专题04 代数式规律性探索的两种考法全梳理（高频与压轴题型）-2024-2025学年七年级数学上学期高频与压轴题型专项攻略（人教版）

专题04 代数式规律性探索的两种考法全梳理 （高频与压轴题型） 目录 【考法一、数字类规律探索】 1 【考法二、图形类规律探索】 4 【课后练习】 6 【考法一、数字类规律探索】 例1．阅读下列材料： ， ， ， 读完以上材料，请你完成下列问题： (1)根据以上材料，第四个等式是：_______， 第个等式是：_______； (2)计算：；（用含的式子表示） (3)计算：． 例2．【等比数列】按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列的一般形式可以写成：．一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比值等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用表示．如：数列为等比数列，其中，公比为． 根据以上材料，解答下列问题： （1）等比数列的公比为 　　，第项是 　　． 【公式推导】如果一个数列，是等比数列，且公比为，那么根据定义可得到：．所以，，， （2）由此，请你填空完成等比数列的通项公式：　　． 【拓广探究】等比数列求和公式并不复杂，但是其推导过程——错位相减法，构思精巧、形式奇特．下面是小明为了计算的值，采用的方法： 设①，则②， 得，． 【解决问题】（3）请仿照小明的方法求的值． 变式1．观察下列等式． ，，， 将以上三个等式两边分别相加得： ． (1)猜想并写出：______． (2)直接写出下列各式的计算结果：①______； ②______． (3)探究并计算：①． ②． 变式2．认真阅读材料，然后回答问题： 我们初中学习了多项式的运算法则，相应的，我们可以计算出多项式的展开式，如： ．．．……； 下面我们依次对展开式的各项系数进一步研究发现，当取正整数时可以单独列成表中的形式： …………………………………………………1  1 ………………………………………………1  2  1 ……………………………………………1  3   3  1 …………………………………………1  4   6  4  1 ………………………………………1  5  10  10  5  1 ……………………………………1  6  15  20  15  6  1 …………………………………… 上面的多项式展开系数表称为“杨辉三角形”；仔细观察“杨辉三角形”，用你发现的规律回答下列问题： (1)多项式的第三项的系数______； (2)请你预测一下多项式展开式的各项系数之和______； (3)拓展：①写出展开式中含项的系数为______； ②展开式按的升幂排列为：，若，求的值． 变式3．[观察下列等式] ，，， 将以上三个等式两边分别相加得： [尝试计算]： （1） ； （2） ； [运用说明]： （3）设…试判断S值是大于1，还是小于1．请说明理由． 【考法二、图形类规律探索】 例．图①是由若干个小圆圈堆成的一个形如正三角形的图案，最上面一层有一个圆圈，以下各层均比上一层多一个圆圈，一共堆了n层，将图①倒置后与原图拼成图②所示的形状，这样我们可以算出图①中所有圆圈的个数为，如果图①-④中各有11层. (1)图①中共有___________个圆圈： (2)我们自上而下，在圆圈中按图③的方式填上一串连续的正整数1，2，3，4，…，则最底层最左边圆图的数是___________. (3)我们自上而下，在圆圈中按图④的方式填上一串连续的整数求图④所有圆圈中各数的绝对值之和. 变式1．（1）观察下面的点阵图与等式的关系，并填空： 第1个点阵：    第2个点阵：   ______＋______ 第3个点阵：   ______＋______ （2）观察猜想，写出第个点阵相对应的等式． （3）根据以上猜想，求出的值． 变式2．【观察思考】如图，是某同学在棋盘上用围棋摆成的图案． 【规律发现】 （1）第⑤个图案中“●”的个数为______，“○”的个数为______； （2）第n个图案中“●”的个数为______，“○”的个数为______； 【规律应用】 （3）该同学准备用100枚“●”棋子和100枚“○”棋子摆放第n个图案，摆放成完整的图案后，写出n的最大值为______；此时还剩下______枚棋子． 【课后练习】 1．有一列数，其中，则（    ） A． B． C． D．1 2．有一列数，将这列数中的每个数求其相反数得到，再分别求与1的和的倒数，得到，设为，称这为一次操作，第二次操作是将再进行上述操作，得到；第三次将重复上述操作，得到……以此类推，得出下列说法中，正确的有（    ）个 ①，，，；②； ③；④． A．