中元素的特性:确定性、互异性和无序性. 特性 含义 确定性 集合的元素必须是确定的.因此,不能确定的对象不能组成集合,即给定一个集合,任何对象是不是这个集合的元素,应该可以明确地判断出来 互异性 对于一个给定的集合,集合中的元素一定是不同的.因此,集合中的任意两个元素必须都是不同的对象,相同的对象归入同一个集合时只能算作集合中的一个元素 无序性 集合中的元素可以任意排列 要点诠释： （1）集合是一个原始的、不加定义的概念,就像几何中点、线的概念一样,只作描述性说明; （2）集合是一个整体,已暗含“所有”“全部”“全体”的含义,因此一些对象一旦组成了集合,那么这个集合就是这些对象的全体,而非个别对象. 二、常见的数集及符号表示 数集 自然数集 正整 数集 整数集 有理 数集 实数集 符号 N N*或N＋ Z Q R 要点诠释： （1）N与N*(N＋)的区别：N*是所有正整数组成的集合,而N是由0和所有的正整数组成的集合,所以N比N*(N＋)多一个元素0. 三、元素与集合的关系 1.属于:如果a是集合A的元素,那么就记作　a∈A　,读作“a属于A”. 2.不属于:如果a不是集合A的元素,那么就记作　a∉A　或　a⋷A　,读作“a不属于A”. 要点诠释： （1）元素与集合之间的关系：对于一个元素a与一个集合A而言,只有“a∈A”与“a∉A”这两种关系. （2）符号“∈”“∉”的方向性：“∈”和“∉”具有方向性,左边是元素,右边是集合,所以左边不可以是集合． 四、列举法 将集合的元素　一一列举出来　,并置于花括号“{　}”内,用这种方法表示集合,元素之间要用逗号分隔,但列举时与元素的次序　无关　. 要点诠释： (1)应用列举法表示集合时应关注以下四点:①元素与元素之间必须用“,”隔开;②集合中的元素必须是明确的;③集合中的元素不能重复;④集合中的元素可以是任何事物. (2)列举法的适用范围:①集合中的元素能够一一列举出来时,才可以用列举法,因此列举法主要适用于集合中元素个数较少的情形;②当集合中的元素个数较多且具有明显的规律特征时也可以用列举法,如小于100的正整数集合可表示为{1,2,3,…,98,99},大于10的整数集合可表示为{11,12,13,…}. 五、描述法 将集合的　所有元素　都具有的性质(满足的条件)表示出来,写成{x｜p(x)}的形式.{x｜p(x)}中　x　为集合的代表元素,　p(x)　指元素x具有的性质. 要点诠释： (1)应用描述法表示集合时应关注以下三点:①写清楚集合中代表元素的符号,如数或点等;②说明该集合中元素的共同特征,即用关于代表元素的文字、符号、方程(组)、不等式、函数式等表示;③不能出现未被说明的字母. (2)描述法的适用范围:集合中的所有元素都具有明显的共同特征时,才可以用描述法. 六、Venn图 为了直观地表示集合,常画一条　封闭　的曲线,用它的内部来表示一个集合,称为Venn图. 要点诠释： 用Venn图表示集合的优点与缺点:用Venn图表示集合的优点是能够呈现清晰的视觉形象,能直观地表示集合之间的关系;缺点是集合中元素的特征性质不明显. 七、集合的分类 按照集合中元素的个数分类 (1)有限集:含有　有限　个元素的集合称为有限集; (2)无限集:含有　无限　个元素的集合称为无限集; (3)空集:把　不含任何　元素的集合称为空集,记作⌀. 要点诠释： 　注意⌀,0,{0}与{⌀}之间的关系 ⌀与0 ⌀与{0} ⌀与{⌀} 相同点 都表示无的意思 都是集合 都是集合 不同点 ⌀是集合;0是实数 ⌀不含任何元素;{0}含一个元素0 ⌀不含任何元素;{⌀}含一个元素,该元素是⌀ 八、数集与点集之间区别 一般地,在用描述法表示数集与点集时,数集的代表元素用一个字母表示,点集的代表元素用有序实数对表示.即{x｜…}通常表示数的集合,{(x,y)｜…}通常表示点的集合,常见情形如下: 集合 集合的含义 数集 {x｜y＝x2＋1} 表示函数y＝x2＋1的所有自变量的取值组成的集合 {y｜y＝x2＋1} 表示函数y＝x2＋1的所有函数值组成的集合 {x｜x2-1＝0} 表示方程x2-1＝0的解集,即{1,-1} 点集 {(x,y)｜y＝x2＋1} 表示函数y＝x2＋1图象上所有的点组成的集合 表示二元一次方程组的解集,即{(5,3)} 九、子集、真子集 子集 真子集 概念 如果集合A的　任意一个　元素都是集合B的元素(若a∈A,则a∈B),那么集合A称为集合B的子集,记作　A⊆B　或　B⊇A　,读作“集合A　包含于　集合B”或“集合B包含集合A” 如果　A⊆B　,并且　A≠B　,那么集合A称为集合B的真子集,记为　A⫋B　或　B⫌A　,读作“　A真包含于B　”或“　B真包含A　” 图示 结论 (1)任何一个集合是它本身的子集,即　A⊆A　; (2)对于集合A,B,C,如果A⊆B,且B⊆C,那么　A⊆C　; (3)规定⌀⊆A,即空集是任何集合的子集 (1)若A⫋B且B⫋C,则A　⫋　C; (2)若A⊆B且A≠B,则A　⫋　B; (3)空集是任何非空集合的真子集 要点诠释： (1)子集刻画了两个集合之间关系,它反映的是局部与整体之间的关系(而元素与集合之间的关系是个体与整体之间的关系).“集合A是集合B的子集”可表述为:若x∈A,则x∈B;(2)在真子集的定义中,A⫋B首先要满足A⊆B,其次至少有一个x∈B,但x∉A;(3)对于集合A,B,子集、真子集与集合相等的关系如下:A⊆B⇒A＝B或A⫋B.即子集包含真子集和集合相等两种情况. 十、全集、补集 1.全集 (1)概念:如果一个集合包含我们所研究问题中涉及的　所有元素　,那么就称这个集合为全集; (2)记法:通常记作　U　. 2.补集 文字语言 设A⊆S,由S中不属于集合A的　所有元素　组成的集合称为S的子集A的补集,记作　∁SA　(读作“A在S中的补集”) 符号语言 ∁SA＝　{x｜x∈S,且x∉A}　 图形语言 要点诠释： (1)补集是相对于全集而言的,它与全集不可分割.一方面,若没有定义全集,则不存在补集的说法;另一方面,补集的元素逃不出全集的范围; (2)补集的性质: ①若A⊆S,则(ⅰ)∁SA⊆S;(ⅱ)∁S(∁SA)＝A;(ⅲ)(∁SS)＝⌀;(ⅳ)∁S⌀＝S. ②已知A⊆S,B⊆S,相关结论如下:(ⅰ)若A⊆B,则∁SA⊇∁SB;(ⅱ)若∁SA⊇∁SB,则A⊆B. 特别地,若A＝B,则∁SA＝∁SB;反之,若∁SA＝∁SB,则A＝B. 十一、交集 文字语言 由所有属于集合A　且　属于集合B的元素构成的集合,称为A与B的交集,记作　A∩B　(读作“　A交B　”) 符号语言 A∩B＝　{x｜x∈A,且x∈B}　 图形语言 运算性质 A∩B＝　B∩A　,A∩A＝　A　,A∩⌀＝⌀∩A＝　⌀　,A∩∁UA＝⌀,A∩B⊆A,A∩B⊆B,A⊆B⇔A∩B＝A 要点诠释： 对交集概念的理解:(1)运算结果:A∩B是一个集合,由A与B的所有公共元素组成,而非部分元素组成;(2)关键词“所有”:概念中的“所有”两字的含义是,不仅“A∩B中的任意元素都是A与B的公共元素”,同时“A与B的公共元素都属于A∩B”;(3)⌀情形:当集合A与B没有公共元素时,不能说A与B没有交集,而是A∩B＝⌀. 