1.3 集合的基本运算 （第1课时）（导学案）-【上好课】高一数学必修第一册同步高效课堂（人教A版2019）

第1章 集合与常用逻辑用语 1.3并集与交集 (第1课时）导学案 1、 学习目标 1.理解并、交集的含义，会求简单的并、交集； 2.借助Venn图理解、掌握并、交集的运算性质； 3.根据并、交集运算的性质求参数问题. 2、 重点难点 重点：理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集． 难点： 理解交集与并集的概念，符号之间的区别与联系． 3、 导入新知 引例1：假设一个图书馆有两个分类的书架，A书架包含小说类书籍，B书架包含科幻类书籍。 有一个读者想要阅读小说或科幻类的书籍，那么他可以查看A书架或B书架上的书。 在这个例子中，A书架和B书架上的书籍并集就是该读者可能选择的书籍集合。 引例2：假设有两个人，A喜欢音乐、电影和旅行，B喜欢电影、旅行和摄影。 A和B共同喜欢的活动（交集）就是电影和旅行。 在这个例子中，交集可以帮助我们找到A和B的共同点，从而增进他们的交流和理解 通过上述生活中的实例，我们可以看到并集和交集在数学中的实际应用。并集表示两个集合中所有可能的元素，而交集表示两个集合中共同的元素。 在实际生活中，并集和交集的概念可以帮助我们更好地理解和解决各种问题，如选择书籍、安排活动、分析共同兴趣等。 两个实数除了可以比较大小外，还可以进行加、减、乘、除等运算．如果把集合与实数相类比，那么两个集合是否也有类似的运算呢？本节就来研究这个问题． 4、 学习新知 知识点一：并集的运算 问题1　观察集合A＝{1,2,3}，B＝{2,3,4}，C＝{1,2,3,4}．你能说出集合A，B中的元素与集合C中的元素有什么关系吗？ 提示　集合A中的元素都属于集合C，集合B中的元素都属于集合C；集合C是由所有属于集合A或属于集合B的元素组成． 注意点： (1)A∪B仍是一个集合． (2)并集符号语言中的“或”包含三种情况： ①x∈A且x∉B；②x∈A且x∈B；③x∉A且x∈B. (3)对概念中“所有”的理解，要注意集合元素的互异性． 1、并集的概念： —般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，称为集合A与B的并集.（重复元素只看成一个元素）． 记作：A∪B. 读作：A并B. 其含义用符号表示为： 用Venn图表示如下： “或”的理解三层含义： 知识点二、交集的运算 问题2：观察下面的集合,你能说出集合A，B中的元素与集合D中的元素有什么关系吗？ (1); (2),. 提示　集合A中的元素与集合B中的元素的公共部分属于集合C，集合C是由所有既属于集合A又属于集合B的元素组成． 2交集的概念： 一般地，由属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，叫做集合A与B的交集（intersection set），记作：（读作：“A交B”） 即： Venn图1.3-3表示 这样，在上述问题（1）（2）中 说明：两个集合求交集，结果还是一个集合，是由集合A与B 的公共元素组成的集合． 注意点： (1)A∩B仍是一个集合． (2)文字语言中“所有”的含义：A∩B中任一元素都是A与B的公共元素，A与B的公共元素都属于A∩B. (3)如果两个集合没有公共元素，不能说两个集合没有交集，而是A∩B＝∅. 3、思考：能否认为A与B没有公共元素时，A与B就没有交集？ 答：不能．当A与B无公共元素时，A与B的交集仍存在，此时A∩B＝∅. 通过思考进一步理解交集，教会学生解决和研究问题。 例1设，，求 【解析】. 变式1：设A＝{1,2,4,8}，B＝{1,4,9}，求A∪B. 【解析】 　A∪B＝{1,2,4,8}∪{1,4,9}＝{1,2,4,8,9}． 跟踪练习1：设集合A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|2<x<4}，则A∪B等于(　　) A．{x|2<x≤3} B．{x|2≤x≤3} C．{x|1≤x<4} D．{x|1<x<4} 【解析】　A∪B＝{x|1≤x≤3}∪{x|2<x<4}＝{x|1≤x<4}． 例2设集合，集合，求. 【解析】. 如图1.3-2，还可以利用数轴直观表示例2中求并集的过程. 反思感悟　并集的运算技巧 (1)若集合中元素个数有限，则直接根据并集的定义求解，但要注意集合中元素的互异性． (2)若集合中元素个数无限，可借助数轴，利用数轴分析法求解，但要注意是否去掉端点值． 