重难点突破：常用逻辑用语中的参数问题（5大题型）-2024-2025学年高一数学同步题型分类归纳讲与练（人教A版2019必修第一册）

重难点突破：常用逻辑用语中的参数问题 一、根据充分、必要条件求参数 1、解题思路：充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式（或不等式组）求解，最后要注意区间端点值的检验。 2、充分、必要条件与集合的关系 若条件p，q以集合的形式出现，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}， 则由可得，p是q的充分条件， ①若，则p是q的充分不必要条件； ②若，则p是q的必要条件； ③若，则p是q的必要不充分条件； ④若A＝B，则p是q的充要条件； ⑤若且，则p是q的既不充分也不必要条件． 【注意】充分必要条件判断精髓 小集合推出大集合，小集合是大集合的充分不必要条件，大集合是小集合的必要不充分条件；若两个集合范围一样，就是充要条件的关系． 二、解决含有量词的命题求参问题 1、利用含量词问题的真假求参数范围的技巧 （1）首先根据全称量词和存在量词的含义透彻地理解题意. （2）其次根据含量词命题的真假把命题的真假问题转化为集合间的关系或函数的最值问题，再转化为关于参数的不等式(组）求参数的取值范围. 具体如下： ①对于全称量词命题“(或)”为真的问题，实质就是不等式恒成立问题，通常转化为求函数y的最大值（或最小值)，即(或). ②对于存在量词命题“（或）”为真的问题，实质就是不等式能成立问题，通常转化为求函数y的最小值（或最大值），即(或). 2、注意事项 （1）全称量词命题求参数范围的问题，常以一次函数、二次函数等为载体进行考察，一般在题目中会出现“恒成立”等词语，解决此类问题时，可构造函数，利用数形结合求参数范围，也可用分离参数法求参数范围； （2）存在量词命题求参数范围的问题中常出现“存在”等词语，对于此类问题，通常假设存在满足条件的参数，然后利用条件求参数范围，若能求出参数范围，则假设成立；否则，假设不成立。解决有关存在量词命题的参数的取值范围问题时，应尽量分离参数。 题型一 根据充分/充分不必要条件求参数 【例1】（23-24高一上·湖南长沙·月考）已知不等式成立的充分条件是，则实数的取值范围是（    ） A．或 B．或 C． D． 【变式1-1】（22-23高一上·江苏南京·月考）集合，若“”是“”的充分条件，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（23-24高一上·天津红桥·月考）已知，，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是 . 【变式1-3】（23-24高一上·四川达州·月考）已知集合 或. (1)若 ，求； (2)若 “ ” 是 “” 的充分条件，求的取值范围. 【变式1-4】（23-24高一下·湖南株洲·月考）已知集合，或，． (1)求； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围． 题型二 根据必要/必要不充分条件求参数 【例2】（23-24高三上·山西·开学考试）已知，若是的必要条件，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】（22-23高一上·辽宁·月考）若“”是“”的必要不充分条件，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（23-24高一上·吉林长春·期中）（多选）若“或”是“”的必要不充分条件，则实数的值可以是（    ） A． B． C．1 D．4 【变式2-3】（23-24高一上·山东潍坊·期中）设全集，集合，. (1)当时，求，； (2)若“”是“”的必要条件，求实数的取值范围. 【变式2-4】（23-24高一上·内蒙古赤峰·期中）已知集合或，. (1)若，求，； (2)若“”是“”的必要不充分条件，求的取值范围. 题型三 根据充要条件求参数 【例3】（23-24高一上·广东广州·月考）“方程至多有一个实数解”的一个充要条件是（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（23-24高一上·广东佛山·期中）若命题：为命题：，的充要条件，则的值是 ． 【变式3-2】（22-23高一上·云南大理·期末）若“不等式成立”的充要条件为“”，则实数的值为 . 【变式3-3】（22-23高一上·重庆沙坪坝·月考）若“”是“”的充要条件，则实数m的取值是 ． 题型四 根据全称量词命题的真假求参数 【例4】（23-24高一上·安徽宿州·月考）命题：“，”，若命题是真命题，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（22-23高一上·江苏常州·月考）（多选）命题“，”是真命题的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（23-24高一上·河南三门峡·月考）已知命题是真命题，则的取值范围是 . 【变式4-3】（23-24高一上·重庆合川·月考）已知命题且，命题恒成立，若与不同时为真命题，则的取值范围是 . 【变式4-4】（22-23高一上·河北秦皇岛·月考）已知集合，或. (1)求，； (2)若集合，且，为真命题，求的取值范围. 