十二、并集 文字语言 由所有属于集合A　或者　属于集合B的元素构成的集合,称为A与B的并集,记作　A∪B　(读作“　A并B　”) 符号语言 A∪B＝　{x｜x∈A,或x∈B}　 图形语言 运算性质 A∪B＝　B∪A　,A∪A＝　A　,A∪⌀＝⌀∪A＝　A　,A∪∁UA＝U,A⊆A∪B,B⊆A∪B,A⊆B⇔A∪B＝B 要点诠释： (1)对并集概念的理解:①运算结果:A∪B仍是一个集合,由所有属于A或属于B的元素组成,公共元素只能算一次(元素的互异性);②并集概念中的“或”指的是只要满足其中一个条件即可,符号语言“x∈A,或x∈B”包含三种情况:“x∈A,但x∉B”;“x∈B,但x∉A”;“x∈A,且x∈B”. (2)交、并、补集的运算性质:A∪∁UA＝U;A∩∁UA＝⌀;∁U(∁UA)＝A;∁UU＝⌀,∁U⌀＝U;A⊆B⇔∁UB⊆∁UA,B⊆A⇔∁UA⊆∁UB;∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB);∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB). 十三、区间及相关概念 1.区间的概念及记法 设a,b是两个实数,而且a＜b,我们规定: 定义 名称 符号 数轴表示 {x｜a≤x≤b} 闭区间 　[a,b]　 {x｜a＜x＜b} 开区间 　(a,b)　 {x｜a≤x＜b} 左闭右开区间 　[a,b)　 {x｜a＜x≤b} 左开右闭区间 　(a,b]　 2.无穷大 实数集R可以用区间表示为　(-∞,＋∞)　,“∞”读作“无穷大”,“-∞”读作“负无穷大”,“＋∞”读作“正无穷大”. 3.特殊区间的表示 定义 区间 数轴表示 {x｜x≥a} 　[a,＋∞)　 {x｜x＞a} 　(a,＋∞)　 {x｜x≤b} 　(-∞,b]　 {x｜x＜b} 　(-∞,b)　 03 题型归纳 题型一　集合的概念 例题：(多选)判断下列每组对象,能组成一个集合的是(　　) A.某校高一年级成绩优秀的学生 B.直角坐标系中横、纵坐标相等的点 C.不小于3的自然数 D.某校高一年级的男生 【点睛】判断一组对象能否组成集合的标准：判断一组对象能否组成集合,关键看该组对象是否满足确定性,如果此组对象满足确定性,就可以组成集合;否则,不能组成集合.同时还要注意集合中元素的互异性、无序性. 巩固训练 (多选)下列给出的对象中不能组成集合的是(　　) A.著名物理学家　　　　　　B.全世界的富豪 C.学习刻苦的人　　D.小于8的所有素数 题型二　元素与集合的关系 例题：(1)下列关系中,正确的有(　　) ①∈R;②∉Q;③｜-3｜∈N;④｜-｜∈Q. A.1个　　B.2个 C.3个　　D.4个 (2)若集合A中的元素x满足∈N,x∈N,则集合A中的元素为　　　　.  【点睛】1.判断元素与集合关系的2种方法 (1)直接法:如果集合中的元素是直接给出,只要判断该元素在已知集合中是否出现即可; (2)推理法:对于一些没有直接表示的集合,只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可,此时应首先明确已知集合中的元素具有什么特征. 2.已知元素与集合的关系求参数的思路 当a∈A时,则a一定等于集合A中的某个元素.反之,当a∉A时,结论恰恰相反. 利用上述结论建立方程(组)或不等式(组)求解参数即可,注意根据集合中元素的互异性对求得的参数进行检验. 巩固训练 1.用∈,∉填空: 已知集合A中的元素x是被3除余2的整数,则有:17　　　　A,-5　　　　A.  2.方程ax2＋2x＋1＝0,a∈R的根组成集合A.当A中有且只有一个元素时,求a的值,并求此元素. 题型三　由集合中元素的互异性求参数 例题：已知集合A含有两个元素a和a2,若1∈A,则实数a的值为　　　　.  【点睛】根据集合中元素的特性求参数的3个步骤 巩固训练 1．已知集合A含有两个元素a和a2,若2∈A,则实数a的值为　　　　.  2．已知集合A含有两个元素a和a2,则实数a的值为　　　　.  题型四　根据集合相等求参数 例题：由三个数a,,1组成的集合与由a2,a＋b,0组成的集合相等,求a2 021＋b2 021的值. 【点睛】从集合相等的定义入手,结合元素的无序性,寻找元素之间的关系.若集合中的元素不止一个,需要利用集合中元素的互异性对得到的结果进行取舍. 巩固训练 由三个不同数a,a＋d,a＋2d组成的集合与由a,aq,aq2组成的集合相等,求q的值. 题型五　用列举法表示集合 例题：用列举法表示下列集合: (1)不大于10的非负偶数组成的集合; (2)方程x3＝x的所有实数解组成的集合; (3)一次函数y＝2x＋1的图象与y轴的交点所组成的集合. 【点睛】用列举法表示集合的3个步骤 (1)求出集合的元素; (2)把元素一一列举出来,且相同元素只能列举一次; (3)用花括号括起来. 巩固训练 1.满足a,b∈{-1,0,1,2},且关于x的方程ax2＋2x＋b＝0有实数解的有序数对(a,b)的个数为(　　) A.14　　　　B.13　　　　　　C.12　　　　D.10 2.用列举法表示下列给定的集合: (1)大于1且小于6的整数组成的集合A; (2)方程x2-9＝0的实数根组成的集合B; (3)一次函数y＝x＋3与y＝-2x＋6的图象的交点组成的集合C. 题型六　用描述法表示集合 例题：用描述法表示下列集合: (1)被3除余1的正整数的集合; (2)坐标平面内第一象限的点的集合; (3)大于4的所有偶数. 【点睛】描述法表示集合的2个步骤 注意　描述法的特点是形式简单、应用方便,通常用于表示元素具有明显共同特征的集合,当元素共同特征不易寻找或元素的限制条件较多时,就不宜采用描述法. 巩固训练 1.集合{(x,y)｜y＝2x-1}表示(　　) A.方程y＝2x-1 B.点(x,y) C.平面直角坐标系中的所有点组成的集合 D.一次函数y＝2x-1图象上的所有点组成的集合 2.用适当的方法表示下列集合: (1)已知集合P＝{x｜x＝2n,0≤n≤2且n∈N}; (2)抛物线y＝x2-2x与x轴的公共点的集合; (3)一次函数y＝x的图象上去掉原点的点的集合. 题型七　集合表示法的应用 例题：若集合A＝{x｜kx2-8x＋16＝0}只有一个元素,试求实数k的值,并用列举法表示集合A. 【点睛】集合与方程综合问题的解题策略 (1)对于一些已知某个集合(此集合中涉及方程)中的元素个数,求参数的问题,常把集合的问题转化为方程的解的问题.如对于方程ax2＋bx＋c＝0,当a＝0,b≠0时,方程有一个解;当a≠0时,若Δ＝0,则方程有两个相等的实数解;若Δ＜0,则方程无解;若Δ＞0,则方程有两个不等的实数解; (2)集合与方程的综合问题,一般要求对方程中最高次项的系数的取值进行分类讨论,确定方程实数根的情况,进而求得结果.需特别注意判别式在一元二次方程的实数根个数的讨论中的作用. 