精品解析：山东省青岛市胶州市李哥庄中学2023-2024学年八年级下学期第二次月考数学试题

2023-2024学年度第二学期阶段性教学质量检测 八年级数学试题 （120分，90分钟） 第一卷（30分） 一、选择题（本大题共10小题，共30分） 1. 在下列各式中，是分式的有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了分式的判断，判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式，注意不是字母，是常数，所以分母中含的代数式不是分式，是整式，熟练掌握分式的定义是解本题的关键． 【详解】解：∵在式子中，是分式的有：，，， ∴分式有个， 故选：． 2. 分式有意义，则x的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据分式有意义的条件：分母不为0，即可解答． 【详解】解：根据题意可得：， 解得， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了分式有意义的条件，解题的关键是掌握分式有意义的条件：分母不为0． 3. 已知a＜b，下列式子不成立的是（　　） A. a+1＜b+1 B. 3a＜3b C. ﹣2a＞﹣2b D. 如果c＜0，那么＜ 【答案】D 【解析】 【分析】利用不等式的性质知：不等式两边同时乘以一个正数不等号方向不变，同乘以或除以一个负数不等号方向改变． 【详解】解：、不等式两边同时加上1，不等号方向不变，故本选项正确，不符合题意； 、不等式两边同时乘以3，不等号方向不变，故本选项正确，不符合题意； 、不等式两边同时乘以，不等号方向改变，故本选项正确，不符合题意； 、不等式两边同时除以负数，不等号方向改变，故本选项错误，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了不等式的性质，解题的关键是牢记不等式的性质，特别是在不等式的两边同时乘以或除以一个负数时，不等号方向改变． 4. 下列各式由左边到右边的变形中，属于分解因式的是 A. a（x+y）=ax+ay B. x2﹣4x+4=x（x﹣4）+4 C. 10x2﹣5x=5x（2x﹣1） D. x2﹣16+6x=（x+4）（x﹣4）+6x 【答案】C 【解析】 【分析】根据分解因式就是把一个多项式化为几个整式的积的形式，利用排除法求解． 【详解】A、是多项式乘法，故选项错误； B、右边不是积的形式，x2﹣4x+4=（x﹣2）2，故选项错误； C、提公因式法，故选项正确； D、右边不是积的形式，故选项错误． 故选：C． 5. 化简的结果为(　　) A. ﹣ B. ﹣y C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先因式分解，再约分即可得． 【详解】 故选D． 【点睛】本题主要考查约分，由约分的概念可知，要首先将分子、分母转化为乘积的形式，再找出分子、分母的最大公因式并约去，注意不要忽视数字系数的约分． 6. 小明利用两种不同的方法计算下面图形的面积，并据此写出了一个因式分解的等式，此等式是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了用图形法进行因式分解，解题的关键是数形结合，用两种方法表示大长方形的面积． 用两种方法表示大长方形的面积即可得出答案． 【详解】解：根据题图可得大长方形是由2个边长为b的正方形，3个长为b宽为a的长方形和1个边长为a的正方形组成， ∴大长方形的面积为， 另外大长方形可以看作一般长为宽为的长方形组成， ∴大长方形的面积为， ∴可以得到一个因式分解的等式为，故D正确． 故选：D． 7. 下列各式中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了分式的基本性质．熟练掌握分式的基本性质是解题的关键． 根据分式的基本性质对各选项判断作答即可． 【详解】解：A中，错误，故不符合要求； B中，错误，故不符合要求； C中，错误，故不符合要求； D中，正确，故符合要求； 故选：D． 8. 把分式中的a、b都扩大2倍，则分式的值（　 　） A. 缩小 B. 缩小 C. 扩大2倍 D. 不变 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意进行变形，发现实质上是分子、分母同时扩大2倍，根据分式的基本性质即可判断． 【详解】根据题意，得 把分式中的a、b都扩大2倍，得， 根据分式的基本性质，则分式的值不变． 故选D． 【点睛】此题考查了分式的基本性质． 9. 函数的自变量x的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 且 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了函数自变量的取值范围，二次根式有意义的条件，分式有意义的条件．熟练掌握函数自变量的取值范围，二次根式有意义的条件，分式有意义的条件是解题的关键． 由题意知，，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，， 解得，且， 故选：B． 10. 小明上月在某文具店正好用 20 元钱买了几本笔记本，本月再去买时，恰遇此文具店搞优惠酬宾活动，同样的笔记本，每本比上月便宜 1 元，结果小明只比上次多用了 4 元钱， 却比上次多买了 2 本．若设他上月买了 x 本笔记本，则根据题意可列方程（ ） A. - =1 B. - =1 C. - =1 D. - =1 【答案】B 【解析】 【详解】设他上月买了x本笔记本，则这次买了（x+2）本， 根据题意得：， 即：． 故选B． 第二卷（90分） 二、填空题（本大题共6小题，共18分） 11. 因式分解______． 【答案】 【解析】 【分析】直接利用乘法公式分解因式得出答案． 【详解】解：（x﹣1）2． 故答案为：（x﹣1）2． 【点睛】此题主要考查了公式法分解因式，正确应用乘法公式是解题关键． 12. 如果x2＋kx＋64是一个整式的平方，那么常数k的值是________． 【答案】±16 【解析】 【分析】先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定k的值． 【详解】∵x2+kx+64=x2+kx+82， ∴kx=±2×8x， 解得k=±16． 故答案为：±16． 【点睛】本题主要考查了完全平方式，根据平方项确定出这两个数是解题的关键，也是难点，熟记完全平方公式对解题非常重要． 13. 长和宽分别为，的矩形的周长为，面积为，则的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了提公因式法分解因式，由周长和面积可分别求得和的值，再利用提公因式法把所求代数式转化为，代入计算即可求解，利用提公因式法把原式转化成是解题关键． 【详解】解：根据题意得：，， ∴， 故答案为：． 14. 将分解因式的结果是___________________________． 【答案】m（x﹣2）（m﹣1）（m+1）． 【解析】 【详解】试题解析：原式==m（x﹣2）（m﹣1）（m+1）． 故答案为m（x﹣2）（m﹣1）（m+1）． 15. 关于的分式方程无解，则的值为 ______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程无解的情况，先将分式方程去分母，化为整式方程，再分和两种情况解答即可求解，理解分式方程无解的意义是解题的关键． 【详解】解：方程两边同乘以得，， 整理的，， 当，即时，方程无解； 当，即时，， ∵方程无解， ∴是方程的增根， ∴， 解得； ∴的值为或， 故答案为：或． 16. 已知关于的分式方程的解是正数，则的取值范围是______． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查的是分式方程的解法和一元一次不等式的解法．分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解表示出，根据解为正数，求出的范围即可． 【详解】解：去分母得：， 解得：， ∵该方程的解是正数， ∴， 解得， 又∵， ∴， 故答案为：且． 三、计算题（本题共38分） 17. 因式分解： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】本题考查了综合提公因式和公式法进行因式分解，提公因式法进行因式分解，利用平方差公式进行因式分解等知识．熟练掌握综合提公因式和公式法进行因式分解，提公因式法进行因式分解，利用平方差公式进行因式分解是解题的关键． （1）综合提公因式和公式法进行因式分解即可； （2）利用提公因式法进行因式分解即可； （3）利用提公因式法进行因式分解即可； （4）利用平方差公式进行因式分解即可． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解：； 【小问3详解】 解：； 【小问4详解】 解：． 18. 分式化简： （1） （2） （3）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1） （2） （3）， 【解析】 【分析】本题考查分式的混合运算，化简求值． （1）根据分式的加减法法则计算即可； （2）根据分式的加减法法则计算即可； （3）根据分式的混合运算法则计算，再代入求值． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： 【小问3详解】 解： ， 当时，原式． 19. 解分式方程 （1） （2） 【答案】（1） （2）无解 【解析】 【分析】本题考查解分式方程： （1）根据解分式方程的步骤，将分式方程去分母，转化为整式方程，求解后检验即可． （2）根据解分式方程的步骤，将分式方程去分母，转化为整式方程，求解后检验即可． 【小问1详解】 解：方程两边同乘，得 ， 解得， 检验：当时，， ∴是原分式方程的解． 【小问2详解】 解：方程两边同乘，得 ， 解得， 检验：当时，， ∴不是原分式方程的解，原分式方程无解． 四、解答题 20. 下面是某同学对多项式进行因式分解的过程． 解：设， 原式（第一步） （第二步） （第三步） （第四步） （1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的______． A．提取公因式；B．平方差公式； C．两数和的完全平方公式；D．两数差的完全平方公式． （2）该同学因式分解的结果是否彻底？______．（填“彻底”或“不彻底”）若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果 ______． （3）请你模仿以上方法尝试对多项式进行因式分解． 【答案】（1）C （2）不彻底，； （3） 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握公式法分解因式是解题的关键． （1）根据分解因式的过程直接得出答案； （2）该同学因式分解的结果不彻底，将继续分解因式即可得解； （3）利用换元法，将看成一个整体，设，进行因式分解即可得解； 【小问1详解】 解：，是利用了两数和的完全平方公式， 故选：C． 【小问2详解】 解： ， 该同学因式分解的结果不彻底， ， ． 【小问3详解】 解：设， ． 21. 2024年3月12日植树节，和平路中学组织七、八年级的学生开展植树活动．已知七年级植树180棵与八年级植树240棵所用的时间相同，两个年级平均每小时共植树70棵，求七年级平均每小时植树多少棵? 【答案】七年级平均每小时植树30棵 【解析】 【分析】本题考查分式方程的应用，设七年级平均每小时植树x棵，理解题意，根据两个年级植树所用时间相同列方程求解即可． 【详解】解：设七年级平均每小时植树x棵，则八年级平均每小时植树棵． 根据题意，得， 解得， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意． 答：七年级平均每小时植树30棵． 22. 学习了乘法公式后，老师向同学们提出了如下问题： ①将多项式因式分解； ① ②求多项式的最小值． ②由①，得，因为，所以．所以，当时，的值最小，且最小值为-1． 请你运用上述方法解决下列问题： （1）将多项式因式分解； （2）求多项式的最小值； （3）若多项式，比较多项式，的大小． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意利用完全平方公式及平方差公式进行因式分解即可； （2）先配方，再利用即可解决问题； （3）利用作差法及配方法求解即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ∵， ∴， ∴多项式的最小值． 【小问3详解】 解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴即． 【点睛】本题主要考查了完全平方公式的应用，本题关键是利用二次项系数和一次项系数的特殊性，加上一次项系数一半的平方，可以构成完全平方公式，同时要减去加上一次项系数一半的平方，使整式的值不变． 23. 如图，将一个边长为的正方形分割成四部分（边长分别为，的正方形、边长为和长方形），请认真观察图形，解答下列问题： （1）请用两种方法分别表示该正方形的面积（用含、的代数式表示）①______,②_______；由此可以验证一个重要的公式是______． （2）若图中，满足，，求的值． （3）若，求的值． （4）请利用图形分割的方法将因式分解并画出相应的图形（标注，）． 【答案】（1），， （2） （3） （4）， 画图： 【解析】 【分析】（1）该正方形的面积等于边长的平方，或两个长方形及两个小正方形的面积之和，进而可得出答案； （2）根据，先求出，即可求出的值； （3）根据，即可求解； （4）利用图形分割的方法画出图形，即可求解． 【小问1详解】 解：该正方形的面积可以表示为，也可以表示为， 由此可以验证一个重要的公式是：， 故答案为：，，； 【小问2详解】 ，， ， ，（舍去）； 【小问3详解】 ，； 【小问4详解】 ． 【点睛】本题考查多项式乘多项式和因式分解的应用，熟练运用完全平方公式，并且能够通过图形分割的方法进行因式分解是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023-2024学年度第二学期阶段性教学质量检测 八年级数学试题 （120分，90分钟） 第一卷（30分） 一、选择题（本大题共10小题，共30分） 1. 在下列各式中，是分式的有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 2. 分式有意义，则x的取值范围是（　　） A. B. C. D. 3. 已知a＜b，下列式子不成立的是（　　） A. a+1＜b+1 B. 3a＜3b C. ﹣2a＞﹣2b D. 如果c＜0，那么＜ 4. 下列各式由左边到右边的变形中，属于分解因式的是 A. a（x+y）=ax+ay B. x2﹣4x+4=x（x﹣4）+4 C. 10x2﹣5x=5x（2x﹣1） D. x2﹣16+6x=（x+4）（x﹣4）+6x 5. 化简的结果为(　　) A. ﹣ B. ﹣y C. D. 6. 小明利用两种不同的方法计算下面图形的面积，并据此写出了一个因式分解的等式，此等式是（ ） A. B. C. D. 7. 下列各式中，正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 把分式中的a、b都扩大2倍，则分式的值（　 　） A. 缩小 B. 缩小 C. 扩大2倍 D. 不变 9. 函数的自变量x的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 且 10. 小明上月在某文具店正好用 20 元钱买了几本笔记本，本月再去买时，恰遇此文具店搞优惠酬宾活动，同样的笔记本，每本比上月便宜 1 元，结果小明只比上次多用了 4 元钱， 却比上次多买了 2 本．若设他上月买了 x 本笔记本，则根据题意可列方程（ ） A. - =1 B. - =1 C. - =1 D. - =1 第二卷（90分） 二、填空题（本大题共6小题，共18分） 11. 因式分解______． 12. 如果x2＋kx＋64是一个整式的平方，那么常数k的值是________． 13. 长和宽分别为，的矩形的周长为，面积为，则的值为_____． 14. 将分解因式的结果是___________________________． 15. 关于的分式方程无解，则的值为 ______． 16. 已知关于的分式方程的解是正数，则的取值范围是______． 三、计算题（本题共38分） 17. 因式分解： （1）； （2）； （3）； （4）． 18. 分式化简： （1） （2） （3）先化简，再求值：，其中． 19. 解分式方程 （1） （2） 四、解答题 20. 下面是某同学对多项式进行因式分解的过程． 解：设， 原式（第一步） （第二步） （第三步） （第四步） （1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的______． A．提取公因式；B．平方差公式； C．两数和的完全平方公式；D．两数差的完全平方公式． （2）该同学因式分解的结果是否彻底？______．（填“彻底”或“不彻底”）若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果 ______． （3）请你模仿以上方法尝试对多项式进行因式分解． 21. 2024年3月12日植树节，和平路中学组织七、八年级的学生开展植树活动．已知七年级植树180棵与八年级植树240棵所用的时间相同，两个年级平均每小时共植树70棵，求七年级平均每小时植树多少棵? 22. 学习了乘法公式后，老师向同学们提出了如下问题： ①将多项式因式分解； ① ②求多项式的最小值． ②由①，得，因为，所以．所以，当时，的值最小，且最小值为-1． 请你运用上述方法解决下列问题： （1）将多项式因式分解； （2）求多项式的最小值； （3）若多项式，比较多项式，的大小． 23. 如图，将一个边长为的正方形分割成四部分（边长分别为，的正方形、边长为和长方形），请认真观察图形，解答下列问题： （1）请用两种方法分别表示该正方形的面积（用含、的代数式表示）①______,②_______；由此可以验证一个重要的公式是______． （2）若图中，满足，，求的值． （3）若，求的值． （4）请利用图形分割的方法将因式分解并画出相应的图形（标注，）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $