2.7 第3课时 二次根式的混合运算（讲解课件）-【优翼·学练优】2024-2025学年八年级数学上册同步备课（北师大版）

2.7 二次根式 第二章 实数 第3课时 二次根式的混合运算 优翼数学教学课件（BS）八上 如果梯形的上、下底长分别为 cm， cm，高为 cm，那么它的面积是多少？ 导入新课 2 问题1 单项式与多项式、多项式与多项式的乘法法则分别是什么? 问题2 多项式与单项式的除法法则是什么? m(a + b + c) = ma + mb + mc， (m + n)(a + b) = ma + mb + na + nb. 复习引入 (ma + mb + mc)÷m = a + b + c. 分配律 单×多 转化 前面两个问题的思路是： 思考 若把字母 a，b，c，m 都用二次根式代替(每个同学任选一组)，然后对比归纳，你们发现了什么？ 单×单 二次根式的加、减、乘、除混合运算与整式运算一样，体现在：运算律、运算顺序、乘法法则仍然适用. 例1 计算： 解： 二次根式的混合运算 新课讲授 5 二次根式的混合运算，先要弄清运算种类，再确定运算顺序：先乘除，再加减，有括号的要先算括号内的，最后按照二次根式的相应的运算法则进行. 归纳 解： 此处类比“多项式×多项式”即(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab. 解：(1) 原式 (2) 原式 【变式题】计算： 有绝对值符号的，同括号一样，先去绝对值，注意去掉绝对值后，得到的数应该为正数. 归纳 例2 计算： 解： （1）原式 （2）原式 8 解法一： （3） 你还有其他解法吗？ 解法二： 原式 = 解： 原式 = 思考：还可以继续化简吗？为什么？ 如果算式当中有个别二次根式化为最简二次根式后，仍不能与其它最简二次根式合并，那么结果中可直接保留，不必再化. 提醒 问题：化简 ，其中 a = 3，b = 2. 你是怎么做的？ 解法一： 把 a = 3，b = 2 代入式子中， 原式 = 解法二： 原式 = 把 a = 3，b = 2 代入式中， 原式 先代入后化简 先化简后代入 二次根式的化简求值 哪种更简便？ 12 解二次根式化简求值题目时，直接代入求值往往很麻烦，一般应先化简所求式子，再用代入数字求值. 方法总结 例3 已知 ，求 分析：先化简已知条件，再利用乘法公式变形，即 a2 + b2 = (a + b)2 - 2ab，最后代值求解. 解： 14 已知 的整数部分是 a，小数部分是 b，求 a2 - b2 的值. 解： 练一练 思考：如图，图中小正方形的边长为 1，试求图中梯形 ABCD 的面积.你有哪些方法？ 二次根式的应用 可把梯形 ABCD 分割成两个三角形和一个梯形，如图所示. 方法 1：分割法 S1 S2 S3 S梯形ABCD = S1 + S2 + S3 通过补图，可把梯形ABCD 变成一个大梯形，如图所示. 方法2：补图法 S1 S2 S梯形ABCD = S梯形ABEF－S1－S2 E F 过点 D 作 AB 边的高 DE，如图所示. 方法3：直接法 S梯形ABCD E 归纳：利用二次根式可以简单便捷的求出结果． 例4 教师节就要到了，小欣同学准备做两张大小不同的正方形贺卡送给老师以表示祝贺，其中一张面积为288 平方厘米，另一张面积为 338 平方厘米. 如果用彩带把贺卡镶边会更漂亮，她现在有 1.5 米的彩带，请你帮忙算一算她的彩带够不够用. 分析：可以通过两个正方形的面积分别计算出正方形的边长，进一步求出两个正方形的周长之和，与1.5 米比较即可得出结论. 20 解：贺卡的周长为 答：小欣的彩带够用. 本题是利用二次根式的混合运算来解决实际生活中的问题，解答本题的关键在于理解题意并列出算式. 方法总结 1. 下列计算中正确的是（ ） B 2. 已知 试求 x2 + 2xy + y2 的值. 解：x2 + 2xy + y2 = (x + y)2. 把 代入上式得 原式= 当堂练习 解： 3. 计算： 23 （3） 4. 在一个边长为 cm 的正方形内部，挖去一个边长为 cm 的正方形，求剩余部分的面积. 解：由题意得 即剩余部分的面积是 5. (1) 已知 ，求 的值； 解：x2 - 2x - 3 = (x - 3)(x + 1) (2)已知 ，求 的值. 解： 6. 阅读下列材料，然后回答问题： 在进行类似于二次根式 的运算时，通常有如下两种方法将其进一步化简： 方法一： 方法二： 能力提升：  (1)请用两种不同的方法化简： (2)化简： 解：(1) 二次根式混合运算 乘法公式 化简求值 分母有理化 化简已知条件和所求式子 (a+b)(a－b)=a2－b2 (a+b)2=a2+2ab+b2 (a－b)2=a2－2ab+b2 (x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab 课堂小结 $$