题型五 根据存在量词命题的真假求参数 【例5】（23-24高一上·山东青岛·月考）命题p：，使，若p是真命题，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（23-24高一上·山东临沂·月考）已知命题“存在，使得等式成立”是假命题，则实数的取值范围是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【变式5-2】（23-24高一上·辽宁·期中）若“，”是假命题，则实数的取值范围是 ． 【变式5-3】（23-24高一上·辽宁朝阳·期末）若命题：“，”为假命题，则实数m的取值范围为 . 【变式5-4】（23-24高一上·吉林·月考）已知集合. (1)若，求实数的取值范围； (2)命题：“，使得”是真命题，求实数的取值范围. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 重难点突破：常用逻辑用语中的参数问题 一、根据充分、必要条件求参数 1、解题思路：充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式（或不等式组）求解，最后要注意区间端点值的检验。 2、充分、必要条件与集合的关系 若条件p，q以集合的形式出现，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}， 则由可得，p是q的充分条件， ①若，则p是q的充分不必要条件； ②若，则p是q的必要条件； ③若，则p是q的必要不充分条件； ④若A＝B，则p是q的充要条件； ⑤若且，则p是q的既不充分也不必要条件． 【注意】充分必要条件判断精髓 小集合推出大集合，小集合是大集合的充分不必要条件，大集合是小集合的必要不充分条件；若两个集合范围一样，就是充要条件的关系． 二、解决含有量词的命题求参问题 1、利用含量词问题的真假求参数范围的技巧 （1）首先根据全称量词和存在量词的含义透彻地理解题意. （2）其次根据含量词命题的真假把命题的真假问题转化为集合间的关系或函数的最值问题，再转化为关于参数的不等式(组）求参数的取值范围. 具体如下： ①对于全称量词命题“(或)”为真的问题，实质就是不等式恒成立问题，通常转化为求函数y的最大值（或最小值)，即(或). ②对于存在量词命题“（或）”为真的问题，实质就是不等式能成立问题，通常转化为求函数y的最小值（或最大值），即(或). 2、注意事项 （1）全称量词命题求参数范围的问题，常以一次函数、二次函数等为载体进行考察，一般在题目中会出现“恒成立”等词语，解决此类问题时，可构造函数，利用数形结合求参数范围，也可用分离参数法求参数范围； （2）存在量词命题求参数范围的问题中常出现“存在”等词语，对于此类问题，通常假设存在满足条件的参数，然后利用条件求参数范围，若能求出参数范围，则假设成立；否则，假设不成立。解决有关存在量词命题的参数的取值范围问题时，应尽量分离参数。 题型一 根据充分/充分不必要条件求参数 【例1】（23-24高一上·湖南长沙·月考）已知不等式成立的充分条件是，则实数的取值范围是（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】D 【解析】由题意得， 所以，且等号不能同时成立，解得.故选：D. 【变式1-1】（22-23高一上·江苏南京·月考）集合，若“”是“”的充分条件，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】当时，，此时，则 故选：B 【变式1-2】（23-24高一上·天津红桥·月考）已知，，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是 . 【答案】 【解析】设集合，集合， 若是的充分不必要条件，则是的真子集， 可得（等号不同时取），解得，即实数的取值范围是． 故答案为：． 【变式1-3】（23-24高一上·四川达州·月考）已知集合 或. (1)若 ，求； (2)若 “ ” 是 “” 的充分条件，求的取值范围. 【答案】(1)或；(2) 【解析】（1）若 ，则或， 所以或. （2）“” 是 “” 的充分条件 ①当时，，即时，满足题意； ②当时，依题意有或，解得：， 综上，的取值范围是. 【变式1-4】（23-24高一下·湖南株洲·月考）已知集合，或，． (1)求； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）因为，又， 所以. （2）或，所以， 因为“”是“”的充分不必要条件， 则，又， 所以. 题型二 根据必要/必要不充分条件求参数 【例2】（23-24高三上·山西·开学考试）已知，若是的必要条件，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由得，即 若是的必要条件，则， ，解得故选：A. 【变式2-1】（22-23高一上·辽宁·月考）若“”是“”的必要不充分条件，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为“”是“”的必要不充分条件， 所以集合是集合的子集， 故有，故选：B 【变式2-2】（23-24高一上·吉林长春·期中）（多选）若“或”是“”的必要不充分条件，则实数的值可以是（    ） A． B． C．