0 B．1 C．2 D．3 3．如图所示，将形状、大小完全相同的“●”和线段按照一定规律摆成下列图形，第1幅图形中“●”的个数为，第2幅图形中“●”的个数为，第3幅图形中“●”的个数为，…，以此类推，则的值为（    ） A． B． C． D． 4．如图图形都是由●按照一定规律组成的，其中第①个图共有四个●，第②个图中共有8个●，第③个图中共有13个●，第④个图中共有19个●，…，照此规律排列下去，则第13个图形中●的个数为（    ）． A．92 B．96 C．103 D．118 5．a是不为2的有理数，我们把称为a的“哈利数”．如：3的哈利数”是，的“哈利数”是，已知，是的“哈利数”，是的“哈利数”，是的“哈利数”，…，依此类推，则 ． 6．把所有正奇数从小到大排列，并按如下规律分组： 第组：，； 第组：，，，； 第组：，，，，，； 第组：，，，，，，，； 现用表示第组从左往右数第个数，则表示的数是 ． 7．如图是一组有规律的图案，它由若干个大小相同的点和三角形组成．第1个图案中有3个点和1个三角形，第2个图案中有6个点和3个三角形，第3个图案中有9个点和6个三角形，依此规律，第10个图案中，三角形的个数与点个数的和为 ． 8．如图，是一回形图，其回形通道的宽和的长均为1，回形线与射线交于，，，…．若从点到点的回形线为第1圈（长为7），从点到点的回形线为第2圈，…，依此类推．则第11圈的长为 9．观察下列各式：；；；；； (1)探索式子的规律，试写出第个等式； (2)运用上面的规律，计算； (3)计算：． 10．如图，将一张边长为1的正方形纸片分割成7个部分，部分②是部分①面积的一半，部分③是部分②面积的一半，依此类推． (1)阴影部分的面积是______； (2)以下是甲，乙两位同学求的方法； 甲同学的方法：利用已给正方形图形求，； 乙同学的方法：① ② ②－①即可． 根据两位同学的方法，你认为______； (3)______； (4)计算：； (5)请借助甲，乙同学的方法，分别求出的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 代数式规律性探索的两种考法全梳理 （高频与压轴题型） 目录 【考法一、数字类规律探索】 1 【考法二、图形类规律探索】 8 【课后练习】 12 【考法一、数字类规律探索】 例1．阅读下列材料： ， ， ， 读完以上材料，请你完成下列问题： (1)根据以上材料，第四个等式是：_______， 第个等式是：_______； (2)计算：；（用含的式子表示） (3)计算：． 【答案】(1)； (2) (3)29070 【分析】（1）根据题中规律即可写出； （2）根据（1）中得到规律进行计算即可； （3）根据（1）中规律进行拓展并计算即可 【详解】（1）， ； （2）解：原式 （3）解：原式 ， 【点睛】本题主要考查有理数乘法运算律的应用、数字类规律的应用，正确理解题中规律是解题的关键． 例2．【等比数列】按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列的一般形式可以写成：．一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比值等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用表示．如：数列为等比数列，其中，公比为． 根据以上材料，解答下列问题： （1）等比数列的公比为 　　，第项是 　　． 【公式推导】如果一个数列，是等比数列，且公比为，那么根据定义可得到：．所以，，， （2）由此，请你填空完成等比数列的通项公式：　　． 【拓广探究】等比数列求和公式并不复杂，但是其推导过程——错位相减法，构思精巧、形式奇特．下面是小明为了计算的值，采用的方法： 设①，则②， 得，． 【解决问题】（3）请仿照小明的方法求的值． 【答案】（1）3；243；（2）；（3） 【分析】本题考查了新定义运算，有理数的乘方运算，理解题意是解题的关键． （1）根据题目中给出的等比数列的定义即可求解； （2）根据公式推导过程即可求解； （3）根据例题的方法求得，然后错位相减法，即可求解． 【详解】解：（1）等比数列的公比为， 第四项为，第五项为， 故答案为：3，243； （2），，， ， 故答案为：； （3）设①， 则②， 得， ． 变式1．观察下列等式． ，，， 将以上三个等式两边分别相加得： ． (1)猜想并写出：______． (2)直接写出下列各式的计算结果： ①______； ②______． (3)探究并计算： ①． ②． 【答案】(1) (2)①，② (3)①② 【分析】此题考查了数字类规律探索以及有理数的混合运算，利用规律计算即可解决问题；解题的关键是学会探究规律，利用规律解决问题． 