专题12 三角形-【好题汇编】5年（2020-2024）中考1年模拟数学分类汇编（河南专用）

专题12 三角形（解析版） 1. （2024·河南·统考中考真题）如图，在中，，，线段绕点C在平面内旋转，过点B作的垂线，交射线于点E．若，则的最大值为_________，最小值为_________. 2．（2023·河南·统考中考真题）如图1，点P从等边三角形的顶点A出发，沿直线运动到三角形内部一点，再从该点沿直线运动到顶点B．设点P运动的路程为x，，图2是点P运动时y随x变化的关系图象，则等边三角形的边长为（ ） A. 6 B. 3 C. D. 3.（2022·河南·统考中考真题）15. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，，点D为AB的中点，点P在AC上，且CP＝1，将CP绕点C在平面内旋转，点P的对应点为点Q，连接AQ，DQ．当∠ADQ＝90°时，AQ的长为______． 4.（2021·河南·统考中考真题）小华用一张直角三角形纸片玩折纸游戏，如图1，在中，，，第一步，在AB边上找一点D，将纸片沿CD折叠，点A落在处，如图2；第二步，将纸片沿折叠，点D落在处，如图当点恰好落在直角三角形纸片的边上时，线段的长为______ ． 5.（2020·河南·统考中考真题）如图，在中，．边在轴上，顶点的坐标分别为和．将正方形沿轴向右平移当点落在边上时，点的坐标为（ ） A. B. C. D. 一、单选题 1．（2024·河南周口·一模）如图，在四边形中，，，平分，点是的中点，点是上的动点，若，则的最小值为（     ） A．2 B．4 C．6 D．8 2．（2024·河南驻马店·二模）如图，在中，，．分别以点A和C为圆心，以大于的长度为半径作弧，两弧相交于点P和点Q，作直线分别交，于点D和点E．若，则的长为（     ） A． B．5 C．10 D． 3．（2024·河南新乡·三模）如图，在中，，按如下步骤作图，①以点为圆心，小于的长为半径作弧交，于点，；②分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线，交于点，过点作交于点，已知，，则的长为（     ） A． B．3 C． D． 4．（2024·信阳·二模）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（―3，6）、B（―9，一3），以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，则点A的对应点A′的坐标是（ ） A．（―1，2） B．（―9，18） C．（―9，18）或（9，―18） D．（―1，2）或（1，―2） 5．（2024·河南·三模）小明在科普读物中了解到：每种介质都有自己的折射率，当光从空气射入该介质时，折射率为入射角正弦值与折射角正弦值之比，即折射率（i为入射角，r为折射角）．如图，一束光从空气射向横截面为直角三角形的玻璃透镜斜面，经折射后沿垂直边的方向射出，已知，，，则长为（     ） A．3 B．4 C．4.5 D．5 6．（2024·河南商丘·三模）如图，在中，点，分别在，边上，，若，则（    ） A． B． C． D． 7．（2024·扶沟·二模）两千四百多年前，我国学者墨子就在《墨经》中记载了小孔成像实验的做法与成因，图1是小孔成像实验图，抽象为数学问题如图2；与交于点O，，若点O到的距离为，点O到的距离为，蜡烛火焰的高度是，则蜡烛火焰倒立的像的高度是（     ）        图1                                        图2 A． B． C． D． 8．（2024·南阳·一模）如图，在等边三角形中，点D在边上，连接，将绕点B旋转一定角度，使得，连接．若，则为（     ） A． B． C． D． 9．（2024·新乡·二模）如图，在中，，，点，分别是图中所作直线和射线与，的交点．根据图中尺规作图痕迹推断，以下结论错误的是（     ） A． B． C． D． 10．（2024·鹤壁·三模）如图，在等腰三角形ABC中，BD为∠ABC的平分线，∠A=36°，AB=AC=a，BC=b，则CD=（    ） A． B． C．a-b D．b-a 11．（2024·驻马店·二模）如图，在平面直角坐标系中，与是以点为位似中心的位似图形，若，点的坐标是，则点的横坐标是（     ） A．7 B．8 C．9 D．10 12．（2024·河南南阳·三模）如图，点，分別是边，的中点，点在上，．连接并延长，与的延长线相交于点．若，则线段的长为(    ) A．4 B．6 C．8 D．10 13．（2024·河南商丘·二模）如图，在中，已知点，，点在第一象限内，，将沿折叠得到，此时点恰好落在轴上，则点的坐标为（　 　） A． B． C． D． 