1 D．4 【答案】ACD 【解析】解：因为“或”是“”的必要不充分条件， 所以  或 所以或， 即或.故选：ACD. 【变式2-3】（23-24高一上·山东潍坊·期中）设全集，集合，. (1)当时，求，； (2)若“”是“”的必要条件，求实数的取值范围. 【答案】(1)，；(2) 【解析】（1）时，，或， 所以， （2）因为“”是“”的必要条件，所以. 因为，所以，故，解得. 所以的取值范围为. 【变式2-4】（23-24高一上·内蒙古赤峰·期中）已知集合或，. (1)若，求，； (2)若“”是“”的必要不充分条件，求的取值范围. 【答案】(1)或，；(2)或 【解析】（1）时，，故或， ，或， 故； （2）由题意得是的真子集， 若，则，解得， 若，则或，解得， 故的取值范围是或 题型三 根据充要条件求参数 【例3】（23-24高一上·广东广州·月考）“方程至多有一个实数解”的一个充要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】若有两个不相等的实数根，则， 故方程至多有一个实数解时，， 故“方程至多有一个实数解”的一个充要条件是：，故选：A 【变式3-1】（23-24高一上·广东佛山·期中）若命题：为命题：，的充要条件，则的值是 ． 【答案】 【解析】命题是命题的充要条件，，解得：. 故答案为：. 【变式3-2】（22-23高一上·云南大理·期末）若“不等式成立”的充要条件为“”，则实数的值为 . 【答案】 【解析】解不等式得， 因为“不等式成立”的充要条件为“”， 所以，解得，所以，. 故答案为：. 【变式3-3】（22-23高一上·重庆沙坪坝·月考）若“”是“”的充要条件，则实数m的取值是 ． 【答案】3 【解析】由得，故， 因为“”是“”的充要条件， 所以，解得， 所以实数m的取值是3. 故答案为：3. 题型四 根据全称量词命题的真假求参数 【例4】（23-24高一上·安徽宿州·月考）命题：“，”，若命题是真命题，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题可知，，所以，， 又，所以.故选：B. 【变式4-1】（22-23高一上·江苏常州·月考）（多选）命题“，”是真命题的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【解析】若命题“，”是真命题，则， 因此，命题“，”是真命题的一个充分不必要条件是、.故选：BC. 【变式4-2】（23-24高一上·河南三门峡·月考）已知命题是真命题，则的取值范围是 . 【答案】 【解析】因为命题是真命题， 所以不等式在上恒成立， 等价于即可， 因为所以即， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 【变式4-3】（23-24高一上·重庆合川·月考）已知命题且，命题恒成立，若与不同时为真命题，则的取值范围是 . 【答案】 【解析】当命题为真命题时，， 当命题为真命题时，，即， 所以与同时为真命题时有，解得， 故与不同时为真命题时，的取值范围是． 故答案为： 【变式4-4】（22-23高一上·河北秦皇岛·月考）已知集合，或. (1)求，； (2)若集合，且，为真命题，求的取值范围. 【答案】(1)，或；(2)或 【解析】（1）由已知可得，或， 因此，或. （2）解：由题意可知. 当时，，即，； 当时，由可得，或，解得， 综上，的取值范围为或. 题型五 根据存在量词命题的真假求参数 【例5】（23-24高一上·山东青岛·月考）命题p：，使，若p是真命题，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，所以由， 因为，所以， 因为p是真命题，所以，故选：C 【变式5-1】（23-24高一上·山东临沂·月考）已知命题“存在，使得等式成立”是假命题，则实数的取值范围是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】A 【解析】命题“存在，使得等式成立”是假命题， 即命题“存在，使得等式成立”是假命题，即， 所以，或，解得或， 即实数的取值范围是或，故选：A. 【变式5-2】（23-24高一上·辽宁·期中）若“，”是假命题，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【解析】由，解得或， 又“，”是假命题，所以. 故答案为： 【变式5-3】（23-24高一上·辽宁朝阳·期末）若命题：“，”为假命题，则实数m的取值范围为 . 【答案】 【解析】由题意可知方程无实数解， 所以，解得， 故实数m的取值范围为. 故答案为：. 【变式5-4】（23-24高一上·吉林·月考）已知集合. (1)若，求实数的取值范围； (2)命题：“，使得”是真命题，求实数的取值范围. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）若，满足，此时，即， 当时，要使，则，即，即， 综上实数的取值范围为. （2）命题：“，使得”是真命题，等价于， 若时， 当，满足，此时，即， 当时，， 若，则满足或， 即或， 综上若，得或， 则当时，即实数的取值范围是. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$