2.1 正数与负数（教学课件）-2024-2025学年七年级数学上册考试满分全攻略同步备课备考系列（苏科版2024）

苏科版（2024）七年级数学上册 第二章 有理数 2.1 正数与负数 目录/CONTENTS 新知探究 情景导入 学习目标 课堂反馈 分层练习 课堂小结 学习目标 1.了解正数和负数的产生过程以及数学与实际生活 的联系；(重点) 2.理解正数和负数的意义,会判断一个数是正数还是负数； 3.能用正数、负数表示生活中具有相反意义的量． (难点) 情景导入 全国主要城市天气预报 北京 -3～0℃ 哈尔滨 -13～-7℃ 长春 -13～-7℃ 沈阳 -5～-1℃ 全国主要城市天气预报 南京 5～14℃ 济南 -1～4℃ 合肥 6～11℃ 上海 8～15℃ 上面是某日电视台播发的天气预报画面. （1）你能说出画面里各城市的最低气温与最高气温吗？ （2）你能指出画面里最高气温与最低气温相差最大的城市吗？ 新知探究 1.正数与负数 我国有世界上海拔最高的山峰——珠穆朗玛峰，也有世界上唯一一座位于海平面以下的植物园——吐鲁番沙漠植物园。 问题一：你知道 8 848.86 m 和一80.97 m 是什么意思吗？ 问题二：为什么要用“海拔”来描述高度呢？ 8 848.86m和-80.97 m都是海拔高度， 其中的“-”表示低于海平面. 像海拔高度这样，通过设置一个分界点，以此区分具有相反意义的量在日常生活中很常见. 某高山山脚的温度为4℃，山顶的温度为零下6℃， 分别记为4 ℃和-6 ℃； 某人到活畜交易市场卖牛收入 40 000 元，买羊羔支出 10 000元，分别记为+40 000元和一10 000元； 竹竿直立于湖中，竹竿在水面的位置标记为0m，竹竿顶端高，出水面1.7 m，竹竿底端低于水面0.6m，分别记为 1.7m 和一0.6 m. 同学们思考一下生活中还有哪些例子呢？ 我们将8848.86，4，+40000，1.7这样的数称之为正数； 我们将-80.97，-6，-10000，-0.6这样的数称之为负数； 0 既不是正数，也不是负数. “+”读作“正”，如“+号”读作“正三分之二”，正号通常省略不写； “-”读作“负”，如“-80.97”读作“负八十点九七”. 负数的概念最早出现在中国古代著名的数学专著《九章算术》中，该书还提出了正负数加减运算的法则. 概念归纳 课本例题 例1指出下列数中的正数、负数： +7，-9，，-4.5，4.5，，998，-998，，0. 解：+7，，4.5，，998是正数； -9，-4.5，-998，是负数 在正数中，像+7，998这样的数我们称之为正整数； 负数中，像-9，-998这样的数称为负整数； 正整数、零、负整数统称为整数. 正整数和零就是我们熟悉的自然数. ， 都是分数，其中是正分数， 是负分数. 概念归纳 整数和分数统称为有理数. 有理数也可以分为正有理数、零和负有理数， 正有理数和零属于非负数. 小学里，我们已经知道有限小数与循环小数可以写成分数的形式，如4.5= ，所以= ，有限小数与循环小数都可以看作分数. 概念归纳 1.有理数的分类 (1)按有理数的定义分类 (2) 按性质分类 有理数 正整数 负整数 负分数 正有理数 负有理数 正分数 零 正整数 负整数 零 正分数 负分数 整数 分数 有理数 概念归纳 课本例题 例 2 指出下列数中哪些是正有理数，哪些是负有理数， 哪些是非负有理数? +5,-11, ,-7 , 1002,- , 0.8，0. +5， ，1002，0.8是正有理数； -11， -7 ， - 是负有理数； +5， ，1002，0.8，0是非负有理数. 有理数分类的三原则 (1)分类不重复： 所分的各类应当互不包含 . 例如，有理数分为非负有理数、0 和非正有理数，就违反了这一原则 . (2)分类无遗漏： 所分各类之“和”必须是原来的全部 . 例如，将有理数分为正有理数和负有理数就漏掉了 0. (3)标准要统一： 必须按同一分类标准进行分类 . 例如，将有理数分为正有理数、0和负分数，分类标准不统一，漏掉了负整数这一类 . 概念归纳 不管按什么标准分类，最终将有理数都分为五类： 正整数、 0、负整数、正分数、负分数 . (2) 正有理数都是正数，但正数不一定都是正有理数 . 概念归纳 特别警示： 整数和分数统称为有理数 . 对于分数的识别有两个误区 : (1)不是所有的小数都能化成分数，如无限不循环小数就不能化成分数； (2)有些数形似分数，但不是分数，例如 ，就不是分数 . 