二、填空题 14．（2024·河南新乡·一模）如图，等边三角形的边上有一点P，过点P作于点E，Q为延长线上一点，当时，交于点D，若，则 ． 15．（2024·河南新乡·三模）把一副直角三角尺如图摆放，，，，，斜边BC，EF在同一直线上，且直角顶点连线．将左右平移，当恰为直角三角形时，AD的长为 ． 16．（2024·河南·三模）如图1，在中，点D为的中点，动点P从点D出发，沿着D→A→B的路径以每秒1个单位长度的速度运动到点B，在此过程中线段的长度y随着运动时间x的函数关系如图2所示，则m的值为 ． 17．（2024·河南安阳·三模）如图，，点M，N分别是射线上的动点，点P为内一点，且，则的周长的最小值为 ． 18．（2024·新郑·二模）如图所示的网格由边长为个单位长度的小正方形组成，点、、、在直角坐标系中的坐标分别为，，，则内心的坐标为 ．    19．（2024·河南商丘·二模）如图，在中，D是的中点，点F在上，连接，并延长交于点E，若，，则的长为 ．    三、解答题 20．（2024·河南鹤壁·一模）喜欢思考问题的小明在探究直角三角形斜边的中线，他的思路是：在中，先作出直角边的垂直平分线，并猜测它与斜边的交点是中点，于是他把交点与点C连接，通过垂直平分线的性质以及等角对等边的代换，他发现了直角三角形斜边的中线与斜边的数量关系． (1)请根据小明的思路完成以下作图与填空： ①用尺规作图作的垂直平分线交于点，垂足为点，连接；（保留作图痕迹，不写作法） ②已知：在中，，垂直平分，垂足为点．求证：． 证明：垂直平分， ______． ． 在中，， ，______． ． ______． ． ． (2)通过探究，小明发现直角三角形均有此特征，由此解决以下问题：若的周长为12，，，则边上的中线长为______． 21．（2024·河南周口·二模）如图，一根电线杆垂直于地面，电线穿过电线杆顶点，一端固定在点，另一端固定在点．已知点距离地面，点距离地面，点，到电线杆的水平距离分别为与，从点看点的仰角为． (1)求电线杆的高度． (2)求电线的总长度（即的长）．（结果精确到．参考数据：，） 22．（2024·河南周口·三模）王老师擅长巧妙地整合教学材料，引导同学们以整体、相关和逐步发展的视角思考问题，培养科学的思维方式．下面是王老师结合旋转与其他知识内容所设计的问题，请你解答． (1)如图1，在平面直角坐标系中，点，轴上有一点P，现将点绕点P按顺时针方向旋转至点，则点P的坐标是______，______． (2)如图2，在中，，点，分别在，上，将线段绕点按逆时针方向旋转至，点恰好落在边上，求证：． (3)如图3，是底角为的等腰三角形，，为的中点，为射线上一个动点．连接，将绕点按逆时针方向旋转得到，连接，，．当是直角三角形时，请直接写出的长． 23．（2024·许昌·二模）综合与实践 如图①，在中，，，点，分别在边，上，且，连接，为的中点，连接，． (1)观察猜想：线段和的数量关系为______，和的位置关系为_______； (2)探究证明：把绕点逆时针旋转时，如图②，试判断（1）中的关系是否仍然成立？如果成立，请加以证明；如果不成立，请说明理由； (3)拓展应用：若，，把绕点逆时针旋转的过程中，请直接写出当时，的长度为________． 24．（2024·河南驻马店·二模）综合与实践 综合与实践课上，老师让同学们以“等边三角形”为主题开展数学活动． (1)问题发现 如图1，点P，Q分别是等边边，上的中点，连接，交于点M． 请直接写出的度数为______； (2)类比探究 如图2，小琦将点P，Q移动到，其他位置时，继续探究： 点P，Q分别是边，上的任意一点，且保持，那么的大小变化吗？ 若变化，请说明理由，若不变，请求出它的度数； (3)拓展应用 如图3，点P，Q分别是在射线，上运动，且保持，直线，交于点M，连接．已知等边三角形的边长为a，请直接写出长的最小值和最大值． 25．（2024·河南周口·一模）如图，A，B两地之间被一座大山挡在中间，导致一直没有直通的公路，需要绕行C地，严重阻碍了A，B两地间的区域经济发展．为促进区域经济发展，A，B两地准备通过开挖隧道的方式修建一条直通两地的公路．已知，，，求的长．（结果保留根号） 26．（2024·河南周口·二模）综合与实践课上，李老师与学生一起探究了如下与“中点”有关的问题． (1)如图1，在中，，，D是的中点，E，F分别在上，且，连接．若，则______ (2)如图2，在中，，D是的中点．E，F分别在上，连接．当，请写出线段之间的数量关系，并证明． (3)如图3，在中，，，D是的中点．E为直线上一动点，连接．过点D作，交直线于点F．请直接写出当时线段的长． 27．（2024·河南·三模）问题情境：数学活动课上，老师出示了一个问题：    如图1，将两块全等的直角三角形纸片和叠放在一起，其中，，，顶点D与边的中点重合，经过点C，交于点G．