变式2： 设集合A＝{x|0≤x<4}，集合B＝{x|1≤x<5}，求A∪B. 【解析】 　A∪B＝{x|0≤x<4}∪{x|1≤x<5}＝{x|0≤x<5}． 跟踪练习2：已知集合A＝{－1,0,1}，则满足A∪B＝{－1,0,1，2,3}的集合B可能是(　　) A．{－1,2} B．{－1,0,1,3} C．{－1,0,1} D．{0,2,3} 【解析】　{－1,0,1}∪{0,2,3}＝{－1,0,1,2,3}，故D符合题意． 思考：求集合的并集是集合间的一种运算，那么，集合间还有其他运算吗？ 观察下面的集合A,B与集合C之间有什么关系？ （1） ， （2）A={x|x是立德中学今年在校的女同学}, B={x|x是立德中学今年在校的高一年级同学}, C={x|x是立德中学今年在校的高一年级女同学} (3)A={x|x是参加百米赛跑的同学}, B={x|x是参加跳高的同学}, C={x|x是既报名参加百米赛跑，又参加跳高的同学} 一般地，由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集. 记作：A∩B. 读作：A交B 其含义用符号表示为： 接着教师要求学生用Venn图表示交集运算. 例3立德中学开运动会，设 是立德中学高一年级参加百米赛跑的同学， 是立德中学高一年级参加跳高比赛的同学，求. 【解析】就是立德中学高一年级中那些既参加百米赛跑又参加跳高比赛的同学组成的集合. 所以，是立德中学高一年级既参加百米赛跑又参加跳高比赛的同学. 变式3： 已知集合，，则图中阴影部分表示的集合是（    ） A． B． C． D． 【解析】图中阴影部分表示的集合是， 因为，， 所以.故选：B 反思感悟　交集运算的关注点 (1)求集合交集的运算类似于并集的运算，其方法为①定义法，②数形结合法． (2)若A，B是无限连续的数集，多利用数轴来求解．但要注意，利用数轴表示不等式时，含有端点的值用实心点表示，不含有端点的值用空心圈表示． 例4设平面内直线上点集合为，直线上点的集合为，试用集合的运算表示，的位置关系. 【解析】平面内直线，可能有三种位置关系，即相交于一点､平行或重合. （1）直线，相交于一点P可表示为； （2）直线，平行可表示为； （3）直线，重合可表示为. 变式4： 设平面内直线a上点的集合为A，直线b上点的集合为B，试用集合的运算表示a，b的位置关系． ①直线a，b只有一个公共点P可表示为________； ②直线a，b没有公共点可表示为________； ③直线a，b有无数个公共点可表示为________． 【答案】　①A∩B＝{点P}　②A∩B＝∅　③A∩B＝A＝B 【解析】　①a，b只有一个公共点P，即a，b相交于点P，可表示为A∩B＝{点P}． ②a，b没有公共点，即a，b平行，可表示为A∩B＝∅. ③a，b有无数个公共点，即a，b重合，可表示为A∩B＝A＝B. 解题技巧：（求两个集合的并集、交集的常用方法） 1.定义法:对于用列举法给出的集合,则依据并集、交集的含义,可直接观察或借助于Venn图写出结果. 2.数形结合法：对于用描述法给出的集合,首先明确集合中的元素,其次将两个集合化为最简形式;对于连续的数集常借助于数轴写出结果,此时要注意数轴上方所有“线”下面的实数组成了并集,数轴上方“双线”(即公共部分)下面的实数组成了交集,此时要注意当端点不在集合中时,应用空心点表示. 【师生活动】师生一起分析后，由学生思考并书写证明过程后展示，师生共同补充完善. 5、 能力提升 题型一： 并集及其运算 【练习1】 设集合A＝{x|0＜x＜10}，B＝{x|x＞3}，则A∪B＝（　　） A．（0，+∞） B．（3，10） C．（﹣∞，+∞） D．（3，+∞） 【解析】 集合A＝{x|0＜x＜10}，B＝{x|x＞3}，所以A∪B＝（0，+∞）． 故选：A． 题型二：交集及其运算 【练习2】已知集合A＝{x|2＜x≤4，x∈R}，B＝{x|2≤x＜4，x∈Z}，则A∩B＝（　　） A．[2，4） B．（2，4） C．{2，3} D．{3} 【解答】B＝{x|2≤x＜4，x∈Z}＝{2，3}，又A＝{x|2＜x≤4，x∈R}， ∴A∩B＝{3}．故选：D． 题型三：利用并(交)集的性质求参数的值或范围 【练习3】已知集合，，若，则的取值集合为（       ） A． B． C． D． 【解析】由，知，因为，， 若，则方程无解，所以满足题意； 若，则， 因为，所以，则满足题意； 故实数取值的集合为. 故选：D. 解题技巧：（由集合交集、并集的性质解题的方法） 1.由题意知，分别讨论和两种情况，即可得出结果. 2.当利用交集和并集的性质解题时,常借助于交集、并集的定义将其转化为集合间的关系去求解,如A∩B=A⇔A⊆B,A∪B=A⇔B⊆A等. 3.当题设中隐含有空集参与的集合关系时,其特殊性很容易被忽视,从而引发解题失误 跟踪测试3：已知集合，集合． (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围； 【解析】（1）当时，，∴； (2)因为，所以，当时， ，解得，满足； 当时，若满足，则，该不等式无解； 综上，若，实数的取值范围是 反思感悟　利用集合间的关系求参数范围的一般步骤为 (1)若集合能一一列举，则用观察法得到不同集合中元素之间的关系；与不等式有关的集合，利用数轴得到不同集合间的关系． (2)将集合之间的关系转化为解方程(组)或不等式(组)的问题求解． (3)解方程(组)或不等式(组)，从而确定参数的值或取值范围． 6、 课堂总结 1．知识清单： (1)并集的概念及运算． (2)交集的概念及运算． (3)根据集合间的运算求参数范围． 2．方法归纳：观察法、图示法、数形结合、分类讨论． 3．常见误区：在根据运算求参数范围时，容易遗忘空集这一重要的情况． 7、 作业设计 (1)整理本节课的题型； (2)课本P12的练习1~4题； (3)课本P14的习题1.3的1、2、3、5题. 练习 1. 设，，求，. 【解析】由交集定义知：；由并集定义知： 2. 设，，求，. 【解析】， ， 3. 设是等腰三角形}，是直角三角形}，求，. 【解析】由交集定义知：是等腰直角三角形 由并集定义知：是等腰三角形或直角三角形 4. 设是幸福农场的汽车}，是幸福农场的拖拉机}，求. 【解析】由并集定义知：是幸福农场的汽车或拖拉机 习题1.3 复习巩固 8. 已知集合， ，求A∩B，A∪B. 【解析】由题得：集合，而集合， 所以，. 9. 设是小于的正整数 ，.求. 【解析】，，， ，，，. 10. 学校开运动会，设A={是参加100m跑的同学}，B={是参加200 m跑的同学}，C={是参加400m跑的同学}，学校规定，每个参加上述比赛的同学最多只能参加两项比赛，请你用集合的运算说明这项规定，并解释以下集合运算的含义： （1）； （2）. 【解析】这项规定用集合表示： （1）表示参加100m跑或参加200m跑的同学； （2）表示既参加100m跑又参加400m跑的同学. 学科网（北京）股份有限公司 ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第1章 集合与常用逻辑用语 1.3并集与交集 (第1课时）导学案 1、 学习目标 1.理解并、交集的含义，会求简单的并、交集； 2.借助Venn图理解、掌握并、交集的运算性质； 3.根据并、交集运算的性质求参数问题. 2、 重点难点 重点：理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集． 难点： 理解交集与并集的概念，符号之间的区别与联系． 3、 导入新知 引例1：假设一个图书馆有两个分类的书架，A书架包含小说类书籍，B书架包含科幻类书籍。 有一个读者想要阅读小说或科幻类的书籍，那么他可以查看A书架或B书架上的书。 引例2：假设有两个人，A喜欢音乐、电影和旅行，B喜欢电影、旅行和摄影。 A和B共同喜欢的活动（交集）就是 通过上述生活中的实例，我们可以看到并集和交集在数学中的实际应用。并集表示两个集合中所有可能的元素，而交集表示两个集合中共同的元素。 在实际生活中，并集和交集的概念可以帮助我们更好地理解和解决各种问题，如选择书籍、安排活动、分析共同兴趣等。 两个实数除了可以比较大小外，还可以进行加、减、乘、除等运算．如果把集合与实数相类比，那么两个集合是否也有类似的运算呢？本节就来研究这个问题． 4、 学习新知 知识点一：并集的运算 问题1　观察集合A＝{1,2,3}，B＝{2,3,4}，C＝{1,2,3,4}．你能说出集合A，B中的元素与集合C中的元素有什么关系吗？ 1、并集的概念： —般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，称为集合A与B的并集.（重复元素只看成一个元素）． 记作：A∪B. 读作：A并B. 其含义用符号表示为： 用Venn图表示如下： “或”的理解三层含义： 知识点二、交集的运算 问题2：观察下面的集合,你能说出集合A，B中的元素与集合D中的元素有什么关系吗？ (1); (2),. 