易错警示 (1)表示正负数时，正号可以省略不写，而负号不能省略 . (2) 0 既不是正数，也不是负数，是正数和负数的分界点，它小于任何正数，大于所有负数 . 整数可以看成分母为1的分数，所以一切有理数都可以写成分数的形式(在本章中，如无特别说明，分数指不包括整数的分数). 概念归纳 1.把下列分数化成小数： 2.把下列小数化成分数：0.25，-2.3，-0.03. 课本练习 =-0.75 = =-0.27 0.25= ，-2.3= ，-0.03=- 课本练习 （1）小明家在学校正西方3km，小丽家在学校正东方2.5 km. （2）某人今年9月份收入9 500元，消费支出5 300元. （3）马里亚纳海沟的最深处低于海平面11034 m，这也是已知世界最深处. 1.用正数或负数表示下列问题中的数量： 解：3km；-2.5km； 解： 9500元；-5300元； 解： -11034m. 2.把下列各数填入相应的圈内： +13，-3.25,，0， ，0.32， 课本练习 正有理数 负有理数 +13; -3.25; 课本练习 习题2.1 1.举出几个应用正数和负数表示数量的实例. 在实际生活中，在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正， 则另一个就用负数表示； 例1：一个物体标准重量为10千克，比它重的记为正数，比它轻的记为负数，则比标准重2千克的记为+2，比标准重轻2千克的记为-2 例2：将零度记为标准，则零上5°C记为+5°C，零下7°C记为-7°C. 习题2.1 2.填空： （1）如果一辆拖拉机加油50L记作+50L，那么消耗油30L记作 . （2）如果水位上升0.8m记作+0.8 m，那么水位下降0.5m记作 . -0.5m -30L 3.指出下列数中的正整数、负整数、正有理数、负有理数： ，16，-9.7，-0.56，-1.25， -10，0，103， ，-111，16.53. 习题2.1 正整数： 16， 103， 负整数： -10， -111 正有理数： 16， 103， 负有理数： ， -9.7，-0.56，-1.25，-10，-111 习题2.1 4.在一次海洋深潜工作中，一架直升机悬停在离海面500m的空中，“奋斗者”号载人潜水器潜在水下7 000 m 处，设海面的高度为0 m，请用正数或负数表示该直升机和潜水器的高度. 答：500m记作+500m，-7000m表示潜水器在水下7000m处。 习题2.1 5.举例说明“-7.3”可以表示不同的实际意义. 答案不唯一，向东为正，向西走7.3米. 1.【2022·贵阳】下列各数为负数的是(　　) A．－2 B．0 C．3 D．5 A 分层练习-基础 2.【真实情境题 航空航天】2024年4月25日20时59分，长 征二号F遥十八运载火箭搭载神舟十八号载人飞船在酒 泉卫星发射中心点火发射.若火箭发射点火前5秒记为 －5秒，那么火箭发射点火后10秒应记作 秒. ＋10　 3.【2022·桂林】在东西向的马路上，把出发点记为O，向东与向西意义相反，若把向东走2 km记作“＋2 km”，那么向西走1 km应记作(　　) A．－2 km B．－1 km C．1 km D．＋2 km B 4.【2022·云南】中国是最早采用正负数表示相反意义的量，并进行负数运算的国家，若零上10℃记作＋10℃，则零下10℃可记作(　　) A．10℃ B．0℃ C．－10℃ D．－20℃ C 分层练习-基础 5.【生活数学】如图所示是某用户微信支付情况，3月28日显示的＋150.00表示的意思是(　　) A．转账给别人150元 B．收到转账150元 C．余额150元 D．发出150元红包 B 分层练习-基础 6.【2023·江苏徐州一中期末】下列数中既是分数又是负数的是(　　) A．5.2 B．0 C．－2 D．－2.5 D 分层练习-基础 7.下列语句： ①不带负号的数都是正数； ②一个正数的前面加上负号就是负数； ③数7没有符号； ④不是正数的数一定是负数，不是负数的数一定是正数. 其中错误的有________．(填序号即可) ①③④ C 分层练习-基础 A 32 10. (1)把下列分数化成小数：－ ＝ ， ＝ ， － ＝ ⁠； (2)把下列小数化成分数：0.6＝ ，－3.3＝ ⁠， －3.375＝ 　－3 　. －0.2　 0.625　 －0.13　 　 －3 －3 　 分层练习-基础 分层练习-基础 1. 【新考向·数学文化 】我国古代数学名著《九章算术》中对正负数的概念注有“今两算得失相反，要令正负以名之”.如：粮库把运进30吨粮食记为“＋30”，则“－30”表示 (　A　) A. 运出30吨粮食 B. 亏损30吨粮食 C. 卖掉30吨粮食 D. 吃掉30吨粮食 A 分层练习-巩固 2. 【易错题】下列关于“0”的叙述中，正确的有(　C　) ①0是正数与负数的分界；②0比任何负数都大；③0只表 示没有；④0常用来表示某种量的基准. A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 C 3. 【新考法 逐项辨析法】下列各组量中具有相反意义的是 (　B　) A. 某同学在操场上慢跑500 m后，加速跑了200 m B. 某超市上周亏损3 000元，本周盈利12 000元 C. 学生甲比学生乙高1.5 cm，学生乙比学生甲轻2.4 kg D. 小明的期中数学成绩为50分，期末数学成绩为70分 B 4.【2023·江苏泰州期末】如图所示的圈分别表示负数集合、整数集合和正数集合，其中有甲、乙、丙三部分，则关于这三部分数的个数， 分层练习-巩固 下列说法正确的是(　　) A．甲、丙两部分都有无数个数，乙部分只有一个数0 B． 甲、乙、丙三部分都有无数个数 C．甲、乙、丙三部分都只有一个数 D． 甲部分只有一个数，乙、丙两部分有无数个数 分层练习-巩固 A 同学 A B C D E F 身高 165 166 171 身高与班级平均身高的差值 －1 ＋2 －3 ＋3 (1)完成表中空白的部分； 168 0 163 169 ＋5 5.【新考法 图表信息】某班6名同学的身高情况如下表(单位：cm)： 分层练习-巩固 (2)他们的最高身高与最矮身高相差多少？ 解：最高身高与最矮身高相差171－163＝8(cm)． 分层练习-巩固 (3)他们6人的平均身高是多少？ 6.【新考法 规律探究】如图，将一串数按下列规律排列. 分层练习-巩固 问：(1)在A位置的数是正数还是负数？ (2)负数排在A，B，C，D中的什么位置？ 解：在A位置的数是正数． 负数排在B和D的位置． (3)第2 024个数是正数还是负数？排在对应于A，B，C，D中的哪个位置？ 解：观察可知第奇数个数为负，第偶数个数为正，故第2 024个数是正数．每4个数看成一组，2 024÷4＝506(组)，故第2 024个数排在A的位置． 分层练习-巩固 分层练习-巩固 (1)王老师先给同学们做了示范，他说手拿卡片上数字为整数的同学表演节目，请你选出表演节目的同学； 解：五名同学按拿着的卡片上的数字分为两组：拿着整数的为一组，拿着分数的为一组，即B，C，D为一组，A，E为一组，所以B，C，D三名同学表演节目； (2)如果让你来挑选，你会按什么数字特征来选择表演节目的同学？ 解：如果让我来挑选，我会让手拿卡片上数字为非负数的同学表演节目．(答案不唯一) 分层练习-巩固 · · 分层练习-拓展 9.根据上面提供的方法把下面两个数化成分数. (1)0.7； · · 分层练习-拓展 (2)1.3. · · · 分层练习-拓展 分层练习-拓展 课堂反馈 1.把下列各数填入表示相应集合的大括号内： － 3，+8 848，0， － ，2 024， － 8.9， － 155， . 非正数集合：{ …}； 非负数集合：{ …}. 知识点一：正数与负数 －3， 0，－， －8.9， －155， … +8 848，0，2 024， ， 解题秘方：非正数指的是负数和零，非负数指的是正数和零 . 方法点拨 (1)非正数表示 0和负数，非负数表示0和正数； (2)集合中的3个点是省略号，表示集合中分别有无 数个相应特征的数，填进去的只是其中的有限部分. 课堂反馈 知识点二：具有相反意义的量 (1)[中考·南通]若气温零上2℃记作+2℃，则气温零下3℃记作（　　） A. -3℃ B. -1℃ C. +1℃ D. +5℃ (2)[中考·柳州] 如果水位升高2 m 时水位变化记作+2 m，那么水位下降2 m 时水位变化记作 . (3)某地区的平均高度高于海平面310 m，记作海拔高度+310 m，则海拔高度-270 m 表示 . A -2 m　 低于海平面270 m 课堂反馈 解：（1）因为气温是零上2℃规定为+2℃， 所以气温是零下3℃记作-3℃； （2）因为水位升高2 m 时水位变化规定为+2 m， 所以水位下降2 m 时水位变化记作-2 m． （3）因为高于海平面的海拔高度规定用正数表示， 所以负数表示海拔高度低于海平面， 所以海拔高度-270 m 表示“低于海平面270 m”. 