专题02 绝对值四种考法全梳理（高频与压轴题型）-2024-2025学年七年级数学上学期高频与压轴题型专项攻略（人教版）

专题02 绝对值四种考法全梳理（高频与压轴题型） 目录 【知识点归纳】 1 【考法一、分类谈论化简绝对值】 1 【考法二、绝对值几何意义】 2 【考法三、双绝对值化简】 4 【考法四、利用非负性化简绝对值】 4 【课后练习】 5 【知识点归纳】 1. 含有字母的绝对值的化简求值 性质：，即 注：无论a为何值，去绝对值，一定要保证得到的结果为非负数。 2. 借助数轴解绝对值问题 性质：几何意义：表示x到点a的距离 解题技巧：（1）找零点（分界点）；（2）根据零点将数轴分段；（3）利用“数形结合”思想，求解绝对值的值（几何法）；或者根据分段情况，分析绝对值内式子的正负，去绝对值（代数法）。 注：（1）一个式子中有多个绝对值式子时， x前的系数必须相同才可以用该“数形结合”的方法；（2）分段的时候，切不可遗漏数轴上的点，也不可重复讨论。 【考法一、分类谈论化简绝对值】 例．若， ；若， ； ①若，则 ； ②若，则 ． 变式1．如果，且，那么 ． 变式2．如果，那么的值是 ． 【考法二、绝对值几何意义】 例．材料一：我们知道的几何意义是：数轴上表示数a的点到原点的距离；的几何意义是：数轴上表示数a，b的两点之间的距离；的几何意义是：数轴上表示数a，的两点之间的距离；根据绝对值的几何意义，我们可以求出以下方程的解． （1），解：由绝对值的几何意义知：在数轴上x表示的点到3的距离等于4， ∴，； （2），解：∵， ∴其绝对值的几何意义为：在数轴上x表示的点到的距离等于5． ∴，． 材料二：如何求的最小值． 由的几何意义是数轴上表示数x的点到表示数1和两点的距离的和，要使和最小，则表示数x的这点必在和1之间（包括这两个端点）取值． ∴的最小值是3；由此可求解方程，把数轴上表示x的点记为点P，由绝对值的几何意义知：当时，恒有最小值3，所以要使成立，则点P必在的左边或1的右边，且到表示数或1的点的距离均为0.5个单位． 故方程的解为：，． 阅读以上材料，解决以下问题： （1）填空：的最小值为_______； （2）已知有理数x满足：，有理数y使得的值最小，求的值． （3）试找到符合条件的x，使的值最小，并求出此时的最小值及x的取值范围． 变式1.（1）阅读材料：从代数角度上看，数轴上两点间的距离等于这两点所对应的数的差的绝对值；从几何角度上看，数轴上两点间的距离等于以这两点为端点组成的线段的长度．例如：点A、B在数轴上分别对应的数为a、b，则A、B两点间的距离可表示为．（完成下面填空） Ⅰ．数轴上有三点A、B、P，分别对应的数为、2、x， 如图①，当时，； 如图②，当 时， _____ ； 如图③，当时，_______； Ⅱ．由Ⅰ可得：∵，， ∴，， ∴在时有最小值为_______． （2）直接应用：求的最小值． （3）应用拓展：若，当时，直接写出S的取值范围_______． 变式2．【数学问题】数轴上分别表示数a和数b的两个点A、B之间的距离该如何表示？ 【问题探究】 （1）观察分析（特殊）： ①当，时，A，B之间的距离； ②当，时，A，B之间的距离______； ③当，时，A，B之间的距离______． （2）一般结论： 数轴上分别表示有理数a，b的两点A，B之间的距离表示为______； 【问题解决】 （3）应用：数轴上，表示x和3的两点A和B之间的距离是5，试求x的值； 【问题拓展】 （4）拓展：①若，则______． ②若，则______． ③若x，y满足，则代数式的最大值是______，最小值是______． 【考法三、双绝对值化简】 例．若关于的方程恰有两个不同的解，则的取值范围为 变式1．如果，则的值是 . 变式2．数轴上点A表示数a，点B表示数b，点C表示数c，若规定， (1)当时，则___ ， ___ ． (2)当时，则___ ． (3)当，且，求c的值． 【考法四、利用非负性化简绝对值】 例．设a，b，c为整数，且，则 变式1．已知a，b，c均为整数，且，那么的值 ． 变式2．已知a，b，c都为整数，且，则方程的解为 ． 【课后练习】 1．已知：，且．则m共有x个不同的值，若在这些不同的m值中，最大的值为y，则 ． 2．已知在数轴上与实数对应的点如图所示，则的值为 ． 3．适合的正整数a的值有 个 4．、、、为互不相等的有理数，且，，则 ． 5．在，，，，，，，中，每个字母的值恰好是，0，1这三个数值中的一个，若，则 ． 6．已知，则的最大值是 ，最小值是 ． 7．已知整数满足，则的值为 ． 8．我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．在数轴上点分别表示数．两点间的距离可以用符号表示，利用有理数减法和绝对值可以计算两点之间的距离． 例如：当，时，； 当，时，； 当，时，． 综合上述过程，发现点之间的距离（也可以表示为）． 请你根据上述材料，探究回答下列问题： (1)表示数和的两点间距离是6，则_________； (2)如果数轴上表示数的点位于和3之间，则_________； (3)代数式的最小值是多少？ (4)如图，若点在数轴上表示的有理数分别为，则式子的最小值为_________（用含有的式子表示结果）．    原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 绝对值四种考法全梳理（高频与压轴题型） 目录 【知识点归纳】 1 【考法一、分类谈论化简绝对值】 1 【考法二、绝对值几何意义】 4 【考法三、双绝对值化简】 8 【考法四、利用非负性化简绝对值】 10 【课后练习】 12 【知识点归纳】 1. 含有字母的绝对值的化简求值 性质：，即 注：无论a为何值，去绝对值，一定要保证得到的结果为非负数。 2. 借助数轴解绝对值问题 性质：几何意义：表示x到点a的距离 解题技巧：（1）找零点（分界点）；（2）根据零点将数轴分段；（3）利用“数形结合”思想，求解绝对值的值（几何法）；或者根据分段情况，分析绝对值内式子的正负，去绝对值（代数法）。 注：（1）一个式子中有多个绝对值式子时， x前的系数必须相同才可以用该“数形结合”的方法；（2）分段的时候，切不可遗漏数轴上的点，也不可重复讨论。 【考法一、分类谈论化简绝对值】 例．若， ；若， ； ①若，则 ； ②若，则 ． 【答案】 1 1 1 【分析】此题考查了分类讨论解决含字母参数绝对值的问题，关键是能确定含字母参数绝对值是它本身还是它的相反数． 根据实数绝对值的性质，根据的符号确定它的绝对值是它本身还是相反数即可． 【详解】解：， ， ； ， ， ， 故答案为：1，； ①， ， ， ， 故答案为：1； ②， 、、中有一个负数、两个正数和三个负数两种情况， 当、、中有一个负数、两个正数时， ， 当、、中有三个负数时， ， 故答案为：1或． 变式1．如果，且，那么 ． 【答案】或 【分析】由题意可求出，故可分类讨论：①当时，则，从而可化简绝对值求解；②当时，则，同理求解即可． 【详解】解：，且， ． 对的值分类讨论如下： ①当时，，， ； ②当时，，， ． 故答案为：或． 【点睛】本题考查化简绝对值．利用分类讨论的思想是解题关键． 变式2．如果，那么的值是 ． 【答案】0或2 【分析】当时，，当时，，结合可知，a，b，c中至少有2个负数，再分情况讨论即可求解． 【详解】当时，，当时， 同理可得， ∵，∴a，b，c中至少有2个负数 ①若a，b，c中有2个负数，1个正数 则，三个数中有2个负数，1个正数 此时 ②若a，b，c中有3个负数， 则，三个数都大于0 此时 综上，的值为0或2 故答案为：0或2． 【点睛】本题考查绝对值的化简，解题的关键是掌握当时，，当时，． 【考法二、绝对值几何意义】 例．材料一：我们知道的几何意义是：数轴上表示数a的点到原点的距离；的几何意义是：数轴上表示数a，b的两点之间的距离；的几何意义是：数轴上表示数a，的两点之间的距离；根据绝对值的几何意义，我们可以求出以下方程的解． （1） 解：由绝对值的几何意义知：在数轴上x表示的点到3的距离等于4， ∴，； （2） 解：∵， ∴其绝对值的几何意义为：在数轴上x表示的点到的距离等于5． ∴，． 材料二：如何求的最小值． 由的几何意义是数轴上表示数x的点到表示数1和两点的距离的和，要使和最小，则表示数x的这点必在和1之间（包括这两个端点）取值． ∴的最小值是3；由此可求解方程，把数轴上表示x的点记为点P，由绝对值的几何意义知：当时，恒有最小值3，所以要使成立，则点P必在的左边或1的右边，且到表示数或1的点的距离均为0.5个单位． 故方程的解为：，． 阅读以上材料，解决以下问题： （1）填空：的最小值为_______； （2）已知有理数x满足：，有理数y使得的值最小，求的值． （3）试找到符合条件的x，使的值最小，并求出此时的最小值及x的取值范围． 【答案】（1）5 （2）或9 （3）当n是奇数，时，的最小值为；当n是偶数， 时，最的小值为 【分析】（1）由阅读材料直接可得； （2）由已知可得：或， 有最小值7，求得，代入计算即可求解； （3）当n是奇数时，中间的点为，所以当时，；当n是偶数时，中间的两个点相同为， 所以当时，． 【详解】解：（1）由阅读材料二可得：的几何意义是数轴上表示数x的点到表示数3和两点的距离的和，要使和最小，则表示数x的这点必在和3之间（包括这两个端点）取值，即． ∴的最小值为5； （2）∵的几何意义是数轴上表示数x的点到表示数10和两点的距离的和，要使和最小，则表示数x的这点必在和10之间（包括这两个端点）取值，即． ∴的最小值为13， 又∵，∴或， ∵表示数轴上表示y到，3，6之间的距离和最小， ∴当时，有最小值7，∴或； （3）的值最小，表示数轴上点x到1，2，3，…，n之间的距离和最小， 当n是奇数时，中间的点为，所以当时， ； ∴当n是奇数，时，的最小值为． 当n是偶数时，中间的两个点相同为， 所以当时，． ∴当n是偶数， 时，最的小值为． 【点睛】本题考查数轴的性质；理解阅读材料的内容，掌握绝对值的几何意义，利用数轴上点的特点解题是关键． 变式1.（1）阅读材料：从代数角度上看，数轴上两点间的距离等于这两点所对应的数的差的绝对值；从几何角度上看，数轴上两点间的距离等于以这两点为端点组成的线段的长度．例如：点A、B在数轴上分别对应的数为a、b，则A、B两点间的距离可表示为．（完成下面填空） Ⅰ．数轴上有三点A、B、P，分别对应的数为、2、x， 如图①，当时，； 如图②，当 时， _____ ； 如图③，当时，_______； Ⅱ．由Ⅰ可得：∵，， ∴，， ∴在时有最小值为_______． （2）直接应用：求的最小值． （3）应用拓展：若，当时，直接写出S的取值范围_______． 【答案】（1）I、，；II 、5；（2）9；（3）． 【分析】（1）I根据绝对值的意义即可得到答案；II根据I比较三种情况即可得到答案； （2）根据（1）可得到当x在两点之间时最短即可得到答案； （3）根据，当时，进而得出，再求出其取值范围即可． 【详解】（1）I．解：由题意可得， 当 时， ， 当时， 故答案为，； II．由题意可得， 在时有最小值为5， 故答案为5； （2）解：由（1）可得， 当x在 ，4两点之间时最短， 即当时，的最小值， 最小值为， 故的最小值为9； （3）由（1）可得，表示到1，6， 三点的距离之和，当时，， ∴可得到当时最小值，最小值为， 当时，最大值为 故答案为：． 【点睛】本题考查绝对值的意义，解题的关键是根据题意找到最小距离的点在最小与最大两点之间． 变式2．【数学问题】数轴上分别表示数a和数b的两个点A、B之间的距离该如何表示？ 【问题探究】 （1）观察分析（特殊）： ①当，时，A，B之间的距离； ②当，时，A，B之间的距离______； ③当，时，A，B之间的距离______． （2）一般结论： 数轴上分别表示有理数a，b的两点A，B之间的距离表示为______； 【问题解决】 （3）应用：数轴上，表示x和3的两点A和B之间的距离是5，试求x的值； 【问题拓展】 （4）拓展： ①若，则______． ②若，则______． ③若x，y满足，则代数式的最大值是______，最小值是______． 【答案】（1）7，3；（2）；（3）或；（4）①4②0或8③7，0 【分析】本题考查数轴上两点之间的距离； （1）利用数轴直接得到A，B之间的距离即可； （2）归纳总结得到：数轴上分别表示有理数，的两点A，B之间的距离表示为； （3）解绝对值方程即可； （4）①解绝对值方程即可；②分三种情况分类讨论解方程；先求出，的取值范围，然后计算解题． 【详解】（1）②； ③； 故答案为：7，3． （2）一般结论： 数轴上分别表示有理数，的两点A，B之间的距离表示为， 故答案为：． （3）∵ ，∴，解得： 或；               （4）①，即，解得：；故答案为：4． ②若， 当时，，解得； 当时，，方程无解； 当时，，解得； 故答案为：8或0． ③由题可知，， 又∵， ∴，， 即，， ∴代数式的最大值是，最小值是， 故答案为：7，0． 【考法三、双绝对值化简】 例．若关于的方程恰有两个不同的解，则的取值范围为 【答案】 【分析】本题考查了绝对值的性质等知识，根据绝对值的性质得，再根据绝对值性质可得或，根据绝对值性质和不等式性质即可求解. 【详解】解：， ， 或， 当时，方程无解或只有一个解， ， ，即或，即， 但当时，或都成立，此时有个不同的解， 只有时，成立，方程恰有两个不同的解. 变式1．如果，则的值是 . 【答案】3. 【分析】由，得，然后对a，b的大小进行分类解得即可. 【详解】解：由，得.若，则，原式，若，则，原式，综上得其值为3. 【点睛】本题考查了含绝对值的代数式求值，关键在于讨论绝对值内部的大小，进而取绝对值求解. 变式2．数轴上点A表示数a，点B表示数b，点C表示数c，若规定， (1)当时，则___ ， ___ ． (2)当时，则___ ． (3)当，且，求c的值． 【答案】(1)3，7；(2)2或；(3)c的值为或或或 【分析】本题考查了用数轴上的点表示有理数，化简绝对值，绝对值方程．熟练掌握化简绝对值，并分类讨论是解题的关键． （1）将值代入，计算求解即可； （2）由题意知，分当时，当时，当时，三种情况化简绝对值，计算求解即可； （3）由题意知，当时，，，然后分当时；当时；当时；三种情况化简绝对值，计算求解即可． 【详解】（1）解：由题意知，， ， 故答案为：3，7； （2）由题意知，当时，，不符合题意，舍去； 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，， ∴， 当时，解得，； 当时，解得，； 故答案为：2或； （3）解：当时，，， 当时，，则， 解得，； 当时，，则， 解得，； 当时，，， ∴， 当时，解得，； 当时，解得，； 综上所述，c的值为或或或 ． 【考法四、利用非负性化简绝对值】 例．设a，b，c为整数，且，则 【答案】2 【分析】根据题意可得得到a，b，c之间的关系，从而可得得到所求式子的值． 【详解】解：∵a，b，c为整数，且， ∴或， 当时，， ∴； 当时，，∴， 故答案为：2． 【点睛】此题考查了绝对值的性质，化简绝对值，解题的关键是明确题意，利用分类讨论的数学思想解答． 变式1．已知a，b，c均为整数，且，那么的值 ． 【答案】1或2或3或4 【分析】此题主要考查了绝对值的意义，分类讨论是解答此题的关键．首先根据，，均为整数得，均为非负整数，再根据即可得出①，，②，，③，，据此根据每一种情况求出的值即可． 【详解】解：，，均为整数， ，均为非负整数， 又， ，，或，，或，， ①当，时，，， ； ②当，时，，， ； ③当，时，此时或2， 或． 综上所述，的值是1或2或3或4． 故此题答案为：1或2或3或4． 变式2．已知a，b，c都为整数，且，则方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值的性质，代数式求值，绝对值方程，根据题意得到 ， 或，，分了讨论的值，再代入中求解绝对值方程即可． 【详解】解：由题意， ， 或，， 当 ，时，则， ，即 ， 当，时，则， ，即， ， ，解得． 【课后练习】 1．已知：，且．则m共有x个不同的值，若在这些不同的m值中，最大的值为y，则 ． 【答案】3 【分析】本题考查了绝对值，根据绝对值的意义分情况说明即可求解． 【详解】解：， ， a，b，c三个数中有两负一正，当a，b为负，c为正数时， ； 当a，c为负，b为正数时， ； 当b，c为负，a为正数时， ； ， m共有3个不同的值，在这些不同的m值中，最⼤的值为0， ， ， 故答案为：3． 2．已知在数轴上与实数对应的点如图所示，则的值为 ． 【答案】2 【分析】本题考查数轴和有理数的混合运算，熟练掌握绝对值的性质是解题的关键，先根据数轴，求出的取值范围，依此确定的取值范围，再去绝对值符号计算即可． 【详解】解：根据数轴得： ∴，，，， ∴， 故答案为：2． 3．适合的正整数a的值有 个 【答案】8 【分析】本题主要考查了绝对值的意义，分当时，当时，当时，三种情况去绝对值得到的取值范围，从而得到只有当时成立，据此求出满足题意的正整数a的值即可得到答案． 【详解】解：当时，， 当时，， 当时，， ∴只有当时成立， ∴正整数a的值有，共8个，故答案为：8． 4．、、、为互不相等的有理数，且，，则 ． 【答案】或 【分析】分类讨论，当和时，然后利用得出的值． 【详解】当时， ∵，即， ∴与必互为相反数（否则，不合题意）， ∴， ∴，， ∵，即， ∴或， ∴(不合题意，舍去)，， ∴， ∴ 当时， ∵，即， ∴与必互为相反数（否则，不合题意）， ∴， ∴，， ∵，即， ∴或， ∴，(不合题意，舍去)， ∴， ∴ 故答案为：6或2 【点睛】本题主要考查了根据已知条件确定符号及去绝对值的运算，解题的关键是分类讨论去绝对值符号． 5．在，，，，，，，中，每个字母的值恰好是，0，1这三个数值中的一个，若，则 ． 【答案】4 或 10 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，解题关键是分析判断5个字母的值的和为0时，这5个字母可能是什么数．根据已知条件中，每个字母的值恰好是，，这三个数值中的一个，，求出其中个字母的值的和为，进行推导即可． 【详解】解：中，每个字母的值恰好是，，这三个数值中的一个，，， 有个字母的值分别为，，，另个字母的值的和为， 这个字母的值分别为：，，，，或，，，，， 这个字母的值分别为，，，，，，，或，，，0，0，0，0，， ； 或； 故答案为：或4． 6．已知，则的最大值是 ，最小值是 ． 【答案】 15 【分析】表示数轴上表示x的点到表示和2的两个点的距离之和，得．同理，，，可得，，．于是． 【详解】解：表示数轴上表示x的点到表示和2的两个点的距离之和， ∴． 同理，，， 而， ∴，，． ∴． ∴． 故答案为：15， 【点睛】本题考虑数轴上两点间距离计算，理解数轴上两点间距离公式是解题的关键． 7．已知整数满足，则的值为 ． 【答案】0或 【分析】本题考查了绝对值的意义，整数的意义，分类计算即可． 【详解】∵，且整数， ∴或，或 ∴； 或； 或； 综上，的值为0或． 故答案为：0或． 8．我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．在数轴上点分别表示数．两点间的距离可以用符号表示，利用有理数减法和绝对值可以计算两点之间的距离． 例如：当，时，； 当，时，； 当，时，． 综合上述过程，发现点之间的距离（也可以表示为）． 请你根据上述材料，探究回答下列问题： (1)表示数和的两点间距离是6，则_________； (2)如果数轴上表示数的点位于和3之间，则_________； (3)代数式的最小值是多少？ (4)如图，若点在数轴上表示的有理数分别为，则式子的最小值为_________（用含有的式子表示结果）．    【答案】(1)或4 (2)7 (3)2 (4) 【分析】（1）根据题意可得，求解即可获得答案； （2）根据题意可得，从而得到，，进而得到，，即可求解； （3）分情况讨论，可得时，代数式存在最小值，化简即可求解； （4）根据题意可得，原式表示的对应点到对应的点的距离之和，从而得到当时，有最小值，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意，可得， ∴ 或， 解得：或4． 故答案为：或4； （2）∵表示数的点位于和3之间， ∴ ， ∴，， ∴，， ∴． 故答案为：7； （3）表示点到1，2，3的距离之和， 当点在1左侧时，如下图，    此时， ∴； 当点与表示1的点重合时，如下图，    此时， ∴； 当点在1，2之间时，如下图，    此时， ∴， ∵， ∴，即； 当点与表示2的点重合时，如下图，    此时， ∴； 当点在2，3之间时，如下图，    此时， ∴， ∴； 当点与表示3的点重合时，如下图，    此时， ∴； 当点在3右侧时，如下图，    此时， ∴． 综上所述，当时，该代数式有最小值， 此时； （4）， ∴原式表示的对应点到对应的点的距离之和， 如下图，    ∴当时，有最小值， ∴此时原式 ． 【点睛】本题主要考查了绝对值得几何意义、数轴上两点间的距离等知识，利用数形结合和分类讨论的思想解答是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$