求重叠部分（）的面积． (1)小明经过独立思考，写出如下步骤，请你帮助小明补全依据及步骤： 解：∵，D是的中点，∴． ∴．  （依据：______________________） 又∵，∴． ∴． ∴_____________________． ∴．∴． 又∵，∴G是的中点，∴为中位线． ∴，．∴． (2) “希望”学习小组受此问题的启发，将绕点D旋转，使交于点H，交于点G，如图2，请解决下列两个问题： ①求证：； ②求出重叠部分（）的面积． (3)“智慧”小组也不甘落后，提出的问题是：如图3，将绕点D旋转，，分别交于点M，N，当是以为腰的等腰三角形时，请你直接写出此时重叠部分（）的面积是________． 28．（2024·河南安阳·二模）如图，在和中，与相交于点，，添加一个条件可以证明． (1)①；②；③；④，上面四个条件可以添加的是______（填序号）． (2)请你选择一个条件给出证明． 29．（2024·河南商丘·二模）综合与实践 在中，，，D为边上一动点，连接，将绕点D按逆时针方向旋转得到，连接． 问题初探 （1）如图1，，D恰好为的中点，与交于点G，若，则____． 探究迁移 （2）如图2，与交于点F，连接，在的延长线上有一点P，，求证：． 拓展应用 （3）如图3，与交于点F，且平分，M为线段上一点，N为线段上一点，连接，K为延长线上的一点，将沿直线翻折，在所在的平面内得到，连接，在点M，N的运动过程中，当取得最小值，且时，请直接写出的值． 30．（2024·河南郑州·三模）在中，，点P是平面内不与点A，C重合的任意一点．连接，将线段绕点P逆时针旋转α得到线段，连接，，． (1)如图1，当，点P在内部时，探索与之间的数量关系，并说明理由； (2)如图2，当时，求的值及直线与直线相交所成的较小角的度数； (3)当时，若点E，F分别是，的中点，点P在直线上，当点C，P，D在同一直线上时，求的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题12 三角形（解析版） 1. （2024·河南·统考中考真题）如图，在中，，，线段绕点C在平面内旋转，过点B作的垂线，交射线于点E．若，则的最大值为_________，最小值为_________. 【答案】 ①. ## ②. ## 【详解】解：∵，， ∴， ∵线段绕点C在平面内旋转，， ∴点D在以点C为圆心，1为半径的圆上， ∵， ∴， ∴点E在以为直径的圆上， 在中，， ∵为定值， ∴当最大时，最大，最小时，最小， ∴当与相切于点D，且点D在内部时，最小，最大，连接，，如图所示： 则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， 即的最大值为； 当与相切于点D，且点D在外部时，最大，最小，连接，，如图所示： 则， ∴， ∴， ∵四边形为圆内接四边形， ∴， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， 即的最小值为； 故答案为：；． 2．（2023·河南·统考中考真题）如图1，点P从等边三角形的顶点A出发，沿直线运动到三角形内部一点，再从该点沿直线运动到顶点B．设点P运动的路程为x，，图2是点P运动时y随x变化的关系图象，则等边三角形的边长为（ ） A. 6 B. 3 C. D. 【答案】A 【详解】解：如图，令点从顶点出发，沿直线运动到三角形内部一点，再从点沿直线运动到顶点． 结合图象可知，当点在上运动时，， ∴，， 又∵为等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， 当点在上运动时，可知点到达点时的路程为， ∴，即， ∴， 过点作， ∴，则， ∴， 即：等边三角形的边长为6， 故选：A． 3.（2022·河南·统考中考真题）15. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，，点D为AB的中点，点P在AC上，且CP＝1，将CP绕点C在平面内旋转，点P的对应点为点Q，连接AQ，DQ．当∠ADQ＝90°时，AQ的长为______． 【答案】或##或 【详解】如图，连接， 在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，， ，， ， 根据题意可得，当∠ADQ＝90°时，点在上，且， ， 如图，在中，， 在中， 故答案为：或． 4.（2021·河南·统考中考真题）小华用一张直角三角形纸片玩折纸游戏，如图1，在中，，，第一步，在AB边上找一点D，将纸片沿CD折叠，点A落在处，如图2；第二步，将纸片沿折叠，点D落在处，如图当点恰好落在直角三角形纸片的边上时，线段的长为______ ． 