课堂反馈 解题秘方：先判断正、负表示的实际意义，然后用正、负数表示各量. 知识点三：整数与分数（重难点） 课堂反馈 3.[期末·泰州 ] 在下列各数中，分数有( ) － 6，0.123 4， － 5 ，0.3，0， ，15. A. 2 个 B. 3 个 C. 4 个 D. 5 个 特别提醒：(1) 0 是整数，但不是正数，也不是负数； (2) 0.1234= =， 0.3= ，所以 0.1234， 0.3是分数 . C 解：0.123 4，0.3， 是正分数； － 5 是负分数． 所以分数有：0.123 4， － 5 ，0.3， ，共 4 个． 技巧规律 识别一些数中的正整数(或负整数)时，一般先找出其中的正数(或负数) ，然后在正数(或负数)中找出整数；同理可用此法识别几个数中的正分数(或负分数). 课堂反馈 知识点四：有理数的定义 课堂反馈 4.[ 期中·宜兴 ] 在 0，+3.5， － ， ，0. 中，有理数有( ) A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 解：在 0，+3.5， － ， ，0. 中，不是有理数，有理数共有 4 个． 解题秘方：紧扣有理数的定义即可解答． D 知识点五：有理数的分类 课堂反馈 5.把下列各数分别填入相应的集合里 . － 2，0，0.314，25%，11， ， － 3，0. ，1. 非负有理数集合：｛ ｝； 整数集合：｛ ｝； 分数集合：｛ ｝； 自然数集合：｛ ｝； 非正数集合：｛ ｝. 0，0.314，25%，11， ， 0. ，1，… － 2，0，11 0.314，25%， ， － 3， 0. ，1，… 0，11，… － 2，0， － 3 ，… 解题秘方：按照各集合中元素的特征进行填写 . 解：非负有理数集合：｛0，0.314，25%，11， ， 0. ，1，…｝； 整数集合：｛ － 2，0，11，…｝； 分数集合：｛0.314，25%， ， － 3， 0. ，1，…｝； 非负有理数包含正有理数和0. 自然数集合：｛0，11，…｝； 非正数集合：｛ － 2，0， － 3 ，…｝. 写自然数集合时不能忘记写0. 课堂反馈 方法点拨：将已知有理数分类填写的两种方法： (1)依次分析所给的数，把它们写入某一个或某几个集合中， 如 － 2是整数也是非正数，可以把－ 2写入这两个集合中； (2)从给出的数中找出属于每个集合的所有数， 如填写非负有理数集合时， 把给出的数中的0 和正有理数全填入集合中即可. 课堂反馈 课堂小结 有理数 分类 定义 无理数 正数 0 具有相反 意义的量 一个量 另一个量 负数 分界点 基准点 8.下列各数中，是负有理数的是(　　) A．2π B．3.141 5 C．－ D．0 9.下列关于0的说法错误的是(　　) A．任何情况下，0的实际意义就是什么都没有 B．0是偶数不是奇数 C．0不是正数也不是负数 D．0是整数也是有理数 11.有下列各数：－3.14，24，＋17，－7，，π，－0.101，－0.2，0，－2 025，20%.其中哪些是正数？哪些是负数？ 解：正数有24，＋17，，π，20%； 负数有－3.14，－7，－0.101，－0.2，－2 025. 解：他们6人的平均身高是 ×(165＋168＋166＋163＋169＋171)＝167(cm)． 7.数学活动课上，王老师把分别写有－，5，－2，0，的五张卡片分别发给A，B，C，D，E五名同学，王老师要求同学们按照卡片上数字的特征挑选2人或者3人表演节目. 8.阅读下列材料： 设x＝0.3＝0.333…，① 则10x＝3.333…，② 由②－①得9x＝3， 即x＝. 所以0.3＝0.333…＝. 解：设y＝0.7＝0.777…，① 则10y＝7.777…，② 由②－①得9y＝7，即y＝； 解：根据0.3＝0.333…＝， 可以得到1.3＝1＋0.3＝1＋＝.　 10.有两个正数a，b，且a＜b，把大于或等于a且小于或等于b的所有数记作[a，b]，例如大于或等于1且小于或等于4的所有数记作[1，4]．如果m在[5，15]内，n在[20，30]内，那么的一切值中属于整数的有哪些？ 解：因为m在[5，15]内，n在[20，30]内， 所以5≤m≤15，20≤n≤30， 所以的一切值中属于整数的有2，3，4，5，6. $$