【详解】（1）解：， 故答案为． （2）①， ② 故答案为，． （3）① ② 变式2．认真阅读材料，然后回答问题： 我们初中学习了多项式的运算法则，相应的，我们可以计算出多项式的展开式，如： ．．．……； 下面我们依次对展开式的各项系数进一步研究发现，当取正整数时可以单独列成表中的形式： …………………………………………………1  1 ………………………………………………1  2  1 ……………………………………………1  3   3  1 …………………………………………1  4   6  4  1 ………………………………………1  5  10  10  5  1 ……………………………………1  6  15  20  15  6  1 …………………………………… 上面的多项式展开系数表称为“杨辉三角形”；仔细观察“杨辉三角形”，用你发现的规律回答下列问题： (1)多项式的第三项的系数______； (2)请你预测一下多项式展开式的各项系数之和______； (3)拓展：①写出展开式中含项的系数为______； ②展开式按的升幂排列为：，若，求的值． 【答案】(1) (2) (3)①；② 【分析】（1）由题意可求得当时，多项式的第三项的系数是多少，找到规律，即可得出答案； （2）求得当时，多项式展开式的各项系数之和，找到规律，即可求得答案； （3）①首先确定是展开式中第几项，再根据杨辉三角即可解决问题；②将代入求解即可． 【详解】（1）解：当时，多项式的展开式是一次二项式，此时第三项的系数为：； 当时，多项式的展开式是二次三项式，此时第三项的系数为：； 当时，多项式的展开式是三次四项式，此时第三项的系数为：； 当时，多项式的展开式是四次五项式，此时第三项的系数为：； …… 多项式的展开式是一个次项式，第三项的系数为：； 故答案为：； （2）解：当时，多项式的展开式的各项系数之和为：； 当时，多项式的展开式的各项系数之和为：； 当时，多项式的展开式的各项系数之和为：； 当时，多项式的展开式的各项系数之和为：； …… 多项式展开式的各项系数之和为， 故答案为：； （3）解：①， 展开式中含项是其展开式的第二项， ， 故答案为：； ②，当时，令， 则， ． 【点睛】本题考查了杨辉三角，数字的规律，解题的关键是根据图形中数字找出相应的规律，再表示展开式． 变式3．[观察下列等式] ，，， 将以上三个等式两边分别相加得： [尝试计算]： （1） ； （2） ； [运用说明]： （3）设…试判断S值是大于1，还是小于1．请说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）． 【分析】本题考查数字的变化规律． （1）通过观察可得原式，再运算即可； （2）通过观察可得原式，再运算即可； （3）由，，，推出，，，据此求解即可． 【详解】解：（1） ； 故答案为：； （2） ； （3），理由如下， ∵，，，，， 又∵，，，，， ∴，，，，， ∴， 即， ∴． 【考法二、图形类规律探索】 例．图①是由若干个小圆圈堆成的一个形如正三角形的图案，最上面一层有一个圆圈，以下各层均比上一层多一个圆圈，一共堆了n层，将图①倒置后与原图拼成图②所示的形状，这样我们可以算出图①中所有圆圈的个数为，如果图①-④中各有11层. (1)图①中共有___________个圆圈： (2)我们自上而下，在圆圈中按图③的方式填上一串连续的正整数1，2，3，4，…，则最底层最左边圆图的数是___________. (3)我们自上而下，在圆圈中按图④的方式填上一串连续的整数求图④所有圆圈中各数的绝对值之和. 【答案】(1)66 (2)56 (3)1179 【分析】（1）计算第11层小圆圈的个数，就是计算1加到11的数的和； （2）首先计算10层圆圈的个数，可得第11层第1个数； （3）首先计算圆圈的个数，把所有数的绝对值相加即可． 【详解】（1）解：当小圆圈有11层时，共有：1+2+3+…+11==66个圆圈； 故答案为：66； （2）当有10层时，共有：1+2+3+…+10==55个圆圈 则第11层最左边圆图的数是56，故答案为：56； （3）当小圆圈有11层时，共有66个圆圈，故圆圈里的数为，其中23个负数，1个0，42个正数，∴图④所有圆圈中各数的绝对值之和： = ==1179 【点睛】此题主要考查了图形的变化类，解题的关键是通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题． 变式1．（1）观察下面的点阵图与等式的关系，并填空： 第1个点阵：    第2个点阵：   ______＋______ 第3个点阵：   ______＋______ （2）观察猜想，写出第个点阵相对应的等式． （3）根据以上猜想，求出的值． 【答案】（1），，，；（2）；（3）20201 【分析】（1）根据点阵图即可求解； （2）根据（1）中的3个等式得出规律，进而写出第个点阵相对应的等式； （3）根据（2）中得出的规律，进行计算即可． 【详解】解：（1）由图可得：，， 故答案为：，，，； （2）第1个点阵：    第2个点阵：    第3个点阵： 第个点阵相对应的等式为： ； （3）由（2）可得： ， ， ， ． 【点睛】本题考查了规律型：图形的变化类，通过观察、分析、归纳，得出规律第个点阵相对应的等式为：，是解题的关键． 变式2．【观察思考】如图，是某同学在棋盘上用围棋摆成的图案． 【规律发现】 （1）第⑤个图案中“●”的个数为______，“○”的个数为______； （2）第n个图案中“●”的个数为______，“○”的个数为______； 【规律应用】 （3）该同学准备用100枚“●”棋子和100枚“○”棋子摆放第n个图案，摆放成完整的图案后，写出n的最大值为______；此时还剩下______枚棋子． 【答案】（1）15，20；（2），；（3）13，57 【分析】本题主要考查图形变化类的规律问题，解题关键在于求出黑白棋子各自的变化规律． （1）依次列出前5个图中黑子和白子的个数即可求解； （2）根据规律发现第n个图案中白子为4n个，黑子为个，然后倒序相加，即可求解； （3），解得（舍负），∴n最大为13，即可求解． 【详解】（1）解：第1图中黑子为1个， 第2个图中黑子为个， 第3个图中黑子为个， 第4个图中黑子为个， 第5个图中黑子为个； 第1图中白子为个， 第2个图中白子为个， 第3个图中白子为个， 第4个图中白子为个， 第5个图中白子为个； 故答案为：15，20． （2）解：由（1）第n个图中黑子为个， 令为①式；为②式，则①+②得：，由n个， ∴，∴第n个图案中“●”的个数为； 由（1）得第n个图案“○”的个数为， 故答案为：，． （3）解：若，解得（舍负），∴n最大为13， 那么使用白子为个，黑子为个，剩余个， 故答案为：13，57． 【课后练习】 1．有一列数，其中，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】本题考查了数字规律的探索，含乘方的有理数计算，根据已知分别求出的值，可以发现结果为，，，，，，每三个一循环，根据即可得出结果． 【详解】解：，，，， 这列数是，，，，，，且这列数是每三个一循环的， ，， ， 故选：A． 2．有一列数，将这列数中的每个数求其相反数得到，再分别求与1的和的倒数，得到，设为，称这为一次操作，第二次操作是将再进行上述操作，得到；第三次将重复上述操作，得到……以此类推，得出下列说法中，正确的有（    ）个 ①，，，；②； ③；④． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题主要考查数字的变化规律，根据所给的操作方式，求出前面的数，再分析存在的规律，从而可求解．解答的关键是求出前面的几个数，发现其存在的规律． 【详解】解：由题意得：，，，， ，，，，故①正确； ，，，，故②正确； ∵， ∴是由经过503次操作所得， ∵，，，， ∴、、、……，三个为一组成一个循环， ∵， ∴，故③错误； 依次计算：，，，，…， 则每3次操作，相应的数会重复出现， ， ， ．故④错误； 综上分析可知，正确的有2个， 故选：C． 3．如图所示，将形状、大小完全相同的“●”和线段按照一定规律摆成下列图形，第1幅图形中“●”的个数为，第2幅图形中“●”的个数为，第3幅图形中“●”的个数为，…，以此类推，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先根据图形中“●”的个数得出数字变化规律，进而求出即可． 【详解】解：，，，，，； ， 故选：D． 【点睛】此题考查图形的变化规律，找出图形之间的联系，找出规律解决问题． 4．如图图形都是由●按照一定规律组成的，其中第①个图共有四个●，第②个图中共有8个●，第③个图中共有13个●，第④个图中共有19个●，…，照此规律排列下去，则第13个图形中●的个数为（    ）． A．92 B．96 C．103 D．118 【答案】D 【分析】根据已知图形得出图n中点的个数为（n+1）2-（1+2+3+…+n-1），据此可得． 【详解】因为图①中点的个数为4=22-0， 图②中点的个数为8=32-1， 图③中点的个数为13=42-（1+2）， 图④中点的个数为19=52-（1+2+3）， …… 所以图10中点的个数为112-（1+2+3+…+9）=121-45=76， 故选：D． 【点睛】本题主要考查数字的变化规律，解题的关键是根据已知图形得出第n个图形中点的个数为（n+1）2-（1+2+3+…+n-1）． 5．a是不为2的有理数，我们把称为a的“哈利数”．如：3的哈利数”是，的“哈利数”是，已知，是的“哈利数”，是的“哈利数”，是的“哈利数”，…，依此类推，则 ． 【答案】/ 【分析】此题主要考查规律型：数字的变化类，能根据题中提供材料寻找规律方法，熟练的进行计算是解题的关键． 分别求出数列的前5个数得出该数列每4个数为一周期循环，据此可得． 【详解】解：∵， ， ， ， ， ∴该数列每4个数为1周期循环， ， ， 故答案为：． 6．把所有正奇数从小到大排列，并按如下规律分组： 第组：，； 第组：，，，； 第组：，，，，，； 第组：，，，，，，，； 现用表示第组从左往右数第个数，则表示的数是 ． 【答案】 【分析】本题考查数字类规律的探究，根据已知条件数字的排列找到规律，用含的代数式表示出第组最后一个数，判断出第组最后一个奇数，进而可得答案，找到数字类规律是解题的关键． 【详解】依题意得：第组中奇数的个数有个， ∴第组最后一个奇数为：， ∴当时，第组最后一个奇数为：， 当时，第组从左往右奇数依次是为：，，，，，， 则表示的数是， 故答案为：． 7．如图是一组有规律的图案，它由若干个大小相同的点和三角形组成．第1个图案中有3个点和1个三角形，第2个图案中有6个点和3个三角形，第3个图案中有9个点和6个三角形，依此规律，第10个图案中，三角形的个数与点个数的和为 ． 【答案】85 【分析】本题考查了图形变化的规律，能根据图形得出第n个图案点和三角形的个数规律是解题关键．根据图案得到第n个图案点的个数为个；三角形有个，再求出第10个图案点的个数为个；三角形有个，问题得解． 【详解】解：由所给图案可得 第1个图案点的个数为个；三角形有1个； 第2个图案点的个数为个；三角形有个； 第3个图案点的个数为个；三角形有个； …… 所以第n个图案点的个数为个；三角形有个； 所以第10个图案点的个数为个；三角形有个， 所以第10个图案中，三角形的个数与点个数的和为个． 故答案为：85 8．如图，是一回形图，其回形通道的宽和的长均为1，回形线与射线交于，，，…．若从点到点的回形线为第1圈（长为7），从点到点的回形线为第2圈，…，依此类推．则第11圈的长为 【答案】87 【分析】本题考查了图形变化的规律．根据题意结合图形，可从简到繁，先从第1圈开始，逐圈分析，推出通用公式，再代入计算． 【详解】观察图形发现： 第一圈的长是； 第二圈的长是； 第三圈的长是； …… 则第n圈的长是． 当时，原式． 故答案为87． 9．观察下列各式：；；；；； (1)探索式子的规律，试写出第个等式； (2)运用上面的规律，计算； (3)计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（）根据式子的规律，可得； （）利用（）的结论递推，得出答案即可； （）把式子乘递推得出答案即可； 本题考查了数字类变化规律，得出数字次数的变化规律是解题的关键． 【详解】（1）解：∵；；；；， ∴第个等式为； （2）解： ， ， ； （3）解： ， ， ． 10．如图，将一张边长为1的正方形纸片分割成7个部分，部分②是部分①面积的一半，部分③是部分②面积的一半，依此类推． (1)阴影部分的面积是______； (2)以下是甲，乙两位同学求的方法； 甲同学的方法：利用已给正方形图形求，； 乙同学的方法：① ② ②－①即可． 根据两位同学的方法，你认为______； (3)______； (4)计算：； (5)请借助甲，乙同学的方法，分别求出的值． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】本题考查了图形规律的探究，有理数的运算．熟练掌握图形规律的探究，有理数的运算是解题的关键． （1）根据，计算求解即可； （2）甲同学： ；乙同学：得，，计算求解即可； （3）设，则，，计算求解即可； （4）同理（3）计算求解即可； （5）甲同学：如图，将边长为1的正方形四等分，每分割一次面积为原来的，依此类推，则图中阴影部分的面积为，可得一般性规律为，整理得，然后求解即可；乙同学：令，则，，计算求解即可． 【详解】（1）解：由题意知，， 故答案为：； （2）解：甲同学： ； 乙同学：①，② 得，，故答案为：； （3）解：设，则， ∴， 故答案为：； （4）解：令，则， ∴， ∴； （5）解：甲同学：如图，将边长为1的正方形四等分，每分割一次面积为原来的，依此类推， 则图中阴影部分的面积为， ∴可得一般性规律为：，整理得， ∴； 乙同学：令，则， ∴， 解得，， ∴的值为． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$