巩固训练 1．若集合A＝{x｜kx2-8x＋16＝0}中有2个元素,试求实数k的值． 2．若集合A＝{x｜kx2-8x＋16＝0}中至多有一个元素,试求实数k的取值范围. 题型八　集合间关系的判断 例题：指出下列各对集合之间的关系: (1)A＝{-1,1},B＝{(-1,-1),(-1,1),(1,-1),(1,1)}; (2)A＝{x｜-1＜x＜4},B＝{x｜x-5＜0}; (3)A＝{x｜x是等边三角形},B＝{x｜x是等腰三角形}; (4)M＝{x｜x＝2n-1,n∈N*},N＝{x｜x＝2n＋1,n∈N*}; (5)A＝{x｜x＝2a＋3b,a∈Z,b∈Z},B＝{x｜x＝4m-3n,m∈Z,n∈Z}. 【点睛】判断集合间关系的常用方法 (1)列举观察法:当集合中元素较少时,可列举出集合中的全部元素,通过定义得出集合之间的关系; (2)集合元素特征法:先确定集合的代表元素是什么,弄清集合元素的特征,再利用集合元素的特征判断得出集合之间的关系. 一般地,设A＝{x｜p(x)},B＝{x｜q(x)},①若由p(x)可推出q(x),则A⊆B;②若由q(x)可推出p(x),则B⊆A;③若p(x),q(x)可互相推出,则A＝B;④若由p(x)推不出q(x),由q(x)也推不出p(x),则集合A,B无包含关系; (3)数形结合法:利用数轴或Venn图可清晰、明了地判断集合间的关系,其中不等式的解集之间的关系,适合用数轴法. 巩固训练 1.(多选)下列关系中,正确的有(　　) A.0∈{0}　　　　　　　　B.⌀⫋{0} C.{0,1}⫋{(0,1)}　　D.{(1,2)}＝{(2,1)} 2.能正确表示集合M＝{x｜0≤x≤2}和集合N＝{x｜x2-x＝0}关系的Venn图是(　　) 3.已知集合A＝{x｜x2-3x＋2＝0},B＝{1,2},C＝{x｜x＜8,x∈N},用适当的符号填空: (1)A　　　　B;(2)A　　　　C;  (3){2}　　　　C;(4)2　　　　C.  题型九　确定有限集合的子集、真子集及其个数 例题：(1)集合M＝{1,2,3}的真子集个数是(　　) A.6　　　　　　　　　 　　　B.7 C.8　　D.9 (2)满足{1,2}⫋M⊆{1,2,3,4,5}的集合M有　　　　个.  【点睛】求集合子集、真子集个数的3个步骤 巩固训练 已知集合A＝{(x,y)｜x＋y＝2,x,y∈N},试写出A的所有子集及真子集. 题型十　补集的求法 例题：(1)设全集U＝{1,2,3,4,5,6},M＝{1,2,4},则∁UM＝(　　) A.U　　　　　　　　　　　　B.{1,3,5} C.{3,5,6}　　 D.{2,4,6} (2)已知全集U＝R,集合A＝{x｜x＜-2,或x＞2},则∁UA＝　　　　.  【点睛】求集合补集的2种方法 (1)当集合用列举法表示时,直接用定义或借助Venn图求解; (2)当集合是用描述法表示的连续数集时,可借助数轴,利用数轴分析求解. 巩固训练 若集合A＝{x｜-1≤x＜1},当S分别取下列集合时,求∁SA. (1)S＝R; (2)S＝{x｜x≤2}; (3)S＝{x｜-4≤x≤1}. 题型十一　由集合间的关系求参数值(范围) 例题：已知集合A＝{x｜-3≤x≤4},B＝{x｜1＜x＜m}(m＞1),且B⊆A,则实数m的取值范围是　　　　.  【点睛】由集合间的包含关系求参数的方法 (1)当集合为不连续数集时,常根据集合包含关系的意义,建立方程(组)求解,此时应注意分类讨论; (2)当集合为连续数集时,常借助数轴来建立不等关系求解,应注意端点处是实点还是虚点. 注意　(1)不能忽视集合为⌀的情形; (2)当集合中含有字母参数时,一般要分类讨论. 巩固训练 1.设全集U＝{2,3,a2＋2a-3},A＝{｜2a-1｜,2},∁UA＝{5},则实数a的值为　　　　.  2.设全集U＝R,A＝{x｜a≤x≤b},若∁UA＝{x｜x＜3或x＞4},则a＋b＝　　　　.  题型十二　并集的运算 例题：(1)设集合M＝{x｜x2＋2x＝0,x∈R},N＝{x｜x2-2x＝0,x∈R},则M∪N＝(　　) A.{0}　 　　　B.{0,2}　 　　C.{-2,0}　　　D.{-2,0,2} (2)已知集合M＝{x｜-3＜x≤5},N＝{x｜x＜-5,或x＞5},则M∪N＝(　　) A.{x｜x＜-5,或x＞-3} B.{x｜-5＜x＜5} C.{x｜-3＜x＜5} D.{x｜x＜-3,或x＞5} 【点睛】求集合并集的2种基本方法 (1)定义法:若集合是用列举法表示的,可以直接利用并集的定义求解; (2)数形结合法:若集合是用描述法表示的由连续实数组成的数集,则可以借助数轴分析求解. 巩固训练 1.(多选)若P＝{1,2,3,m},Q＝{m2,3},且满足P∪Q＝P,则m的值为(　　) A.-1　　B.　　C.-　　D.0 2.若集合A＝(-1,＋∞),B＝(-2,2),则A∪B＝　　　.  题型十三　交集的运算 例题：(1)设集合A＝{x｜-1≤x≤2},B＝{x｜0≤x≤4},则A∩B＝(　　) A.{x｜0≤x≤2}　　B.{x｜1≤x≤2} C.{x｜0≤x≤4}　　D.{x｜1≤x≤4} (2)已知集合A＝{x｜x＝3n＋2,n∈N},B＝{6,8,10,12,14},则集合A∩B中元素的个数为(　　) A.5　　B.4　　C.3　　D.2 【点睛】求两个集合交集的方法 (1)对于元素个数有限的集合,逐个挑出两个集合的公共元素即可; (2)对于元素个数无限的集合,一般借助数轴求交集,两个集合的交集等于两个集合在数轴上的相应图形所覆盖的公共范围,要注意端点值的取舍. 巩固训练 1.设集合U＝{1,2,3,4},M＝{1,2,3},N＝{2,3,4},则∁U(M∩N)＝(　　) A.{1,2}　　B.{2,3}　　C.{2,4}　　D.{1,4} 2.已知M＝{(x,y)｜x＋y＝2},N＝{(x,y)｜x-y＝4},则M∩N＝(　　) A.x＝3,y＝-1　　B.(3,-1) C.{3,-1}　　D.{(3,-1)} 题型十四　交集、并集、补集的综合运算 例题：(1)若全集U＝{1,2,3,4},集合M＝{x｜x2-4x＋3＝0},N＝{x｜x2-5x＋6＝0},则∁U(M∩N)＝(　　) A.{4}　　B.{1,2}　　C.{1,2,4}　　D.{1,3,4} (2)已知全集U＝R,集合A＝{x｜x≤0},B＝{x｜x≥1},则集合∁U(A∪B)＝(　　) A.{x｜x≥0}　　B.{x｜x≤1} C.{x｜0≤x≤1}　　D.{x｜0＜x＜1} 【点睛】解决集合交、并、补运算的技巧 (1)如果所给集合是有限集,则先把集合中的元素一一列举出来,然后结合交集、并集、补集的定义来求解.在解答过程中常常借助于Venn图来求解; (2)如果所给集合是无限集,则常借助数轴,把已知集合及全集分别表示在数轴上,然后进行交、并、补集的运算.解答过程中要注意边界问题. 巩固训练 1.已知集合A,B均为全集U＝{1,2,3,4}的子集,且∁U(A∪B)＝{4},B＝{1,2},则A∩(∁UB)＝(　　) A.{3}　　B.{4}　　C.{3,4}　　D.⌀ 2.(多选)已知全集U＝R,集合A＝{x｜1≤x≤3或4＜x＜6},集合B＝{x｜2≤x＜5},则下列集合运算正确的是(　　) A.∁UB＝{x｜x＜2或x≥5} B.A∩(∁UB)＝{x｜1≤x＜2或5≤x＜6} C.(∁UA)∪B＝{x｜x＜1或2＜x＜5或x＞6} D.∁U(∁UB)＝{x｜2≤x＜5} 题型十五　由集合的并集、交集求参数 例题：已知集合A＝{x｜-3＜x≤4},集合B＝{x｜k＋1≤x≤2k-1},且A∪B＝A,试求k的取值范围. 巩固训练 设集合A＝{x｜x2-3x＋2＝0};B＝{x｜x2＋2(a-1)x＋(a2-5)＝0}. (1)若A∩B＝{2},求实数a的值; (2)若A∪B＝A,求实数a的取值范围. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一章 集合 知识归纳与题型突破（题型清单） 01 思维导图 02 知识速记 一、元素与集合的相关概念 1.集合:一般地,一定范围内某些　确定的　、　不同的　对象的全体组成一个集合,通常用大写拉丁字母来表示集合. 2.元素:集合中的　每一个对象　称为该集合的元素,简称元.通常用小写拉丁字母表示. 3.集合相等:如果两个集合所含的元素　完全相同　,那么称这两个集合相等. 4.集合中元素的特性:确定性、互异性和无序性. 特性 含义 确定性 集合的元素必须是确定的.因此,不能确定的对象不能组成集合,即给定一个集合,任何对象是不是这个集合的元素,应该可以明确地判断出来 互异性 对于一个给定的集合,集合中的元素一定是不同的.因此,集合中的任意两个元素必须都是不同的对象,相同的对象归入同一个集合时只能算作集合中的一个元素 无序性 集合中的元素可以任意排列 要点诠释： （1）集合是一个原始的、不加定义的概念,就像几何中点、线的概念一样,只作描述性说明; （2）集合是一个整体,已暗含“所有”“全部”“全体”的含义,因此一些对象一旦组成了集合,那么这个集合就是这些对象的全体,而非个别对象. 二、常见的数集及符号表示 数集 自然数集 正整 数集 整数集 有理 数集 实数集 符号 N N*或N＋ Z Q R 要点诠释： （1）N与N*(N＋)的区别：N*是所有正整数组成的集合,而N是由0和所有的正整数组成的集合,所以N比N*(N＋)多一个元素0. 三、元素与集合的关系 1.属于:如果a是集合A的元素,那么就记作　a∈A　,读作“a属于A”. 2.不属于:如果a不是集合A的元素,那么就记作　a∉A　或　a⋷A　,读作“a不属于A”. 要点诠释： （1）元素与集合之间的关系：对于一个元素a与一个集合A而言,只有“a∈A”与“a∉A”这两种关系. （2）符号“∈”“∉”的方向性：“∈”和“∉”具有方向性,左边是元素,右边是集合,所以左边不可以是集合． 四、列举法 将集合的元素　一一列举出来　,并置于花括号“{　}”内,用这种方法表示集合,元素之间要用逗号分隔,但列举时与元素的次序　无关　. 要点诠释： (1)应用列举法表示集合时应关注以下四点:①元素与元素之间必须用“,”隔开;②集合中的元素必须是明确的;③集合中的元素不能重复;④集合中的元素可以是任何事物. (2)列举法的适用范围:①集合中的元素能够一一列举出来时,才可以用列举法,因此列举法主要适用于集合中元素个数较少的情形;②当集合中的元素个数较多且具有明显的规律特征时也可以用列举法,如小于100的正整数集合可表示为{1,2,3,…,98,99},大于10的整数集合可表示为{11,12,13,…}. 五、描述法 将集合的　所有元素　都具有的性质(满足的条件)表示出来,写成{x｜p(x)}的形式.{x｜p(x)}中　x　为集合的代表元素,　p(x)　指元素x具有的性质. 要点诠释： (1)应用描述法表示集合时应关注以下三点:①写清楚集合中代表元素的符号,如数或点等;②说明该集合中元素的共同特征,即用关于代表元素的文字、符号、方程(组)、不等式、函数式等表示;③不能出现未被说明的字母. (2)描述法的适用范围:集合中的所有元素都具有明显的共同特征时,才可以用描述法. 六、Venn图法 为了直观地表示集合,常画一条　封闭　的曲线,用它的内部来表示一个集合,称为Venn图. 要点诠释： 用Venn图表示集合的优点与缺点:用Venn图表示集合的优点是能够呈现清晰的视觉形象,能直观地表示集合之间的关系;缺点是集合中元素的特征性质不明显. 七、集合的分类 按照集合中元素的个数分类 (1)有限集:含有　有限　个元素的集合称为有限集; (2)无限集:含有　无限　个元素的集合称为无限集; (3)空集:把　不含任何　元素的集合称为空集,记作⌀. 要点诠释： 　注意⌀,0,{0}与{⌀}之间的关系 ⌀与0 ⌀与{0} ⌀与{⌀} 相同点 都表示无的意思 都是集合 都是集合 不同点 ⌀是集合;0是实数 ⌀不含任何元素;{0}含一个元素0 ⌀不含任何元素;{⌀}含一个元素,该元素是⌀ 八、数集与点集之间区别 一般地,在用描述法表示数集与点集时,数集的代表元素用一个字母表示,点集的代表元素用有序实数对表示.即{x｜…}通常表示数的集合,{(x,y)｜…}通常表示点的集合,常见情形如下: 集合 集合的含义 数集 {x｜y＝x2＋1} 表示函数y＝x2＋1的所有自变量的取值组成的集合 {y｜y＝x2＋1} 表示函数y＝x2＋1的所有函数值组成的集合 {x｜x2-1＝0} 表示方程x2-1＝0的解集,即{1,-1} 点集 {(x,y)｜y＝x2＋1} 表示函数y＝x2＋1图象上所有的点组成的集合 表示二元一次方程组的解集,即{(5,3)} 九、子集、真子集 子集 真子集 概念 如果集合A的　任意一个　元素都是集合B的元素(若a∈A,则a∈B),那么集合A称为集合B的子集,记作　A⊆B　或　B⊇A　,读作“集合A　包含于　集合B”或“集合B包含集合A” 如果　A⊆B　,并且　A≠B　,那么集合A称为集合B的真子集,记为　A⫋B　或　B⫌A　,读作“　A真包含于B　”或“　B真包含A　” 图示 结论 (1)任何一个集合是它本身的子集,即　A⊆A　; (2)对于集合A,B,C,如果A⊆B,且B⊆C,那么　A⊆C　; (3)规定⌀⊆A,即空集是任何集合的子集 (1)若A⫋B且B⫋C,则A　⫋　C; (2)若A⊆B且A≠B,则A　⫋　B; (3)空集是任何非空集合的真子集 要点诠释： (1)子集刻画了两个集合之间关系,它反映的是局部与整体之间的关系(而元素与集合之间的关系是个体与整体之间的关系).“集合A是集合B的子集”可表述为:若x∈A,则x∈B;(2)在真子集的定义中,A⫋B首先要满足A⊆B,其次至少有一个x∈B,但x∉A;(3)对于集合A,B,子集、真子集与集合相等的关系如下:A⊆B⇒A＝B或A⫋B.即子集包含真子集和集合相等两种情况. 十、全集、补集 1.全集 (1)概念:如果一个集合包含我们所研究问题中涉及的　所有元素　,那么就称这个集合为全集; (2)记法:通常记作　U　. 