精品解析：广西壮族自治区柳州市2025届新高三摸底考试数学试卷

【新结构】广西壮族自治区柳州市2025届新高三摸底考试 数学试卷❖ 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ）． A. B. C. D. 2. 设复数，在复平面内的对应点关于虚轴对称，，则（ ）． A. B. 5 C. D. 8 3. 在等差数列中，若，则（ ）． A. 7 B. 12 C. 16 D. 24 4. 双曲线的一个顶点到渐近线的距离为（ ）． A. B. 4 C. D. 5. 已知向量与的夹角为，且，，则（ ）． A. B. C. 4 D. 2 6. 的展开式中常数项的系数为（ ） A. 70 B. 56 C. 28 D. 8 7. 有4名医学毕业生到甲、乙、丙三所学校去应聘校医工作，若每人至多被一所学校录用，每所学校至少录用其中1人，则所有不同的录用情况种数为（ ） ． A. 40种 B. 60种 C. 80种 D. 120种 8. 已知三棱锥的体积是，A，B，C是球O的球面上的三个点，且，，，则球O的表面积为（ ）． A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9. 已知随机事件A，B发生的概率分别为，，下列说法正确的是（ ）． A. 若，则A，B相互独立 B. 若A，B互斥，则A，B不相互独立 C. 若，则 D. 若，则 10. 已知函数的部分图象如图所示，令，则下列说法正确的有（ ）． A. 的一个对称中心 B. 的对称轴方程为 C. 在上的值域为 D. 的单调递减区间为 11. 已知函数的定义域为R，且，若，则（ ）． A. B. C. 为减函数 D. 为奇函数 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，则在点处的切线斜率是__________． 13. 已知在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，，则__________． 14. 记实数的最小数为，若，则函数的最大值为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 如图，在棱长为1的正方体中，E为的中点，F为AB的中点． （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 16. 某牧场今年年初牛的存栏数为1200，预计以后每年存栏数的增长率为8％，且在每年年底卖出100头牛．设牧场从今年起每年年初的计划存栏数依次为，，，…． （1）写出一个递推公式，表示与之间的关系； （2）求的值．（其中，，） 17. 如图，在一条无限长的轨道上，一个质点在随机外力的作用下，从位置0出发，每次等可能地向左或向右移动一个单位，设移动次后质点位于位置． （1）求； （2）求； （3）指出质点最有可能位于哪个位置，并说明理由． 18. 一动圆与圆外切，同时与圆内切，记动圆圆心的轨迹为曲线E． （1）求曲线E的方程，并说明E是什么曲线； （2）若点P是曲线E上异于左右顶点的一个动点，点O为曲线E的中心，过E的左焦点F且平行于的直线与曲线E交于点M，N，求证：为一个定值． 19. 帕德近似是法国数学家亨利．帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法．给定两个正整数m，n，函数在处的阶帕德近似定义为：，且满足：，，，…，．注：，，，，…；为的导数）．已知在处的阶帕德近似为． （1）求实数a，b的值； （2）比较与的大小； （3）若有3个不同的零点，求实数m的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 【新结构】广西壮族自治区柳州市2025届新高三摸底考试 数学试卷❖ 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】解出集合B，按照集合的交运算法则进行运算即可． 【详解】因为，集合， 所以． 故选：C． 2. 设复数，在复平面内的对应点关于虚轴对称，，则（ ）． A. B. 5 C. D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】由复数的几何意义知，再由复数的四则运算，即可求解． 【详解】因为复数，在复平面内的对应点关于虚轴对称，且， 所以，所以． 故选：A． 3. 在等差数列中，若，则（ ）． A. 7 B. 12 C. 16 D. 24 【答案】B 【解析】 【分析】观察数列下标根据等差数列的性质进行求解． 【详解】在等差数列中， 若，则， 所以，所以． 故选：B 4. 双曲线的一个顶点到渐近线的距离为（ ）． A. B. 4 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出顶点坐标和渐近线方程，然后利用点到直线的距离公式求解． 【详解】由双曲线的方程知两顶点，， 渐近线方程为， 由对称性，不妨求到直线的距离，． 故选：C． 5. 已知向量与的夹角为，且，，则（ ）． A. B. C. 4 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】根据的坐标求出它的模，利用数量积运算求出所求向量的模． 【详解】由得，， 又，则． 故选：D. 6. 的展开式中常数项的系数为（ ） A. 70 B. 56 C. 28 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】写出二项式展开式的通项公式，然后确定其常数项即可. 【详解】的展开式的通项公式为， 令，解得， 故的展开式中常数项为． 故选：C． 7. 有4名医学毕业生到甲、乙、丙三所学校去应聘校医工作，若每人至多被一所学校录用，每所学校至少录用其中1人，则所有不同的录用情况种数为（ ） ． A. 40种 B. 60种 C. 80种 D. 120种 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，分2种情况讨论：①四人中有3人被录取，②四人都被录取，再由分类加法计数原理即可求． 【详解】根据题意，分2种情况讨论： ①四人中有3人被录取，有种不同的录用情况； ②四人都被录取，需要先将4人分为3组，再将分好的3组安排给3所学校， 有种不同的录用情况； 所以共有种不同的录用情况． 故选：B． 8. 已知三棱锥的体积是，A，B，C是球O的球面上的三个点，且，，，则球O的表面积为（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用正弦定理即可求出的外接圆半径，即可求出三棱锥的高，利用余弦定理即可求出，可计算出三角形ABC的面积，再利用锥体的体积公式，进而求解． 【详解】因为，， 所以由正弦定理得，的外接圆半径为， 在中，由余弦定理可得 ， 所以， 又因为，所以， 所以， 因为， ∴，由球中的截面性质及勾股定理，可知球的半径， 所以球O的表面积为：． 故选：C． 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9. 已知随机事件A，B发生的概率分别为，，下列说法正确的是（ ）． A. 若，则A，B相互独立 B. 若A，B互斥，则A，B不相互独立 C. 若，则 D. 若，则 【答案】ABC 【解析】 【分析】由条件概率及相互独立事件的概率对选项逐一判断即可． 【详解】A：因为事件A，B相互独立， ，所以A，B相互独立，故A正确； B：因为A，B互斥，则，故A，B不可能相互独立，故B正确； C：∵，∴，故C正确； D：∵，∴，∴，故D错误． 故选：ABC． 10. 已知函数的部分图象如图所示，令，则下列说法正确的有（ ）． A. 的一个对称中心 B. 的对称轴方程为 C. 在上的值域为 D. 的单调递减区间为 【答案】BCD 【解析】 【分析】由题图可得，根据三角恒等变换可得，再由余弦函数的对称性、单调性、值域逐项判断即可． 【详解】由题图可得，，解得． 又， 可得，解得． 因为，所以，所以． 所以 ． 对于A，当，， 所以不是的一个对称中心，故A错误； 对于B，令，可得， 故的对称轴方程为，故B正确； 对于C，时，，所以， 故在上的值域为，故C正确； 对于D，令，解得， 所以的单调递减区间为，故D正确． 故选：BCD． 11. 已知函数的定义域为R，且，若，则（ ）． A. B. C. 为减函数 D. 为奇函数 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用已知条件，结合赋值法，即可求解． 【详解】，时，，， 而，∴， ，时，， ∴，∴，故B正确； 令，，， 令，，故A正确； ，是奇函数，故D正确． 令，则，为增函数，故C错误． 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，则在点处的切线斜率是__________． 【答案】2 【解析】 【分析】由题意，求出的导函数，即可得该切线的斜率． 【详解】∵，∴ ∴时，， 则在点处的切线斜率是2． 故答案为：2． 13. 已知在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】由正弦定理及三角形中角之间的关系可得的值，再由角C的范围，可得角C的大小；再由，可得，由此即可求出结果． 【详解】因为， 由正弦定理可得， 可得， 在三角形中，，且， 所以，，所以，所以， 因为，所以， 所以． 故答案为： 14. 记实数的最小数为，若，则函数的最大值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】由题意在同一个坐标系中，分别作出三个函数的图像，再按要求得到的图象，结合图像易得函数的最大值． 【详解】 如图所示，在同一个坐标系中，分别作出函数的图象， 而的图象即是图中勾勒出的实红线部分， 要求的函数的最大值即图中最高点的纵坐标. 由联立解得，，故所求函数的最大值为． 故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 如图，在棱长为1的正方体中，E为的中点，F为AB的中点． （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1）证明如下： 以为原点，，，所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，， 所以，，，，，， 所以，，， ，，． 因为，所以， 又平面，平面， 所以平面． （2）． 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法证明,再通过线面平行的判定定理即可证明； （2）建立空间直角坐标系，利用向量法分别求出平面与平面的法向量，根据向量法求二面角的公式即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设平面的法向量为， 则，取，则，． 所以，是平面的一个法向量， 又因为平面， 所以为平面的一个法向量， 则， 设平面与平面的夹角为， 则，即平面与平面的夹角的余弦值为． 16. 某牧场今年年初牛的存栏数为1200，预计以后每年存栏数的增长率为8％，且在每年年底卖出100头牛．设牧场从今年起每年年初的计划存栏数依次为，，，…． （1）写出一个递推公式，表示与之间的关系； （2）求的值．（其中，，） 【答案】（1） （2）11775 【解析】 【分析】（1）由题意，可得； （2）原式可化为，结合（1）可求出r，k，可知，数列是以为首项，1.08为公比的等比数列，进而利用等比数列的求和公式可得答案． 【小问1详解】 由题意，得，并且． 【小问2详解】 将化成． 比较①②的系数，可得． 解这个方程组，得． 所以， 所以数列是以为首项，1.08为公比的等比数列， 则 ． 所以（头）． 17. 如图，在一条无限长的轨道上，一个质点在随机外力的作用下，从位置0出发，每次等可能地向左或向右移动一个单位，设移动次后质点位于位置． （1）求； （2）求； （3）指出质点最有可能位于哪个位置，并说明理由． 【答案】（1） （2）0 （3）质点最有可能位于位置1或，理由如下： 设质点n次移动中向右移动的次数为Y，显然每移动一次的概率为，则， 所以， 若n为偶数，中间的一项取得最大值，即概率最大，此时， 所以质点最有可能位于位置0， 若n为奇数，中间的两项，取得最大值，即或概率最大， 此时或， 所以质点最有可能位于位置1或． 【解析】 【分析】设质点n次移动中向右移动的次数为Y，则，， （1）利用即可； （2）利用即可； （3）先得到，然后分别讨论二项式系数最大值即可． 【小问1详解】 设质点n次移动中向右移动的次数为Y，显然每移动一次的概率为，则， 所以． 【小问2详解】 设质点n次移动中向右移动的次数为Y，显然每移动一次的概率为， 则，且， 而， 所以. 【小问3详解】 略 18. 一动圆与圆外切，同时与圆内切，记动圆圆心的轨迹为曲线E． （1）求曲线E的方程，并说明E是什么曲线； （2）若点P是曲线E上异于左右顶点的一个动点，点O为曲线E的中心，过E的左焦点F且平行于的直线与曲线E交于点M，N，求证：为一个定值． 【答案】（1）曲线，曲线E的是焦点在x轴上，对称中心在原点，以、为焦点的椭圆． （2） 由（1）得， 当弦的斜率不存在时，此时弦为椭圆的短半轴，此时， 此时直线为椭圆的通径，满足， 从而， 当弦的斜率存在时，设为k， 设直线的方程为，代入曲线E得， 从而， 设直线，代入曲线E得， 设，，则，， 又因为， 所以 ， 所以. 综上所述，为一个定值. 【解析】 【分析】（1）分别求出动圆圆心与两已知圆圆心的距离，从而得到两距离之和是一个定值且大于两已知圆圆心距离，从而结合椭圆定义即可得解. （2）当弦的斜率不存在时，此时弦为椭圆的短半轴，可得，当弦的斜率存在时，设为k，设直线的方程为，代入曲线E，结合韦达定理和向量的数量积可得，可得结论. 【小问1详解】 设动圆的圆心，动圆半径为r， 因为化为标准方程，故圆心，， 因为化为标准方程，故圆心，， 依题意得，， 所以，故点Q是以、为焦点的椭圆， 所以，，故， 所以曲线，曲线E是焦点在x轴上，对称中心在原点，以、为焦点的椭圆. 【小问2详解】 略 【点睛】方法点睛：圆锥曲线定值问题的解决方法主要包括以下几个步骤： 1.设定变量：需要根据题目情况设定直线方程，通常为或的形式； 2.利用条件表示其他量：通过题目给出的条件，用设定的变量表示其他需要的量，如弦长、距离等； 3.化简求定值：将表示的其他量代入到需要求定的量中，通过计算和化简，最终得到一个与变量无关的定值. 19. 帕德近似是法国数学家亨利．帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法．给定两个正整数m，n，函数在处的阶帕德近似定义为：，且满足：，，，…，．注：，，，，…；为的导数）．已知在处的阶帕德近似为． （1）求实数a，b的值； （2）比较与的大小； （3）若有3个不同的零点，求实数m的取值范围． 【答案】（1），． （2） 当时，； 当时，． （3） 【解析】 【分析】（1）求出，，，，根据，列方程组即可求解； （2）令，利用导数研究的单调性即可比较大小； （3），除1外还有2个零点，设为，，，由导数由函数零点个数求m的范围． 【小问1详解】 由，， 知，，，， 由题意，， 所以，所以，． 【小问2详解】 由（1）知，，令， 则， 所以在其定义域内为增函数， 又， ∴时，； 时，， 所以当时，；时，． 【小问3详解】 由（1）知，， 注意到，则除1外还有2个零点，设为，， ， 令， 当时，在上恒成立，则， 所以在上单调递减，不满足，舍去， 当时，除1外还有2个零点，设为，，则不单调， 所以存在两个零点，∴，解得， 当时，设的两个零点分别为s，， 则，， ∴，当时，，，则单调递增， 当时，，，则单调递减； 当时，，，则单调递增， 又，则，， 而，且，，且， 所以存在，，满足， 即有3个零点，1，， 综上所述，m的取值范围为． 【点睛】思路点睛：关于新定义题的思路有： （1）找出新定义有几个要素，找出要素分别代表什么意思； （2）由已知条件，看所求的是什么问题，进行分析，转换成数学语言； （3）将已知条件代入新定义的要素中； （4）结合数学知识进行解答. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $