1.3.1空间直角坐标系（导学案）-2024-2025学年高二数学同步教学一课到位（人教A版2019选择性必修第一册）

1.3.1《空间直角坐标系》导学案（原卷版） （ 日期：2024年9月 1课时 第3周 ） 一.学习目标 1.认识与理解空间直角坐标系的概念及作法；（数学抽象、直观想象） 2.理解与掌握空间点的坐标、空间向量的坐标以及空间点的坐标的确定方法，并能运用其来求解相关的实际问题.（数学运算、逻辑推理） 二.学习过程（导学、自学） （一）探究新知1——空间直角坐标系（互学） 1.空间直角坐标系 如图，在空间选定一点和一个单位正交基底 ， 以点为原点，分别以的方向为 、以它们的长为 建立三条数轴: ，它们都叫做坐标轴，这时我们就建立了一个空间直角坐标系 叫做 ，都叫做 ，通过每两条坐标轴的平面叫做 ，分别称为 平面， 平面， 平面，它们把空间分成八个部分. 2.空间直角坐标系的作法 画空间直角坐标系 时，一般使 . 在空间直角坐标系中，让右手拇指指向 轴的正方向，食指指向 轴的正方向，如果中指指向 轴的正方向，则称这个坐标系为 直角坐标系 注：本书建立的坐标系都是 直角坐标系. （2） 探究新知2——空间点的坐标与空间向量的坐标（互学） 1.探究1 在平面直角坐标系中，每一个点和向量都可用一对有序实数(即它的坐标)表示.对空间直角坐标系中的每一个点和向量，是否也有类似的表示呢? 2.空间点的坐标 在空间直角坐标系 中(如图所示)，为坐标向量，对空间任意一点 ，对应一个向量 ，且点 的位置由向量 唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组使 . 在单位正交基底下与向量 OA 对应的有序实数组 ，叫做点A在空间直角坐标系中的坐标，记作 ，其中叫做点的 ，叫做点的 ，叫做点的 . 3.空间向量的坐标 在空间直角坐标系 中，给定向量，作 (如图).由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组，使 . 有序实数组 叫做在空间直角坐标系中的坐标，上式可简记作 . 这样，在空间直角坐标系中，空间中的点和向量都可以用三个有序实数表示. 温馨提示：符号具有双重意义，它既可以表示 ，也可以表示 ，在表述时要注意区分. 4.探究2 在空间直角坐标系中，对空间任意一点，或任意一个向量，你能借助几何直观确定它们的坐标吗? 5.空间中点的坐标确定——垂面法 如图，过点分别作垂直于轴、轴和轴的平面，依次交轴 轴和轴于点和. 可以证明在轴、轴和轴上的投影向量分别为 ，且 ， 设点在轴、轴和轴上的坐标分别是和，那么点(向量)的坐标为 . 三.小组合作、讨论交流(互学) 各位同学，请大家每4个人组成一组，分别交流讨论后，解决下列问题： 例1 如图 ，在长方体 中，，以为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系 . （1）写出 四点的坐标; （2）写出向量，,,的坐标. 提示：求空间向量的坐标的关键是——利用空间向量基本定理，把所求向量用各基底向量表示出来. （六）提升演练（检测实践） 例2 在长方体 中，，，， 与 相交于点，建立如图所示的空间直角坐标系． 写出点，， 的坐标； 写出向量， 的坐标． 四.达标检测（迁移变通、检测实践） 1.设是单位正交基底，已知向量在基底下的坐标为，其中，，，则向量在基底下的坐标是(    ) A. B. C. D. 2.如图所示，在空间直角坐标系中，原点是的中点，点的坐标是，点在平面上，且，，则向量的坐标为(    ) A. B. C. D. 3.假设地球是半径为的球体，现将空间直角坐标系的原点置于球心，赤道位于平面上，轴的正方向为球心指向正北极方向，本初子午线弧是度经线，位于平面上，且交轴于点，如图所示．已知赤道上一点位于东经度，则地球上位于东经度、北纬度的空间点的坐标为          A. B. C. D. 4. 如图所示，直角绕直角边所在直线旋转一周形成一个圆锥，已知在空间直角坐标系中，点和均在圆锥的母线上，则圆锥的体积为          ． 5.已知空间点列如下：，，，，，，，，，，，，，则的坐标为          ． 6. 如图，垂直于正方形所在的平面，，分别是，的中点，并且，试建立适当的空间直角坐标系，求向量的坐标． 五.课堂小结：本节课我们都学习了那些知识？ 六、家庭作业 1.记背今天所学知识点； 2.完成导学案达标检测题目. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！7 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.3.1《空间直角坐标系》导学案（解析版） （ 日期：2024年9月 1课时 第3周 ） 一.学习目标 1.认识与理解空间直角坐标系的概念及作法；（数学抽象、直观想象） 2.理解与掌握空间点的坐标、空间向量的坐标以及空间点的坐标的确定方法，并能运用其来求解相关的实际问题.（数学运算、逻辑推理） 二.学习过程（导学、自学） （一）探究新知1——空间直角坐标系（互学） 1.空间直角坐标系 如图，在空间选定一点和一个单位正交基底 ， 以点为原点，分别以的方向为正方向、以它们的长为单位长度建立三条数轴:轴、轴、轴，它们都叫做坐标轴，这时我们就建立了一个空间直角坐标系 叫做原点，都叫做坐标向量，通过每两条坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为平面，平面，平面，它们把空间分成八个部分. 2.空间直角坐标系的作法 画空间直角坐标系 时，一般使(或 ). 在空间直角坐标系中，让右手拇指指向轴的正方向，食指指向轴的正方向，如果中指指向轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系 注：本书建立的坐标系都是右手直角坐标系. （2） 探究新知2——空间点的坐标与空间向量的坐标（互学） 1.探究1 在平面直角坐标系中，每一个点和向量都可用一对有序实数(即它的坐标)表示.对空间直角坐标系中的每一个点和向量，是否也有类似的表示呢? 2.空间点的坐标 在空间直角坐标系 中(如图所示)，为坐标向量，对空间任意一点 ，对应一个向量 ，且点 的位置由向量唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组使 . 在单位正交基底下与向量 OA 对应的有序实数组，叫做点A在空间直角坐标系中的坐标，记作，其中叫做点的横坐标，叫做点的纵坐标，叫做点的竖坐标. 3.空间向量的坐标 在空间直角坐标系 中，给定向量，作(如图).由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组，使 . 有序实数组叫做在空间直角坐标系中的坐标，上式可简记作 . 这样，在空间直角坐标系中，空间中的点和向量都可以用三个有序实数表示. 温馨提示：符号具有双重意义，它既可以表示向量，也可以表示点，在表述时要注意区分. 4.探究2 在空间直角坐标系中，对空间任意一点，或任意一个向量，你能借助几何直观确定它们的坐标吗? 5.空间中点的坐标确定——垂面法 如图，过点分别作垂直于轴、轴和轴的平面，依次交轴 轴和轴于点和. 可以证明在轴、轴和轴上的投影向量分别为 ，且 ， 设点在轴、轴和轴上的坐标分别是和，那么点(向量)的坐标为. 三.小组合作、讨论交流(互学) 各位同学，请大家每4个人组成一组，分别交流讨论后，解决下列问题： 例1 如图 ，在长方体 中，，以为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系 . （1）写出 四点的坐标; （2）写出向量，,,的坐标. 例1 解： (1)分别设 , ∵点 在轴上，且, ∴ , ∴点的坐标是, 同理，点的坐标是, 又∵点 在轴、轴、轴上的射影分别为，它们在坐标轴上的坐标分别为, ∴点的坐标是, 又∵点 在轴、轴、轴上的射影分别为它们在坐标轴上的坐标分别为, ∴点的坐标是(3，4，2). (2)由图可知 , . 提示：求空间向量的坐标的关键是——利用空间向量基本定理，把所求向量用各基底向量表示出来. （六）提升演练（检测实践） 例2 在长方体 中，，，， 与 相交于点，建立如图所示的空间直角坐标系． 