2交集的概念： 一般地，由属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，叫做集合A与B的交集（intersection set），记作：（读作：“A交B”） 即： Venn图1.3-3表示 这样，在上述问题（1）（2）中 说明：两个集合求交集，结果还是一个集合，是由集合A与B 的公共元素组成的集合． 3、 思考：能否认为A与B没有公共元素时，A与B就没有交集？ 通过思考进一步理解交集，教会学生解决和研究问题。 例1设，，求 变式1：设A＝{1,2,4,8}，B＝{1,4,9}，求A∪B. 跟踪练习1：设集合A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|2<x<4}，则A∪B等于(　　) A．{x|2<x≤3} B．{x|2≤x≤3} C．{x|1≤x<4} D．{x|1<x<4} 例2设集合，集合，求. 变式2： 设集合A＝{x|0≤x<4}，集合B＝{x|1≤x<5}，求A∪B. 跟踪练习2：已知集合A＝{－1,0,1}，则满足A∪B＝{－1,0,1，2,3}的集合B可能是(　　) A．{－1,2} B．{－1,0,1,3} C．{－1,0,1} D．{0,2,3} 思考：求集合的并集是集合间的一种运算，那么，集合间还有其他运算吗？ 观察下面的集合A,B与集合C之间有什么关系？ （1） ， （2）A={x|x是立德中学今年在校的女同学}, B={x|x是立德中学今年在校的高一年级同学}, C={x|x是立德中学今年在校的高一年级女同学} (3)A={x|x是参加百米赛跑的同学}, B={x|x是参加跳高的同学}, C={x|x是既报名参加百米赛跑，又参加跳高的同学} 一般地，由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集. 记作：A∩B. 读作：A交B 其含义用符号表示为： 接着教师要求学生用Venn图表示交集运算. 例3立德中学开运动会，设 是立德中学高一年级参加百米赛跑的同学， 是立德中学高一年级参加跳高比赛的同学，求. 变式3： 已知集合，，则图中阴影部分表示的集合是（    ） A． B． C． D． 例4设平面内直线上点集合为，直线上点的集合为，试用集合的运算表示，的位置关系. 变式4： 设平面内直线a上点的集合为A，直线b上点的集合为B，试用集合的运算表示a，b的位置关系． ①直线a，b只有一个公共点P可表示为________； ②直线a，b没有公共点可表示为________； ③直线a，b有无数个公共点可表示为________． 【师生活动】师生一起分析后，由学生思考并书写证明过程后展示，师生共同补充完善. 5、 能力提升 题型一： 并集及其运算 【练习1】 设集合A＝{x|0＜x＜10}，B＝{x|x＞3}，则A∪B＝（　　） A．（0，+∞） B．（3，10） C．（﹣∞，+∞） D．（3，+∞） 题型二：交集及其运算 【练习2】已知集合A＝{x|2＜x≤4，x∈R}，B＝{x|2≤x＜4，x∈Z}，则A∩B＝（　　） A．[2，4） B．（2，4） C．{2，3} D．{3} 题型三：利用并(交)集的性质求参数的值或范围 【练习3】已知集合，，若，则的取值集合为（       ） A． B． C． D． 跟踪测试3：已知集合，集合． (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围； 6、 课堂总结 1．知识清单： (1)并集的概念及运算． (2)交集的概念及运算． (3)根据集合间的运算求参数范围． 2．方法归纳：观察法、图示法、数形结合、分类讨论． 3．常见误区：在根据运算求参数范围时，容易遗忘空集这一重要的情 7、 作业设计 (1)整理本节课的题型； (2)课本P12的练习1~4题； (3)课本P14的习题1.3的1、2、3、5题. 练习 1. 设，，求，. 2. 设，，求，. 3. 设是等腰三角形}，是直角三角形}，求，. 4. 设是幸福农场的汽车}，是幸福农场的拖拉机}，求. 习题1.3 复习巩固 8. 已知集合， ，求A∩B，A∪B. 9. 设是小于的正整数 ，.求. 10. 学校开运动会，设A={是参加100m跑的同学}，B={是参加200 m跑的同学}，C={是参加400m跑的同学}，学校规定，每个参加上述比赛的同学最多只能参加两项比赛，请你用集合的运算说明这项规定，并解释以下集合运算的含义： （1）； （2）. 学科网（北京）股份有限公司 ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$