【答案】或 【详解】解：点恰好落在直角三角形纸片的AB边上时，设交AB边于点E，如图， 由题意：≌≌，垂直平分线段． 则，． ，，， ． ， ． ． 在中， ， ， ． 点恰好落在直角三角形纸片的BC边上时，如图， 由题意：≌≌，； 则，． ，， ， ． 综上，线段的长为：或． 故答案为：或． 5.（2020·河南·统考中考真题）如图，在中，．边在轴上，顶点的坐标分别为和．将正方形沿轴向右平移当点落在边上时，点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【详解】解：由题意知： 四边形为正方形， 如图，当落在上时， 由 故选 一、单选题 1．（2024·河南周口·一模）如图，在四边形中，，，平分，点是的中点，点是上的动点，若，则的最小值为（     ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【详解】如图所示，连接，，， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴当点E，F，C三点共线时，的值最小，即的长度， ∵平分， ∴ ∵ ∴ ∴ ∵， ∴是等边三角形 ∵点是的中点， ∴ ∴ ∴ ∴． ∴的最小值为6． 故选：C． 2．（2024·河南驻马店·二模）如图，在中，，．分别以点A和C为圆心，以大于的长度为半径作弧，两弧相交于点P和点Q，作直线分别交，于点D和点E．若，则的长为（     ） A． B．5 C．10 D． 【答案】A 【详解】连接， 如图 ∵， ∴， 由作法得垂直平分， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， 故选： A. 3．（2024·河南新乡·三模）如图，在中，，按如下步骤作图，①以点为圆心，小于的长为半径作弧交，于点，；②分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线，交于点，过点作交于点，已知，，则的长为（     ） A． B．3 C． D． 【答案】B 【详解】解：∵，，， ∴， 由作图知平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：． 4．（2024·信阳·二模）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（―3，6）、B（―9，一3），以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，则点A的对应点A′的坐标是（ ） A．（―1，2） B．（―9，18） C．（―9，18）或（9，―18） D．（―1，2）或（1，―2） 【答案】D 【详解】解：方法一：∵△ABO和△A′B′O关于原点位似 ∴△ ABO∽△A′B′O且＝ .∴＝＝ ∴A′E＝AD＝2 OE＝OD＝1 ∴A′（-1,2） 同理可得A′′（1,-2） 方法二：∵点A（-3，6）且相似比为 ∴点A的对应点A′的坐标是（-3×，6×）， ∴A′（-1,2） ∵点A′′和点A′（-1,2）关于原点O对称 ∴A′′（1,-2） 故选：D． 5．（2024·河南·三模）小明在科普读物中了解到：每种介质都有自己的折射率，当光从空气射入该介质时，折射率为入射角正弦值与折射角正弦值之比，即折射率（i为入射角，r为折射角）．如图，一束光从空气射向横截面为直角三角形的玻璃透镜斜面，经折射后沿垂直边的方向射出，已知，，，则长为（     ） A．3 B．4 C．4.5 D．5 【答案】D 【详解】解：∵折射光线沿垂直边的方向射出， ∴， ∵法线垂直于， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 解得：， 故选：D． 6．（2024·河南商丘·三模）如图，在中，点，分别在，边上，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵， ， ． 故选：B． 7．（2024·扶沟·二模）两千四百多年前，我国学者墨子就在《墨经》中记载了小孔成像实验的做法与成因，图1是小孔成像实验图，抽象为数学问题如图2；与交于点O，，若点O到的距离为，点O到的距离为，蜡烛火焰的高度是，则蜡烛火焰倒立的像的高度是（     ）        图1                                        图2 A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设蜡烛火焰的高度是， ， ， 由相似三角形的性质得到：， 解得． 即䇎烛火焰的高度是． 故选：B． 8．（2024·南阳·一模）如图，在等边三角形中，点D在边上，连接，将绕点B旋转一定角度，使得，连接．若，则为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵， ∴， ∴， 又∵， ∴为等边三角形， ∴， 在和中， ∴≌ ∴， ∴． 故选：D． 9．（2024·新乡·二模）如图，在中，，，点，分别是图中所作直线和射线与，的交点．根据图中尺规作图痕迹推断，以下结论错误的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：根据图中尺规作图可知，AC的垂直平分线交AB于D，BP平分∠ABC， ∴，；选项A、B正确； ∵， ∴∠ACD=∠A =40°， ∵，， ∴∠ABC=∠ACB =70°， ∴，选项D错误； ∴∠BPC=180°-∠CBP-∠BCP =115°，选项C正确； 故选：D 10．（2024·鹤壁·三模）如图，在等腰三角形ABC中，BD为∠ABC的平分线，∠A=36°，AB=AC=a，BC=b，则CD=（    ） A． B． C．a-b D．b-a 【答案】C 【详解】解：∵在等腰△ABC中，BD为∠ABC的平分线，∠A=36°， ∴∠ABC=∠C=2∠ABD=72°， ∴∠ABD=36°=∠A， ∴BD=AD， ∴∠BDC=∠A+∠ABD=72°=∠C， ∴BD=BC， ∵AB=AC=a，BC=b， ∴CD=AC-AD=a-b， 故选：C． 11．（2024·驻马店·二模）如图，在平面直角坐标系中，与是以点为位似中心的位似图形，若，点的坐标是，则点的横坐标是（     ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】D 【详解】解：与是以原点O为位似中心的位似图形， ， ∵， ∴与位似比为， 点的坐标是，点E在第一象限， 点E的坐标是，即， ∴点的横坐标是10． 故选：D． 12．（2024·河南南阳·三模）如图，点，分別是边，的中点，点在上，．连接并延长，与的延长线相交于点．若，则线段的长为(    ) A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【详解】解：∵点，分別是边，的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选：C． 13．（2024·河南商丘·二模）如图，在中，已知点，，点在第一象限内，，将沿折叠得到，此时点恰好落在轴上，则点的坐标为（　 　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：连接交于点，过点作轴于点，如解图所示． ， ∵，， ∴． 由折叠的性质，可知，，． ∴． ∴在中，． ∴． ∴在中，． ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴点的坐标为， 故选：A． 二、填空题 14．（2024·河南新乡·一模）如图，等边三角形的边上有一点P，过点P作于点E，Q为延长线上一点，当时，交于点D，若，则 ． 【答案】4 【详解】解：如图，过点Q作的延长线的垂线于点， 是等边三角形， ， ， ， ，， ， ， ， ，， ，， ， ， ，， ， 是等边三角形， ， 故答案为：4． 15．（2024·河南新乡·三模）把一副直角三角尺如图摆放，，，，，斜边BC，EF在同一直线上，且直角顶点连线．将左右平移，当恰为直角三角形时，AD的长为 ． 【答案】或/或 【详解】解：∵，，，， ∴，，， ∵ ∴， ①当时，如图，过A作于H， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴ ∴； ②当时，如图， ∵ ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴ ∴； 综上，的长为或． 故答案为：或． 16．（2024·河南·三模）如图1，在中，点D为的中点，动点P从点D出发，沿着D→A→B的路径以每秒1个单位长度的速度运动到点B，在此过程中线段的长度y随着运动时间x的函数关系如图2所示，则m的值为 ． 【答案】4 【详解】解：∵动点从点出发，线段的长度为，运动时间为的，根据图象可知，当时， ∴， ∵点为边中点， ∴， 由图象可知，当运动时间时，y最小，即最小， ∴根据垂线段最短，此时， 如图所示，此时点P运动的路程，    ∴， ∴在中，， 即． 故答案为：4 17．（2024·河南安阳·三模）如图，，点M，N分别是射线上的动点，点P为内一点，且，则的周长的最小值为 ． 【答案】5 【详解】解：分别作点P关于的对称点C、D，连接，分别交于点M、N，连接． ∵点P关于的对称点为C， ∴． ∵点P关于的对称点为D， ∴， ∴，， ∴是等边三角形， ∴． ∴的周长的最小值． 故答案为：5． 18．（2024·新郑·二模）如图所示的网格由边长为个单位长度的小正方形组成，点、、、在直角坐标系中的坐标分别为，，，则内心的坐标为 ．    【答案】（2，3） 【详解】解：根据A、B、C三点的坐标建立如图所示的坐标系， 根据题意可得：AB=，AC=，BC=， ∵， ∴∠BAC=90°， 设BC的关系式为：y=kx+b， 代入B，C， 可得， 解得：， ∴BC：， 当y=0时，x=3，即G（3,0）， ∴点A与点G关于BD对称，射线BD是∠ABC的平分线， 设点M为三角形的内心，内切圆的半径为r，在BD上找一点M，过点M作ME⊥AB，过点M作MF⊥AC，且ME=MF=r， ∵∠BAC=90°， ∴四边形MEAF为正方形， S△ABC=， 解得：， 即AE=EM=， ∴BE=， ∴BM=， ∵B（-3，3）， ∴M（2，3），    故答案为：（2，3）． 19．（2024·河南商丘·二模）如图，在中，D是的中点，点F在上，连接，并延长交于点E，若，，则的长为 ．    【答案】6 【详解】解：取的中点G，连接，如图，    ∵D是的中点，G是的中点， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：6． 三、解答题 20．（2024·河南鹤壁·一模）喜欢思考问题的小明在探究直角三角形斜边的中线，他的思路是：在中，先作出直角边的垂直平分线，并猜测它与斜边的交点是中点，于是他把交点与点C连接，通过垂直平分线的性质以及等角对等边的代换，他发现了直角三角形斜边的中线与斜边的数量关系． (1)请根据小明的思路完成以下作图与填空： ①用尺规作图作的垂直平分线交于点，垂足为点，连接；（保留作图痕迹，不写作法） ②已知：在中，，垂直平分，垂足为点．求证：． 证明：垂直平分， ______． ． 在中，， ，______． ． ______． ． ． (2)通过探究，小明发现直角三角形均有此特征，由此解决以下问题：若的周长为12，，，则边上的中线长为______． 【答案】(1)①见解析；②，， (2)2.5 【详解】（1）解：①作图如下： 证明：垂直平分， ． ． 在中，， ，． ． ． ． ． 故答案为：，，； （2）解：设，则， 由勾股定理得，即， 解得， ∴， ∴边上的中线长为2.5． 故答案为：2.5． 21．（2024·河南周口·二模）如图，一根电线杆垂直于地面，电线穿过电线杆顶点，一端固定在点，另一端固定在点．已知点距离地面，点距离地面，点，到电线杆的水平距离分别为与，从点看点的仰角为． (1)求电线杆的高度． (2)求电线的总长度（即的长）．（结果精确到．参考数据：，） 【答案】(1)电线杆的高度为 (2) 【详解】（1）解：如图，过点作于点． 由题意得：． ， ， ， 电线杆的高度为； （2）解：如图2，过点作于点， 在中，， ， ， 电线的总长度． 22．（2024·河南周口·三模）王老师擅长巧妙地整合教学材料，引导同学们以整体、相关和逐步发展的视角思考问题，培养科学的思维方式．下面是王老师结合旋转与其他知识内容所设计的问题，请你解答． (1)如图1，在平面直角坐标系中，点，轴上有一点P，现将点绕点P按顺时针方向旋转至点，则点P的坐标是______，______． (2)如图2，在中，，点，分别在，上，将线段绕点按逆时针方向旋转至，点恰好落在边上，求证：． (3)如图3，是底角为的等腰三角形，，为的中点，为射线上一个动点．连接，将绕点按逆时针方向旋转得到，连接，，．当是直角三角形时，请直接写出的长． 【答案】(1)； (2)见解析 (3)的长为或6 【详解】（1）解：设点P的坐标是， 由题意得： ∴， 解得： ∴点P的坐标是 ∵， ∴ ∴是等腰直角三角形， ∴ ∴ 故答案为：； （2）证明：， ， ． 在和中，， ， ，， ． （3）解：是底角为的等腰三角形，，为的中点， ，． ①当时，如图1． ，， ． 又， 同理， ， ，， ，． 又， ， ； ②当时时，如图2． ，， 四点共线， ， ， 又， 是等边三角形， 综上所述，的长为或6． 23．（2024·许昌·二模）综合与实践 如图①，在中，，，点，分别在边，上，且，连接，为的中点，连接，． (1)观察猜想：线段和的数量关系为______，和的位置关系为_______； (2)探究证明：把绕点逆时针旋转时，如图②，试判断（1）中的关系是否仍然成立？如果成立，请加以证明；如果不成立，请说明理由； (3)拓展应用：若，，把绕点逆时针旋转的过程中，请直接写出当时，的长度为________． 【答案】(1)， (2)（1）中结论仍然成立，证明见解析 (3)或 【详解】（1）解：∵在中，，，点为的中点， ∴， ， ∴， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 故答案为：，； （2）解：（1）中结论仍然成立，证明如下： 如图，在的延长线上截取，连接，，，延长，交于点． ，，． ， ，， ， ， ， ， 又， ， ． 又，， ， ，， ， 是等腰直角三角形． 又点是的中点， ，； （3）解：如图所示，当点E在上方时，在的延长线上截取，连接， 同理可证， ，， ， 又∵， ∴在同一直线上， 由题意得，可得是等腰直角三角形，则， 又∵， ∴，即， ∴是等腰直角三角形， ∵点F是的中点， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∵在等腰直角中，， ∴， ∴， ∴； 如图，当点E在下方时，在的延长线上截取，连接， 同理可证， ，， ， 又∵， ∴在同一直线上， 由题意得，可得是等腰直角三角形，则， 又∵， ∴，即， ∴是等腰直角三角形， ∵点F是的中点， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∵在等腰直角中，， ∴， ∴， ∴； 综上所述，当时，的长度为或， 故答案为：或． 24．（2024·河南驻马店·二模）综合与实践 综合与实践课上，老师让同学们以“等边三角形”为主题开展数学活动． (1)问题发现 如图1，点P，Q分别是等边边，上的中点，连接，交于点M． 请直接写出的度数为______； (2)类比探究 如图2，小琦将点P，Q移动到，其他位置时，继续探究： 点P，Q分别是边，上的任意一点，且保持，那么的大小变化吗？ 若变化，请说明理由，若不变，请求出它的度数； (3)拓展应用 如图3，点P，Q分别是在射线，上运动，且保持，直线，交于点M，连接．已知等边三角形的边长为a，请直接写出长的最小值和最大值． 【答案】(1) (2)不变， 理由见详解 (3)长的最小值为，最大值为 【详解】（1）解：∵是等边三角形， ∴， ∵是的中点， ∴，， ∴， 故答案为：； （2）解：不变， 理由如下： ∵在等边中，， 又由条件得． ， ， ； （3）解：根据第（1）和（2）问的探究可知， 当点继续在射线上运动时，的大小始终不变， 即的大小始终不变， 因此点的运动轨迹是过点三点的圆， 连接，连接并延长交于 ，交于，连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ， 故当圆心和点在一条直线上时， 且当点在圆心和点之间时， 即时，有最小值， 此时； 当圆心点和点之间时， 即时，有最大值， 此时． 25．（2024·河南周口·一模）如图，A，B两地之间被一座大山挡在中间，导致一直没有直通的公路，需要绕行C地，严重阻碍了A，B两地间的区域经济发展．为促进区域经济发展，A，B两地准备通过开挖隧道的方式修建一条直通两地的公路．已知，，，求的长．（结果保留根号） 【答案】 【分析】本题考查直角三角形的性质、勾股定理的实际应用，过点A作于点D，根据直角三角形的性质可得，，从而可得，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：过点A作于点D， 则， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， 在中，． 26．（2024·河南周口·二模）综合与实践课上，李老师与学生一起探究了如下与“中点”有关的问题． (1)如图1，在中，，，D是的中点，E，F分别在上，且，连接．若，则______ (2)如图2，在中，，D是的中点．E，F分别在上，连接．当，请写出线段之间的数量关系，并证明． (3)如图3，在中，，，D是的中点．E为直线上一动点，连接．过点D作，交直线于点F．请直接写出当时线段的长． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3) 【详解】（1）解：如图，连接， ，，D是的中点 ， ，， ， ， ， ， ， 又， ， ， 故答案为：； （2）解：， 证明：如图，延长到点G，使，连接，， ，， 垂直平分， ； D是的中点， ， 在和 中， ， ， ，， ， ， ， 是直角三角形， ， ； （3）解：如图，延长到点G，使，连接，，， ，， 垂直平分， ， D是的中点， ， 在和 中， ， ， ，， ， ， ， 是直角三角形， ， ，， ， 在中，，， ， 设，则， ， ， ， 解得， ． 27．（2024·河南·三模）问题情境：数学活动课上，老师出示了一个问题：    如图1，将两块全等的直角三角形纸片和叠放在一起，其中，，，顶点D与边的中点重合，经过点C，交于点G．求重叠部分（）的面积． (1)小明经过独立思考，写出如下步骤，请你帮助小明补全依据及步骤： 解：∵，D是的中点，∴． ∴．  （依据：______________________） 又∵，∴． ∴． ∴_____________________． ∴．∴． 又∵，∴G是的中点，∴为中位线． ∴，．∴． (2) “希望”学习小组受此问题的启发，将绕点D旋转，使交于点H，交于点G，如图2，请解决下列两个问题： ①求证：； ②求出重叠部分（）的面积． (3)“智慧”小组也不甘落后，提出的问题是：如图3，将绕点D旋转，，分别交于点M，N，当是以为腰的等腰三角形时，请你直接写出此时重叠部分（）的面积是________． 【答案】(1)等边对等角， (2)①证明见解析；② (3)或 【详解】（1）解：∵，D是的中点， ∴． ∴．（依据：等边对等角） 又∵， ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． 又∵， ∴G是的中点， ∴为中位线． ∴，． ∴． 故答案为：等边对等角，； （2）①证明：∵，， ∴， 又， ∴； ②如图，    ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴． ∵，， ∴． ∴． ∴． ∴点为的中点． 在中，． ∵是中点，． 在与中，∵，， ∴． ∴． ∴， ∴． ∴； （3）解：当时，过D作于H，    则， ∵，， ∴． ∴． ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 设， 则， 在中，， ∴， 解得， ∴； 当时，过D作于H， 则， 同理：， ∴， ∴， ∴， 设， 则， 在中，， ∴， 解得， ∴； 当时，过D作于H，过M作于G，    则， 又， ∴， ∴，即， ∴， 设，则，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴， 综上，的面积是为或． 故答案为：或． 28．（2024·河南安阳·二模）如图，在和中，与相交于点，，添加一个条件可以证明． (1)①；②；③；④，上面四个条件可以添加的是______（填序号）． (2)请你选择一个条件给出证明． 【答案】(1)①③ (2)详见解析 【详解】（1）解：上面四个条件可以添加的是①； 故答案为：①③ （2）若添加①； ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∵，，， ∴， ∴； 若添加③； ∵，， ∴， 在和中， ∵，，， ∴， ∴． 29．（2024·河南商丘·二模）综合与实践 在中，，，D为边上一动点，连接，将绕点D按逆时针方向旋转得到，连接． 问题初探 （1）如图1，，D恰好为的中点，与交于点G，若，则____． 探究迁移 （2）如图2，与交于点F，连接，在的延长线上有一点P，，求证：． 拓展应用 （3）如图3，与交于点F，且平分，M为线段上一点，N为线段上一点，连接，K为延长线上的一点，将沿直线翻折，在所在的平面内得到，连接，在点M，N的运动过程中，当取得最小值，且时，请直接写出的值． 【答案】（1）；（2）见解析；（3） 【详解】解：（1），，， ， ，， ， D恰好为的中点， ， ， 将绕点D按逆时针方向旋转得到， ，， ； （2）证明：如图，过点D作交于点H． ，， ． ， ，， ，， ． 将绕点D按逆时针方向旋转得到， ，， ， ， ，， ． 又，， ， ， ， ． （3）． 提示：如图，在上截取，连接． 平分， ． 又， ， ， ， 当M，，D三点共线，且时，有最小值，如图． ，， ． 由题可知，，． ， ． ， ， ， ． 又， B，Q，D三点共线， ． ， ，， ， ， ， ， ． 30．（2024·河南郑州·三模）在中，，点P是平面内不与点A，C重合的任意一点．连接，将线段绕点P逆时针旋转α得到线段，连接，，． (1)如图1，当，点P在内部时，探索与之间的数量关系，并说明理由； (2)如图2，当时，求的值及直线与直线相交所成的较小角的度数； (3)当时，若点E，F分别是，的中点，点P在直线上，当点C，P，D在同一直线上时，求的值． 【答案】(1)，理由见解析 (2)， (3)或 【详解】（1）解：，， 是等边三角形， ，， 由旋转的性质得，，， 是等边三角形， ，， ， ，， ， ； （2）解：如图中，设交于点， ， ， ， ， ，， ， ， ∴直线与直线相交所成的小角的度数为； （3）解：如图，当点在线段上时，延长交的延长线于， ，， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，，，四点共圆， ，， ， ，设，则，， ； 如图中，当点在线段上时，同法可证：， 设，则，， ， ； 综上所述：的值为或． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$