2.补集 文字语言 设A⊆S,由S中不属于集合A的　所有元素　组成的集合称为S的子集A的补集,记作　∁SA　(读作“A在S中的补集”) 符号语言 ∁SA＝　{x｜x∈S,且x∉A}　 图形语言 要点诠释： (1)补集是相对于全集而言的,它与全集不可分割.一方面,若没有定义全集,则不存在补集的说法;另一方面,补集的元素逃不出全集的范围; (2)补集的性质: ①若A⊆S,则(ⅰ)∁SA⊆S;(ⅱ)∁S(∁SA)＝A;(ⅲ)(∁SS)＝⌀;(ⅳ)∁S⌀＝S. ②已知A⊆S,B⊆S,相关结论如下:(ⅰ)若A⊆B,则∁SA⊇∁SB;(ⅱ)若∁SA⊇∁SB,则A⊆B. 特别地,若A＝B,则∁SA＝∁SB;反之,若∁SA＝∁SB,则A＝B. 十一、交集 文字语言 由所有属于集合A　且　属于集合B的元素构成的集合,称为A与B的交集,记作　A∩B　(读作“　A交B　”) 符号语言 A∩B＝　{x｜x∈A,且x∈B}　 图形语言 运算性质 A∩B＝　B∩A　,A∩A＝　A　,A∩⌀＝⌀∩A＝　⌀　,A∩∁UA＝⌀,A∩B⊆A,A∩B⊆B,A⊆B⇔A∩B＝A 要点诠释： 对交集概念的理解:(1)运算结果:A∩B是一个集合,由A与B的所有公共元素组成,而非部分元素组成;(2)关键词“所有”:概念中的“所有”两字的含义是,不仅“A∩B中的任意元素都是A与B的公共元素”,同时“A与B的公共元素都属于A∩B”;(3)⌀情形:当集合A与B没有公共元素时,不能说A与B没有交集,而是A∩B＝⌀. 十二、并集 文字语言 由所有属于集合A　或者　属于集合B的元素构成的集合,称为A与B的并集,记作　A∪B　(读作“　A并B　”) 符号语言 A∪B＝　{x｜x∈A,或x∈B}　 图形语言 运算性质 A∪B＝　B∪A　,A∪A＝　A　,A∪⌀＝⌀∪A＝　A　,A∪∁UA＝U,A⊆A∪B,B⊆A∪B,A⊆B⇔A∪B＝B 要点诠释： (1)对并集概念的理解:①运算结果:A∪B仍是一个集合,由所有属于A或属于B的元素组成,公共元素只能算一次(元素的互异性);②并集概念中的“或”指的是只要满足其中一个条件即可,符号语言“x∈A,或x∈B”包含三种情况:“x∈A,但x∉B”;“x∈B,但x∉A”;“x∈A,且x∈B”. (2)交、并、补集的运算性质:A∪∁UA＝U;A∩∁UA＝⌀;∁U(∁UA)＝A;∁UU＝⌀,∁U⌀＝U;A⊆B⇔∁UB⊆∁UA,B⊆A⇔∁UA⊆∁UB;∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB);∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB). 十三、区间及相关概念 1.区间的概念及记法 设a,b是两个实数,而且a＜b,我们规定: 定义 名称 符号 数轴表示 {x｜a≤x≤b} 闭区间 　[a,b]　 {x｜a＜x＜b} 开区间 　(a,b)　 {x｜a≤x＜b} 左闭右开区间 　[a,b)　 {x｜a＜x≤b} 左开右闭区间 　(a,b]　 2.无穷大 实数集R可以用区间表示为　(-∞,＋∞)　,“∞”读作“无穷大”,“-∞”读作“负无穷大”,“＋∞”读作“正无穷大”. 3.特殊区间的表示 定义 区间 数轴表示 {x｜x≥a} 　[a,＋∞)　 {x｜x＞a} 　(a,＋∞)　 {x｜x≤b} 　(-∞,b]　 {x｜x＜b} 　(-∞,b)　 03 题型归纳 题型一　集合的概念 例题：(多选)判断下列每组对象,能组成一个集合的是(　　) A.某校高一年级成绩优秀的学生 B.直角坐标系中横、纵坐标相等的点 C.不小于3的自然数 D.某校高一年级的男生 解析　A中“成绩优秀”没有明确的标准,所以不能组成一个集合;B、C、D中的对象都满足确定性,所以能组成集合. 答案　BCD 【点睛】判断一组对象能否组成集合的标准：判断一组对象能否组成集合,关键看该组对象是否满足确定性,如果此组对象满足确定性,就可以组成集合;否则,不能组成集合.同时还要注意集合中元素的互异性、无序性. 巩固训练 (多选)下列给出的对象中不能组成集合的是(　　) A.著名物理学家　　　　　　B.全世界的富豪 C.学习刻苦的人　　D.小于8的所有素数 解析:ABC　只有选项D有明确的标准,能组成一个集合. 题型二　元素与集合的关系 例题：(1)下列关系中,正确的有(　　) ①∈R;②∉Q;③｜-3｜∈N;④｜-｜∈Q. A.1个　　B.2个 C.3个　　D.4个 (2)若集合A中的元素x满足∈N,x∈N,则集合A中的元素为　　　　.  解析　(1)是实数,是无理数,｜-3｜＝3是自然数,｜-｜＝是无理数.因此,①②③正确,④错误. (2)由题意可得x为自然数,所以可以为2,3,6,因此x的值为2,1,0.因此A中有2,1,0三个元素. 答案　(1)C　(2)2,1,0 【点睛】1.判断元素与集合关系的2种方法 (1)直接法:如果集合中的元素是直接给出,只要判断该元素在已知集合中是否出现即可; (2)推理法:对于一些没有直接表示的集合,只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可,此时应首先明确已知集合中的元素具有什么特征. 2.已知元素与集合的关系求参数的思路 当a∈A时,则a一定等于集合A中的某个元素.反之,当a∉A时,结论恰恰相反. 利用上述结论建立方程(组)或不等式(组)求解参数即可,注意根据集合中元素的互异性对求得的参数进行检验. 巩固训练 1.用∈,∉填空: 已知集合A中的元素x是被3除余2的整数,则有:17　　　　A,-5　　　　A.  解析:由题意可设x＝3k＋2,k∈Z, 令3k＋2＝17得,k＝5∈Z.所以17∈A. 令3k＋2＝-5得,k＝-∉Z.所以-5∉A. 答案:∈　∉ 2.方程ax2＋2x＋1＝0,a∈R的根组成集合A.当A中有且只有一个元素时,求a的值,并求此元素. 解:A中有且只有一个元素,即ax2＋2x＋1＝0有且只有一个根或有两个相等的实根. ①当a＝0时,方程的根为-; ②当a≠0时,由Δ＝4-4a＝0,得a＝1,此时方程有两个相等的根为-1. 综上,当a＝0时,集合A中的元素为-;当a＝1时,集合A中的元素为-1. 题型三　由集合中元素的互异性求参数 例题：已知集合A含有两个元素a和a2,若1∈A,则实数a的值为　　　　.  解析　若1∈A,则a＝1或a2＝1,即a＝±1. 当a＝1时,集合A有重复元素,不符合元素的互异性, ∴a≠1; 当a＝-1时,集合A含有两个元素1,-1,符合元素的互异性.∴a＝-1. 答案　-1 【点睛】根据集合中元素的特性求参数的3个步骤 巩固训练 1．已知集合A含有两个元素a和a2,若2∈A,则实数a的值为　　　　.  解:因为2∈A,所以a＝2或a2＝2即a＝2,或a＝,或a＝-. 2．已知集合A含有两个元素a和a2,则实数a的值为　　　　.  解:因为A中有两个元素a和a2,所以a≠a2,解得a≠0且a≠1. 题型四　根据集合相等求参数 例题：由三个数a,,1组成的集合与由a2,a＋b,0组成的集合相等,求a2 021＋b2 021的值. 解　由a,,1组成一个集合,可知a≠0,a≠1,a≠b,由题意可得或解得或(不满足集合元素的互异性,舍去). 所以a2 021＋b2 021＝(-1)2 021＋0＝-1. 【点睛】从集合相等的定义入手,结合元素的无序性,寻找元素之间的关系.若集合中的元素不止一个,需要利用集合中元素的互异性对得到的结果进行取舍. 巩固训练 由三个不同数a,a＋d,a＋2d组成的集合与由a,aq,aq2组成的集合相等,求q的值. 解:由集合中元素的互异性得, 且所以 由集合相等的定义、集合中元素的无序性得 或 所以q＝-,q＝1(舍去). 题型五　用列举法表示集合 例题：用列举法表示下列集合: (1)不大于10的非负偶数组成的集合; (2)方程x3＝x的所有实数解组成的集合; (3)一次函数y＝2x＋1的图象与y轴的交点所组成的集合. 解　(1)因为不大于10是指小于或等于10,非负是大于或等于0的意思,所以不大于10的非负偶数集是{0,2,4,6,8,10}. (2)方程x3＝x的解是x＝0或x＝1或x＝-1,所以方程的解组成的集合为{0,1,-1}. (3)将x＝0代入y＝2x＋1,得y＝1,即交点是(0,1), 故交点组成的集合是{(0,1)}. 【点睛】用列举法表示集合的3个步骤 (1)求出集合的元素; (2)把元素一一列举出来,且相同元素只能列举一次; (3)用花括号括起来. 巩固训练 1.满足a,b∈{-1,0,1,2},且关于x的方程ax2＋2x＋b＝0有实数解的有序数对(a,b)的个数为(　　) A.14　　　　B.13　　　　　　C.12　　　　D.10 解析:B　a,b∈{-1,0,1,2},可分下列两种情形. ①当a＝0时,方程为2x＋b＝0,一定有解,此时b可以取-1,0,1,2,故满足条件的有序数对为(0,-1),(0,0),(0,1),(0,2),共4个. ②当a≠0时,方程为一元二次方程,由题意知,Δ＝4-4ab≥0,∴ab≤1.故满足条件的有序数对为(-1,-1),(-1,0),(-1,1),(-1,2),(1,-1),(1,0),(1,1),(2,-1),(2,0),共9个. 综上,满足题意的有序数对(a,b)的个数为13. 2.用列举法表示下列给定的集合: (1)大于1且小于6的整数组成的集合A; (2)方程x2-9＝0的实数根组成的集合B; (3)一次函数y＝x＋3与y＝-2x＋6的图象的交点组成的集合C. 解:(1)因为大于1且小于6的整数包括2,3,4,5, 所以A＝{2,3,4,5}. (2)因为方程x2-9＝0的实数根为-3,3, 所以B＝{-3,3}. (3)由得 所以一次函数y＝x＋3与y＝-2x＋6的交点为(1,4),所以C＝{(1,4)}. 题型六　用描述法表示集合 例题：用描述法表示下列集合: (1)被3除余1的正整数的集合; (2)坐标平面内第一象限的点的集合; (3)大于4的所有偶数. 解　(1)根据被除数＝商×除数＋余数,可知此集合表示为{x｜x＝3n＋1,n∈N*}. (2)第一象限内的点的横、纵坐标均大于零,故此集合可表示为{(x,y)｜x＞0,y＞0}. (3)偶数可表示为2n,n∈Z,又因为大于4,故n≥3,从而用描述法表示此集合为{x｜x＝2n,n∈Z且n≥3}. 【点睛】描述法表示集合的2个步骤 注意　描述法的特点是形式简单、应用方便,通常用于表示元素具有明显共同特征的集合,当元素共同特征不易寻找或元素的限制条件较多时,就不宜采用描述法. 巩固训练 1.集合{(x,y)｜y＝2x-1}表示(　　) A.方程y＝2x-1 B.点(x,y) C.平面直角坐标系中的所有点组成的集合 D.一次函数y＝2x-1图象上的所有点组成的集合 解析:D　本题中的集合是点集,其表示一次函数y＝2x-1图象上的所有点组成的集合.故选D. 2.用适当的方法表示下列集合: (1)已知集合P＝{x｜x＝2n,0≤n≤2且n∈N}; (2)抛物线y＝x2-2x与x轴的公共点的集合; (3)一次函数y＝x的图象上去掉原点的点的集合. 解:(1)列举法:P＝{0,2,4}. (2)描述法:. 或列举法:{(0,0),(2,0)}. (3)描述法:{(x,y)｜y＝x,x≠0}. 题型七　集合表示法的应用 例题：若集合A＝{x｜kx2-8x＋16＝0}只有一个元素,试求实数k的值,并用列举法表示集合A. 解　当k＝0时,原方程变为-8x＋16＝0,x＝2. 此时集合A＝{2}. 当k≠0时,则关于x的一元二次方程kx2-8x＋16＝0有两个相等实根,只需Δ＝64-64k＝0,即k＝1. 此时方程的解为x1＝x2＝4,集合A＝{4},满足题意. 综上所述,实数k的值为0或1.当k＝0时,A＝{2};当k＝1时,A＝{4}. 【点睛】集合与方程综合问题的解题策略 (1)对于一些已知某个集合(此集合中涉及方程)中的元素个数,求参数的问题,常把集合的问题转化为方程的解的问题.如对于方程ax2＋bx＋c＝0,当a＝0,b≠0时,方程有一个解;当a≠0时,若Δ＝0,则方程有两个相等的实数解;若Δ＜0,则方程无解;若Δ＞0,则方程有两个不等的实数解; (2)集合与方程的综合问题,一般要求对方程中最高次项的系数的取值进行分类讨论,确定方程实数根的情况,进而求得结果.需特别注意判别式在一元二次方程的实数根个数的讨论中的作用. 巩固训练 1．若集合A＝{x｜kx2-8x＋16＝0}中有2个元素,试求实数k的值． 解:由题意得 解得k＜1,且k≠0. 故实数k的取值范围为{k｜k＜1,且k≠0}. 2．若集合A＝{x｜kx2-8x＋16＝0}中至多有一个元素,试求实数k的取值范围. 解:(1)当集合A中含有1个元素时,由例3知,k＝0或k＝1; (2)当集合A中没有元素时,方程kx2-8x＋16＝0无解,即解得k＞1. 综上,实数k的取值范围为{k｜k＝0或k≥1}. 题型八　集合间关系的判断 例题：指出下列各对集合之间的关系: (1)A＝{-1,1},B＝{(-1,-1),(-1,1),(1,-1),(1,1)}; (2)A＝{x｜-1＜x＜4},B＝{x｜x-5＜0}; (3)A＝{x｜x是等边三角形},B＝{x｜x是等腰三角形}; (4)M＝{x｜x＝2n-1,n∈N*},N＝{x｜x＝2n＋1,n∈N*}; (5)A＝{x｜x＝2a＋3b,a∈Z,b∈Z},B＝{x｜x＝4m-3n,m∈Z,n∈Z}. 解　(1)集合A的代表元素是数,集合B的代表元素是有序实数对,故A与B之间无包含关系. (2)集合B＝{x｜x＜5},用数轴表示集合A,B如图所示,由图可知A⫋B. (3)等边三角形是三边相等的三角形,等腰三角形是两边相等的三角形,故A⫋B. (4)两个集合都表示正奇数组成的集合,但由于n∈N*,因此集合M含有元素“1”,而集合N不含元素“1”,故N⫋M. (5)A＝{x｜x＝2a＋3b,a∈Z,b∈Z},因为任意n∈Z,n＝2×(-n)＋3n∈A,所以A＝{x｜x＝2a＋3b,a∈Z,b∈Z}＝Z,因为任意n∈Z,n＝4n-3n∈B,所以B＝{x｜x＝4m-3n,m∈Z,n∈Z}＝Z,所以A＝B＝Z. 【点睛】判断集合间关系的常用方法 (1)列举观察法:当集合中元素较少时,可列举出集合中的全部元素,通过定义得出集合之间的关系; (2)集合元素特征法:先确定集合的代表元素是什么,弄清集合元素的特征,再利用集合元素的特征判断得出集合之间的关系. 一般地,设A＝{x｜p(x)},B＝{x｜q(x)},①若由p(x)可推出q(x),则A⊆B;②若由q(x)可推出p(x),则B⊆A;③若p(x),q(x)可互相推出,则A＝B;④若由p(x)推不出q(x),由q(x)也推不出p(x),则集合A,B无包含关系; (3)数形结合法:利用数轴或Venn图可清晰、明了地判断集合间的关系,其中不等式的解集之间的关系,适合用数轴法. 巩固训练 1.(多选)下列关系中,正确的有(　　) A.0∈{0}　　　　　　　　B.⌀⫋{0} C.{0,1}⫋{(0,1)}　　D.{(1,2)}＝{(2,1)} 解析:AB　对于A,集合{0}中含有1个元素0,所以0∈{0}正确;对于B,由于空集是任何非空集合的真子集,所以⌀⫋{0}正确;对于C,{0,1}是数集,{(0,1)}是点集,所以C错误;对于D,{(1,2)}与{(2,1)}是不同的点集,所以D错误. 2.能正确表示集合M＝{x｜0≤x≤2}和集合N＝{x｜x2-x＝0}关系的Venn图是(　　) 解析:B　解x2-x＝0得x＝1或x＝0,故N＝{0,1},易得N⫋M,其对应的Venn图如选项B所示. 3.已知集合A＝{x｜x2-3x＋2＝0},B＝{1,2},C＝{x｜x＜8,x∈N},用适当的符号填空: (1)A　　　　B;(2)A　　　　C;  (3){2}　　　　C;(4)2　　　　C.  解析:集合A为方程x2-3x＋2＝0的解集,即A＝{1,2},而C＝{x｜x＜8,x∈N}＝{0,1,2,3,4,5,6,7}.故(1)A＝B;(2)A⫋C;(3){2}⫋C;(4)2∈C. 答案:(1)＝　(2)⫋　(3)⫋　(4)∈ 题型九　确定有限集合的子集、真子集及其个数 例题：(1)集合M＝{1,2,3}的真子集个数是(　　) A.6　　　　　　　　　 　　　B.7 C.8　　D.9 (2)满足{1,2}⫋M⊆{1,2,3,4,5}的集合M有　　　　个.  解析　(1)集合M的真子集所含有的元素的个数可以有0个,1个或2个,含有0个元素的真子集为⌀,含有1个元素的真子集有3个{1},{2},{3},含有2个元素的真子集有{1,2},{1,3}和{2,3},共有7个真子集,故选B. (2)由题意可得{1,2}⫋M⊆{1,2,3,4,5},可以确定集合M必含有元素1,2,且含有元素3,4,5中的至少一个,因此依据集合M的元素个数分类如下: 含有三个元素:{1,2,3},{1,2,4},{1,2,5}; 含有四个元素:{1,2,3,4},{1,2,3,5},{1,2,4,5}; 含有五个元素:{1,2,3,4,5}. 故满足题意的集合M共有7个. 答案　(1)B　(2)7 【点睛】求集合子集、真子集个数的3个步骤 巩固训练 已知集合A＝{(x,y)｜x＋y＝2,x,y∈N},试写出A的所有子集及真子集. 解:∵A＝{(x,y)｜x＋y＝2,x,y∈N}, ∴A＝{(0,2),(1,1),(2,0)}, ∴A的子集有⌀,{(0,2)},{(1,1)},{(2,0)},{(0,2),(1,1)},{(0,2),(2,0)},{(1,1),(2,0)},{(0,2),(1,1),(2,0)}. A的真子集有⌀,{(0,2)},{(1,1)},{(2,0)},{(0,2),(1,1)},{(0,2),(2,0)},{(1,1),(2,0)}. 题型十　补集的求法 例题：(1)设全集U＝{1,2,3,4,5,6},M＝{1,2,4},则∁UM＝(　　) A.U　　　　　　　　　　　　B.{1,3,5} C.{3,5,6}　　 D.{2,4,6} (2)已知全集U＝R,集合A＝{x｜x＜-2,或x＞2},则∁UA＝　　　　.  解析　(1)因为U＝{1,2,3,4,5,6},M＝{1,2,4},由补集的定义,可知∁UM＝{3,5,6}. (2)如图,在数轴上表示出集合A,可知∁UA＝{x｜-2≤x≤2}. 答案　(1)C　(2){x｜-2≤x≤2} 【点睛】求集合补集的2种方法 (1)当集合用列举法表示时,直接用定义或借助Venn图求解; (2)当集合是用描述法表示的连续数集时,可借助数轴,利用数轴分析求解. 巩固训练 若集合A＝{x｜-1≤x＜1},当S分别取下列集合时,求∁SA. (1)S＝R; (2)S＝{x｜x≤2}; (3)S＝{x｜-4≤x≤1}. 解:(1)把集合S和A表示在数轴上,如图所示. 由图知∁SA＝{x｜x＜-1或x≥1}. (2)把集合S和A表示在数轴上,如图所示. 由图知∁SA＝{x｜x＜-1或1≤x≤2}. (3)把集合S和A表示在数轴上,如图所示. 由图知∁SA＝{x｜-4≤x＜-1或x＝1}. 题型十一　由集合间的关系求参数值(范围) 例题：已知集合A＝{x｜-3≤x≤4},B＝{x｜1＜x＜m}(m＞1),且B⊆A,则实数m的取值范围是　　　　.  解析　由于B⊆A,结合数轴分析可知,m≤4, 又m＞1,所以1＜m≤4. 答案　1＜m≤4 【点睛】由集合间的包含关系求参数的方法 (1)当集合为不连续数集时,常根据集合包含关系的意义,建立方程(组)求解,此时应注意分类讨论; (2)当集合为连续数集时,常借助数轴来建立不等关系求解,应注意端点处是实点还是虚点. 注意　(1)不能忽视集合为⌀的情形; (2)当集合中含有字母参数时,一般要分类讨论. 巩固训练 1.设全集U＝{2,3,a2＋2a-3},A＝{｜2a-1｜,2},∁UA＝{5},则实数a的值为　　　　.  解析:∵∁UA＝{5},∴5∈U,且5∉A. ∴a2＋2a-3＝5,解得a＝2或a＝-4. 当a＝2时,｜2a-1｜＝3≠5,此时A＝{3,2},U＝{2,3,5},符合题意. 当a＝-4时,｜2a-1｜＝9,此时A＝{9,2},U＝{2,3,5}, 不满足条件∁UA＝{5},故a＝-4舍去. 综上知a＝2. 答案:2 2.设全集U＝R,A＝{x｜a≤x≤b},若∁UA＝{x｜x＜3或x＞4},则a＋b＝　　　　.  解析:∵U＝R,A＝{x｜a≤x≤b},∴∁UA＝{x｜x＜a或x＞b}. 又∵∁UA＝{x｜x＜3或x＞4},∴a＝3,b＝4,∴a＋b＝7. 答案:7 题型十二　并集的运算 例题：(1)设集合M＝{x｜x2＋2x＝0,x∈R},N＝{x｜x2-2x＝0,x∈R},则M∪N＝(　　) A.{0}　 　　　B.{0,2}　 　　C.{-2,0}　　　D.{-2,0,2} (2)已知集合M＝{x｜-3＜x≤5},N＝{x｜x＜-5,或x＞5},则M∪N＝(　　) A.{x｜x＜-5,或x＞-3} B.{x｜-5＜x＜5} C.{x｜-3＜x＜5} D.{x｜x＜-3,或x＞5} 解析　(1)M＝{x｜x2＋2x＝0,x∈R}＝{0,-2},N＝{x｜x2-2x＝0,x∈R}＝{0,2},故M∪N＝{-2,0,2},故选D. (2)在数轴上表示集合M,N,可知M∪N＝{x｜x＜-5或x＞-3}.故选A. 答案　(1)D　(2)A 【点睛】求集合并集的2种基本方法 (1)定义法:若集合是用列举法表示的,可以直接利用并集的定义求解; (2)数形结合法:若集合是用描述法表示的由连续实数组成的数集,则可以借助数轴分析求解. 巩固训练 1.(多选)若P＝{1,2,3,m},Q＝{m2,3},且满足P∪Q＝P,则m的值为(　　) A.-1　　B.　　C.-　　D.0 解析:ABCD　由P∪Q＝P,可知Q⊆P,∴m2＝1或m2＝2或m2＝m.解得m＝±1或m＝±或m＝0.经检验m＝1时不满足集合中元素的互异性,舍去.∴m＝-1或m＝±或m＝0. 2.若集合A＝(-1,＋∞),B＝(-2,2),则A∪B＝　　　.  解析:画出数轴如图所示,故A∪B＝(-2,＋∞). 答案:(-2,＋∞) 题型十三　交集的运算 例题：(1)设集合A＝{x｜-1≤x≤2},B＝{x｜0≤x≤4},则A∩B＝(　　) A.{x｜0≤x≤2}　　B.{x｜1≤x≤2} C.{x｜0≤x≤4}　　D.{x｜1≤x≤4} (2)已知集合A＝{x｜x＝3n＋2,n∈N},B＝{6,8,10,12,14},则集合A∩B中元素的个数为(　　) A.5　　B.4　　C.3　　D.2 解析　(1)在数轴上表示出集合A与B,如图. 则由交集的定义得,A∩B＝{x｜0≤x≤2}. (2)集合A中元素满足x＝3n＋2,n∈N,即被3除余2,而集合B中满足这一要求的元素只有8和14.故选D. 答案　(1)A　(2)D 【点睛】求两个集合交集的方法 (1)对于元素个数有限的集合,逐个挑出两个集合的公共元素即可; (2)对于元素个数无限的集合,一般借助数轴求交集,两个集合的交集等于两个集合在数轴上的相应图形所覆盖的公共范围,要注意端点值的取舍. 巩固训练 1.设集合U＝{1,2,3,4},M＝{1,2,3},N＝{2,3,4},则∁U(M∩N)＝(　　) A.{1,2}　　B.{2,3}　　C.{2,4}　　D.{1,4} 解析:D　因为M∩N＝{2,3},所以∁U(M∩N)＝{1,4}. 2.已知M＝{(x,y)｜x＋y＝2},N＝{(x,y)｜x-y＝4},则M∩N＝(　　) A.x＝3,y＝-1　　B.(3,-1) C.{3,-1}　　D.{(3,-1)} 解析:D　由得故M∩N＝{(3,-1)}. 题型十四　交集、并集、补集的综合运算 例题：(1)若全集U＝{1,2,3,4},集合M＝{x｜x2-4x＋3＝0},N＝{x｜x2-5x＋6＝0},则∁U(M∩N)＝(　　) A.{4}　　B.{1,2}　　C.{1,2,4}　　D.{1,3,4} (2)已知全集U＝R,集合A＝{x｜x≤0},B＝{x｜x≥1},则集合∁U(A∪B)＝(　　) A.{x｜x≥0}　　B.{x｜x≤1} C.{x｜0≤x≤1}　　D.{x｜0＜x＜1} 解析　(1)∵M＝{1,3},N＝{2,3},∴M∩N＝{3},∴∁U(M∩N)＝{1,2,4},故选C. (2)由已知,得A∪B＝{x｜x≤0,或x≥1},故∁U(A∪B)＝{x｜0＜x＜1},故选D. 答案　(1)C　(2)D 【点睛】解决集合交、并、补运算的技巧 (1)如果所给集合是有限集,则先把集合中的元素一一列举出来,然后结合交集、并集、补集的定义来求解.在解答过程中常常借助于Venn图来求解; (2)如果所给集合是无限集,则常借助数轴,把已知集合及全集分别表示在数轴上,然后进行交、并、补集的运算.解答过程中要注意边界问题. 巩固训练 1.已知集合A,B均为全集U＝{1,2,3,4}的子集,且∁U(A∪B)＝{4},B＝{1,2},则A∩(∁UB)＝(　　) A.{3}　　B.{4}　　C.{3,4}　　D.⌀ 解析:A　∵U＝{1,2,3,4},∁U(A∪B)＝{4},∴A∪B＝{1,2,3}.又∵B＝{1,2},∴{3}⊆A⊆{1,2,3}.又∁UB＝{3,4},∴A∩(∁UB)＝{3}. 2.(多选)已知全集U＝R,集合A＝{x｜1≤x≤3或4＜x＜6},集合B＝{x｜2≤x＜5},则下列集合运算正确的是(　　) A.∁UB＝{x｜x＜2或x≥5} B.A∩(∁UB)＝{x｜1≤x＜2或5≤x＜6} C.(∁UA)∪B＝{x｜x＜1或2＜x＜5或x＞6} D.∁U(∁UB)＝{x｜2≤x＜5} 解析:ABD　因为B＝{x｜2≤x＜5},所以∁UB＝{x｜x＜2或x≥5},故A正确;由∁UB＝{x｜x＜2或x≥5}可得,A∩(∁UB)＝{x｜1≤x＜2或5≤x＜6},故B正确;由∁UA＝{x｜x＜1或3＜x≤4或x≥6}可得,(∁UA)∪B＝{x｜x＜1或2≤x＜5或x≥6},故C错误;由∁U(∁UB)＝B＝{x｜2≤x＜5}可得D正确,故选A、B、D. 题型十五　由集合的并集、交集求参数 例题：已知集合A＝{x｜-3＜x≤4},集合B＝{x｜k＋1≤x≤2k-1},且A∪B＝A,试求k的取值范围. 解　(1)当B＝⌀,即k＋1＞2k-1时,k＜2,满足A∪B＝A. (2)当B≠⌀时,要使A∪B＝A, 只需解得2≤k≤. 综合(1)(2)可知,k的取值范围是. 【点睛】利用集合交集、并集的性质解题的方法 (1)在利用集合的交集、并集性质解题时,常常会遇到A∩B＝A,A∪B＝B等这类问题,解答时常借助于交、并集的定义及上节学习的集合间的关系去分析,如A∩B＝A⇔A⊆B,A∪B＝B⇔A⊆B等,解答时应灵活处理; (2)当集合B⊆A时,如果集合A是一个确定的集合,而集合B不确定,运算时一定要考虑B＝⌀的情况,切不可漏掉. 巩固训练 设集合A＝{x｜x2-3x＋2＝0};B＝{x｜x2＋2(a-1)x＋(a2-5)＝0}. (1)若A∩B＝{2},求实数a的值; (2)若A∪B＝A,求实数a的取值范围. 解:(1)由题可知:A＝{x｜x2-3x＋2＝0}＝{1,2},∵A∩B＝{2}, ∴2∈B,将x＝2代入方程x2＋2(a-1)x＋(a2-5)＝0得:4＋4(a-1)＋(a2-5)＝0,解得:a＝-5或a＝1. 当a＝-5时,集合B＝{2,10},符合题意; 当a＝1时,集合B＝{2,-2},符合题意. 综上所述:a＝-5或a＝1. (2)若A∪B＝A,则B⊆A, ∵A＝{1,2},∴B＝⌀或B＝{1}或{2}或{1,2}. 若B＝⌀,则Δ＝4(a-1)2-4(a2-5)＝24-8a＜0,解得a＞3;若B＝{1}或{2},则Δ＝0,即a＝3, 而当a＝3时,x2＋4x＋4＝0,得x＝-2,不合题意; 若B＝{1,2},则 即此时也不成立. 综上,a的取值范围是(3,＋∞). 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$