写出点，， 的坐标； 写出向量， 的坐标． 解： ∵ 在长方体中，，，， ∴ 点的坐标为， 点的坐标为， 点的坐标为， 又∵点是线段的中点， ∴由中点坐标公式得：的坐标为． 解： 由题意知 则 . 四.达标检测（迁移变通、检测实践） 1.设是单位正交基底，已知向量在基底下的坐标为，其中，，，则向量在基底下的坐标是(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】【分析】 本题考查空间向量的加减运算及坐标表示，属于中档题． 由已知可得，从而问题得解． 【解答】 解：依题意，知 ， 向量在基底下的坐标是． 故选A． 2.如图所示，在空间直角坐标系中，原点是的中点，点的坐标是，点在平面上，且，，则向量的坐标为(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】【分析】 本题考查空间直角坐标系，空间向量的坐标表示，考查计算能力． 利用空间直角坐标系，求出的坐标，再利用空间向量的坐标表示即可求出． 【解答】 解：因为在空间直角坐标系中，原点是的中点，点的坐标是， 点在平面上，且，， 所以，，， 所以的坐标为：， ， 故选：． 3.假设地球是半径为的球体，现将空间直角坐标系的原点置于球心，赤道位于平面上，轴的正方向为球心指向正北极方向，本初子午线弧是度经线，位于平面上，且交轴于点，如图所示．已知赤道上一点位于东经度，则地球上位于东经度、北纬度的空间点的坐标为          A. B. C. D. 【答案】A  【解析】【分析】 本题主要考查立体几何中的空间点的位置，考查了学生的空间想象能力，属于中档题． 根据图形求出点在平面上的投影的坐标，进而求出点的坐标即可． 【解答】 解：设点投影到平面上的点，则 又与轴正向的夹角为， 由在轴与轴的投影可知 因此点的坐标为 故选A． 4.如图所示，直角绕直角边所在直线旋转一周形成一个圆锥，已知在空间直角坐标系中，点和均在圆锥的母线上，则圆锥的体积为          ． 【答案】  【解析】【分析】 本题考查圆锥的体积，空间直角坐标系的应用，属于中档题． 由空间直角坐标系，得圆锥的底面半径和高，求体积． 【解答】 解：根据题意：为轴，则圆锥底面在平面上， 点在圆锥的母线上，圆锥底面圆半径为， 故点是底面圆周与轴正半轴的交点， 又点在圆锥的母线上， 所以这条母线在平面内，必过和两点，其与轴交于点； 即圆锥的高为，由圆锥的体积公式可得体积为． 故答案为． 5.已知空间点列如下：，，，，，，，，，，，，，则的坐标为          ． 【答案】   【解析】【分析】 本题表面上是考查点的排列规律，解题时注意转化思想的运用，考查了学生的计算能力和观察能力，同学们在平常要多加练习，属于拔高题． 设，分别讨论当，，时各有几个点，便可知当时，第行有个点，便可得出当时，已经有个点，便可求得的坐标． 【解答】 解：设 ，，第行，个点； ，，，第行，个点； ，，，，第行，个点； 个点个点个点个点个点 为第个点，，第行，第个点，， ，，， ，． 的坐标为， 答案为． 6. 如图，垂直于正方形所在的平面，，分别是，的中点，并且，试建立适当的空间直角坐标系，求向量的坐标． 【答案】解：因为，平面，， 所以，，是两两垂直的单位向量． 设，，，以为基底建立空间直角坐标系． 因为 ， 所以．  【解析】本题考查空间直角坐标系以及向量的坐标、空间向量的线性运算，属于中档题． 首先根据题意建立空间直角坐标系，根据空间直角坐标系，得，即可解答此题． 五.课堂小结：本节课我们都学习了那些知识？ 1.认识与理解了空间直角坐标系的概念及作法；（数学抽象、直观想象） 2.理解与掌握了空间点的坐标、空间向量的坐标以及空间点的坐标的确定方法，并能运用其来求解相关的实际问题.（数学运算、逻辑推理） 六、家庭作业 1.记背今天所学知识点； 2.完成导学案达标检测题目. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！9 学科网（北京）股份有限公司 $$