1.2.3 等差数列的前n项和 （教学课件）数学湘教版2019选择性必修第一册

湘教版2019高一数学（选修一） 第一章 数列 1.2.3 等差数列的前n项和 1.2 等差数列 目录/CONTENTS 新知探究 情景导入 学习目标 课堂小结 分层练习 错因分析 学习目标 1.掌握等差数列前n项和公式及其获取思路. 2.熟练掌握等差数列的五个量a1，d，n，an，Sn的关系，能够由其中任意三个求另外两个. 3.能用an与Sn的关系求an. 4.会利用等差数列前n项和的性质简化求和运算. 5.会利用等差数列前n项和的函数特征求最值. 情景导入 高斯(1777－1855)，德国著名数学家、物理学家、天文学家，是近代数学的奠基人之一，享有“数学王子”的美誉.高斯7岁时，有一天老师在黑板上出一道题“1＋2＋3＋4＋5＋…＋100＝？”对全班同学说：“你们算一算从1开始一直加到100的和是多少？”，同学们不约而同地拿出笔在小石板上沙沙地算起来.不到一分钟，高斯站起来说：“老师，我算出结果来了，是5 050！”老师和其他同学都很吃惊.你知道高斯是怎样快速计算出来的吗？ 1.等差数列的前 n 项和 新知探究 被世人誉为"数学王子"的德国数学家高斯在幼年就显示出过人的数学天赋，他的老师布置了一道看上去很难的题，计算1+2+3+...+100=？高斯经过细致的观察，迅捷地报出了得数：5 050. 在老师与同学露出惊讶之色时，他解释了自己的思考过程： 将这 100个数分成 50 个数对，其中1＋100=101，2＋99=101，…， 50＋51=101，于是 100 个数的和就是 50 个101，即 50× 101=5 050． 高斯的算法实际上解决了求等差数列1，2，3，…,n, …前100项之和的问题. 事实上，古代的中国人和希腊人也是这么求等差数列之和的.例如：我国南宋数学家杨辉提出了这样一个问题：“今有圭垛草一堆，顶上一束，底阔八束．问共几束？答：36束．” 8层 { { 9束 他的计算方法可以用右图来表示． 设想有另外一堆同样的草，将其倒置，并和原来的草堆拼在一起，这就得到 8×9 的草堆，一共 72 束，因此原来的草堆共有 36 束． 在特殊问题中高斯运用的是“两两配对”的方法，那对于一般等差数列的求和问题，也能否这样处理呢？这个就不行了，因为n不一定是偶数，这样就不好“两两配对”了，这时我们就要改进方法了． 前人计算等差数列前n项和的方法的确巧妙，那么这种方法能推广到求一般等差数列的前n项和吗？ 设等差数列{an}的前n项和为Sn，公差为d，即 Sn=a1＋a2＋a3＋…… ＋ an 再将项的次序反过来，Sn可以写成 Sn=an＋an－1＋an－2＋…… ＋a1 两式两边分别相加，得 2Sn= (a1＋an)＋(a2＋an－1)＋(a3＋an－2)＋…… ＋(an ＋a1) = n (a1＋an) 由此得到等差数列{an}的前n项和的公式 又因为an=a1＋(n－1)d， 所以上述公式又可以写成 如果数列{an}为等差数列，那么 an＋ am = ap＋ aq （n，m，p，q∈N+） (a1＋an)=(a2＋an－1)=(a2＋an－1)=… 这个公式表明，等差数列的前n项和可由首项、公差和项数唯一确定． 等差数列的通项公式和前n项和公式中，共有“a1，d ，n，an，Sn”五个 量，故知三可求其二． 等差数列的前项和n公式： 如果等差数列{an}的首项a1，公差为d ，那么该等差数列的前n项和公式为： 概念归纳 例 7 某体育馆一角的看台上有20排，每一排比前一排多两个座位，若第一排有15个座位，则体育馆一角里共有多少个座位？ 解： 设第n排的座位有an个， 则得到的数列{an}（1≤n≤20）是首项为15，公差为2的等差数列． 根据等差数列前n项和公式， 这一角里总共的座位数为 课本例题 课本例题 例 8 已知一个等差数列的前10项和是310，前 20项和是1220，求该数列的前n项和． 解： 记该数列为{an}，公差为d， 根据等差数列前n项和公式，可得 S10=10a1＋45d =310，S20=20a1＋190d =1220， 解得a1=4，d =6， 因此该等差数列的前n项和为 解： 因为Sn=n2＋2n， 所以当n ≥2 时，有 an=Sn－Sn－1 =(n2＋2n)－[(n－1)2＋2(n－1)] =2n＋1， 又当n=1时，a1=S1=12＋2=3，符合上式， 所以数列{an}的通项公式an=2n＋1． 当n ≥2 时，有an－an－1=(2n＋1)－[2(n－1)＋1]=2， 所以数列{an}是以3为首项，以2为公差的等差数列． 设等差数列{an}的前n项和为Sn， 则 所以等差数列的前n项和公式Sn可以看成关于n的二次函数(常数项为0)． 例 9 设数列{an}的前n项和Sn=n2＋2n，求证：{an}是等差数列． 课本例题 例10 已知Sn为等差数列{an}的前n项和，且a1=25，S17=S9． （1）求数列{an}的通项公式； （2）求 Sn的最大值及对应的n值． 解： （1）记数列{an}的公差为d，由S17=S9，可得 17a1＋136d =9a1＋36d ， 又a1=25，解得d =－2， 所以an=25＋(n－1)ⅹ(－2)=27－2n． 课本例题 例10 已知Sn为等差数列{an}的前n项和，且a1=25，S17=S9． （1）求数列{an}的通项公式； an=27－2n （2）求Sn的最大值及对应的n值． 解： （2）因为 所以当n=13 时，Sn取最大值，S13=169． 解： （2）令an=27－2n>0，得n<13.5 即当n≤13时，an>0，当n≥14时，an<0， 故当n=13 时，Sn取最大值，S13=13ⅹ25＋78ⅹ(－2)=169． 课本例题 已知等差数列{an}的前n项和为Sn． （1）求证：S2，S4－S2，S6－S4成等差数列； （2）求证：S3，S6－S3，S9－S6 成等差数列； （3）试推广（1）和（2）的结果，写出你的结论并加以证明． 证明：记数列{an}的公差为d， 因为S2 = a1＋a2，S4－S2 = a3＋a4，S6－S4 = a5＋a6， 所以(S4－S2)－S2 = (a3＋a4)－(a1＋a2) = 4d， (S6－S4)－(S4－S2) = (a5＋a6)－(a3＋a4) = 4d， 即 (S6－S4)－(S4－S2) = (S4－S2)－S2， 所以S2，S4－S2，S6－S4成等差数列． 思考探究 14 已知等差数列{an}的前n项和为Sn． （1）求证：S2，S4－S2，S6－S4成等差数列； （2）求证：S3，S6－S3，S9－S6 成等差数列； （3）试推广（1）和（2）的结果，写出你的结论并加以证明． 证明：记数列{an}的公差为d， 因为S3 = a1＋a2＋a3，S6－S3 = a4＋a5＋a6，S9－S6 = a7＋a8＋a9， 所以(S6－S3)－S3 = (a4＋a5＋a6)－(a1＋a2＋a3) = 9d， (S9－S6 )－(S6－S3) = (a7＋a8＋a9)－(a4＋a5＋a6) = 9d， 即 (S9－S6 )－(S6－S3) = (S6－S3)－S3， 所以S3，S6－S3，S9－S6成等差数列． 思考探究 15 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，． （3）试推广（1）和（2）的结果，写出你的结论并加以证明． 猜想：Sm，S2m－Sm，S3m－S2m成等差数列． 证明：因为Sm = a1＋a2＋……＋am， S2m－Sm = am+1＋ am+2＋……＋a2m， S3m－S2m = a2m+1＋ a2m+2＋……＋a3m， 所以(S2m－Sm)－Sm =m2d， (S3m－S2m)－(S2m－Sm)==m2d， 即 (S3m－S2m)－(S2m－Sm) = (S2m－Sm)－Sm， 所以Sm，S2m－Sm，S3m－S2m成等差数列． 思考探究 16 1.若在等差数列{an}中，有a1＋a4＋a7=10，a3＋a6＋a9=22， 则a2＋a5＋a8= ． 解：记数列{an}的公差为d， 因为(a3＋a6＋a9)－(a1＋a4＋a7) =(a3－a1)＋ (a6－a4)＋(a9－a7) =6d =12， 所以 d =2， 所以a2＋a5＋a8=(a1＋d)＋(a4＋d)＋(a7＋d)=(a1＋a4＋a7)＋3d =16． 练一练 17 概念归纳 等差数列的前项和n公式： 如果等差数列{an}的首项a1，公差为d ，那么该等差数列的前n项和公式为： 等差数列的前n项和公式Sn可以看成关于n的二次函数(常数项为0)． 若等差数列的前n项和为Sn，则Sm，S2m－Sm，S3m－S2m成等差数列． 解析：由题意得，Sn＝＝＝－5，解得n＝15. 又a15＝＋(15－1)d＝－， ∴d＝－.∴n＝15，d＝－. 题型1　等差数列前n项和的基本计算 例1　在等差数列{an}中， (1)已知a1＝，an＝－，Sn＝－5，求n和d； 典例剖析 解析： 由已知得S8＝＝＝172，解得a8＝39， 又∵a8＝4＋(8－1)d＝39，∴d＝5. ∴a8＝39，d＝5. (2)已知a1＝4，S8＝172，求a8和d；   解析： ∵an＝11，d＝2，Sn＝35， ∴ 解得n＝5，a1＝3或n＝7，a1＝－1. (3)已知d＝2，an＝11，Sn＝35，求a1和n. 等差数列中基本计算的两个技巧 (1)利用基本量求值   (2)利用等差数列的性质解题 归纳总结 解析：因为等差数列{an}中，a11＋7＝2a12， 则a1＋10d＋7＝2(a1＋11d)， 即a1＋12d＝7，即a13＝7， 所以S25＝＝25a13＝25×7＝175. 2.(1)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a11＋7＝2a12，则S25＝(　　) A． B．145 C． D．175 练一练 C －4 解析： ∵Sm＝m×＝－15， 整理得m2－7m－60＝0， 解得m＝12或m＝－5(舍去) ∴am＝a12＝＋(12－1)×＝－4. (2)在等差数列{an}中，a1＝，d＝－，Sm＝－15，则am＝_____． 练一练 解析：由题意知，该地区9月份前10天流感病毒的新感染者人数， 构成一个首项a1＝40，公差d＝40的等差数列， 所以9月10日的新感染者人数为a10＝40＋(10－1)×40＝400(人)， 所以9月11日的新感染者人数为a11＝400－10＝390(人)； 例2　某地去年9月份曾发生流感，据统计，9月1日该地区流感病毒的新感染者有40人，此后，每天的新感染者人数比前一天新感染者人数增加40.从9月11日起，该地区医疗部门采取措施，使该种病毒的传播得到有效控制，每天的新感染者人数比前一天的新感染者人数减少10. (1)分别求出该地区在9月10日和9月11日这两天的流感病毒的新感染者人数； 题型2　等差数列前n项和公式的实际应用 典例剖析 解析： 9月份前10天流感病毒的新感染者人数和为：S10＝＝2 200(人)， 9月份后20天流感病毒的新感染者人数， 构成一个首项b1＝390，公差d1＝－10的等差数列， 所以后20天新感染者人数和为T20＝20×390＋×(－10)＝5 900(人)， 所以该地区9月份流感病毒的新感染者共有2 200＋5 900＝8 100人． (2)该地区9月份(共30天)流感病毒的新感染者共有多少人？ 归纳总结 (1)解答与等差数列前n项和有关的应用题，其关键在于构造合适的等差数列． (2)遇到与正整数有关的应用题时，可以考虑与数列知识联系，建立数列模型，具体解决要注意以下两点： ①抓住实际问题的特征，明确是什么类型的数列模型． ②深入分析题意，确定是求通项公式an，或是求前n项和Sn，还是求项数n. 解析：依题意可得，他从第一天开始每天跑步的路程(单位：千米) 依次成等差数列，且首项为8，公差为0.5， 设经过n天后他完成健身计划，则8n＋≥200， 整理得n2＋31n－800≥0. 因为函数f(x)＝x2＋31x－800在[1，＋∞)为增函数，且f(16)<0，f(17)>0，所以n≥17. 3.[2022·湖南部分重点中学联考]跑步是一项有氧运动，通过跑步，我们能提高肌力，同时提高体内的基础代谢水平，加速脂肪的燃烧，养成易瘦体质．小林最近给自己制定了一个200千米的跑步健身计划，他第一天跑了8千米，以后每天比前一天多跑0.5千米，则他要完成该计划至少需要(　　) A．16天 B．17天 C．18天 D．19天 练一练 B 解析：由等差数列{an}的性质， .可得Sm，S2m－Sm，S3m－S2m成等差数列， 即30，70，S3m－100成等差数列， 所以2×70＝30＋S3m－100，解得S3m＝210. 例3　(1)等差数列{an}的前m项和为30，前2m项和为100，求数列{an}的前3m项的和S3m； 题型3　等差数列前n项和性质的应用 典例剖析 解析： 由等差数列的前n项和的性质，且＝， 可得＝＝＝＝＝. (2)两个等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，已知＝，求的值． 归纳总结  等差数列前n项和计算的三种方法 4.(1)[2022·重庆十一中月考]设Sn是等差数列{an}的前n项和，若＝，则＝(　　) A．1 B．－1 C．2 D． 解析：因为＝， 所以＝＝＝＝＝2. C 练一练 (2)在等差数列{an}中，a1＝－2 021，其前n项和为Sn，若＝2，则S2 021等于(　　) A．2 021 B．－2 021 C．－2 020 D．2 020 解析： ∵数列{an}为等差数列，∴数列为等差数列，设其公差为d， 又＝2d＝2，解得：d＝1，又＝a1＝－2 021， ∴＝－2 021＋2 020＝－1，∴S2 021＝－2 021. 练一练 B 解析：(1)当n＝1时，a1＝S1＝2， 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(－2n2＋3n＋1)－[－2(n－1)2＋3(n－1)＋1] ＝－4n＋5，所以数列{an}的通项公式为an＝. (2)当n≥2时，an＋1－an＝－4(n＋1)＋5－(－4n＋5)＝－4， 但a2－a1＝－3－2＝－5，所以数列{an}不是等差数列． 例1　已知数列{an}的前n项和为Sn＝－2n2＋3n＋1. (1)求数列{an}的通项公式； (2)数列{an}是否为等差数列？ 题型4　an与Sn的关系的应用 典例剖析 归纳总结 已知Sn求an的一般步骤 解析：当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2－9n－(n－1)2＋9(n－1)＝2n－10， 当n＝1时，a1＝S1＝－8也适合，所以an＝2n－10. 又因为5＜ak＜8，所以5＜2k－10＜8，解得7.5＜k＜9，故k＝8. 5.已知数列{an}的前n项和Sn＝n2－9n，第k项满足5＜ak＜8，则k＝(　　) A．9 B．8 C．7 D．6 练一练 B 例2　在等差数列{an}中，设Sn为其前n项和，且a1>0，S3＝S11，当Sn取得最大值时，n的值为____． 7 解析：方法一(函数法)　由S3＝S11，可得3a1＋d＝11a1＋d，即d＝－a1. 从而Sn＝n2＋n＝－(n－7)2＋a1， 因为a1>0，所以－<0.故当n＝7时，Sn最大． 方法二(通项变号法)　由解法一可知，d＝－a1. 要使Sn最大，则有即 解得6.5≤n≤7.5，故当n＝7时，Sn最大． 题型5　等差数列前n项和的最值 典例剖析 6.在等差数列{an}中，设Sn为其前n项和， an＝26－2n ，当Sn取得最大值时，n的值为____________． 12或13 解析：∵an＝26－2n，∴an－an－1＝－2， ∴数列{an}为等差数列，又a1＝24，d＝－2， ∴Sn＝24n＋×(－2)＝－n2＋25n＝－＋. ∵n∈N＋，∴当n＝12或13时，Sn最大． 练一练 解析：∵a1>0，a2 019＋a2 020>0，a2 019·a2 020<0， ∴{an}表示首项是正数，公差d为负数的单调递减数列． ∴a2 019>0，a2 020<0. 且|a2 019|>|a2 020|，∴a2 019＋a2 020＝a1＋a4 038>0， ∴S4 038＝>0， 又∵a1＋a4 039＝2a2 020＜0， ∴S4 039＝＜0， ∴使Sn>0成立的最大自然数n是4 038. 7.在等差数列{an}中，设Sn为其前n项和，且a1>0，a2 019＋a2 020>0，a2 019·a2 020<0，求使Sn>0成立的最大自然数n   1．在等差数列中，求Sn的最值的2种常用方法 归纳总结 归纳总结 2．寻求正、负项分界点的方法 8.设等差数列{an}的前n项和为Sn，且S2 020>0，S2 021<0，则当n＝________时，Sn最大． 1 010 解析：∵S2020>0，S2 021<0， ∴>0，<0， ∴a1＋a2 020＝a1 010＋a1 011>0，a1＋a2 021＝2a1 011<0， ∴a1 010>0，a1 011<0， ∴当n＝1 010时，Sn最大． 练一练 解析：在等差数列{an}中，由a1＋a4＋a7＝－6得a4＝－2，则，解得或， 而公差d>0，则，d＝＝2，于是得a1＝－8， 所以数列{an}的通项公式是an＝2n－10. 例3　已知等差数列{an}中，公差d>0，a1＋a4＋a7＝－6，a2·a4·a6＝24. (1)求数列{an}的通项公式； 典例剖析 题型6　求数列{|an|}的前n项和 解析：由(1)知an＝2n－10，因此， |an|＝|2n－10|＝， 当1≤n≤5时，Sn＝－a1－a2－…－an＝－×n＝－n2＋9n， 当n≥6时，Sn＝|a1|＋|a2|＋…＋|a5|＋(|a6|＋…＋|an|) ＝(－a1－a2－…－a5)＋(a6＋…＋an)＝－(a1＋a2＋…＋a5)＋(a6＋…＋an) ＝(a1＋a2＋…＋an)－2(a1＋a2＋…＋a5)＝×n＋40＝n2－9n＋40， 所以Sn＝(n∈N＋)． (2)Sn为数列{|an|}的前n项和，求Sn.  求数列{|an|}前n项和的方法 (1)一般地，数列{|an|}与数列{an}是两个不相同的数列，只有数列{an}中的每一项都是非负数时，它们表示的才是同一数列．因此，求数列{|an|}的前n项和时，应先弄清n取什么值时an>0或an<0，去掉绝对值符号后再求和． (2)若数列{an}为等差数列，Sn为其前n项和，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|，则有： ①若a1>0，d<0，则存在k∈N＋，使得ak≥0，ak＋1<0，从而Tn＝ ②若a1<0，d>0，则存在k∈N＋，使得ak≤0，ak＋1>0，从而 归纳总结 9.已知数列{an}的前n项和Sn＝－n2＋n，求数列{|an|}的前n项和Tn. 解析：a1＝S1＝－×12＋×1＝101. 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝ ＝－3n＋104. ∵n＝1也适合上式， ∴数列{an}的通项公式为an＝－3n＋104. 由an＝－3n＋104≥0得n≤34， 即当n≤34时，an>0；当n≥35时，an<0. 练一练 方法一　①当n≤34时， Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋an ＝Sn＝－n2＋n. ②当n≥35时， Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|a34|＋|a35|＋…＋|an| ＝(a1＋a2＋…＋a34)－(a35＋a36＋…＋an) ＝2(a1＋a2＋…＋a34)－(a1＋a2＋…＋an) ＝2S34－Sn ＝2 ＝n2－n＋3 502. 故Tn＝ 方法二　①同方法一． ②当n≥35时， Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝(a1＋a2＋…＋a34)－(a35＋a36＋…＋an) ＝ ＝n2－n＋3 502， 故Tn＝ 1.已知数列{an}的通项公式为an＝2－3n，n∈N＋，则{an}的前n项和Sn等于（ ） 随堂练 2.若等差数列{an}的前5项和S5＝25，且a2＝3，则a7等于（ ） A.12 　　　　B.13 　　　　C.14 　　　　D.15 A B 3.在等差数列{an}中，若S10＝120，则a1＋a10的值是（ ） A.12 　　　　B.24 　　　　C.36 　　　　D.48 4.设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝9，S6＝36，则a7＋a8＋a9等于（ ） A.63 　　　　B.45 　　　　C.36 　　　　D.27 随堂练 B B 5.在各项均为正数的等差数列{an}中，已知公差d＝2，an＝11，Sn＝35， 则a1＝____，n＝____. 3 5 6.已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋n，则an＝_____. 2n 随堂练 7.已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为_____. 3 8.首项为正数的等差数列，前n项和为Sn，且S3＝S8，当n＝______时，Sn取到最大值. 5或6 随堂练 错因分析 易错辨析　混淆等差数列的性质致误 例4　已知等差数列{an}的前n项之和记为Sn，S10＝10，S30＝70，则S40＝________． 120 解析：由题意知，得 所以S40＝40×＝120. 【易错警示】 错因分析 出错原因：将等差数列中Sm，S2m－Sm，S3m－S2m 成等差数列误认为Sm，S2m，S3m成等差数列． 纠错心得： 本题可用等差数列的性质：Sm，S2m－Sm，S3m－S2m成等差数列求解；还可以由S10＝10，S30＝70联立方程组解得a1和d，再求S40. 例5　设等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足S11＝S18，则当n＝________时，Sn最大． 14或15 易错辨析　数列中的最值错误 错因分析 解析：方法一　由S11＝S18，得11a1＋d＝18a1＋d，即a1＝－14d>0，所以d<0. 构建不等式组即解得14≤n≤15. 故当n＝14或n＝15时Sn最大． 方法二　由S11＝S18知，a1＝－14d， 所以Sn＝na1＋d＝－14dn＋d＝－d. 由于n∈N＋，结合Sn对应的二次函数的图象知，当n＝14或n＝15时Sn最大． 方法三　由S11＝S18知，a12＋a13＋a14＋a15＋a16＋a17＋a18＝0，即7a15＝0， 所以a15＝0.又a1>0，所以d<0，故当n＝14或n＝15时Sn最大． 错因分析 【易错警示】 出错原因：由于a15＝0，所以S14＝S15，即n＝14或n＝15时，前n项和相等且最大．有些同学容易忽视数列中为零的项致错． 纠错心得：在解决数列问题时，经常遇到求最值的问题，且解决此类问题常用函数的一些方法，但一定要注意数列中的变量n为正整数，同时还要注意数列中为零的项． 错因分析 1.已知数列{an}中，a1＝1，an＝an－1＋ (n≥2，n∈N＋)，则数列{an}的前9项和等于（ ） A.27 　　　　B. 　　　　　C.45 　　　　D.－9 分层练习-基础 2.(多选)记Sn为等差数列{an}的前n项和.已知S4＝0，a5＝5，则（ ） A.an＝2n－5 B.an＝3n－10 C.Sn＝n2－4n C A 57 4.已知一个等差数列共n项，且其前四项之和为21，末四项之和为67，前n项和为286，则项数n为（ ） A.24 　　　　B.26 　　　　C.25 　　　　D.28 分层练习-基础 （ ） A B 5.一物体从1 960米的高空降落，如果第1秒降落4.90米，以后每秒比前一秒多降落9.80米，那么经过________秒落到地面 A.18 　　　　B.19 　　　　C.20 　　　　D.21 6.在小于100的自然数中，所有被7除余2的数之和为（ ） A.765 B.665 C.763 D.663 分层练习-基础 C B 7.设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2＝－3，S5＝－10，则a5＝______. 0 8.将数列{2n－1}与{3n－2}的公共项从小到大排列得到数列{an}，则{an}的前n项和为________. 3n2－2n 分层练习-基础 9.在等差数列{an}中. 解得n＝15. 分层练习-基础 (2)a1＝4，S8＝172，求a8和d. 解得a8＝39， 又∵a8＝4＋(8－1)d＝39，∴d＝5. ∴a8＝39，d＝5. 分层练习-基础 10.已知数列{an}的前n项和为Sn＝n2＋n－1，求数列{an}的通项公式，并判断它是不是等差数列. 分层练习-基础 当n＝1时，a1＝S1＝1， 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(n2＋n－1)－[(n－1)2＋(n－1)－1]＝2n. 又a1＝1不满足an＝2n， ∵a2－a1＝4－1＝3≠a3－a2＝2， ∴数列{an}中每一项与前一项的差不是同一个常数， ∴数列{an}不是等差数列，数列{an}是从第二项起以2为公差的等差数列. 11.程大位《算法统宗》里有诗云“九百九十六斤棉，赠分八子做盘缠.次第每人多十七，要将第八数来言.务要分明依次弟，孝和休惹外人传.”意为：996斤棉花，分别赠送给8个子女做旅费，从第一个开始，以后每人依次多17斤，直到第八个孩子为止.分配时一定要等级分明，则第八个孩子分得斤数为（ ） A.65 　　　　B.176 　　　　C.183 　　　　D.184 分层练习-巩固 D 12.在等差数列{an}中，已知a1＝－12，S13＝0，则使得an>0的最小正整数n为（ ） A.7 B.8 C.9 D.10 分层练习-巩固 13.已知正项等差数列{an}的前n项和为Sn，S10＝40，则a3a8的最大值为______. 16 B 14.已知{an}为等差数列，Sn为数列{an}的前n项和，且S7＝7，S15＝75， 则数列 的前n项和Tn＝________. 15.(多选)已知Sn是等差数列{an}的前n项和，且S6>S7>S5，则下列说法正确的是（ ） A.d<0 B.S11>0 C.S12<0 D.数列{Sn}中的最大项为S11 分层练习-巩固 A B 16.已知公差大于零的等差数列{an}的前n项和为Sn，n∈N＋，且满足：a3a4＝117，a2＋a5＝22. (1)数列{an}的通项公式an＝________. 4n－3 分层练习-拓展 (2)若数列{bn}是等差数列，且bn＝ ，则非零常数c＝________. 17.某仓库有同一型号的圆钢600根，堆放成如图所示的形状，从第二层开始，每一层比下面一层少放一根，而第一层至少要比第二层少一根，要使堆垛的占地面积最小(即最下面一层根数最少)，则最下面一层放几根？共堆了多少层？ 分层练习-拓展 所以n2＋n－1 200≥0，记ƒ(n)＝n2＋n－1 200， 因为当n∈N＋时，f(n)单调递增， 而f(35)＝60>0，f(34)＝－10<0， 所以n≥35，因此最下面一层最少放35根. 分层练习-拓展 因为1＋2＋3＋…＋35＝630， 所以最多可堆放630根，必须去掉上面30根，去掉顶上7层，共1＋2＋3＋…＋7＝28(根)，再去掉顶上第8层的2根，剩下的600根共堆了28层. 故最下面一层放35根，共堆了28层. 分层练习-拓展 18.已知Sn为等差数列{an}的前n项和，且a1＝－15，S5＝－55. (1)求数列{an}的通项公式； 设等差数列{an}的公差为d， ∴a3＝－11， ∴an＝a1＋(n－1)d＝－15＋(n－1)×2＝2n－17，n∈N＋. 分层练习-拓展 (2)若不等式Sn>t对于任意的n∈N＋恒成立，求实数t的取值范围. 由(1)知，an＝2n－17， ∴(Sn)min＝－64. Sn>t对任意的n∈N＋恒成立等价于(Sn)min>t， 即－64>t.∴t∈(－∞，－64). 分层练习-拓展 1.知识清单： (1)等差数列前n项和及其计算公式. (2)等差数列在实际问题中的应用. (3)利用等差数列前n项和公式判断等差数列. (4)等差数列前n项和的最值问题. (5)等差数列前n项和的性质及应用. 2.方法归纳：函数与方程思想、倒序相加法、整体思想、分类讨论数形结合思想. 3.常见误区 (1)由Sn求通项公式时忽略对n＝1的讨论. (2)求等差数列前n项和的最值时，忽视条件n∈N＋导致错误. (3)不注意运用性质导致解题烦琐. 课堂小结 A.－n2＋ B.－n2－ C.n2＋ D.n2－ D.Sn＝n2－2n 3.在等差数列{an}中，S10＝4S5，则等于 A. 　　　　B.2 　　　　C. 　　　　D.4 又a15＝＋(15－1)d＝－， ∴d＝－. ∴n＝15，d＝－. (1)a1＝，an＝－，Sn＝－5，求n和d； 由题意得，Sn＝＝＝－5， 由已知得S8＝＝＝172， ∴数列{an}的通项公式是an＝ n2－n   － 设最下面一层放n根，则最多可堆n层，则1＋2＋3＋…＋n＝≥600， ∴d＝＝＝2. S5＝5·＝5a3＝－55， ∴Sn＝＝＝n(n－16)＝(n－8)2－64， $$