5.5 应用二元一次方程组——里程碑上的数（讲解课件）-【优翼·学练优】2024-2025学年八年级数学上册同步备课（北师大版）

5.5 应用二元一次方程组 ——里程碑上的数 第五章 二元一次方程组 优翼数学教学课件（BS）八上 1.一个两位数的十位数字是 x，个位数字是 y，则这个两位数可表示为：_________ 2. 一个三位数，若百位数字为 a，十位数字为 b，个位数字为 c，则这个三位数为：____________. 10x + y 100a + 10b + c 你能回答吗？ 导入新课 2 1．用字母表示两位或两位以上的数． 一个两位数，个位数字是 a，十位数字是 b，那么这个数可表示为________；如果交换个位和十位上的数字，那么得到一个新的两位数可表示为_________． 10b＋a 10a＋b 做一做 利用二元一次方程组解决数字问题 新课讲授 2．表示变换数位后的多位数． (1)两位数 x 放在两位数 y 的左边，组成一个四位数，因此用 x，y 表示这个四位数为________．同理，如果将 x 放在 y 的右边，那么得到一个新的四位数为___________． (2)一个两位数，个位上的数是 m，十位上的数是 n，如果在它们之间添上零，那么用代数式表示这个三位数为_______． 100x＋y 100y＋x 100n＋m 是一个两位数，它的两个数字之和为7． 十位数字与个位数字与12:00时所看到的正好互换了． 比12:00时看到的两位数中间多了个0． 小明爸爸骑着摩托车带着小明在公路上匀速行驶，下图是小明每隔 1 小时看到的里程情况．你能确定小明在 12:00 时看到的里程碑上的数吗？ 合作探究 5 (3)14:00 时小明看到的数可以表示为____________ (4)12:00～13:00 与 13:00～14:00 两段时间内行驶的路程有什么关系?你能列出相应的方程吗? 100x + y 如果设小明在 12:00 时看到的数的十位数字是 x，个位数字是 y.那么 (1)12:00 时小明看到的数可以表示为____________ (2)13:00 时小明看到的数可以表示为_____________ 10x + y 10y + x 12:00至13:00所走的路程 13:00至14:00所走的路程 (10y + x)－(10x + y) (100x + y)－(10y + x) = 解：如果设小明在 12:00 时看到的数的十位数字是x，个位数字是 y，那么根据以上分析，得方程组： 解这个方程组得， 答：小明在 12:00 时看到的里程碑上的数是 16． 解：设较大的两位数为 x，较小的两位数为 y，则 解方程组,得: 答：这两个两位数分别是 45 和 23. 例1 两个两位数的和为 68，在较大的两位数的右边接着写较小的两位数，得到一个四位数；在较大的两位数的左边写上较小的两位数，也得到一个四位数.已知前一个四位数比后一个四位数大 2178，求这两个两位数. x + y = 68 (100x + y) - (100y + x) = 2178 x = 45 y = 23 一个两位数，个位上的数字与十位上的数字之和是 11，如果把十位上的数字与个位上的数字对调，那么所得的两位数比原两位数大 9，求原来的两位数． [分析] 用二元一次方程组解决问题的关键是找到两个合适的等量关系．由于十位数字和个位数字都是未知的，所以不能直接设所求的两位数．本题中两个等量关系为：十位数字＋个位数字＝11，(十位数字×10＋个位数字)＋9＝个位数字×10＋十位数字．根据这两个等量关系可列出方程组． 练一练 [归纳总结] 在求两位数或三位数时，一般是不能直接设这个两位数或三位数的，而是把它各个数位上的数字设为未知数．解题的关键是弄清题意，根据题意找出合适的等量关系，列出方程组，再进行求解． 解：设个位上的数字为 x，十位上的数字为 y. 根据题意，得 解得 10y＋x＝56. 答：原来的两位数为 56. 小华从家里到学校的路是一段平路和一段下坡路. 假设他始终保持平路每分钟走 60 m，下坡路每分钟走 80 m，上坡路每分钟走 40 m，则他从家里到学校需 10 min，从学校到家里需 15 min. 问小华家离学校多远？ 利用二元一次方程组解决行程问题 分析：小华到学校的路分成两段，一段为平路， 一段为坡路.(回家所走的上坡路长即为去学校的下坡路长) 平路：60 m/min 下坡路：80 m/min 上坡路：40 m/min 走平路的时间 + 走下坡的时间 = ______， 走上坡的时间 + 走平路的时间 = ______． 路程 = 平均速度×时间 10 15 方法一（直接设元法） 平路时间 坡路时间 总时间 上学 放学 解：设小华家到学校平路长 x m，下坡长 y m. 根据题意，可列方程组： 解方程组，得 所以，小明家到学校的距离为 700 米. 方法二（间接设元法） 平路 路程 坡路 路程 上学 放学 解：设小华下坡路所花时间为 x min， 上坡路所花时间为 y min. 根据题意，可列方程组 解方程组，得 所以，小明家到学校的距离为 300 + 400 = 700 (米). 故，平路路程：60×(10 - 5) = 300(米)， 坡路路程：80×5 = 400(米). 例2 甲、乙两地相距 4 km，以各自的速度同时出发. 如果同向而行，甲 2 h 追上乙；如果相向而行，两人0.5 h 后相遇. 试问两人的速度各是多少？ 典例精析 分析：对于行程问题，一般可以借助示意图表示题中的数量关系，可以更加直观的找到相等关系. (1)同时出发， 同向而行 甲出发点 乙出发点 4 km 甲追上乙 乙 2 h 行程 甲 2 h 行程 甲 2 h 行程 = 4 km + 乙 2 h 行程 (2)同时出发， 相向而行 甲出发点 乙出发点 4 km 甲 0.5 h 行程 乙 0.5 h 行程 甲 0.5 h 行程 + 乙 0.5 h 行程 = 4 km 相遇地 解：设甲、乙的速度分别为 x km/h，y km/h. 根据题意与分析中图示的两个相等关系，得 解方程组，得 答：甲的速度为 5 km/h，乙的速度为 3 km/h. 实际问题 设未知数、找等量关系、列方程（组） 数学问题 [方程(组)] 解方程（组） 数学问题的解 双检验 实际问题的答案 总结归纳 1.小颖家离学校 4800 m，其中有一段为上坡路 ，另一段为下坡路，她跑步去学校共用了 30 min .已知小颖在上坡时的平均速度是 6 km/h，下坡时的平均速度是 12 km/h.问小颖上、下坡的路程分别是（ ） A．1.2 km，3.6 km； B．1.8 km，3 km； C．1.6 km，3.2 km． D．3.2 km，1.6 km． A 当堂练习 【解析】设上坡用 x 时，下坡用 y 时，据题意得： 　　　　 6x＋12y = 4.8， 　　　　　x＋y = 0.5. 解得　　 x＝0.2， y＝0.3. 故选A. 2.小刚骑摩托车在公路上匀速行驶，早晨 7:00 时看到里程碑上的数是一个两位数，它的数字之和是 9；8:00 时看里程碑上的两位数与 7:00 时看到的个位数和十位数互换了；9:00 时看到里程碑上的数是 7:00 时看到的数的 8 倍，小刚在 7:00 时看到的数是　　　　　. 18 21 【解析】设小刚在 7:00 时看到的数十位数字是 x，个位数字是 y，那么 时刻 十位数字 个位数字 表达式 7:00 x y 10x + y 8:00 y x 10y + x 9:00 8(10x + y) 故小刚在 7:00 时看到的数是 18. x + y = 9 8(10x + y) - (10y + x) = 10y + x - (10x + y) 解得 x = 1 y = 8 3．一个两位数，减去它的各位数字之和的 3 倍，结果是 23；这个两位数除以它的各位数字之和，商是 5，余数是 1．这个两位数是多少？ 解：设这个两位数的十位数为 x，个位数为 y，则有： 解这个方程组，得 答：这个两位数是 56． 56-3(5+6) = 23 56÷(5+6) = 5…1 4．一个两位数是另一个两位数的 3 倍，如果把这个两位数放在另一个两位数的左边与放在右边所得的数之和为8484．求这个两位数． 解：设这个两位数为 x，另一个为 y，由题意，得 解这个方程组得 答：这个两位数是 63，另一个两位数是 21. 5. 汽车在上坡时速度为 28 km/h，下坡时速度 42 km/h，从甲地到乙地用了 4 小时 30 分，返回时用了 4 小时 40 分，从甲地到乙地上、下坡路各是多少千米？(只列方程组) 知识拓展 分析：从甲地到乙地的上坡路和下坡路分别是从乙地到甲地的下坡路和上坡路. 解：设从甲地到乙地上坡路是 x 千米，下坡路是 y 千米. 依题意得 6.有大小两个两位数，在大数的右边写上一个 0 之后再写上小的数，得到一个五位数；在小数的右边写上大数，然后再写上一个 0，也得到一个五位数，第一个五位数除以第二个五位数得到的商为 2，余数为 590．此外，二倍大数与三倍小数的和是 72，求这两个两位数． 解：设大的两位数是 x，小的两位数是 y，则第一个 五位数是 1000x + y，第二个五位数是 1000y + 10x， 由题意，得 解得 答：这两个两位数分别为 21 和 10. 1.在很多实际问题中，都存在着一些等量关系，因此我们往往可以借助列方程组的方法来处理这些问题. 　3.要注意的是，处理实际问题的方法往往是多种多样的，应根据具体问题灵活选用. 通过本课时的学习，需要我们掌握： 2.这种处理问题的过程可以进一步概括为： 课堂小结 $$